BAB II TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Proses Kelahiran Murni
Proses kelahiran murni merupakan proses dimana ada individu yang datang lahir pada suatu sistem populasi dan tidak pernah ada yang pergi mati
dari sistem tersebut. Diasumsikan peluang suatu individu akan menghasilkan satu individu baru dalam interval waktu
, + � adalah λ� , dengan δ yang cukup
kecil dan λ yang menunjukkan laju kelahiran, maka peluang dari seluruh populasi
yang terdiri atas individu pada saat dengan interval waktu , +
� adalah
λ � + � . Laju perubahan peluang pada saat t ada sebanyak individu, dapat dirumuskan sebagai persamaan diferensial orde satu sebagai
berikut
�
�
= λ − 1
−
− λ .
1 Persamaan tersebut diperoleh dengan menentukan peluang dari banyaknya
individu pada interval waktu , +
δ adalah
individu. +
� = + � = =
= , + � − = 0 + = − 1, + � −
= 1 + ∑
= − , + � − =
=
= =
� − 0 = 0 + = − 1 � − 0 = 1 +
� =
� +
−
� + � =
�1 − λ � + � � +
−
�λ − 1� + � � + � =
− λ � +
−
λ − 1� + � . Kedua ruas dibagi dengan
� , maka +
� − �
=
−
λn − 1δt + oδt − λnδt δt
+ � −
� =
−
λ − 1 − λ + �
� Setelah dilimitkan dengan
δt → 0, diperoleh persamaan 1.
Nilai awal 0 = { 0 = } =
� 1,
= 0,
≠ , dengan
0, yang menunjukkan banyaknya populasi awal yang diberikan. Dengan kata lain jika
= 0, maka proses kelahiran tidak akan terjadi. Solusi dari persamaan 1, untuk
= adalah =
−λ
. Untuk
, diambil = + 1 sehingga diperoleh
+
=
−λ
1 −
−λ
. Untuk
= + diperoleh
+
= �
+ − −
�
−λ
�1 −
−λ
� . Jika
= + ↔ = + , maka persamaannya menjadi sebagai berikut
= �
+ − − −
�
−λ
�1 −
−λ
�
−
= �
− −
�
−λ
�1 −
−λ
�
−
. 2
Persamaan 2 merupakan sebaran binom negatif, berarti banyaknya populasi pada sebarang waktu t memiliki sebaran binom negatif dengan peluang sukses
−λ
. Dengan =
−λ
dan = 1
− maka fungsi pembangkit momennya =
− 1 −
−
3 Turunan pertama persamaan 3 pada t = 0 adalah :
′
= − 1 −
− −
− =
1 −
− − ′
0 = 1
−
− −
= 1
−
− −
=
− −
= .
Turunan keduanya pada t = 0 adalah:
′′
= 1
−
− −
+ − − 11 −
− −
− =
1 −
− −
+ + 11
−
− − ′′
0 = 1
−
− −
+ + 11
−
− −
= 1
−
− −
+ + 11
−
− −
=
− −
+ + 11
−
− −
=
−
+ + 1
−
= + + 1
. Nilai harapan diperoleh dari turunan pertama persamaan 3 pada t = 0, sehingga
�[ | 0 = ] =
−
−�� −��
=
�
− 1 4
Ragam diperoleh dari turunan kedua persamaan 3 pada = 0 dikurangi kuadrat
dari turunan pertama persamaan 3 pada = 0,
�� { | 0 = } =
′′
−
′
= + + 1
− =
+ +
− =
+ =
1 + =
� −
−��
�
−��
�1 +
� −
−��
�
−��
� =
�
�
− 1�1 +
�
− 1 =
� �
− 1. 5
Dari hasil yang diperoleh terlihat bahwa populasi akan semakin meningkat seiring bertambahnya waktu t dengan keragaman yang semakin bervariasi.
2.2 Proses Kematian Murni