Model Kelahiran Dan Kematian tanpa Migrasi

{ − λ−µ } = λ + µ ie µ −λt ∫ − λ−µ = ∫ λ + µ µ −λ − λ−µ = λ +µ µ−λ µ −λ + = λ +µ µ−λ − λ−µ� µ −λ + λ −µ = λ +µ µ−λ λ −µ + λ −µ Dengan = i 2 , dan dievaluasi pada = 0, maka: 0 = λ +µ µ−λ λ−µ. + λ−µ. = λ +µ µ −λ + c = − λ +µ µ−λ Sehingga didapatkan: = λ+µ µ−λ e λ −µt + [ − λ +µ µ−λ ] λ−µ dan diperoleh Varian dari Xt sebagai berikut: �� = − = − = λ +µ µ −λ λ −µ + � − λ +µ µ −λ � λ −µ − [ λ −µ ] = λ +µ µ −λ λ −µ + � − λ +µ µ −λ � λ −µ − λ −µ = λ +µ µ −λ λ −µ + � µ −λ− λ+µ− µ−λ µ −λ � λ −µ = λ +µ µ −λ λ −µ − λ +µ µ −λ λ −µ . 2. Untuk λ = µ Dari penghitungan sebelumnya diketahui bahwa = λ −µ . Jika λ = µ maka = � = λ + µ = λ + µ Selanjutnya diintegralkan kedua ruas ∫ = ∫ λ + = λ + + Dengan 0 = , dan dievaluasi pada = 0, maka = λ + + = λ + + c = − λ + Sehingga didapatkan: = λ + + − λ + = dan diperoleh varian dari sebagai berikut: �� = − = – = − = Jika tingkat kelahiran seimbang dengan tingkat kematian, maka pada akhirnya jumlah penduduk akan konstan.

4.3 Model Kelahiran dan Kematian dengan Migrasi

Untuk mendapatkan nilai harapan dari , dengan ≥ 0, sebagai awalan harus diingat bahwa: + ℎ=� + 1, dengan peluang λ + �ℎ + ℎ − 1, dengan peluang µ ℎ + ℎ , dengan peluang 1 − λ + µ + �ℎ + ℎ Memakai cara yang sama dengan model sebelumnya, maka akan didapat nilai harapan sebagai berikut: [ + ℎ| ] = + λ − µ + �ℎ + ℎ . Karena [ ] = , sehingga = λ −µ = λ −µ + � Karena [ ] = , 0 = = maka, [ ] = = λ−µ + � . Selanjutnya kita akan mencari varian dari model ini, dan langkah pertama adalah mencari [ ]. [ + ℎ| ] = + 2λ − µℎ + λ + µ + 2�ℎ + �ℎ + ℎ Karena = [ ] maka, + ℎ = + 2λ − µℎ + λ + µ + 2�ℎ + �ℎ + ℎ Kurangkan kedua ruas dengan , sehingga + ℎ − = 2 λ − µℎ + λ + µ + 2�ℎ + �ℎ + ℎ Kedua ruas di bagi dengan ℎ dan dilimitkan dengan h→0, maka diperoleh: � = 2 λ − µ + λ + µ + 2� + � Terdapat dua kasus yang perlu diperhatikan, yaitu ≠ dan = . 1. λ ≠ µ Dari penghitungan sebelumnya diketahui bahwa = λ−µ + � , maka: � - 2 λ − µ = λ + µ + 2� λ−µ + � + � Menggunakan cara yang sama dengan sebelumnya, maka diperoleh, = λ+µ+ � µ−λ µ−λ + � + � + λ−µ Selanjutnya karena = , dan dievaluasi pada t=0, maka: C = − λ+µ+ � µ−λ Sehingga didapatkan: = λ+µ+ � µ−λ λ−µ + [ � + � + − λ+µ+ � µ−λ ] λ−µ dan diperoleh varian dari sebagai berikut: �� = − = − = λ+µ+ � µ−λ µ−λ + � � + � − λ+µ+ � µ−λ � λ−µ + 2 � λ−µ + � 2. Untuk λ = µ Dari penghitungan sebelumnya diketahui bahwa = λ −µ . Jika λ = µ maka = � = λ + µ = λ + µ Selanjutnya diintegralkan kedua ruas, sehingga: ∫ = ∫ λ + = λ + + Dengan 0 = , dan dievaluasi pada = 0, maka = λ + + = λ + + C = − λ + Sehingga didapatkan: = λ + + − λ + = dan diperoleh varian dari sebagai berikut: �� = − = – = − = Jika λ = µ , artinya tingkat kelahiran seimbang dengan tingkat kematian dan pada akhirnya jumlah penduduk akan konstan.