Grup Simetri Grup Permutasi Definisi .1
Sifat ini ditunjukkan dalam contoh 2.12.2. Misalkan diambil sembarang anggota
dari salah satu automorfismenya, yaitu di mana didefinisikan:
Selanjutnya akan ditunjukkan sifat pengawetan fungsi dalam automorfisme tersebut. Misalkan
didefinisikan dengan operasi sebagai perkalian modulo 8. Diambil sembarang dua elemen
yaitu 3 dan 5. Akan dibuktikan
Pembuktian tersebut adalah sebagai berikut.
2.13 Grup Simetri Grup Permutasi Definisi 2.13.1
Misalkan suatu himpunan berhingga yang banyak elemennya adalah . Suatu
pemetaan satu-satu dari ke sendiri disebut suatu permutasi dari elemen-elemen
. Banyaknya elemen dari merupakan tingkat permutasi tersebut Sukirman, 2011.
Misalkan dan suatu pemetaan satu-satu dari
ke maka adalah suatu permutasi tingkat . Misalnya
dengan , dua himpunan yang sama ini
mempunyai urutan elemen yang berbeda. Untuk selanjutnya permutasi akan dituliskan dengan notasi matriks dua baris. Peta dari setiap elemennya ditulis tepat
di bawahnya.
Pada pemetaan ini,
Untuk memperjelas pengertian tersebut, diberikan contoh sebagai berikut.
Contoh 2.13.1
maka permutasi-permutasi dari elemen-elemen adalah: ,
, ,
,
Berdasarkan definisi permutasi, yaitu suatu pemetaan satu-satu dari suatu himpunan berhingga ke himpunan itu sendiri maka setiap permutasi adalah suatu
pemetaan bijektif . Oleh karena itu, pemetaan identitas merupakan permutasi yang disebut permutasi identitas dan invers dari suatu permutasi adalah permutasi pula.
Permutasi yang dibentuk oleh automorfisme oleh elemen-elemen S tersebut merupakan elemen-elemen S juga.
Bukti bahwa masing-masing permutasi dari grup tersebut merupakan permutasi pula disajikan lebih lengkap dalam tabel Cayley berikut ini.
Tabel 2.13.1 Tabel Permutasi S
Selanjutnya, apabila maka permutasi identitas tingkat
adalah
Jika suatu permutasi dari elemen-elemen yang ditentukan oleh
Maka dengan menukar baris akan diperoleh , yaitu:
Apabila dan dua permutasi dari elemen-elemen , maka komposisi permutasi-
permutasi tersebut dilakukan seperti komposisi fungsi, yaitu
Mengingat dan masing-masing adalah pemetaan bijektif dari ke
maka juga merupakan pemetaan bijektif dari ke . Jadi komposisi dua
permutasi dari adalah suatu permutasi dari .
Apabila suatu himpunan berhingga dengan elemen, maka banyaknya
permutasi tingkat pada elemen-elemen ada . Hal ini dilambangkan dengan
Selanjutnya jika adalah himpunan semua permutasi tingkat
dari elemen-elemen
, maka dapat dibuktikan bahwa dengan komposisi fungsi
merupakan suatu grup. Grup ini disebut grup permutasi tingkat
atau grup simetri tingkat
. Dengan demikian, grup permutasi yang dibentuk oleh
seperti pada contoh 2.13.1 dengan 3 elemen adalah
. Adapun banyak anggota permutasi adalah buah.
Berikut ini bukti bahwa dengan komposisi fungsi adalah suatu grup.
Bukti:
i Apabila
, yaitu masing-masing adalah pemetaan bijektif
dari ke , maka suatu pemetaan bijektif dari ke pula.
Sehingga . Hal ini berarti
bersifat tertutup terhadap komposisi, seperti yang telah dibuktikan sebelumnya dalam sifat 2.8.6.
ii Karena komposisi dari fungsi-fungsi mempunyai sifat asosiatif, maka
dengan komposisi juga memenuhi sifat asosiatif. iii
Unsur identitas dari adalah pemetaan identitas
iv Jika
, yaitu suatu pemetaan bijektif dari ke , maka
juga merupakan pemetaan bijektif dari
ke , sehingga . Jadi setiap
unsur mempunya invers terhadap komposisi.
Dari i sampai iv dapat disimpulkan bahwa dengan komposisi fungsi adalah
suatu grup.
2.14 Automorfisme Suatu Graf dengan Pendekatan Teori Grup Definisi 2.14.1