peubah acak
yang menyatakan
banyaknya klaim. Peubah acak
dinyatakan sebagai 21
Menurut Teorema 4 berikut, peubah acak S menyebar compound Poisson. Namun, untuk
dapat menggunakan Teorema 4 diperlukan pemahaman
dasar mengenai
sebaran multinomial.
Teorema 4 Jika peubah acak S seperti pada persamaan
21 menyebar compound Poisson dengan parameter
dan fungsi peluang kerugian klaim diskret seperti pada persamaan 20
maka
saling bebas.
menyebar Poisson dengan parameter
Bukti Teorema 4 Diketahui :
∑
∑
Fungsi peluang dan pembangkit momen
untuk sebaran multinomial adalah
[ ∑ ]
Akan dibuktikan .
[ ∑ ] ∑
∑ [ ∑ ]
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ [ ∑
] ∏ 22
Fungsi pembangkit
momen seperti
persamaaan 22
menunjukkan adanya
kebebasan untuk setiap Sehingga jika
dimisalkan maka fungsi pembangkit
momen pada persamaan 22 akan menjadi
3.4 Pendekatan Distribusi Total Klaim
Terdapat dua pendekatan yang digunakan untuk distribusi total klaim, yaitu pendekatan
normal dan pendekatan translasi Gamma. Berikut akan dijelaskan lebih lanjut kedua
pendekatan tersebut. Pendekatan Normal
Berdasarkan teorema
limit pusat
perhatikan 2 hal berikut : 1.
Jika memiliki distribusi Poisson majemuk dengan parameter
dan fungsi distribusi
yaitu maka peubah acak
√
, akan berdistribusi normal baku bila
. Dua parameter untuk pendekatan normal ini adalah
dan 2.
Jika mimiliki distribusi binomial negatif mejemuk dengan parameter
dan fungsi distribusi yaitu maka
peubah acak
√
berdistribusi normal baku bila .
Dua parameter untuk pendekatan normal ini adalah
dan
Pendekatan normal ini akan lebih baik digunakan jika ekspektasi banyaknya klaim
yang terjadi besar atau dengan kata lain jika besar untuk distribusi Poisson majemuk atau
jika besar untuk distribusi binomial
majemuk. Karena distribusi normal adalah simetris
maka sebagai akibatnya sentral momen ketiganya sama dengan nol atau dapat
dituliskan sebagai berikut . Bagaimanapun distribusi dari total klaim
seringkali tidak simetris atau miring, yang berarti bahwa sentral momen ketiganya tidak
nol. Oleh karena itu diperlukan sebuah pendekatan yang lebih umum untuk distribusi
total klaim tersebut. Untuk jenis pendekatan
yang kedua ini dilakukan pendekatan translasi distribusi Gamma.
Pendekatan Translasi Gamma
Bila dinotasikan sebagai
fungsi distribusi Gamma dengan parameter dan
, maka ∫
Kemudian untuk suatu definisikan fungsi
distribusi baru dengan notasi yang merupakan translasi
distribusi Gamma terhadap
. Gambar di bawah menggambarkan tentang
dengan dan dengan dan
di mana dan berturut- turut menyatakan fungsi kepekatan peluang
dari dan
Pada pendekatan
translasi Gamma,
parameter dipilih
dengan menyamakan sentral momen pertama, sentral
momen kedua dan sentral momen ketiga dari dengan sentral momen-sentral momen yang
berkaitan untuk translasi distribusi Gamma. Oleh karena itu sentral momen dari translasi
distribusi Gamma standar maka :
Sehingga diperoleh :
Untuk distribusi Poisson majemuk, prosedur di atas dengan
, dan
akan menghasilkan parameter sebagai berikut :
3.5 Pengukuran Risiko Operasional Klaim
