Model dengan pendekatan kedua ini mempunyai kemiripan dengan model 4, dengan jumlah penduduk pada saat
adalah
�
− 1 dan varian
λ
�
λ
− 1�. Perbedaannya adalah bahwa pada model yang dihitung adalah jumlah penduduk
pada saat t, sedangkan pada model 4 hanya menghitung pertambahannya saja. Selanjutnya dengan menggunakan pendekatan kedua, dibuat model berikutnya,
yang merupakan kombinasi dari proses kelahiran dan kematian.
4.2 Model Kelahiran Dan Kematian tanpa Migrasi
Laju pertumbuhan penduduk dipengaruhi oleh proses kelahiran dan kematian, keduanya tidak dapat dipisahkan, karena memberikan pengaruh pada
pertumbuhan penduduk secara bersamaan. Kedua proses tersebut sekarang dikombinasikan menjadi satu dengan tingkat kelahiran dan tingkat kematian .
Untuk mendapatkan nilai harapan dari , dengan
≥
0, sebagai awalan harus diingat bahwa:
+ ℎ=�
+ 1, dengan peluang
λ
ℎ + ℎ − 1, dengan peluang
µ
ℎ + ℎ , dengan peluang 1
−
λ
+
µ
ℎ + ℎ [ +
ℎ| ] = λ
ℎ + λ ℎ + µ ℎ − µ ℎ + −
λ
+
µ
ℎ + ℎ
= λ
+
µ
ℎ +
λ
−
µ
ℎ + −
λ
+
µ
ℎ + ℎ
=
+
λ
−
µ
ℎ + ℎ Karena
[ ] = , sehingga:
[ + ℎ| ]
= +
λ
−
µ
ℎ + ℎ +
ℎ = +
λ
−
µ
ℎ � � + ℎ =
+
λ
−
µ
ℎ + ℎ Mengurangkan kedua ruas dengan
+ ℎ − =
λ
−
µ
ℎ + ℎ Ruas kanan dan kiri dibagi dengan h, menghasilkan
� +ℎ− � ℎ
=
λ
−
µ
+
ℎ ℎ
Dilimitkan dengan ℎ
→
0, maka di peroleh
′
=
λ
−
µ
�
′
�
=
λ
−
µ
Kemudian diintegralkan, sehingga ∫
�
′
�
= ∫
λ
−
µ
ln =
λ
−
µ
+ =
λ −µ +
=
λ −µ
Karena [ ] =
dan 0 =
= maka [ ] = =
λ −µ
Selanjutnya kita akan mencari varian dari model ini, dan langkah pertama adalah mencari
[ ].
[ +
ℎ| ] = + 12
λ
ℎ + − 1
µ
ℎ + [1
−
λ
+
µ
ℎ] + ℎ =
+ 2 + 1
λ
ℎ + − 2 − 1 µ
ℎ + 1
− λℎ − µℎ + ℎ =
λℎ + 2 λℎ + λℎ + − λℎ + ℎ
= + 2
λ
−
µ
ℎ +
λ
+
µ
ℎ + ℎ. Dengan
= [ ] maka
+ ℎ = + 2
λ
−
µ
ℎ +
λ
+
µ
ℎ + ℎ. Kurangkan kedua ruas dengan
, sehingga +
ℎ − =
2
λ
−
µ
ℎ +
λ
+
µ
ℎ + ℎ. Kedua ruas di bagi dengan
ℎ dan dilimitkan dengan h
→
0, maka diperoleh:
� +ℎ− � ℎ
= 2
λ
−
µ
+
λ
+
µ
+
ℎ ℎ
�
= 2
λ
−
µ
+
λ
+
µ
. Terdapat dua kasus yang perlu diperhatikan, yaitu
≠
dan = . 1.
λ ≠ µ Dari penghitungan sebelumnya diketahui bahwa =
λ −µ
, maka:
M t
= 2
λ
−
µ
M t +
λ
+
µ
λ −µ
M t
- 2
λ
−
µ
M t =
λ
+
µ
λ −µ
Selanjutnya dikalikan kedua ruas dengan
− λ−µ
lalu diintegralkan,
λ −µ
{
M t
- 2
λ
−
µ
M t}={
λ
+
µ
λ −µ
}
− λ−µ
{
− λ−µ
} =
λ
+
µ
ie
µ −λt
∫
− λ−µ
= ∫
λ
+
µ
µ −λ
− λ−µ
=
λ +µ
µ−λ µ
−λ
+ =
λ +µ
µ−λ
− λ−µ�
µ −λ
+
λ −µ
=
λ +µ
µ−λ λ
−µ
+
λ −µ
Dengan = i
2
, dan dievaluasi pada = 0, maka: 0 =
λ +µ
µ−λ λ−µ.
+
λ−µ.
=
λ +µ
µ −λ
+ c =
−
λ +µ
µ−λ
Sehingga didapatkan: =
λ+µ µ−λ
e
λ −µt
+ [ −
λ +µ
µ−λ
]
λ−µ
dan diperoleh Varian dari Xt sebagai berikut: ��
= −
= −
=
λ +µ
µ −λ
λ −µ
+ � −
λ +µ
µ −λ
�
λ −µ
− [
λ −µ
] =
λ +µ
µ −λ
λ −µ
+ � −
λ +µ
µ −λ
�
λ −µ
−
λ −µ
=
λ +µ
µ −λ
λ −µ
+ �
µ −λ− λ+µ− µ−λ
µ −λ
�
λ −µ
=
λ +µ
µ −λ
λ −µ
−
λ +µ
µ −λ
λ −µ
.
2. Untuk λ = µ
Dari penghitungan sebelumnya diketahui bahwa =
λ −µ
. Jika
λ
=
µ
maka =
�
=
λ
+
µ
=
λ
+
µ
Selanjutnya diintegralkan kedua ruas ∫
= ∫
λ
+
