∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
Jadi, terbukti .
Teorema 2
Misalkan adalah peubah acak dua
dimensi maka: [ ]
Bukti Teorema 2 [ ]
] {
[ ] }
[ ] Jadi terbukti
[ ] [ ] Atas dasar Teorema 1 dan Teorema 2 dan
dalam kaitannya dengan ketiga asumsi yang digunakan, maka diperoleh nilai harapan dari :
2 Bukti 2
dan ragam :
3 Bukti 3
[ ] [ ] [ ]
di mana Selanjutnya akan diperlihatkan rumus
fungsi pembangkit momen dari .
4 Bukti 4
[ ]
[ ]
karena saling bebas, maka
[ ]
dan berdistribusi identik, diperoleh:
Selanjutnya untuk menentukan fungsi distribusi dari
dapat dilihat sebagai berikut: ∑
∑ Menurut operasi konvolusi untuk risiko
kolektif dan sesuai dengan asumsi berdistribusi sama
, ∑
Jika distribusi besarnya klaim individu adalah diskret dengan fungsi probabilitas
maka distribusi dari total klaim
juga diskret,
sehingga fungsi
probabilitas dari dapat diperoleh sebagai
berikut : ∑
∑
3.2 Proses Compound Poisson
Pada umumnya, sebaran dari peubah acak banyaknya klaim adalah sebaran Poisson
dengan fungsi massa peluang
dengan Nilai harapan dan ragam dari sebaran Poisson
berturut-turut adalah Misalkan
dan merupakan nilai harapan
dan momen ke-2 dari , dapat dinyatakan
dan Jika peubah acak
banyaknya klaim memiliki sebaran Poisson, maka peubah acak
pada persamaan 1 memiliki sebaran
compound Poisson. Sehingga, nilai harapan dan ragam dari sebaran compound Poisson
adalah 8
dan 9
Bukti 8 Diketahui S=
+ +…+
, dengan ,
, …
menyebar i.i.d dan menyebar Poisson.
Akan dibuktikan .
∑ ∑ [∑
] ∑ [∑
] ∑ [∑
] ∑
∑
Bukti 9 Diketahui S=
+ +…+
, dengan ,
, …
menyebar i.i.d dan menyebar Poisson.
Akan dibuktikan : .
∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑
∑
Fungsi pembangkit momen untuk sebaran Poisson yaitu:
Dengan mensubstitusikan
fungsi pembangkit
momen Poisson
diperoleh persamaan berikut
10 Sehingga, fungsi pembangkit momen untuk
sebaran compound Poisson dapat dituliskan sebagai berikut:
11 Sebaran Poisson hanya dapat dipakai jika
nilai ragamnya sama dengan nilai harapannya. Namun jika nilai ragam dari banyaknya
kerugian lebih besar dari nilai harapannya maka sebaran yang digunakan untuk peubah
acak N banyaknya klaim adalah sebaran binomial negatif dengan fungsi massa peluang
12 dengan
. Nilai harapan dan ragam dari sebaran
binomial negatif berturut-turut sebagai berikut
Misalkan dan
berturut-turut merupakan nilai harapan dan momen ke-2 dari
, dapat dinyatakan
Jika peubah acak banyaknya klaim
memiliki sebaran binomial negatif maka peubah acak S pada persamaan 1 memiliki
sebaran compound
binomial negatif.
Sehingga, diperoleh nilai harapan dan ragam dari sebaran compound binomial negatif
sebagai berikut
13 dan
14
Bukti 13 Diketahui:
dengan menyebar i.i.d dan menyebar
binomial negatif. Akan dibuktikan :
. ∑
∑ [∑ ]
∑ [∑ ]
∑ [∑ ]
∑ ∑
Bukti 14 Diketahui:
dengan menyebar i.i.d dan menyebar
binomial negatif Akan dibuktikan:
∑ |
∑ ∑ |
∑ [
∑ ∑ ∑
] ∑[
] ∑
∑ {
}
{ }
{ }
{ }
Fungsi pembangkit momen untuk sebaran binomial negatif adalah :
Dengan mensubstitusikan
fungsi pembangkit momen binomial negatif pada
persamaan 4
maka diperoleh
fungsi pembangkit momen untuk sebaran compound
binomial negatif adalah sebagai berikut:
15 3.3
Sifat Sebaran Compound Poisson
Sebaran compound Poisson memiliki dua sifat, yaitu:
1. Jika setiap peubah acak menyebar
compound Poisson, maka jumlah dari peubah acak tersebut juga menyebar
compound Poisson. 2.
Jika peubah acak S dinyatakan S=
N
1
+ N
2
+…+ maka peubah acak S memiliki sebaran
compound Poisson Berikut akan dijelaskan lebih lanjut sifat-
sifat dari sebaran compound Poisson. 1.
Jika setiap peubah acak menyebar compound Poisson, maka jumlah dari
peubah acak tersebut juga menyebar compound Poisson
∏ ∑
∑ untuk lebih jelasnya maka sifat 1 dirangkum
dalam Teorema 3 berikut :
Teorema 3 Jika peubah acak
saling bebas, dan menyebar compound Poisson dengan
parameter dan fungsi kepekatan peluang
dari kerugian , maka
, menyebar
compound Poisson dengan
∑ ∑
Bukti Teorema 3 Diketahui :
Berdasarkan persamaan 10, maka Akan dibuktikan
maka ∑
∏ ∏
∑ [∑
] Persamaan di atas merepresentasikan dua
peranan penting dalam memodelkan klaim. Pertama,
jika portofolio menyebar
compound Poisson dan saling bebas, maka klaim
majemuk dari
portofolio yang
dikombinasikan juga menyebar compound Poisson. Kedua, misal sebuah portofolio
tunggal dengan jangka waktu tahun.
Diasumsikan klaim agregat tahunan untuk jangka waktu
tahun dan klaim majemuk tiap tahun saling bebas dan menyebar
compound Poisson. Sebaran tahunan untuk klaim majemuk tidak harus selalu sama.
Menurut Teorema 3, total klaim untuk jangka waktu
tahun menyebar compound Poisson. 2.
Jika peubah acak S dinyatakan maka peubah acak S memiliki sebaran
compound Poisson. Misalkan
merupakan peubah acak diskret dari sejumlah kerugian klaim.
, merupakan peluang untuk
setiap . 20
peubah acak
yang menyatakan
banyaknya klaim. Peubah acak
dinyatakan sebagai 21
Menurut Teorema 4 berikut, peubah acak S menyebar compound Poisson. Namun, untuk
dapat menggunakan Teorema 4 diperlukan pemahaman
dasar mengenai
sebaran multinomial.
Teorema 4 Jika peubah acak S seperti pada persamaan
21 menyebar compound Poisson dengan parameter
dan fungsi peluang kerugian klaim diskret seperti pada persamaan 20
maka
saling bebas.
menyebar Poisson dengan parameter
Bukti Teorema 4 Diketahui :
∑
∑
Fungsi peluang dan pembangkit momen
untuk sebaran multinomial adalah
[ ∑ ]
Akan dibuktikan .
[ ∑ ] ∑
∑ [ ∑ ]
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ [ ∑
] ∏ 22
Fungsi pembangkit
momen seperti
persamaaan 22
menunjukkan adanya
kebebasan untuk setiap Sehingga jika
dimisalkan maka fungsi pembangkit
momen pada persamaan 22 akan menjadi
3.4 Pendekatan Distribusi Total Klaim
