BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Sejarah Teori Graf

5 2.1 Sejarah Teori Graf

Kelahiran teori graf diawali oleh permasalahan pada jembatan-jembatan Königsberg. Königsberg adalah sebuah kota yang didirikan pada tahun 1255 dan pernah menjadi ibu kota Prusia, Jerman Timur ketika itu. Sekarang ini, Königsberg dikenal dengan nama Kaliningrad dan merupakan sebuah daerah administratif Federasi Rusia. (Wikipedia, 2013).

Königsberg dialiri oleh sungai yang dinamai sungai Pregel. Sebagai sarana untuk mempermudah transportasi, pemerintah Konigsberg membangun 7 buah jembatan pada sungai tersebut (Gambar. 1). Jembatan-jembatan ini dibangun secara bertahap selama abad ke 12 hingga abad ke 15.

Gambar 2.1.1. Peta Kuno Kota Konigsberg. Sungai Pregel (biru) dan jembatan-jembatan Konigsberg (merah)

Masyarakat Konigsberg di abad 17 kala itu sangat suka menikmati pemandangan sungai Pregel dengan berjalan-jalan di atas jembatan tersebut.

Beberapa dari mereka kemudian berpikir, dapatkah seseorang menyeberangi ketujuh jembatan tersebut tepat satu kali dan kembali ke tempat semula? Masalah tersebut menjadi terkenal di seluruh negeri sebagai Teka-teki Jembatan Konigsberg dan tidak dapat dipecahkan selama beberapa waktu.

Pada tahun 1736, seorang pakar matematika Swiss ternama, Leonard Euler menjadikan masalah tersebut sebagai sebuah kasus matematika dan membuat solusi kemustahilan untuk menyelesaikan teka-teki tersebut. Solusi Euler merepresentasikan masalah ini ke dalam sebuah graf dengan keempat daratan sebagai simpul dan ketujuh jembatan sebagai jalur (Ferland, 2009).

Simpul-simpul diberi label A, B, C dan D serta jalur-jalurnya diberi label 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Graf yang dibuat Euler diperlihatkan pada gambar di bawah.

Gambar 2.1.2. Representasi Jembatan Konigsberg dalam Bentuk Graf

Dengan graf tersebut, Euler berhasil menemukan jawaban mengapa seseorang tidak dapat melalui ketujuh jembatan tersebut masing-msing sekali dan kembali ke tempat semula. Secara ringkas, Euler mengemukakan bahwa seseorang tidak mungkin melalui setiap jembatan Königsberg masing-masing tepat satu kali dan kembali ke tempat semula karena tidak semua simpul pada graf tersebut berderajat genap. Simpul A, C, dan D berderajat 3, sedangkan simpul B berderajat 5.

Selanjutnya, konsep solusi Euler ini berkembang menjadi salah satu cabang matematika diskrit yang dikenal sebagai teori graf.

2.2 Konsep Dasar Teori Graf 2.2.1 Definisi Graf

Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V, E) yang dalam hal ini dinyatakan :

V = himpunan tak kosong dari simpul-simpul (vertices atau node) =

dan

E = himpunan sisi (edges atau arcs) yang menghubungkan sepasang simpul. =

Atau dapat ditulis dengan notasi G = (V, E) (Munir, 2003) Oleh karena itu, graf terdiri dari dua bagian:

i. Sebuah himpunan memiliki elemen-elemen yang dinamakan verteks, titik, atau node.

ii. Sebuah kumpulan merupakan pasangan terurut dari verteks-verteks yang berbeda dinamakan edge.

Penulisan digunakan untuk menyatakan dua bagian dari graf . (Lipschutz, 2002).

2.2.2 Penotasian Simpul dan Jalur pada Graf

Himpunan simpul (verteks) dari graf dapat ditulis dengan V(G), sedangkan himpunan sisi atau jalur (edges) dari graf dinyatakan dengan E(G) . Sebuah graf harus memiliki setidaknya satu buah simpul tetapi tidak harus memiliki jalur. Graf yang hanya memiliki sebuah simpul dan sering digambarkan sebagai sebuah titik saja disebut graf trivial.

Terdapat beberapa cara untuk menotasikan anggota himpunan simpul dan jalur pada graf. Misalnya untuk himpunan simpul , anggotanya dinotasikan dengan bilangan asli 1, 2, 3, ... atau dengan huruf a, b, c, dan seterusnya. Sedangkan untuk menotasikan anggota himpunan jalur digunakan pasangan

berurut anggota himpunan simpul yang saling berbeda, misalnya dan seterusnya.

Contoh:

Gambar 2.2.1. Graf G=(V,E)

Graf terdiri dari himpunan simpul dan himpunan jalur yang dapat dinyatakan sebagai berikut:

dan

Himpunan jalur dapat pula dinyatakan sebagai himpunan pasangan anggota himpunan yang berbeda, yaitu sebagai berikut:

Dalam hal ini sama dengan begitu pula pasangan anggota himpunan lainnya jika graf tersebut tidak berarah.

2.3 Beberapa Istilah untuk Membedakan Sedehana Tidaknya Suatu Graf Beberapa istilah yang sering dipergunakan dalam studi teori graf di antaranya adalah loop dan jalur ganda. Berikut ini adalah penjelasan dan definisi dari loop dan jalur ganda.

e5

e3

v4

v1 _e

1 v2

v3

e2

2.3.1 Loop

Loop (gelang atau kalang) adalah sebuah sisi yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama (Munir, 2003).

Contoh:

Gambar 2.3.1. Graf dengan loop

Sisi merupakan sebuah loop sebab sisi tersebut menghubungkan simpul kepada dirinya sendiri atau

2.3.2 Sisi Ganda

Sisi ganda merupakan dua sisi atau lebih yang menghubungkan dua buah simpul yang sama (Munir, 2003).

Contoh :

Gambar 2.3.2. Graf dengan jalur ganda

Pasangan sisi dan sisi merupakan sisi ganda sebab keduanya menghubungkan sepasang simpul yang sama, yaitu dan .

2.4 Jenis-jenis Graf

2.4.1 Jenis-jenis Graf Berdasarkan Ada Tidaknya Loop dan Sisi Ganda Berdasarkan ada tidaknya loop dan sisi ganda, graf dibedakan menjadi 2 jenis, yaitu graf sederhana dan graf tidak sederhana (Munir, 2003).

e2

e1 _v2

v1

v1 v2

v3

e3

e2

2.4.1.1 Graf sederhana

Graf sederhana adalah graf yang tidak memiliki loop dan sisi ganda (Munir, 2003). Gambar 2.2.1 merupakan contoh graf sederhana.

2.4.1.2 Graf tidak sederhana

Graf tidak sederhana adalah graf yang memiliki loop atau sisi ganda atau keduanya. Suatu graf yang memiliki loop atau sisi ganda disebut graf palsu. Sementara itu, suatu graf yang memiliki loop dan sisi ganda disebut graf umum (Munir, 2003).

2.4.2 Jenis-jenis Graf Berdasarkan Orientasi

Berdasarkan orientasi arah, graf dikelompokkan menjadi dua macam, yaitu graf tak berarah dan graf berarah (Munir, 2003).

2.4.2.1 Graf tak berarah (undirected graph)

Graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah disebut graf tak berarah. Pada graf tak berarah, urutan pasangan simpul yang dihubungkan oleh sisi tidak diperhatikan. Jadi dan adalah sama (Munir, 2003). Contoh:

Gambar 2.4.1. Graf tak berarah.

2.4.2.2Graf berarah (directed graph atau digraph)

Graf yang setiap sisinya diberikan orientasi arah disebut sebagai graf berarah. Sisi berarah disebut sebagai busur (arc). Pada graf berarah, dan

menyatakan dua buah busur yang berbeda, dengan kata lain (Munir, 2003).

Contoh:

Gambar 2.4.2. Graf berarah.

Graf yang dimaksud dalam uraian proposal ini selanjutnya adalah graf tak-berarah. Oleh karena itu, pembahasan pada sub bab berikut ini merupakan pembahasan mengenai terminologi dasar pada graf yang tidak berarah.

2.5 Terminologi Dasar pada Graf Tidak Berarah

2.5.1. Bertetangga

Dua buah simpul pada graf tak berarah G dikatakan bertetangga (berajasen) bila keduanya terhubung langsung dengan sebuah sisi. Dengan kata lain, simpul u bertetangga dengan v jika (u, v) adalah sebuah sisi pada graf G

(Munir, 2003).

2.5.2 Bersisian

Untuk sembarang sisi e =(u, v), sisi e dikatakan bersisian (berinsiden) dengan simpul u dan simpul v (Munir, 2003).

2.5.3 Simpul terpencil

Simpul terpencil (isolated vertex) ialah simpul yang tidak mempunyai sisi yang bersisian dengannya. Atau, dapat juga dinyatakan bahwa simpul

terpencil adalah simpul yang tidak satupun bertetangga dengan simpul-simpul lainnya (Munir, 2003).

2.5.4 Derajat

Derajat suatu simpul pada graf tak-berarah adalah jumlah sisi yang bersisian dengan simpul tersebut. Loop dihitung berderajat dua. Alasan mengapa loop mengkontribusikan dua untuk derajat simpulnya adalah karena loop direpresentasikan sebagai (v, v), dan simpul v berinsiden dua kali pada sisi (v, v) (Munir, 2003).

Simpul yang berderajat nol disebut simpul terasing atau simpul terpencil, sedangkan simpul yang bersisian dengan tepat satu simpul disebut simpul pendant (Munir, 2003).

2.6 Teorema Jabat Tangan

Jumlah semua derajat simpul pada suatu graf adalah genap yaitu dua kali jumlah sisi pada graf tersebut (Munir, 2003).

Jika , maka

Bukti:

Setiap sisi berinsidensi dengan 2 simpul. Sehingga jika setiap sisi dihitung sebanyak dua kali jumlahnya maka hasilnya akan sama dengan jumlah derajat simpulnya.

2.7Beberapa Graf Sederhana yang Khusus 2.7.1. Graf Lengkap

Graf lengkap merupakan graf sederhana yang setiap simpulnya mempunyai jalur ke semua simpul lainnya. Graf lengkap dengan buah simpul dilambangkan dengan . Setiap simpul pada berderajat . Jumlah jalur pada graf lengkap yang terdiri dari buah simpul adalah (Munir, 2003).

Contoh:

Gambar 2.7.1. Graf lengkap K1, K2, K3, K4, K5 2.7.2 Graf Lingkaran

Graf lingkaran adalah graf sederhana yang setiap simpulnya berderajat dua. Graf lingkaran dengan simpul dilambangkan dengan . Jika simpul-simpul pada adalah , maka sisinya adalah dan . Dengan kata lain, ada sisi dari simpul terakhir ke simpul pertama (Munir, 2003).

Contoh:

Gambar 2.7.2. Graf lingkaran C3, C4, C5, C6 2.7.3 Graf Teratur (Regular Graph)

Graf yang setiap simpulnya mempunyai derajat yang sama disebut graf teratur. Apabila derajat setiap simpul adalah , maka graf tersebut disebut sebagai graf teratur derajat (Munir, 2003).

Contoh :

Gambar 2.7.3.b. Graf teratur R2

Graf lengkap Kn juga merupakan graf teratur berderajat n-1. Demikian pula graf lingkaran Cn juga graf teratur berderajat 2. Jumlah sisi pada graf teratur dengan derajat r dan n buah simpul adalah (Munir, 2003).

2.7.4 Graf Bipartit

Graf G yang himpunan simpulnya dapat dipisah menjadi dua himpunan bagian V1 dan V2, sedemikian sehingga setiap sisi pada G menghubungkan sebuah simpul dari V1 ke sebuah simpul di V2 disebut graf bipartit dan dinyatakan sebagai

G(V1, V2) (Munir, 2003).

Tidak ada simpul yang beradjasensi dengan simpul yang ada di himpunan simpul yang sama. Apabila setiap simpul di V1 bertetangga dengan setiap simpul di V2, maka G(V1, V2) disebut bipartit lengkap yang dilambangkan

Km,n. Jumlah sisi pada graf bipartit lengkap adalah mn.

Contoh:

2.8 Pemetaan

Misalkan diketahui dua himpunan S dan T yang keduanya tak hampa. Pemetaan f dari S ke dalam T ditulis adalah suatu cara yang mengaitkan setiap unsur dengan satu unsur Pengaitan ini ditandai dengan (Arifin, 2000).

Pada dasarnya setiap unsur di S dapat dikaitkan dengan paling sedikit satu unsur di T. Misalnya unsur dikaitkan dengan unsur dan di T yang berbeda. Hal ini tidak dapat terjadi pada pemetaan . Dengan demikian, pengaitan untuk semua unsur akan mendefinisikan pemetaan jika dan hanya jika setiap dikaitkan dengan satu .

Dua pemetaan dan dikatakan sama jika memetakan setiap unsur sama. Dengan kata lain jika untuk semua

.

Untuk selanjutnya pemetaan yang difokuskan adalah . Unsur dalam pengaitan ditandai dengan , jadi , dan disebut bayangan atau peta dari oleh . Bayangan atau peta pemetaan adalah himpunan semua unsur yang merupakan peta suatu unsur Bayangan (peta) pemetaan ditandai dengan Peta . Jadi,

Unsur yang dipetakan oleh menjadi unsur disebut prabayangan atau prapeta dari . Adapun himpunan dan dalam pemetaan berturut-turut disebut daerah definisi dan daerah bayangan (daerah peta).

Dua pemetaan seperti dan , dengan , , dan ketiganya himpunan tak hampa, dapat dilakukan berturut-turut; pertama kemudian , dan kemudian diperoleh pemetaan dari ke dalam . Pemetaan baru ini ditandai dengan dan disebut komposisi pemetaan dan . Ketiga pemetaan ini dapat digambarkan dalam diagram komutatif sebagai berikut.

Gambar 2.8.1 Diagram Komutatif Pemetaan

Setiap unsur dipetakan oleh menjadi unsur di U menurut hubungan

Perlu diperhatikan sebagai catatan bahwa komposisi didefinisikan jika daerah definisi pemetaan sama dengan daerah peta pemetaan . Komposisi didefinisikan untuk dua pemetaan. Untuk tiga pemetaan terdapat sifat sebagai berikut.

Sifat 2.8.1

Diketahui tiga pemetaan , , dan . Maka komposisinya memenuhi sifat asosiatif (Arifin, 2000).

Bukti:

Ambil sebarang unsur . Maka berlaku

Jadi ฀

Dengan demikian menurut sifat 2.8.1 di atas, komposisi pemetaan terdefinisi, yaitu . Demikian pula, jika terdapat n pemetaan

komposisinya adalah .

Selanjutnya perspektif pemetaan dipandang dari ke dalam dirinya sendiri. Pemetaan dari ke dalam yang memetakan setiap unsur di dinamakan pemetaan kesatuan atau pemetaan identitas. Pemetaan ini ditandai dengan

T

U

S f

g gf

. Jika himpunan yang dimaksud terdefinisi dengan jelas, dapat dituliskan . Sekali lagi ditekankan bahwa untuk pemetaan kesatuan berlaku untuk semua .

Ada dua sifat yang dimiliki oleh pemetaan kesatuan. Yang pertama, dua unsur yang dipetakan sama, keduanya senantiasa sama. Yang kedua, setiap unsur senantiasa mempunyai prapeta. Kedua sifat ini dipertegas berturut-turut dalam dua definisi berikut untuk pemetaan

Definisi 2.8.1

Pemetaan dikatakan satu-satu atau injektif, jika untuk setiap unsur dan di yang dipetakan sama oleh f, yaitu , berlaku (Arifin, 2000).

Definisi 2.8.2

Pemetaan dikatakan pada, atau surjektif, jika untuk setiap unsur terdapat unsur yang memenuhi (Arifin, 2000).

Menurut definisi di atas, pemetaan kesatuan bersifat satu-satu dan pada, atau bijektif. Untuk pemetaan yang bersifat pada, seluruh himpunan merupakan peta (bayangan) pemetaan , yaitu . Selanjutnya akan dibuktikan sifat yang memberikan ciri kepada pemetaan satu-satu atau pada.

Sifat 2.8.2

Pemetaan bersifat satu-satu jika dan hanya jika terdapat pemetaan yang memenuhi . (Arifin, 2000).

Gambar 2.8.2 Diagram Pemetaan Satu-satu

Bukti:

() Misalkan bersifat satu-satu. Untuk setiap y T didefinisikan pengaitan

Karena bersifat satu-satu, untuk setiap hanya ada satu yang memenuhi . Dengan demikian, setiap unsur dikaitkan dengan satu unsur . Selanjutnya, dalam hal , setiap unsur dikaitkan dengan satu unsur S. Kemungkinan kedua, dalam hal pengaitan tidak dilakukan (pengaitan pertama sudah meliputi semua unsur di karena ).

Pengaitan di atas mendefinisikan pemetaan . Setiap unsur memenuhi hubungan:

Di sini , maka diperoleh

Misalkan terdapat pemetaan yang memenuhi . Untuk setiap unsur dan di S yang memenuhi berlaku

Menurut definisi 2.8.1, pemetaan bersifat satu-satu. g

T

S

S f

ids

Pemetaan seperti dalam sifat 2.8.2 yang yang memenuhi hubungan dinamakan balikan kiri (invers kiri) pemetaan .

Sifat 2.8.3

Pemetaan bersifat pada jika dan hanya jika terdapat pemetaan yang memenuhi (Arifin, 2000).

Dalam diagram digambarkan sebagai berikut.

Gambar 2.8.3 Diagram Pemetaan Pada

Bukti:

Misalkan bersifat pada. Untuk setiap unsur subhimpunan

Karena pada, untuk setiap subhimpunan tak hampa. Selanjutnya, setiap unsur dikaitkan dengan satu dan hanya satu unsur ; diperoleh pengaitan . Pengaitan ini mendefinisikan pemetaan . untuk semua berlaku

Di sini dan . Dengan demikian diperoleh

Sebaliknya, misalkan terdapat yang memenuhi . Untuk unsur pilih di S. diperoleh:

h

T

S f T

idT

Ini menunjukkan bahwa pemetaan bersifat pada.

Pemetaan seperti dalam sifat 2.8.3 yaitu yang memenuhi dinamakan balikan kanan (invers kanan) pemetaan . pemetaan dimungkinkan untuk sekaligus bersifat satu-satu dan pada. Sifat berikut memberikan ciri kepada pemetaan yang bersifat demikian.

Sifat 2.8.4

Pemetaan bersifat satu-satu dan pada jika dan hanya jika terdapat pemetaan yang memenuhi dan . Pemetaan juga bersifat satu-satu dan pada (Arifin, 2000).

Dalam diagram digambarkan sebagai berikut

Gambar 2.8.4 Diagram Pemetaan Satu-satu dan Pada

Bukti:

Menurut sifat 2.8.2 dan sifat 2.8.3 berturut-turut terdapat dan yang memenuhi hubungan dan . Untuk melengkapi bukti, cukup ditunjukkan .

S

h T

T f

idT

S idS

Dengan menerapkan sifat 2.8.1 diperoleh

Jadi dan . Selanjutnya pemetaan juga mempunyai balikan kiri dan balikan kanan, yaitu . Pemetaan ini bersifat satu-satu dan pada.

Contoh di atas dimungkinkan untuk himpunan S yang tak hingga. Untuk himpunan S yang hingga dan tak hampa terdapat sifat sebagai berikut.

Sifat 2.8.5

Misalkan S suatu himpunan hingga yang tak hampa. Pemetaan bersifat satu-satu jika dan hanya jika pemetaan bersifat pada (Arifin, 2000).

Bukti:

Misalkan S memuat n unsur dan tulis

Misalkan bersifat satu-satu dan andaikan tidak bersifat pada. Ini berarti peta tidak semuanya berbeda; terdapat indeks dan dengan . Karena satu-satu, maka berlaku . Kesamaan yang terakhir ini mustahil. Dengan demikian haruslah pemetaan bersifat pada.

Misalkan bersifat pada. Maka terdapat

Dengan demikian untuk setiap dan di S, dengan , berlaku . Menurut definisi 2.8.1, pemetaan bersifat satu-satu.

Sehubungan dengan hal ini dapat disimpulkan bahwa komposisi bersifat satu-satu dan pada. Secara umum sifat tersebut adalah sebagai berikut.

Sifat 2.8.6

Misalkan S, T, dan U adalah himpunan tak hampa.

a. Jika pemetaan dan bersifat satu-satu, maka komposisi juga bersifat satu-satu.

b. Jika pemetaan dan bersifat pada, maka komposisi juga bersifat pada (Arifin, 2000).

Bukti (a):

Menurut sifat 2.8.2 terdapat pemetaan dan yang berturut-turut memenuhi hubungan dan . Pandang komposisi . dengan menggunakan sifat 2.8.1 (Sifat asosiatif) diperoleh

Hubungan ini mengatakan, bahwa pemetaan mempunyai balikan kiri . Menurut sifat 2.8.2, pemetaan bersifat satu-satu.

Bukti (b):

Menurut Sifat 2.8.3 terdapat pemetaan dan yang berturut-turut memenuhi hubungan dan serta dan . Pemetaan bersifat pada jika dan hanya jika terdapat pemetaan yang memenuhi . Dengan menggunakan sifat 2.8.1 (Sifat asosiatif) diperoleh

Pemetaan yang memenuhi dinamakan balikan kanan pemetaan . Dengan demikian menurut sifat 2.8.3 pemetaan bersifat pada.

2.9 Isomorfisme Graf

Kata isomorfisme berasal dari kata iso yang berarti sama, dan kata morfik yang artinya bentuk. Berdasarkan asal katanya, isomorfisme dapat diartikan sebagai objek yang berbentuk sama. Namun dalam pembahasan teori graf, isomorfisme tidak selalu merepresentasikan dua atau lebih graf yang berbentuk sama. Misalkan diberikan dua buah graf sebagai berikut:

Gambar 2.9.1. Dua buah graf yang isomorfis

Dua buah graf di atas terdiri dari empat buah simpul dimana setiap simpul adalah berderajat tiga. Walaupun secara geometri kedua tersebut berbeda tetapi pada prinsipnya kedua graf tersebut adalah sama.

Definisi 2.9.1

Dua buah graf G1dan G2dikatakan isomorfik jika terdapat korespondensi satu-satu antara simpul-simpul keduanya dan antara sisi-sisi keduanya sehingga jika sisi e bersisian dengan simpul u dan v pada G1maka sisi e’ pada G2juga bersisian dengan simpul u’ dan v’ (Munir, 2003).

Suatu graf dapat digambarkan dengan berbagai cara. Dua buah graf yang isomorfik adalah graf yang sama, kecuali penamaan simpul dan sisinya saja yang berbeda. Sebagai contoh dua graf pada gambar 3.81 di atas merupakan dua graf yang isomorfik.

Selain menunjukkan korespondensi satu-satu di antara kedua himpunan simpul graf, dua buah graf dikatakan isomorfik jika memenuhi ketiga syarat berikut pula.

1. Mempunyai jumlah simpul yang sama. 2. Mempunyai jumlah jalur yang sama

3. Mempunyai jumlah simpul yang sama berderajat tertentu (Munir, 2003). Contoh graf lainnya yang saling isomorfik yaitu sebagai berikut.

Contoh:

Gambar 2.9.2. Graf G1 dan G2

Terlihat bahwa graf G1 dan G2 memiliki jumlah simpul yang sama, yaitu 5 buah dan memiliki jumlah jalur yang sama, yaitu 4 buah. Jumlah simpul yang berderajat tertentu pada kedua graf tersebut juga sama, yaitu diuraikan sebagai berikut.

- Simpul berderajat 1 pada G1 adalah b,d,e

Simpul berderajat 1 pada G2 adalah 1,3,5

Jumlah simpul berderajat 1 pada kedua graf adalah 3. - Simpul berderajat 2 pada G1 adalah a

Simpul berderajat 2 pada G2 adalah 4

Jumlah simpul berderajat 2 pada kedua graf adalah 1. - Simpul berderajat 3 pada G1 adalah c

Simpul berderajat 3 pada G2 adalah 2

Jumlah simpul berderajat 3 pada kedua graf adalah 1. e

a b

c d

G1

1 3

2

4

5 G2

Akan ditunjukkan pula korespondensi satu-satu pada himpunan simpul kedua graf tersebut dan pada himpunan jalur kedua graf tersebut.

Ditentukan f : V(G1) V(G2)

1. Diberikan V(G1) = {a,b,c,d,e} dan V(G2) = {1,2,3,4,5}

f(a) = 4 f(b) = 5 f(c) = 2 f(d) = 1 f(e) = 3

2. Diberikan E(G1) = {(a,b), (a,c), (c,e), (c,d)} dan E(G2) = {(1,2), (2,3),

(2,4), (4,5)}

Untuk (a,b) (f(a), f(b)) = (4,5)

Untuk (a,c) (f(a), f(c)) = (4,2)

Untuk (c,e) (f(c), f(e)) = (2,3)

Untuk (c,d) (f(c), f(d)) = (2,1)

Karena graf G1 dan G2 merupakan graf yang tidak berarah, penulisan jalur (4,2) = (2,4) serta jalur (1,2) = (2,1).

Dengan demikian, graf G1 dan G2 merupakan graf yang isomorfik.

Sampai saat ini belum ada algoritma yang tepat untuk memeriksa apakah dua buah graf isomorfis. Algoritma terbaik untuk memeriksa apakah dua buah graf isomorfik mempunyai kompleksitas waktu eksponensial (bergantung pada jumlah simpul pada graf). Semakin banyak simpul graf, kebutuhan waktu algoritma meningkat sangat drastis.

Namun demikian, penelitian dalam proposal ini bukan untuk membahas isomorfik tidaknya dua atau lebih graf. Penelitian ini lebih menitikberatkan kepada keisomorfikan graf khususnya graf lengkap Kn terhadap graf yang direkonstruksi dengan kaidah korespondensi satu-satu himpunan simpul-simpul dan himpunan jalur-jalur graf lengkap tersebut. Korespondensi satu-satu

himpunan simpul dan himpunan jalur graf lengkap Knpada dirinya sendiri analog dengan konsep operasi biner.

2.10 Konsep Operasi Biner

Terdapat berbagai macam operasi pada himpunan bilangan, misalnya penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Operasi-operasi ini sering disebut sebagai operasi hitung (operasi aritmatik). Selain operasi aritmatik, terdapat pula operasi lain pada suatu himpunan tertentu. Misalnya pada himpunan bilangan bulat Z, didefinisikan operasi , dengan  , . Bentuk operasi dalam suatu himpunan tertentu tidak harus selalu operasi aritmatik, seperti halnya  dalam pembahasan ini. Hal yang lebih diperhatikan adalah kebineran operasi tersebut. Pengertian operasi biner dijelaskan sebagai berikut.

Definisi 2.10.1

Misalkan S suatu himpunan yang tidak kosong. Operasi pada elemen-elemen S disebut operasi biner, apabila setiap dua elemen maka atau dikatakan bahwa operasi pada S bersifat tertutup. Dapat pula dikatakan bahwa operasi merupakan operasi biner pada S, apabila operasi merupakan pemetaan dari ke S (Sukirman, 2011).

2.11 Teori Grup Definisi 2.11.1

Misalkan G adalah himpunan yang tidak kosong dan operasi pada G adalah suatu operasi biner. Himpunan G bersama-sama dengan operasi biner atau ditulis adalah suatu grup bila memenuhi aksioma-aksioma berikut:

1. Operasi pada G bersifat asosiatif 2. G memuat elemen identitas

,

3. Setiap unsur G mempunyai invers di dalam G pula.

_{(Sukirman, 2011)} 

Dengan kata lain grup merupakan sebuah himpunan dengan operasi yang bersifat asosiatif sedemikian sehingga terdapat elemen identitas, setiap elemennya memiliki invers, dan setiap anggotanya berasal dari pemasangan anggota yang tidak berada di luar dari himpunan. Kondisi ini yang dikatakan sebagai ketertutupan.

Jika (G, ) suatu grup yang memenuhi sifat komutatif, yaitu berlaku , maka G disebut grup komutatif atau grup abelian.

Sebagai catatan penting, grup merupakan salah satu pembahasan dalam Struktur Aljabar yang berkenaan dengan suatu himpunan tak kosong dan operasi biner dalam himpunan tersebut. Ini berarti teori grup tidak selalu ditemukan dalam himpunan bilangan saja (Sukirman, 2011).

Banyaknya elemen grup G disebut order dari grup G dan ditulis . Jika order suatu grup adalah berhingga (finite) maka grup itu disebut grup berhingga. Jika order suatu grup adalah tak hingga maka grup itu disebut grup tak hingga (infinite). Suatu grup dengan operasi + (penjumlahan) disebut grup aditif dan grup dengan operasi (perkalian) disebut grup multiplikatif.

Contoh 2.11.1:

Himpunan bilangan bulat Z, himpunan bilangan rasional Q dan himpunan bilangan real R adalah grup dengan operasi penjumlahan dan elemen identitasnya

0 dengan invers a yaitu , .

Contoh 2.11.2:

Jika n suatu bilangan bulat positif dan adalah himpunan semua bilangan bulat kelipatan n maka adalah suatu grup abelian. Hal ini ditunjukkan sebagai berikut .

, dengan n suatu bilangan bulat positif.

a) Untuk sembarang , maka dengan sehingga

Karena maka , sehingga , yaitu . Jadi operasi + pada merupakan operasi biner.

b) Karena dan operasi + pada bersifat asosiatif dan bersifat komutatif maka operasi + pada juga bersifat asosiatif dan komutatif. c) Elemen identitasnya adalah , sebab jika maka

d) Invers dari setiap elemennya adalah negatif dari elemen tersebut, yaitu jika maka – sedemikian sehingga

Selain pada himpunan bilangan, teori grup juga terdapat pada operasi penjumlahan matriks.

Contoh 2.11.3

M adalah himpunan semua matriks berordo mxn yang unsur-unsur matriksnya adalah bilangan-bilangan real (ditulis ). Maka adalah suatu grup abelian.

Bukti:

a) Misalkan dan adalah matriks-matriks dalam maka dengan , yaitu penjumlahan setiap dua matriks dalam adalah suatu matriks dalam pula.

b) , , dan maka

c) Elemen identitasnya adalah matriks berordo yang semua unsurnya nol dan biasa disebut matriks nol dan diberi simbol O, sehingga untuk sembarang A dalam , berlaku .

d) Jika maka invers A terhadap operasi penjumlahan matriks adalah –A= , sedemikian sehingga . e) Misalkan A= dan B= adalah matriks-matriks dalam

maka

=

Jadi operasi penjumlahan matriks pada M(R) bersifat komutatif.

2.12 Isomorfisme

Istilah isomorfisme diperkenalkan oleh Galois, seorang ahli matematika Prancis. Kata isomorfisme berasal dari bahasa Yunani yaitu isos yang artinya sama atau setara dan morphe yang artinya bentuk. Secara harafiah isomorfisme berarti sama atau setara dalam hal wujud atau bentuk.

Isomorfisme yang dibicarakan dalam proposal ini adalah isomorfisme yang melibatkan dua atau lebih himpunan yang memenuhi syarat sebagai grup.

Definisi 2.12.1

Sebuah isomorfisma dari grup ke adalah sebuah fungsi yang bersifat satu-satu dan pada yang mengawetkan operasi grup yaitu

Grup dan kemudian dikatakan isomorf, dan diberi notasi ≈ (Gallian, 1998).

Terdapat empat langkah untuk membuktikan bahwa suatu grup isomorfik dengan grup , yaitu sebagai berikut:

1. Menunjukkan bahwa terdapat fungsi dari ke

2. Membuktikan bahwa merupakan fungsi satu-satu. Misalkan maka .

3. Membuktikan bahwa merupakan fungsi pada. Untuk setiap terdapat sedemikian sehingga .

4. Membuktikan bahwa merupakan fungsi yang mengawetkan. Artinya, untuk setiap berlaku .

Dalam keadaan tertentu terdapat isomorfisme yang khusus, yaitu automorfisme. Automorfisme merupakan isomorfisme kepada grup itu sendiri. Secara formal, definisi automorfisme adalah sebagai berikut.

Definisi 2.12.2

Automorfisme adalah suatu isomorfisme dari grup pada dirinya sendiri (Gallian, 1998).

Contoh 2.12.2

dengan perkalian modulo 8 adalah suatu grup

Enam pemetaan yang tergambar pada diagram panah, masing-masing dari ke yang didefenisikan seperti pada tabel di atas masing-masing adalah suatu automorfisme. Jadi memiliki 6 automorfisme.

Himpunan semua automorfisme pada dinotasikan dengan . Selanjutnya, operasi pada adalah pemetaan:

Yang didefinisikan oleh pengaitan untuk semua dan di , dengan menyatakan komposisi. Sistem mempunyai sifat seperti berikut.

Sifat 2.12.2

Misalkan suatu grup. Terhadap komposisi, membentuk grup. Bukti:

1. Komposisi pemetaan bersifat asosiatif. Dengan demikian memenuhi sifat asosiatif, yaitu untuk semua di .

2. Pemetaan kesatuan membentuk unsur kesatuan di . 3. Setiap unsur mempunyai balikan yang juga termuat di

.

Dengan demikian, himpunan dengan komposisi sebagai operasi padanya membentuk suatu grup (Arifin, 2000).

Beranalog dengan konsep isomorfisme, dapat dibuat suatu pengertian lain dari automorfisme yaitu sebagai berikut.

Definisi 2.12.3

Jika diberikan suatu grup dengan pemetaan , dikatakan automorfisme jika untuk setiap (Wikipedia, 2013).

Sifat ini ditunjukkan dalam contoh 2.12.2. Misalkan diambil sembarang anggota dari salah satu automorfismenya, yaitu di mana didefinisikan:

Selanjutnya akan ditunjukkan sifat pengawetan fungsi dalam automorfisme tersebut. Misalkan didefinisikan dengan operasi sebagai perkalian modulo 8. Diambil sembarang dua elemen yaitu 3 dan 5. Akan dibuktikan

Pembuktian tersebut adalah sebagai berikut.

2.13 Grup Simetri (Grup Permutasi) Definisi 2.13.1

Misalkan suatu himpunan berhingga yang banyak elemennya adalah . Suatu pemetaan satu-satu dari ke sendiri disebut suatu permutasi dari elemen-elemen . Banyaknya elemen dari merupakan tingkat permutasi tersebut (Sukirman, 2011).

Misalkan dan suatu pemetaan satu-satu dari ke maka adalah suatu permutasi tingkat . Misalnya

dengan , dua himpunan yang sama ini mempunyai urutan elemen yang berbeda. Untuk selanjutnya permutasi akan dituliskan dengan notasi matriks dua baris. Peta dari setiap elemennya ditulis tepat di bawahnya.

Pada pemetaan ini,

Untuk memperjelas pengertian tersebut, diberikan contoh sebagai berikut. Contoh 2.13.1

maka permutasi-permutasi dari elemen-elemen adalah: ,

, ,

,

Berdasarkan definisi permutasi, yaitu suatu pemetaan satu-satu dari suatu himpunan berhingga ke himpunan itu sendiri maka setiap permutasi adalah suatu pemetaan bijektif . Oleh karena itu, pemetaan identitas merupakan permutasi yang disebut permutasi identitas dan invers dari suatu permutasi adalah permutasi pula. Permutasi yang dibentuk oleh automorfisme oleh elemen-elemen S tersebut merupakan elemen-elemen S juga.

Bukti bahwa masing-masing permutasi dari grup tersebut merupakan permutasi pula disajikan lebih lengkap dalam tabel Cayley berikut ini.

Tabel 2.13.1 Tabel Permutasi S

Selanjutnya, apabila maka permutasi identitas tingkat adalah

Jika suatu permutasi dari elemen-elemen yang ditentukan oleh

Maka dengan menukar baris akan diperoleh , yaitu:

Apabila dan dua permutasi dari elemen-elemen , maka komposisi permutasi-permutasi tersebut dilakukan seperti komposisi fungsi, yaitu

Mengingat dan masing-masing adalah pemetaan bijektif dari ke maka juga merupakan pemetaan bijektif dari ke . Jadi komposisi dua permutasi dari adalah suatu permutasi dari .

Apabila suatu himpunan berhingga dengan elemen, maka banyaknya permutasi tingkat pada elemen-elemen ada . Hal ini dilambangkan dengan Selanjutnya jika adalah himpunan semua permutasi tingkat dari elemen-elemen , maka dapat dibuktikan bahwa dengan komposisi fungsi merupakan suatu grup. Grup ini disebut grup permutasi tingkat atau grup simetri tingkat .

Dengan demikian, grup permutasi yang dibentuk oleh seperti pada contoh 2.13.1 dengan 3 elemen adalah . Adapun banyak anggota permutasi

adalah buah.

Berikut ini bukti bahwa dengan komposisi fungsi adalah suatu grup. Bukti:

i) Apabila , yaitu masing-masing adalah pemetaan bijektif dari ke , maka suatu pemetaan bijektif dari ke pula.

Sehingga . Hal ini berarti bersifat tertutup terhadap komposisi, seperti yang telah dibuktikan sebelumnya dalam sifat 2.8.6. ii) Karena komposisi dari fungsi-fungsi mempunyai sifat asosiatif, maka

dengan komposisi juga memenuhi sifat asosiatif. iii) Unsur identitas dari adalah pemetaan identitas

iv) Jika , yaitu suatu pemetaan bijektif dari ke , maka juga merupakan pemetaan bijektif dari ke , sehingga . Jadi setiap unsur mempunya invers terhadap komposisi.

Dari i) sampai iv) dapat disimpulkan bahwa dengan komposisi fungsi adalah suatu grup.

2.14 Automorfisme Suatu Graf dengan Pendekatan Teori Grup Definisi 2.14.1

Sebuah automorfisme dari sebuah graf merupakan isomorfisme graf tersebut kepada dirinya sendiri (Morris, 2000).

Ketika semua hasil automorfisme graf tersebut dikumpulkan, akan terbentuk sebuah grup:

Definisi 2.14.2

Himpunan dari seluruh automorfisme sebuah graf membentuk sebuah grup, yang disimbolkan atau dibaca grup automorfisme (Morris, 2000).

Dengan kata lain automorfisme graf merupakan suatu permutasi dari himpunan titik-titik Setiap grup merupakan grup automorfisme dari beberapa graf. Lebih lanjut, jika grup tersebut memiliki banyak anggota yang terhingga, maka graf yang dimaksud adalah graf yang terhingga juga (Tabar, 2007).

Contoh 2.14.1:

Misal diberikan graf berikut ini:

Gambar 2.14.1 Graf G

Graf memiliki 2 simpul berderajat 2 yaitu simpul 1 dan 4 serta 2 simpul berderajat 3 yaitu simpul 2 dan 3. Dengan merujuk pada automorfisme simpul yang mengharuskan agar pemetaan terjadi pada simpul yang berderajat sama, maka kedua pasang simpul tersebut dapat saling memetakan. Dalam pengertian permutasi, simpul 1 dan 4 dapat saling bertukar. Begitu pula halnya dengan simpul 2 dan 3.

Dengan demikian automorfisme yang mungkin dari graf di atas adalah :

1.

identitas

2.

3.

4.

Himpunan adalah himpunan yang di dalamnya berlaku operasi biner (dilambangkan ) merupakan suatu grup jika memenuhi aksioma sebagai berikut.

i. Operasi bersifat tertutup ii. Operasi bersifat asosiatif iii. memuat elemen identitas

iv. Setiap unsur mempunyai invers di dalam pula.

1 2

Berikut ini pembuktian dari keempat aksioma tersebut. Bukti:

i. Berdasarkan definisi permutasi, misalkan masing-masing anggota adalah pemetaan yang bijektif, maka sesuai dengan sifat 2.8.6 bagian 1 dan 2, komposisi masing-masing anggota tersebut juga merupakan pemetaan yang bijektif. Ini berarti komposisi tertutup. ii. Karena komposisi dari fungsi-fungsi mempunyai sifat asosiatif, maka

dengan komposisi juga memenuhi sifat asosiatif. iii. Unsur identitas dari adalah pemetaan identitas

iv. Jika , yaitu suatu pemetaan bijektif dari ke , maka juga merupakan pemetaan bijektif dari ke , sehingga . Jadi setiap unsur mempunyai invers terhadap komposisi.

Graf dan dikatakan isomorfis jika terdapat pemetaan yang mengawetkan himpunan simpul kepada dan himpunan jalur kepada sedemikian sehingga :

dan

di mana dan serta dan (Diestel, 2005).

Dalam hal ini dan .

Jika isomorfisme tersebut berlaku pada ke dirinya sendiri, disebut automorfisme (Damayanti, 2011).

Dengan demikian, dapat disusun defenisi lain untuk automorfisme graf yaitu sebagai berikut.

Defenisi 2.14.3

Diberikan . Diberikan sebagai pemetaan yang bijektif dan homomorfik. dikatakan automorfisme jika untuk setiap (Diestel, 2005).

Diberikan dan Fungsi yang merupakan automorfisme yang menyebabkan

Misalkan terdapat dan . Menurut definisi 2.14.3, dalam suatu automorfisme graf berlaku kesamaan Kesamaan ini ditunjukkan dengan pembuktian kontradiksi yaitu sebagai berikut.

Misalkan diberikan pernyataan , sebagai berikut. : dan

Selanjutnya negasi dari pernyataan tersebut adalah sebagai berikut. : dan

Akan dibuktikan

Dalam pembuktian kontradiksi, untuk membuktikan benar, harus dibuktikan bahwa salah.

Pembuktian:

merupakan fungsi yang tertutup. Oleh sebab itu, hasil dari merupakan anggota himpunan . Dengan kata lain, . Hal ini mengakibatkan kontradiksi, sebab kesamaan pada persamaan mustahil terjadi. Dengan demikian terbukti bahwa salah.

Diberikan sebuah himpunan dari semua automorfisme graf . Dengan jelas identitas permutasi merupakan automorfisme dari graf yang disimbolkan dengan . Jika adalah automorfisme dari , maka berlaku pula sebagai inversnya dan jika adalah automorfisme kedua dari , maka perkalian adalah automorfisme (Jajcay, 2000).

Selanjutnya himpunan semua automorfisme membentuk sebuah grup, yang disebut grup automorfisme dan dinotasikan dengan . Grup simetris

adalah grup dari semua permutasi himpunan dan automorfisme grup

adalah subrup dari (Bondy dan Murty, 2008).

Bayangan simpul dari sebuah di bawah operasi permutasi

dinotasikan dengan . Jika dan adalah subgraf dari ,

maka dapat didefinisikan adalah graf dengan:

Dan

Sepintas terlihat bahwa isomorfis dengan dan juga merupakan subgraf dari (Godsil dan Royle, 2001).

Derajat dari simpul adalah jumlah simpul yang bertetangga dengan , dan nilai maksimum dan nilai minimum dari graf adalah nilai maksimum dan nilai minimum sembarang simpul di .

Lemma 14.1.1

Jika adalah simpul dari graf dan adalah sebuah automorfisme dari , maka simpul memiliki derajat yang sama dengan (Godsil dan Royle, 2001). Bukti:

Diberikan yang menotasikan subgraf dari graf . Terdapat simpul di yang berderajat tertentu. Maka

Dengan demikian dan adalah subgraf yang saling isomorfis. Sebagai akibatnya, keduanya memiliki jumlah simpul yang sama. Dengan demikian dan memiliki derajat yang sama.฀

Ini menunjukkan bahwa automorfisme grup dari sebuah graf mempermutasikan nilai yang setara di antara anggota grup tersebut. Sebuah graf yang setiap simpulnya memiliki nilai yang sama disebut dengan nilai standar atau -regular.

Jarak di antara 2 simpul dan dalam graf adalah panjang dari lintasan terpendek dari ke . Jika graf terdefinisi, digunakan notasi

. Untuk menjelaskan hubungan antara dan terhadap dan

berdasarkan lemma 14.1.1 dapat disusun sebuah pernyataan dalam lemma 14.1.2 berikut ini.

Lemma 14.1.2

Jika dan adalah simpul dari dan , maka ฀ Lemma ini benar karena merupakan pernyataan yang diturunkan dari lemma 1.3.1 yang sudah terbukti benar (Godsil dan Royle, 2001)

Lemma 14.1.3

Grup automorfisme dari sebuah graf setara dengan grup automorfisme dari komplemen graf tersebut.

Bukti :

Komplemen graf (disimbolkan ) memiliki himpunan simpul yang sama dengan . Namun dalam hal ini simpul dan bertetangga di jika dan hanya jika keduanya tidak bertetangga di (Godsil dan Royle, 2001). Hal ini menyebabkan grup automorfisme graf setara dengan grup automorfisme graf . Kesetaraan keduanya bukan berarti memiliki anggota yang sama, melainkan anggota yang saling berkomplemen dengan jumlah yang sama.

2.15 Graf Simetris sebagai Syarat untuk Membuat Automorfisme Grup Nontrivial

Automorfisme dari suatu graf menghasilkan graf lain yang simetris dengan graf tersebut (Bondy, 2008). Dengan demikian hal mendasar yang harus diperhatikan untuk membangun automorfisme dari suatu graf adalah kesimetrisan graf tersebut. Uraian berikut ini merupakan pendahuluan untuk menjelaskan definisi graf simetris.

Diberikan graf dengan sebagai himpunan simpul, sebagai himpunan jalur, dan sebagai himpunan hasil automorfismenya.

Definisi 2.15.1.a

merupakan graf simpul transitif jika terdapat dan sedemikian sehingga .

Definisi 2.15.1.b

merupakan graf jalur transitif jika terdapat dan sedemikian sehingga .

Definisi 2.15.2

merupakan graf simetri jika merupakan graf simpul transitif dan graf jalur transitif (Holton dan Sheehan, 1993).

Berdasarkan hal tersebut, ada pula beberapa graf yang tidak dapat digambar secara simetris. Graf ini dikenal dengan sebutan graf asimetris. Berikut ini merupakan definisi graf asimetris.

Definisi 2.15.3

Graf asimetris adalah graf yang tidak memiliki automorfisme lain kecuali graf itu sendiri (Bondy, 2008).

Dengan kata lain graf tersebut trivial sebab hanya memiliki elemen identitas sebagai hasil automorfismenya.

Suatu graf dapat dibuktikan asimetris dengan membuatnya menjadi simetris dengan menghapus jalur tertentu dan dengan menambah jalur tertentu yang terhubung dengan simpulnya (Erdös dan Rėnyi, 2013). Transformasi ini disebut sebagai simetrisasi. Untuk membuat suatu simetrisasi graf, diberikan sejumlah jalur yang dihapus—dinotasikan dengan r dan sejumlah jalur yang baru—dinotasikan dengan s, sehingga dapat disusun sebuah definisi sebagai berikut.

Suatu derajat asimetris dari suatu graf (disimbolkan ) sebagai nilai minimal dari di mana nilai tersebut diambil dari semua simetrisasi yang mungkin dari graf G.

Dengan mengikuti aturan ini, derajat asimetris dari suatu graf simetris sama dengan nol, sementara derajat asimetris dari suatu graf asimetris adalah bilangan bulat positif.

Dalam bahasa Inggris suatu graf yang hanya memiliki elemen identitas sebagai hasil automorfismenya dikenal dengan istilah rigid.

Graf di bawah ini merupakan rigid yang paling sederhana.

Gambar 2.15.1 Rigid

Pasangan simpul pada rigid tersebut yang berderajat sama disajikan dalam tabel sebagai berikut.

Pasangan simpul Derajat

1 dan 6 1

4 dan 5 2

2 dan 3 3

Tabel 2.15.1 Pasangan simpul dan Derajat

1 2 3

4

Misalkan diambil sepasang simpul yang saling bertetangga. Contohnya simpul 1 dan 2. Simpul-simpul tersebut kemudian saling dipermutasikan dengan simpul lain yang derajatnya sama. Jadi, simpul 1 dipetakan ke simpul 6 dan simpul 2 dipetakan ke simpul 3.

Namun, pemetaan tersebut tidak mengawetkan fungsi jalurnya. Simpul 6 dan simpul 3 merupakan elemen , tetapi bukan elemen , dengan kata lain simpul 6 dan simpul 3 tidak saling bertetangga.

Hal inilah yang menyebabkan graf asimetris hanya memiliki satu automorfisme, yaitu elemen identitas atau dirinya sendiri. Istilah lain menyebut keadaan ini sebagai automorfisme trivial.

Defenisi 2.14.3

Diberikan . Diberikan sebagai pemetaan yang bijektif dan homomorfik. dikatakan automorfisme jika

untuk setiap (Diestel, 2005).

Diberikan dan Fungsi yang merupakan automorfisme yang menyebabkan

Misalkan terdapat dan . Menurut definisi 2.14.3, dalam suatu automorfisme graf berlaku kesamaan

Kesamaan ini ditunjukkan dengan pembuktian

kontradiksi yaitu sebagai berikut.

Misalkan diberikan pernyataan , sebagai berikut. : dan

Selanjutnya negasi dari pernyataan tersebut adalah sebagai berikut.

: dan

Akan dibuktikan

Dalam pembuktian kontradiksi, untuk membuktikan benar, harus dibuktikan bahwa salah.

Pembuktian:

merupakan fungsi yang tertutup. Oleh sebab itu, hasil dari merupakan anggota himpunan . Dengan kata lain, . Hal ini mengakibatkan kontradiksi, sebab kesamaan pada persamaan mustahil terjadi. Dengan demikian terbukti bahwa salah.

Diberikan sebuah himpunan dari semua automorfisme graf . Dengan jelas identitas permutasi merupakan automorfisme dari graf yang disimbolkan dengan . Jika adalah automorfisme dari , maka berlaku pula sebagai inversnya dan jika adalah automorfisme kedua dari , maka perkalian adalah automorfisme (Jajcay, 2000).

Selanjutnya himpunan semua automorfisme membentuk sebuah grup, yang disebut grup automorfisme dan dinotasikan dengan . Grup simetris

adalah grup dari semua permutasi himpunan dan automorfisme grup adalah subrup dari (Bondy dan Murty, 2008).

Bayangan simpul dari sebuah di bawah operasi permutasi

dinotasikan dengan . Jika dan adalah subgraf dari , maka dapat didefinisikan

adalah graf dengan:

Dan

Sepintas terlihat bahwa isomorfis dengan dan juga merupakan subgraf dari (Godsil dan Royle, 2001).

Derajat dari simpul adalah jumlah simpul yang bertetangga dengan , dan nilai maksimum dan nilai minimum dari graf adalah nilai maksimum dan nilai minimum sembarang simpul di .

Lemma 14.1.1

Jika adalah simpul dari graf dan adalah sebuah automorfisme dari , maka simpul memiliki derajat yang sama dengan (Godsil dan Royle, 2001). Bukti:

Diberikan yang menotasikan subgraf dari graf . Terdapat simpul di yang berderajat tertentu. Maka

Dengan demikian dan adalah subgraf yang saling isomorfis. Sebagai akibatnya, keduanya memiliki jumlah simpul yang sama. Dengan demikian dan memiliki derajat yang sama.฀

Ini menunjukkan bahwa automorfisme grup dari sebuah graf mempermutasikan nilai yang setara di antara anggota grup tersebut. Sebuah graf yang setiap simpulnya memiliki nilai yang sama disebut dengan nilai standar atau -regular.

Jarak di antara 2 simpul dan dalam graf adalah panjang dari lintasan terpendek dari ke . Jika graf terdefinisi, digunakan notasi

. Untuk menjelaskan hubungan antara dan terhadap dan berdasarkan lemma 14.1.1 dapat disusun sebuah pernyataan dalam lemma 14.1.2 berikut ini.

Lemma 14.1.2

Jika dan adalah simpul dari dan , maka ฀ Lemma ini benar karena merupakan pernyataan yang diturunkan dari lemma 1.3.1 yang sudah terbukti benar (Godsil dan Royle, 2001)

Lemma 14.1.3

Grup automorfisme dari sebuah graf setara dengan grup automorfisme dari komplemen graf tersebut.

Bukti :

Komplemen graf (disimbolkan ) memiliki himpunan simpul yang sama dengan . Namun dalam hal ini simpul dan bertetangga di jika dan hanya jika keduanya tidak bertetangga di (Godsil dan Royle, 2001). Hal ini menyebabkan grup automorfisme graf setara dengan grup automorfisme graf . Kesetaraan keduanya bukan berarti memiliki anggota yang sama, melainkan anggota yang saling berkomplemen dengan jumlah yang sama.

2.15 Graf Simetris sebagai Syarat untuk Membuat Automorfisme Grup Nontrivial

Automorfisme dari suatu graf menghasilkan graf lain yang simetris dengan graf tersebut (Bondy, 2008). Dengan demikian hal mendasar yang harus diperhatikan untuk membangun automorfisme dari suatu graf adalah kesimetrisan graf tersebut. Uraian berikut ini merupakan pendahuluan untuk menjelaskan definisi graf simetris.

Diberikan graf dengan sebagai himpunan simpul, sebagai himpunan jalur, dan sebagai himpunan hasil automorfismenya.

Definisi 2.15.1.a

merupakan graf simpul transitif jika terdapat dan sedemikian sehingga .

Definisi 2.15.1.b

merupakan graf jalur transitif jika terdapat dan sedemikian sehingga .

Definisi 2.15.2

merupakan graf simetri jika merupakan graf simpul transitif dan graf jalur transitif (Holton dan Sheehan, 1993).

Berdasarkan hal tersebut, ada pula beberapa graf yang tidak dapat digambar secara simetris. Graf ini dikenal dengan sebutan graf asimetris. Berikut ini merupakan definisi graf asimetris.

Definisi 2.15.3

Graf asimetris adalah graf yang tidak memiliki automorfisme lain kecuali graf itu sendiri (Bondy, 2008).

Dengan kata lain graf tersebut trivial sebab hanya memiliki elemen identitas sebagai hasil automorfismenya.

Suatu graf dapat dibuktikan asimetris dengan membuatnya menjadi simetris dengan menghapus jalur tertentu dan dengan menambah jalur tertentu yang terhubung dengan simpulnya (Erdös dan Rėnyi, 2013). Transformasi ini disebut sebagai simetrisasi. Untuk membuat suatu simetrisasi graf, diberikan sejumlah jalur yang dihapus—dinotasikan dengan r dan sejumlah jalur yang baru—dinotasikan dengan s, sehingga dapat disusun sebuah definisi sebagai berikut.

Suatu derajat asimetris dari suatu graf (disimbolkan ) sebagai nilai minimal dari di mana nilai tersebut diambil dari semua simetrisasi yang mungkin dari graf G.

Dengan mengikuti aturan ini, derajat asimetris dari suatu graf simetris sama dengan nol, sementara derajat asimetris dari suatu graf asimetris adalah bilangan bulat positif.

Dalam bahasa Inggris suatu graf yang hanya memiliki elemen identitas sebagai hasil automorfismenya dikenal dengan istilah rigid.

Graf di bawah ini merupakan rigid yang paling sederhana.

Gambar 2.15.1 Rigid

Pasangan simpul pada rigid tersebut yang berderajat sama disajikan dalam tabel sebagai berikut.

Pasangan simpul Derajat

1 dan 6 1

4 dan 5 2

2 dan 3 3

Tabel 2.15.1 Pasangan simpul dan Derajat

1 2 3

4

Misalkan diambil sepasang simpul yang saling bertetangga. Contohnya simpul 1 dan 2. Simpul-simpul tersebut kemudian saling dipermutasikan dengan simpul lain yang derajatnya sama. Jadi, simpul 1 dipetakan ke simpul 6 dan simpul 2 dipetakan ke simpul 3.

Namun, pemetaan tersebut tidak mengawetkan fungsi jalurnya. Simpul 6 dan simpul 3 merupakan elemen , tetapi bukan elemen , dengan kata lain simpul 6 dan simpul 3 tidak saling bertetangga.

Hal inilah yang menyebabkan graf asimetris hanya memiliki satu automorfisme, yaitu elemen identitas atau dirinya sendiri. Istilah lain menyebut keadaan ini sebagai automorfisme trivial.