Sumber Data Prosedur Penelitian

BAB IV MODEL KELAHIRAN DAN KEMATIAN

4.1 Model Kelahiran Murni

Model ini hanya mempertimbangkan jumlah kelahiran saja dan mengabaikan jumlah kematian, dengan jumlah awal populasi pada waktu adalah , ≥ 0 dan λ menyatakan laju kelahiran. Karena = [ | 0 = ] maka akan didapatkan persamaan diferensial yang dipenuhi oleh . Sebelum mencari nilai harapan dari , sebagai awalan harus diingat bahwa: + ℎ = � + 1 , dengan peluang λ ℎ + ℎ , dengan peluang 1 − λ ℎ + ℎ [ + ℎ| ] = + 1�λ ℎ + ℎ� + � ��1 − λ ℎ + ℎ� = λℎ + λ ℎ + − λℎ + ℎ = + λ ℎ + ℎ Karena [ ] = , sehingga: [ + ℎ| ] = ℎ + λ ℎ + ℎ + ℎ = + λℎ + ℎ = + λℎ + ℎ Mengurangkan kedua ruas dengan + ℎ − = λℎ + ℎ Ruas kanan dan kiri dibagi dengan ℎ, menghasilkan � +ℎ− � ℎ = λℎ + ℎ ℎ Dilimitkan dengan ℎ→0, maka di peroleh ′ = λ � ′ � = λ Kemudian diintegralkan, sehingga ∫ � ′ � = ∫ λ = λ + ′ = λ + = λ , dengan = Karena [ ] = dan 0 = = maka [ ] = = λ . Selanjutnya akan dicari varian dari model ini, dan langkah pertama adalah mencari [ ]. [ + ℎ| ] = + 1 λ ℎ + [1 − λ ℎ] + ℎ = X t + 2Xt + 1Xtλh + X t − X tλh + oh = λℎ + 2 λℎ + λℎ + − λℎ + ℎ = 2 λℎ + λℎ + + ℎ = + λℎ�2 + � + ℎ Selanjutnya dengan = [ ] maka + ℎ = + +λℎ�2 + � + ℎ + ℎ − = 2 λℎ + λℎ + ℎ Kedua ruas di bagi dengan ℎ dan dilimitkan dengan ℎ→0, maka diperoleh: M t+ − M t ℎ = 2 λ + λ + ℎ ℎ M t = 2 λ + λ ′ = 2 λ + λ λ Mengurangkan kedua ruas dengan 2 λ , sehingga diperoleh: ′ − 2λ = λ λ Selanjutnya mengalikan kedua ruas dengan − λ sehingga diperoleh − λ { ′ − 2λ } = λ −λ { − λ } = λ −λ Kemudian kedua ruas diintegralkan ∫ − λ = ∫ λ −λ − λ = λ −λ −λ + = λ −λ −λ + λ Di lain pihak, = 0 = , sehingga akan diperoleh = + 1, dan �� = − = – = �− −λ + + λ � − λ = λ λ − 1 Model dengan pendekatan kedua ini mempunyai kemiripan dengan model 4, dengan jumlah penduduk pada saat adalah � − 1 dan varian λ � λ − 1�. Perbedaannya adalah bahwa pada model yang dihitung adalah jumlah penduduk pada saat t, sedangkan pada model 4 hanya menghitung pertambahannya saja. Selanjutnya dengan menggunakan pendekatan kedua, dibuat model berikutnya, yang merupakan kombinasi dari proses kelahiran dan kematian.

4.2 Model Kelahiran Dan Kematian tanpa Migrasi

Laju pertumbuhan penduduk dipengaruhi oleh proses kelahiran dan kematian, keduanya tidak dapat dipisahkan, karena memberikan pengaruh pada pertumbuhan penduduk secara bersamaan. Kedua proses tersebut sekarang dikombinasikan menjadi satu dengan tingkat kelahiran dan tingkat kematian . Untuk mendapatkan nilai harapan dari , dengan ≥ 0, sebagai awalan harus diingat bahwa: + ℎ=� + 1, dengan peluang λ ℎ + ℎ − 1, dengan peluang µ ℎ + ℎ , dengan peluang 1 − λ + µ ℎ + ℎ [ + ℎ| ] = λ ℎ + λ ℎ + µ ℎ − µ ℎ + − λ + µ ℎ + ℎ = λ + µ ℎ + λ − µ ℎ + − λ + µ ℎ + ℎ = + λ − µ ℎ + ℎ Karena [ ] = , sehingga: [ + ℎ| ] = + λ − µ ℎ + ℎ + ℎ = + λ − µ ℎ � � + ℎ = + λ − µ ℎ + ℎ Mengurangkan kedua ruas dengan + ℎ − = λ − µ ℎ + ℎ Ruas kanan dan kiri dibagi dengan h, menghasilkan � +ℎ− � ℎ = λ − µ + ℎ ℎ Dilimitkan dengan ℎ → 0, maka di peroleh ′ = λ − µ