1. Dalam hal tepat dua peubah acak klaim,
jika salah satu uang klaim dinotasikan dengan
, maka kemungkinan bahwa uang klaim bernilai
adalah dengan demikian
2. Jika salah satu uang klaim mempunyai
nilai , maka kemungkinan total uang
dua klaim yang kurang dari atau sama dengan
adalah sama dengan kemungkinan uang klaim lain yang
kurang dari atau sama dengan atau dengan kata lain
Notasinya adalah 3.
Dengan demikian kemungkinan untuk dua uang klaim adalah
4. Untuk suatu nilai tertentu,
bernilai antara 0 dan
maka ∑
5. Untuk tepat tiga peubah acak klaim, di
mana salah satu uang bernilai dan
besar untuk dua klaim yang lain bernilai maka
∑ 6.
Untuk tepat empat peubah acak klaim ∑
Sehingga untuk peubah acak klaim
∑ Untuk memudahkan, maka konvolusi
peubah acak dinotasikan sebagai berikut: jika
mempunyai distribusi yang sama, misal
maka distribusi jumlahnya dilambangkan
. Apabila diasumsikan bahwa banyaknya
peubah acak misalnya dan saling bebas
terhadap atau terhadap
, dalam hal seperti ini dapat dicari fungsi distribusi dari
∑ ∑
Karena dan
saling bebas maka menjadi :
∑ Untuk
yang berdistribusi sama maka:
∑ dengan
∑ Ester 1998
2.7 Value at Risk VaR Value at risk adalah pengukuran suatu risiko
yang dilakukan secara kuantitatif dengan memperkirakan potensi maksimum kerugian
yang mungkin terjadi dengan suatu tingkat keyakinan tertentu.
Jorion 2001
III PEMBAHASAN
Pada hakikatnya, risiko dalam sektor keuangan dibagi menjadi tiga bagian yaitu
risiko pasar, risiko kredit dan risiko operasional.
Risiko operasional,
tidak sebagaimana dengan risiko pasar dan risiko
kredit, terjadi pada setiap orang yang ada dalam perusahaan karena orang merupakan
salah satu sumber dari risiko operasional. Risiko operasional mempunyai dimensi yang
luas dan kompleks dengan sumber risiko yang merupakan gabungan dari berbagai sumber
yang ada dalam organisasi, proses dan kebijakan, sistem dan teknologi, orang dan
faktor lainnya Muslich 2007.
Pencatatan kerugian
operasional, khususnya di perusahaan asuransi masih
belum terlaksana dengan baik sehingga berdampak pada terbatasnya data untuk
kerugian dalam risiko operasional. Oleh karena itu pada karya ilmiah ini data kerugian
operasional yang diamati diperoleh dari pembayaran klaim.
Metode pengukuran risiko operasional yang digunakan dalam karya ilmiah ini adalah
metode alternatif pendekatan pengukuran lanjutan. Salah satu teknik yang digunakan
yaitu pendekatan distribusi kerugian dengan metode agregat yang dipercaya sangat relevan
dalam pengukuran risiko operasional pada perusahaan asuransi McNeil et al. 2005.
Berikut ini adalah bentuk dari model risiko pada pendekatan distribusi kerugian:
Misalkan :
banyaknya klaim yang dihasilkan dari portofolio polis pada waktu tertentu.
= besarnya klaim ke- Sehingga model dari total kerugian risiko
operasional dapat dituliskan sebagai berikut
.
1 Model ini sering disebut juga model
risiko kolektif Secara umum model 1
merepresentasikan klaim secara keseluruhan dari portofolio pada waktu tertentu. Peubah
acak menyatakan banyaknya klaim dan erat
kaitan dengan frekuensi klaim. Peubah acak menyatakan besarnya klaim ke-
. Agar model lebih mudah diselesaikan maka
diperlukan asumsi berikut i
Peubah acak dan saling
bebas. ii
Peubah acak saling bebas.
iii Peubah acak
memiliki sebaran yang sama.
Bowers et al. 1997 3.1 Distribusi Total Kerugian
Distribusi total klaim dalam periode
waktu tertentu dapat diperoleh dari distribusi banyaknya klaim
dan distribusi besar klaim individu
. Misalkan
merupakan peubah acak yang menyatakan besarnya klaim. Diketahui fungsi
distribusi adalah
. Bila terjadi klaim sebanyak
maka besarnya total klaim adalah dan distribusi dinyatakan
dengan .
Momen ke-k = .
Fungsi pembangkit momen dari Fungsi pembangkit momen dari
Fungsi pembangkit momen dari Untuk menentukan nilai harapan dan
ragam dari maka diperlukan dua teorema
berikut Teorema 1
Misalkan adalah peubah acak dua
dimensi maka nilai harapan dari dapat
ditentukan lewat nilai harapan dengan
syarat sebagai berikut :
.
Bukti Teorema 1 Jika
dan adalah peubah acak diskret, maka
[ ] ∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑
Jika dan adalah peubah acak kontinu,
maka ∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
Jadi, terbukti .
Teorema 2
Misalkan adalah peubah acak dua
dimensi maka: [ ]
Bukti Teorema 2 [ ]
] {
[ ] }
[ ] Jadi terbukti
[ ] [ ] Atas dasar Teorema 1 dan Teorema 2 dan
dalam kaitannya dengan ketiga asumsi yang digunakan, maka diperoleh nilai harapan dari :
2 Bukti 2
dan ragam :
3 Bukti 3
[ ] [ ] [ ]
di mana Selanjutnya akan diperlihatkan rumus
fungsi pembangkit momen dari .
4 Bukti 4
[ ]
[ ]
karena saling bebas, maka
[ ]
dan berdistribusi identik, diperoleh:
Selanjutnya untuk menentukan fungsi distribusi dari
dapat dilihat sebagai berikut: ∑
∑ Menurut operasi konvolusi untuk risiko
kolektif dan sesuai dengan asumsi berdistribusi sama
, ∑
Jika distribusi besarnya klaim individu adalah diskret dengan fungsi probabilitas
maka distribusi dari total klaim
juga diskret,
sehingga fungsi
probabilitas dari dapat diperoleh sebagai
berikut : ∑
∑
3.2 Proses Compound Poisson
