�[ | 0 = ] =
−
−�� −��
=
�
− 1 4
Ragam diperoleh dari turunan kedua persamaan 3 pada = 0 dikurangi kuadrat
dari turunan pertama persamaan 3 pada = 0,
�� { | 0 = } =
′′
−
′
= + + 1
− =
+ +
− =
+ =
1 + =
� −
−��
�
−��
�1 +
� −
−��
�
−��
� =
�
�
− 1�1 +
�
− 1 =
� �
− 1. 5
Dari hasil yang diperoleh terlihat bahwa populasi akan semakin meningkat seiring bertambahnya waktu t dengan keragaman yang semakin bervariasi.
2.2 Proses Kematian Murni
Proses kematian murni adalah proses di mana ada individu yang pergi mati dari suatu sistem populasi dan tidak pernah ada yang datang lahir ke
sistem tersebut. Proses ini menyebabkan banyaknya populasi yang ada mengalami penurunan. Diasumsikan peluang suatu individu akan mati pada interval waktu
, + δ adalah µδ , dengan δ yang cukup kecil dan µ yang menunjukkan laju
kematian, maka peluang dari seluruh populasi yang terdiri atas individu pada
saat dengan interval waktu , +
δ adalah µ δ + δ . Laju perubahan peluang pada saat ada sebanyak individu, dapat dirumuskan sebagai
persamaan diferensial orde satu sebagai berikut
�
�
= µ +
+
− µ .
6 Persamaan tersebut didapat dengan menentukan peluang dari banyaknya
individu pada interval waktu , +
δ adalah
individu. +
� = + � = = = , +
� − = 0 + = + 1, + � −
− 1 + ∑ =
+ , + � − = −
=
=
= � − 0 = 0 + = + 1
� − 0 = −1 + �
=
� +
+ −
� + � =
�1 − µ � + � � +
+
�µ + 1� + � � =
− µ � +
−
�µ − 1� + � � Kedua ruas dibagi dengan
�
,
maka +
� − �
=
+
µ + 1� + � − µ � �
+ � −
� =
+
λ + 1 − µ + �
� Setelah dilimitkan dengan
δt → 0, diperoleh persamaan 6. Nilai awal
0 = { 0 = } = �
1, =
0, ≠
, dengan 0 yang
menunjukkan banyaknya populasi awal yang diberikan. Solusi dari persamaan 6 untuk
= adalah =
−µ
, untuk ,
ambil =
− 1, sehingga diperoleh
−
=
−µ −
1 −
−µ
. 7 Nilai
≤ diambil karena pada proses kematian, banyaknya populasi semakin menurun dari waktu ke waktu.
Selanjutnya persamaan 7 dibuat dalam bentuk kombinasi, sehingga
−
= �
−
�
−µ −
1 −
−µ − −
. Untuk
= − , diperoleh
−
= �
−
�
−µ −
1 −
−µ − −
. Bentuk umumnya adalah,
= � �
−µ
1 −
−µ −
. 8
Persamaan 8 merupakan sebaran binom, berarti banyaknya populasi pada sebarang waktu t memiliki sebaran binom dan mempunyai fungsi pembangkit
momen =
1 − , dengan =
−µ
. 9
Turunan pertama persamaan 3 pada = 0 adalah :
′
= + 1
−
− ′
0 = + 1
−
−
=
Turunan keduanya pada = 0 adalah:
′′
= − 1
+ 1
−
−2
+ +
1 −
−1
= − 1
+ 1 −
−
+ + 1
−
−
.
′′
0 = − 1
+ 1 −
−
+ + 1
−
−
. =
− 1 + . =
− +
.
Nilai harapan diperoleh dari turunan pertama persamaan 9 pada = 0,
sehingga �[ | 0 = ] =
−µ
Ragam diperoleh dari turunan kedua persamaan 9 pada = 0 dikurangi kuadrat
dari turunan pertama persamaan 5 pada = 0,
�� { | 0 = } =
′′
−
′
= −
+ −
= −
= 1
− =
−µ
1 −
−µ
. 10
Terlihat bahwa banyaknya populasi dan ragamnya menurun secara eksponensial seiring bertambahnya waktu. Dapat diprediksikan populasi akan punah setelah
waktu yang lama. Definisi-definisi yang diperlukan dalam pembahasan ini dapat dilihat pada Lampiran 1.
BAB III METODE PENELITIAN
3.1 Sumber Data
Penelitian ini menggunakan data sekunder dan merupakan data jumlah penduduk yang ada di Indonesia. Data yang diambil adalah data hasil sensus BPS
tahun 1990, 2000, 2010 dan data hasil supas BPS tahun 1995, 2005, serta data hasil proyeksi BPS selama lima belas tahun, dari tahun 2011-2025. Sumber data
diambil dari hasil Sensus dan Supas BPS Indonesia http:www.datastatistik- indonesia.comproyeksi dan http:www.bps.go.id.
3.2 Prosedur Penelitian
1. Mengkaji teori proses kelahiran dan kematian.
2. Mengkaji model proses kelahiran dan kematian dengan migrasi, dengan
memasukkan unsur varian. 3.
Mengevaluasi model pada data penduduk Indonesia berdasarkan data tahun 1990 terhadap data BPS 1995, 2000, 2005 dan 2010.
4. Selanjutnya berdasarkan data tahun 2000 akan di kembangkan untuk
proyeksi penduduk sampai tahun 2025 dan membandingkannya dengan data hasil proyeksi BPS untuk memperoleh selang kepercayaan.
5. Berdasarkan data BPS tahun 2010, akan buat proyeksi penduduk sampai
tahun 2035.
BAB IV MODEL KELAHIRAN DAN KEMATIAN
4.1 Model Kelahiran Murni
Model ini hanya mempertimbangkan jumlah kelahiran saja dan mengabaikan jumlah kematian, dengan jumlah awal populasi pada waktu adalah
, ≥ 0 dan λ menyatakan laju kelahiran. Karena
= [ | 0 = ]
maka akan didapatkan persamaan diferensial yang dipenuhi oleh . Sebelum
mencari nilai harapan dari , sebagai awalan harus diingat bahwa: +
ℎ = � + 1
, dengan peluang λ ℎ + ℎ
, dengan peluang 1 − λ ℎ + ℎ
[ + ℎ| ] = + 1�λ ℎ + ℎ� + � ��1 − λ ℎ + ℎ�
= λℎ + λ ℎ + − λℎ + ℎ
= + λ ℎ + ℎ
Karena [ ] =
, sehingga: [ +
ℎ| ] =
ℎ + λ ℎ + ℎ +
ℎ = +
λℎ + ℎ =
+ λℎ + ℎ
Mengurangkan kedua ruas dengan +
ℎ − = λℎ + ℎ Ruas kanan dan kiri dibagi dengan
ℎ, menghasilkan
� +ℎ− � ℎ
= λℎ +
ℎ ℎ
Dilimitkan dengan ℎ→0, maka di peroleh
′
= λ
�
′
�
= λ
Kemudian diintegralkan, sehingga ∫
�
′
�
= ∫ λ
= λ +
′
=
λ +
=
λ
, dengan =
