iv. Untuk menyatakan
banyaknya kejadian yang terjadi dalam selang waktu
. Ross 1996
Definisi 25 Proses Poisson Suatu
proses pencacahan
disebut proses Poisson Poisson process dengan laju
, jika: i
ii Proses memiliki kenaikan bebas.
iii Banyaknya kejadian yang terjadi dalam
setiap selang
waktu sepanjang
menyebar Poisson dengan nilai harapan . Sehingga untuk semua
berlaku
untuk Ross 1996
Definisi 26 Proses Poisson Majemuk Suatu proses stokastik
disebut sebagai proses Poisson majemuk compound
Poisson process, jika dapat dinyatakan sebagai
∑ dengan
adalah proses Poisson dengan laju
, dan adalah suatu
barisan peubah
acak independent
and identically distribution i.i.d dengan suau
fungsi sebaran , yang juga bebas terhadap
Ross 1996
2.6 Metode Konvolusi Metode Konvolusi Untuk Dua Peubah
Acak
Misalkan dan
adalah dua peubah acak yang saling bebas. Jumlah keduanya
didefinisikan sebagai : Untuk mencari fungsi distribusi dari
, yaitu
, adalah sebagai berikut : Ambil
dan Garis
dan daerah di bawah garis itu merupakan daerah
. Untuk
dan yang diskret dan non
negatif maka menurut hukum peluang total : ∑
∑ Karena
dan saling bebas maka
∑ sehingga fungsi peluang yang berkaitan
dengan fungsi distribusi ini adalah : ∑
∑ =
∑ Pernyataan
2.6.1 tersebut
merupakan konvolusi dari dua peubah acak diskret.
Untuk dan
peubah acak kontinu dan non negatif maka fungsi distribusi dari
analog dengan peubah acak diskret, tetapi tanda
∑ diganti dengan tanda ∫ , sehingga didapat :
∫ ∫
Pernyataan di atas merupakan konvolusi dua peubah kontinu.
Notasi konvolusi untuk dua peubah acak adalah :
Metode Konvolusi Secara Umum
Dalam menentukan distribusi jumlah dari peubah
acak dapat
digunakan proses
konvolusi secara rekursif atau berulang-ulang. Misalkan
peubah-peubah acak yang saling bebas dan non negatif yang
menyatakan uang klaim dalam suatu polis asuransi. Jumlah uang klaim dari polis
tersebut dilambangkan dengan :
merupakan peubah acak yang saling bebas
merupakan fungsi peluang dari merupakan fungsi distribusi dari
. Untuk model ini berlaku :
1. Dalam hal tepat dua peubah acak klaim,
jika salah satu uang klaim dinotasikan dengan
, maka kemungkinan bahwa uang klaim bernilai
adalah dengan demikian
2. Jika salah satu uang klaim mempunyai
nilai , maka kemungkinan total uang
dua klaim yang kurang dari atau sama dengan
adalah sama dengan kemungkinan uang klaim lain yang
kurang dari atau sama dengan atau dengan kata lain
Notasinya adalah 3.
Dengan demikian kemungkinan untuk dua uang klaim adalah
4. Untuk suatu nilai tertentu,
bernilai antara 0 dan
maka ∑
5. Untuk tepat tiga peubah acak klaim, di
mana salah satu uang bernilai dan
besar untuk dua klaim yang lain bernilai maka
∑ 6.
Untuk tepat empat peubah acak klaim ∑
Sehingga untuk peubah acak klaim
∑ Untuk memudahkan, maka konvolusi
peubah acak dinotasikan sebagai berikut: jika
mempunyai distribusi yang sama, misal
maka distribusi jumlahnya dilambangkan
. Apabila diasumsikan bahwa banyaknya
peubah acak misalnya dan saling bebas
terhadap atau terhadap
, dalam hal seperti ini dapat dicari fungsi distribusi dari
∑ ∑
Karena dan
saling bebas maka menjadi :
∑ Untuk
yang berdistribusi sama maka:
∑ dengan
∑ Ester 1998
2.7 Value at Risk VaR Value at risk adalah pengukuran suatu risiko
