Grup Simetri Grup Permutasi Definisi .1

Sifat ini ditunjukkan dalam contoh 2.12.2. Misalkan diambil sembarang anggota dari salah satu automorfismenya, yaitu di mana didefinisikan: Selanjutnya akan ditunjukkan sifat pengawetan fungsi dalam automorfisme tersebut. Misalkan didefinisikan dengan operasi sebagai perkalian modulo 8. Diambil sembarang dua elemen yaitu 3 dan 5. Akan dibuktikan Pembuktian tersebut adalah sebagai berikut. 2.13 Grup Simetri Grup Permutasi Definisi 2.13.1 Misalkan suatu himpunan berhingga yang banyak elemennya adalah . Suatu pemetaan satu-satu dari ke sendiri disebut suatu permutasi dari elemen-elemen . Banyaknya elemen dari merupakan tingkat permutasi tersebut Sukirman, 2011. Misalkan dan suatu pemetaan satu-satu dari ke maka adalah suatu permutasi tingkat . Misalnya dengan , dua himpunan yang sama ini mempunyai urutan elemen yang berbeda. Untuk selanjutnya permutasi akan dituliskan dengan notasi matriks dua baris. Peta dari setiap elemennya ditulis tepat di bawahnya. Pada pemetaan ini, Untuk memperjelas pengertian tersebut, diberikan contoh sebagai berikut. Contoh 2.13.1 maka permutasi-permutasi dari elemen-elemen adalah: , , , , Berdasarkan definisi permutasi, yaitu suatu pemetaan satu-satu dari suatu himpunan berhingga ke himpunan itu sendiri maka setiap permutasi adalah suatu pemetaan bijektif . Oleh karena itu, pemetaan identitas merupakan permutasi yang disebut permutasi identitas dan invers dari suatu permutasi adalah permutasi pula. Permutasi yang dibentuk oleh automorfisme oleh elemen-elemen S tersebut merupakan elemen-elemen S juga. Bukti bahwa masing-masing permutasi dari grup tersebut merupakan permutasi pula disajikan lebih lengkap dalam tabel Cayley berikut ini. Tabel 2.13.1 Tabel Permutasi S Selanjutnya, apabila maka permutasi identitas tingkat adalah Jika suatu permutasi dari elemen-elemen yang ditentukan oleh Maka dengan menukar baris akan diperoleh , yaitu: Apabila dan dua permutasi dari elemen-elemen , maka komposisi permutasi- permutasi tersebut dilakukan seperti komposisi fungsi, yaitu Mengingat dan masing-masing adalah pemetaan bijektif dari ke maka juga merupakan pemetaan bijektif dari ke . Jadi komposisi dua permutasi dari adalah suatu permutasi dari . Apabila suatu himpunan berhingga dengan elemen, maka banyaknya permutasi tingkat pada elemen-elemen ada . Hal ini dilambangkan dengan Selanjutnya jika adalah himpunan semua permutasi tingkat dari elemen-elemen , maka dapat dibuktikan bahwa dengan komposisi fungsi merupakan suatu grup. Grup ini disebut grup permutasi tingkat atau grup simetri tingkat . Dengan demikian, grup permutasi yang dibentuk oleh seperti pada contoh 2.13.1 dengan 3 elemen adalah . Adapun banyak anggota permutasi adalah buah. Berikut ini bukti bahwa dengan komposisi fungsi adalah suatu grup. Bukti: i Apabila , yaitu masing-masing adalah pemetaan bijektif dari ke , maka suatu pemetaan bijektif dari ke pula. Sehingga . Hal ini berarti bersifat tertutup terhadap komposisi, seperti yang telah dibuktikan sebelumnya dalam sifat 2.8.6. ii Karena komposisi dari fungsi-fungsi mempunyai sifat asosiatif, maka dengan komposisi juga memenuhi sifat asosiatif. iii Unsur identitas dari adalah pemetaan identitas iv Jika , yaitu suatu pemetaan bijektif dari ke , maka juga merupakan pemetaan bijektif dari ke , sehingga . Jadi setiap unsur mempunya invers terhadap komposisi. Dari i sampai iv dapat disimpulkan bahwa dengan komposisi fungsi adalah suatu grup. 2.14 Automorfisme Suatu Graf dengan Pendekatan Teori Grup Definisi 2.14.1