c Elemen identitasnya adalah matriks berordo
yang semua unsurnya nol dan biasa disebut matriks nol dan diberi simbol O, sehingga untuk
sembarang A dalam , berlaku .
d Jika
maka invers A terhadap operasi penjumlahan matriks adalah
–A= , sedemikian sehingga
. e
Misalkan A= dan B=
adalah matriks-matriks dalam maka
=
Jadi operasi penjumlahan matriks pada MR bersifat komutatif.
2.12 Isomorfisme
Istilah isomorfisme diperkenalkan oleh Galois, seorang ahli matematika Prancis. Kata isomorfisme berasal dari bahasa Yunani yaitu isos yang artinya
sama atau setara dan morphe yang artinya bentuk. Secara harafiah isomorfisme berarti sama atau setara dalam hal wujud atau bentuk.
Isomorfisme yang dibicarakan dalam proposal ini adalah isomorfisme yang melibatkan dua atau lebih himpunan yang memenuhi syarat sebagai grup.
Definisi 2.12.1
Sebuah isomorfisma dari grup ke adalah sebuah fungsi yang bersifat satu-
satu dan pada yang mengawetkan operasi grup yaitu
Grup dan kemudian dikatakan isomorf, dan diberi notasi ≈ Gallian,
1998.
Terdapat empat langkah untuk membuktikan bahwa suatu grup isomorfik dengan grup
, yaitu sebagai berikut: 1.
Menunjukkan bahwa terdapat fungsi dari ke
2. Membuktikan bahwa
merupakan fungsi satu-satu. Misalkan maka .
3. Membuktikan bahwa
merupakan fungsi pada. Untuk setiap terdapat
sedemikian sehingga . 4.
Membuktikan bahwa merupakan fungsi yang mengawetkan. Artinya,
untuk setiap berlaku .
Dalam keadaan tertentu terdapat isomorfisme yang khusus, yaitu automorfisme. Automorfisme merupakan isomorfisme kepada grup itu sendiri.
Secara formal, definisi automorfisme adalah sebagai berikut.
Definisi 2.12.2
Automorfisme adalah suatu isomorfisme dari grup pada dirinya sendiri Gallian,
1998.
Contoh 2.12.2
dengan perkalian modulo 8 adalah suatu grup
Tabel 2.12.2 Pemetaan
Enam pemetaan yang tergambar pada diagram panah, masing-masing dari
ke yang didefenisikan seperti pada tabel di atas masing-masing adalah suatu automorfisme. Jadi
memiliki 6 automorfisme.
Himpunan semua automorfisme pada dinotasikan dengan .
Selanjutnya, operasi pada adalah pemetaan:
Yang didefinisikan oleh pengaitan untuk semua dan di
, dengan menyatakan komposisi. Sistem mempunyai sifat seperti berikut.
Sifat 2.12.2
Misalkan suatu grup. Terhadap komposisi, membentuk grup.
Bukti:
1. Komposisi pemetaan bersifat asosiatif. Dengan demikian
memenuhi sifat asosiatif, yaitu untuk semua di
. 2.
Pemetaan kesatuan membentuk unsur kesatuan di .
3. Setiap unsur
mempunyai balikan yang juga termuat di
. Dengan demikian, himpunan
dengan komposisi sebagai operasi padanya membentuk suatu grup Arifin, 2000.
Beranalog dengan konsep isomorfisme, dapat dibuat suatu pengertian lain dari automorfisme yaitu sebagai berikut.
Definisi 2.12.3
Jika diberikan suatu grup dengan pemetaan , dikatakan
automorfisme jika untuk setiap Wikipedia,
2013.
Sifat ini ditunjukkan dalam contoh 2.12.2. Misalkan diambil sembarang anggota
dari salah satu automorfismenya, yaitu di mana didefinisikan:
Selanjutnya akan ditunjukkan sifat pengawetan fungsi dalam automorfisme tersebut. Misalkan
didefinisikan dengan operasi sebagai perkalian modulo 8. Diambil sembarang dua elemen
yaitu 3 dan 5. Akan dibuktikan
Pembuktian tersebut adalah sebagai berikut.
2.13 Grup Simetri Grup Permutasi Definisi 2.13.1
