Population Projection with Birth and Death Process

(1)

SITI MARIA ULFA

SEKOLAH PASCASARJANA

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2012

(2)

Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis dengan judul Proyeksi Penduduk dengan Proses Kelahiran dan Kematian adalah karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.

Bogor, Oktober 2012

Siti Maria Ulfa

(3)

SITI MARIA ULFA. Population Projection with Birth and Death Process. Under supervision of HADI SUMARNO and ALI KUSNANTO.

A population projection is a scientific calculation based on certain assumptions of births, deaths, and migration. These three components determine the size of the population in the future. The aims of this study are to develop population projection model using birth and death process and to apply the model to Indonesian population data. This study uses four steps of modelling process. First, we develop a model of birth and death process with migration. Second, we verify the model using 1990 Indonesian population data and compare the result with the real data. Third, using the model we estimate population projection for the years 2000-2025 based on Indonesian population data of the year 2000 and compare the result with population projection for years 2000-2025 by BPS. Finally, we estimate population projection for years 2010-2035 based on Indonesian population data of the year 2010. The advantage of this model is that we can give the confidence interval of the estimate besides the value of estimation. The difference between our projection based on 1990 Indonesian data and the real data is below 10%, and the difference between our projection based on Indonesian data of the year 2000 and projection by BPS is less than 6%.

(4)

Dibimbing oleh HADI SUMARNO dan ALI KUSNANTO.

Dalam rangka perencanaan pembangunan di segala bidang, diperlukan informasi mengenai keadaan penduduk seperti jumlah penduduk, persebaran penduduk, dan susunan penduduk menurut umur. Hampir semua rencana pembangunan perlu ditunjang dengan data jumlah penduduk. Data yang diperlukan tidak hanya menyangkut keadaan pada waktu rencana itu disusun, tetapi juga informasi masa lampau dan yang lebih penting lagi adalah informasi perkiraan pada waktu yang akan datang. Data penduduk pada waktu yang lalu dan waktu kini sudah dapat diperoleh dari hasil-hasil survey dan sensus, sedangkan untuk memenuhi kebutuhan data penduduk pada masa yang akan datang perlu dibuat proyeksi penduduk. Proyeksi penduduk merupakan suatu perhitungan ilmiah yang didasarkan pada asumsi dari komponen-komponen laju pertumbuhan penduduk, yaitu kelahiran, kematian dan perpindahan (migrasi). Ketiga komponen inilah yang menentukan besarnya jumlah penduduk di masa yang akan datang. Salah satu proses stokastik yang bisa di gunakan untuk proyeksi penduduk adalah proses kelahiran dan kematian, dimana model tersebut dapat digunakan untuk memprediksi laju pertumbuhan penduduk pada suatu negara.

Tujuan yang ingin dicapai dalam penelitian ini adalah mengkaji model kelahiran dan kematian tanpa dan dengan migrasi serta mempertimbangkan varian. Selanjutnya mengaplikasikan model tersebut pada data penduduk Indonesia tahun 1990-2010. Untuk melihat validitas dan realibilitas hasil proyeksi, model dibandingkan denga data riil tahun 1995, 2000, 2005 dan 2010 serta dibandingkan dengan data hasil proyeksi BPS tahun 2000-2025. Selanjutnya model tersebut digunakan untuk memproyeksikan penduduk Indonesia sampai dengan tahun 2035 berdasarkan data tahun 2010.

Penelitian ini menggunakan data sekunder, yaitu data jumlah penduduk Indonesia tahun 1990-2010. Nilai awal yang digunakan untuk membandingkan dengan data riil adalah data tahun 1990 yaitu CBR (Angka Kelahiran Kasar) sebesar 0,0257, CDR (Angka Kematian Kasar) sebesar 0,007 dan angka migrasi sebesar -0.0015. Sedangkan nilai awal untuk membandingkan dengan data hasil proyeksi BPS adalah data tahun 2000, yaitu CBR (angka kelahiran kasar) sebesar 0,0184; CDR (angka kematian kasar) sebesar 0,00637 dan angka migrasi sebesar 0,0001.

Model ini memberikan tingkat kesalahan di bawah 10% dibandingkan dengan data riil. Hasil Proyeksi Penduduk Indonesia sampai tahun 2025 berdasarkan data tahun 2000 memberikan selisih di bawah 6% dibandingkan dengan proyeksi dari BPS.

Dengan demikian secara umum dapat disimpulkan bahwa hasil proyeksi model ini tidak jauh berbeda dengan proyeksi BPS maupun kondisi riil. Kelebihan dari model kelahiran dan kematian dibandingkan dengan model deterministik adalah telah dipertimbangkannya pengaruh acak antar individu sehingga dapat dihitung selang kepercayannya. Dari hasil proyeksi juga dapat dilihat bahwa

(5)

menurun dengan bertambahnya waktu proyeksi.

(6)

1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumber

a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik atau tinjauan suatu masalah.

b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar Institut Pertanian Bogor.

2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis dalam bentuk apapun tanpa izin Institut Pertanian Bogor.

(7)

SITI MARIA ULFA

Tesis

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada

Departemen Matematika

SEKOLAH PASCASARJANA

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2012

(8)

(9)

NRP : G551090051

Disetujui Komisi Pembimbing

Dr. Ir. Hadi Sumarno, M.S. Drs. Ali Kusnanto, M.Si.

Ketua Anggota

Diketahui

Ketua Program Studi Dekan Sekolah Pascasarjana Matematika Terapan

Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S Dr. Ir. Dahrul Syah, M.Sc.Agr

(10)

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karunia- Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Judul yang dipilih pada penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Oktober 2011 ini adalah Proyeksi Penduduk dengan Proses Kelahiran dan Kematian.

Dalam kesempatan kali ini penulis hendak menyampaikan terima kasih tak hingga kepada Allah SWT, atas segala nikmat dan kasih sayang-NYA yang tiada batas. Kepada suami tercinta, Hery Widiyanto, atas doa dan dukungannya. Kepada Dr. Ir. Hadi Sumarno, M.S dan Drs. Ali Kusnanto, M.Si masing-masing selaku ketua dan anggota Komisi Pembimbing.

Terima kasih penulis ucapkan kepada Dr. Ir. I. Wayan Mangku, M.Sc selaku penguji luar Komisi dan Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S selaku ketua Program Studi Matematika Terapan yang telah banyak memberikan saran. Ucapan terima kasih juga penulis disampaikan pada Departemen Agama Republik Indonesia yang telah memberikan beasiswa.

Ungkapan terima kasih tak terhingga juga penulis sampaikan kepada suami, bapak, ibu, adik-adikku dan seluruh keluarga, serta semua teman seperjuangan, atas segala doa, pengorbanan, dukungan dan kasih sayangnya. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.

Bogor, Oktober 2012

(11)

Penulis dilahirkan di Malang, Jawa Timur pada tanggal 3 Februari 1978 dari ayah M. Hasyim dan ibu Mulyati. Penulis merupakan putri pertama dari lima bersaudara.

Tahun 1995 penulis lulus dari Madrasah Aliyah Negeri I Malang, dan masuk Universitas Muhammadiyah Malang. Penulis memilih Jurusan Matematika pada Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan dan selesai pada tahun 2000.

Tahun 2003 penulis menjadi staf pengajar di Madrasah Aliyah Khairul Bariyyah, Bekasi. Pada tahun 2009 penulis lulus seleksi masuk Program Magister Program Studi Matematika Terapan di Institut Pertanian Bogor melalui jalur Beasiswa Utusan Daerah Departemen Agama Republik Indonesia.

(12)

DAFTAR TABEL ……… xii

DAFTAR GAMBAR ……… xiii

DAFTAR LAMPIRAN……… xiv

I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ... 1

1.2 Tujuan Penelitian ... 2

II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Proses Kelahiran Murni ... 3

2.2 Proses Kematian Murni... 5

III METODE PENELITIAN 3.1 Sumber Data ... 9

3.2 Prosedur Penelitian ... 9

IV MODEL KELAHIRAN DAN KEMATIAN 4.1 Model Kelahiran Murni ... 11

4.2 Model Kelahiran dan Kematian tanpa Migrasi ... 13

4.3 Model Kelahiran dan Kematian dengan Migrasi ... 16

V APLIKASI MODEL 5.1 Model Kelahiran Murni ... 19

5.2 Model Kelahiran dan Kematian tanpa Migrasi ... 19

5.3 Model Kelahiran dan Kematian dengan Migrasi ... 20

5.4 Proyeksi Penduduk menggunakan Data BPS Tahun 2000 ... 21

5.5 Proyeksi Penduduk menggunakan Data BPS tahun 2010... 22

BAB VI KESIMPULAN DAN SARAN 6.1 Kesimpulan ... 23

6.2 Saran ... 23 DAFTAR PUSTAKA

(13)

1 Hasil simulasi model kelahiran murni dari tahun 1990 -2010 ……….. 19 2 Hasil simulasi model kelahiran dan kematian tanpa migrasi dari tahun

1990- 2010 ……… 20 3 Hasil simulasi model kelahiran dan kematian dengan migrasi dari

(14)

1 Perbandingan antara data hasil proyeksi memakai model dengan data proyeksi BPS tahun 2000-2025 ... 21 2 Proyeksi penduduk tahun 2010-2035 berdasarkan data tahun 2010 .... 22

(15)

1 Definisi-definisi ... 27 2 Hasil simulasi model kelahiran murni tahun 1990-2010 berdasarkan

data tahun 1990 ... 34 3 Hasil simulasi model kelahiran dan kematian tanpa migrasi tahun

1990-2010 berdasarkan data tahun 1990 ... 35 4 Hasil simulasi model kelahiran dan kematian dengan migrasi tahun

1990-2010 berdasarkan data tahun 1990... 36 5 Proyeksi penduduk tahun 2001-2025 berdasarkan data tahun 2000 .... 37 6 Proyeksi penduduk tahun 2011-2035 berdasarkan data tahun 2010 .... 38

(16)

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Demografi adalah studi tentang jumlah, komposisi dan distribusi penduduk, manusia dan perubahan-perubahan dari aspek-aspek tersebut yang senantiasa terjadi sebagai akibat bekerjanya 5 (lima) proses yaitu fertilitas (kelahiran), mortalitas (kematian), perkawinan, migrasi dan mobilitas sosial. Salah satu unsur demografi yang sering menarik perhatian bagi mereka yang mempelajari ilmu kependudukan adalah proyeksi penduduk. Hal ini karena pengetahuan yang berkaitan dengan keadaan penduduk suatu daerah di masa depan mempunyai beragam kegunaan seperti penyusunan rencana pembangunan sosial ekonomi daerah yang bersangkutan.

Ada banyak model proyeksi penduduk, di antaranya adalah model pertumbuhan geometris, model eksponensial, dan model logistik. Semua model tersebut termasuk model deterministik karena tidak memperhitungkan adanya pengaruh acak antar individu. Model matematika lain yang dapat digunakan untuk memprediksi ataupun menjelaskan fenomena-fenomena dalam kehidupan kita sehari-hari adalah proses stokastik. Proses stokastik merupakan suatu model yang berkaitan dengan suatu aturan-aturan peluang. Salah satu proses stokastik yang bisa kita gunakan untuk proyeksi penduduk adalah proses kelahiran dan kematian.

Pentingnya proses stokastik dalam kaitannya dengan masalah pertumbuhan penduduk ditunjukkan oleh Feller (1939), dalam proses kelahiran

(17)

dan kematian, dengan asumsi tingkat kelahiran dan kematian adalah konstan, dilambangkan dengan λ dan µ . Proses kelahiran murni pertama kali dipelajari oleh Yule pada tahun 1924 dan Furry pada tahun 1937 (Ricciardi, 1986). Kelemahan dari teori Yule-Furry adalah tidak diperhitungkannya peluang dari spesies yang akan punah dan mengabaikan perbedaan banyaknya spesies yang ada pada setiap populasi. Sehingga pada tahun 1939 Feller memperkenalkan suatu teori tentang proses kelahiran dan kematian (Ricciardi, 1986). Sejak saat itu, proses ini digunakan sebagai model untuk pertumbuhan populasi dan akan kita pakai sebagai dasar membuat model yang bisa digunakan untuk memproyeksi jumlah penduduk pada masa yang akan datang.

Penelitian sebelumnya yang dilakukan oleh Susilawati (2005) telah membahas masalah model proses kelahiran sederhana dan model proses kematian sederhana, model proses kelahiran dan kematian, tanpa dan dengan migrasi. Namun pada model proses kelahiran dan kematian dalam penelitian Susilawati (2005) belum membahas tentang varian. Berdasarkan hal itu, maka penulis mencoba untuk melengkapi model tersebut dengan mencari varian pada model proses kelahiran dan kematian, tanpa dan dengan migrasi, kemudian mengaplikasikannya pada data penduduk Indonesia.

1.2 Tujuan Penelitian

Adapun tujuan yang ingin dicapai dalam penelitian ini adalah: 1. Mengkaji model kelahiran dan kematian.

2. Mengkaji model kelahiran dan kematian dengan migrasi serta mempertimbangkan varian.

3. Mengaplikasikan model proses kelahiran dan kematian tanpa dan dengan migrasi pada data penduduk Indonesia.

(18)

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Proses Kelahiran Murni

Proses kelahiran murni merupakan proses dimana ada individu yang datang (lahir) pada suatu sistem (populasi) dan tidak pernah ada yang pergi (mati) dari sistem tersebut. Diasumsikan peluang suatu individu akan menghasilkan satu individu baru dalam interval waktu ( , +� ) adalah λ� , dengan δ yang cukup kecil dan λ yang menunjukkan laju kelahiran, maka peluang dari seluruh populasi yang terdiri atas ( ) individu pada saat dengan interval waktu ( , +� ) adalah λ ( ) � + (� ). Laju perubahan peluang pada saat t ada sebanyak individu, dapat dirumuskan sebagai persamaan diferensial orde satu sebagai berikut

�� ₌ _λ₍ ₋₁₎

− ( )−λ ( ). (1) Persamaan tersebut diperoleh dengan menentukan peluang dari banyaknya

individu pada interval waktu ( , +δ ) adalah individu. ( +� ) = ( ( +� ) = )

= ( ( ) = , ( +� − ( ) = 0) + ( ( ) = −1, ( +� )− ( ) = 1) +∑ ₌ ( ( ) = − , ( +� )− ( ) = )

= ( ( ) = ) ( (� )− (0) = 0) + ( ( ) = −1) ( (� )− (0) = 1) + (� )

= ( ) (� ) + ₋ ( ) (� ) + (� )

= ( )�1−λ � + (� )�+ ₋ ( )�λ( −1)� + (� )�+ (� ) = ( )− ( )λ � + ₋ ( )λ( −1)� + (� ) .

Kedua ruas dibagi dengan� , maka ( +� )− ( )

� =

− ( )λ(n−1)δt + o(δt)− ( )λnδt

δt ( +� )− ( )

� = − ( )λ( −1)− ( )λ +

(� )

�

(19)

Nilai awal (0) = { (0) = } =�1, =

0, ≠ , dengan > 0, yang menunjukkan banyaknya populasi awal yang diberikan. Dengan kata lain jika

= 0, maka proses kelahiran tidak akan terjadi.

Solusi dari persamaan (1), untuk = adalah ( ) = −λ .

Untuk > , diambil = + 1 sehingga diperoleh ₊ ( ) = −λ (1− −λ _).

Untuk = + diperoleh ₊ ( ) =� + −₋ � −λ �1− −λ � .

Jika = + ↔ = + , maka persamaannya menjadi sebagai berikut ( ) =� + − −₋ � −λ �1− −λ � −

= � ₋− � −λ �1− −λ � − . (2) Persamaan (2) merupakan sebaran binom negatif, berarti banyaknya populasi pada sebarang waktu t memiliki sebaran binom negatif dengan peluang sukses

−λ _{. Dengan} ₌ ₋λ _dan _{= 1}₋ _{maka fungsi pembangkit momennya} ( ) = (− )(1− )− (3) Turunan pertama persamaan (3) pada t = 0 adalah :

′ _{( ) =} ₍₋ ₎₍₁₋ ₎− − ₍₋ _{) =} ₍₁₋ ₎− − ′ (0) = (1− )− − = (1− )− −

= − − = . Turunan keduanya pada t = 0 adalah:

′′ _{( ) =} ₍₁₋ ₎− − ₊ ₍_{− −}₁₎₍₁₋ ₎− − ₍₋ ₎ = (1− )− − + ( + 1)(1− )− − ( ) ′′ (0) = (1− )− − + ( + 1)(1− )− − ( ) = (1− )− − + ( + 1)(1− )− − ( )

= ( )− − + ( + 1)(1− )− − = − + ( + 1) − = + ( + 1) .

(20)

�[ ( )| (0) = ] = ( −_−��−��)= ( � −1) (4) Ragam diperoleh dari turunan kedua persamaan (3) pada = 0 dikurangi kuadrat dari turunan pertama persamaan (3) pada = 0,

�� { ( )| (0) = } = ′′ (0)− ′ (0))

= + ( + 1) −( )

= + + −( )

= +

= (1 + )

= � −_−��−��1 +� −_−��−�� = � � −1�(1 + � −1) = � ( � −1). (5) Dari hasil yang diperoleh terlihat bahwa populasi akan semakin meningkat seiring bertambahnya waktu t dengan keragaman yang semakin bervariasi.

2.2 Proses Kematian Murni

Proses kematian murni adalah proses di mana ada individu yang pergi (mati) dari suatu sistem (populasi) dan tidak pernah ada yang datang (lahir) ke sistem tersebut. Proses ini menyebabkan banyaknya populasi yang ada mengalami penurunan. Diasumsikan peluang suatu individu akan mati pada interval waktu ( , +δ ) adalah µδ , dengan δ yang cukup kecil dan µ yang menunjukkan laju kematian, maka peluang dari seluruh populasi yang terdiri atas ( ) individu pada saat dengan interval waktu ( , +δ ) adalah µ ( ) δ + (δ ). Laju perubahan peluang pada saat ada sebanyak individu, dapat dirumuskan sebagai persamaan diferensial orde satu sebagai berikut

�� ₌ _µ_{( + )}

+ ( )−µ ( ). (6) Persamaan tersebut didapat dengan menentukan peluang dari banyaknya

individu pada interval waktu ( , +δ ) adalah individu. ( +� ) = ( ( +� ) = )

(21)

( )−1 +∑ ₌ ( ( ) = + , ( +� )− ( ) =− ) = ( ( ) = ) ( (� )− (0) = 0) + ( ( ) = + 1) ( (� )− (0) =−1) + (�( )

= ( ) (� ) + ₊ ( ) ₋ (� ) + (� )

= ( )�1−µ � + (� )�+ ₊ ( )�µ( + 1)� + (� )� = ( )− ( )µ � + ₋ ( )�µ( −1)� + (� )�

Kedua ruas dibagi dengan� , maka ( +� )− ( )

� =

+ ( )µ( + 1)� + (� )− ( )µ �

�

( +� )− ( )

� = + ( )λ( + 1)− ( )µ +

(� )

�

Setelah dilimitkan dengan δt →0, diperoleh persamaan (6). Nilai awal (0) = { (0) = } =�1, =

0, ≠ , dengan > 0 yang menunjukkan banyaknya populasi awal yang diberikan.

Solusi dari persamaan (6) untuk = adalah ( ) = −µ , untuk < , ambil = −1, sehingga diperoleh ₋ ( ) = −µ( − ) ₍₁₋ −µ _{). (7)} Nilai ≤ diambil karena pada proses kematian, banyaknya populasi semakin menurun dari waktu ke waktu.

Selanjutnya persamaan (7) dibuat dalam bentuk kombinasi, sehingga ₋ ( ) =� ₋ �( −µ ) − (1− −µ ) −( − )_. Untuk = − , diperoleh

₋ ( ) =� ₋ �( −µ ) − (1− −µ ) −( − )_. Bentuk umumnya adalah,

( ) =� �( −µ ) (1− −µ ) − . (8) Persamaan (8) merupakan sebaran binom, berarti banyaknya populasi pada sebarang waktu t memiliki sebaran binom dan mempunyai fungsi pembangkit momen

( ) = ( (1− )) , dengan = −µ . (9) Turunan pertama persamaan (3) pada = 0 adalah :

′ _{( ) = (} _{+ (1}₋ ₎₎ −

(22)

Turunan keduanya pada = 0 adalah: ′′ _{( )}_{= (} ₋₁₎₍ ₊₍₁₋ ₎₎ −2

+ ( +(1− )) −1

= ( −1)( + (1− )) − + ( + (1− )) − .

′′ (0) = ( −1)( + (1− )) − + ( + (1− )) − .

= ( −1) + .

= − + .

Nilai harapan diperoleh dari turunan pertama persamaan (9) pada = 0, sehingga

�[ ( )| (0) = ] = −µ

Ragam diperoleh dari turunan kedua persamaan (9) pada = 0 dikurangi kuadrat dari turunan pertama persamaan (5) pada = 0,

�� { ( )| (0) = } = ′′ (0)− ′ (0))

= ( − + )−( ) = −

= (1− )

= −µ (1− −µ ). (10) Terlihat bahwa banyaknya populasi dan ragamnya menurun secara eksponensial seiring bertambahnya waktu. Dapat diprediksikan populasi akan punah setelah waktu yang lama. Definisi-definisi yang diperlukan dalam pembahasan ini dapat dilihat pada Lampiran 1.

(23)

(24)

BAB III

METODE PENELITIAN

3.1 Sumber Data

Penelitian ini menggunakan data sekunder dan merupakan data jumlah penduduk yang ada di Indonesia. Data yang diambil adalah data hasil sensus BPS tahun 1990, 2000, 2010 dan data hasil supas BPS tahun 1995, 2005, serta data hasil proyeksi BPS selama lima belas tahun, dari tahun 2011-2025. Sumber data diambil dari hasil Sensus dan Supas BPS Indonesia (http://www.datastatistik-indonesia.com/proyeksi dan http://www.bps.go.id).

3.2 Prosedur Penelitian

1. Mengkaji teori proses kelahiran dan kematian.

2. Mengkaji model proses kelahiran dan kematian dengan migrasi, dengan memasukkan unsur varian.

3. Mengevaluasi model pada data penduduk Indonesia berdasarkan data tahun 1990 terhadap data BPS 1995, 2000, 2005 dan 2010.

4. Selanjutnya berdasarkan data tahun 2000 akan di kembangkan untuk proyeksi penduduk sampai tahun 2025 dan membandingkannya dengan data hasil proyeksi BPS untuk memperoleh selang kepercayaan.

5. Berdasarkan data BPS tahun 2010, akan buat proyeksi penduduk sampai tahun 2035.

(25)

(26)

BAB IV

MODEL KELAHIRAN DAN KEMATIAN

4.1 Model Kelahiran Murni

Model ini hanya mempertimbangkan jumlah kelahiran saja dan mengabaikan jumlah kematian, dengan jumlah awal populasi pada waktu adalah

( ), ≥ 0 dan λ menyatakan laju kelahiran. Karena ( ) = [ ( )| (0) = ] maka akan didapatkan persamaan diferensial yang dipenuhi oleh ( ). Sebelum mencari nilai harapan dari ( ), sebagai awalan harus diingat bahwa:

( +ℎ) =� ( ) + 1 , dengan peluang λ ( )ℎ+ (ℎ) ( ) _{, dengan peluang 1}₋_λ _{( )}_ℎ_{+ (}_ℎ₎

[ ( +ℎ)| ( )] = ( ( ) + 1)�λ ( )ℎ+ (ℎ)�+� ( )��1−λ ( )ℎ+ (ℎ)� = ( )λℎ+λ ( )ℎ+ ( )− ( )λℎ+ (ℎ)

= ( ) +λ ( )ℎ+ (ℎ) Karena [ ( )] = ( ), sehingga:

[ ( ( +ℎ)| ( ))] = ( ( )ℎ) + (λ ( )ℎ) + (ℎ) ( +ℎ) = ( ( )) + λℎ ( ( )) + (ℎ)

= ( ) + λℎ ( ) + (ℎ) Mengurangkan kedua ruas dengan ( )

( +ℎ)− ( ) = λℎ ( ) + (ℎ) Ruas kanan dan kiri dibagi dengan ℎ, menghasilkan

� ( +ℎ)−� ( )

ℎ = λℎ ( ) + (ℎ)

ℎ Dilimitkan dengan ℎ→0, maka di peroleh

′ _{( )} ₌_λ _{( )} �′ ( )

� ( ) = λ

Kemudian diintegralkan, sehingga ∫�′ ( )

� ( ) = ∫λ ( ) = λ +

′ _{( )} ₌ λ +

(27)

Karena [ ( )] = ( ) dan (0) = = maka [ ( )] = ( ) = λ . Selanjutnya akan dicari varian dari model ini, dan langkah pertama adalah mencari [ ( )].

[ ( +ℎ)| ( )] = ( ( ) + 1) λ ( )ℎ+ ( )[1−λ ( )ℎ] + (ℎ) =(X (t) + 2X(t) + 1)X(t)λh + X (t)−X (t)λh + o(h)

= ( )λℎ+ 2 ( )λℎ+ ( )λℎ+ ( )− ( )λℎ+ (ℎ)

= 2 ( )λℎ+ ( )λℎ+ ( ) + (ℎ) = ( ) +λℎ�2 ( ) + ( )�+ (ℎ) Selanjutnya dengan ( ) = [ ( )] maka

( +ℎ) = ( ) + +λℎ�2 ( ) + ( )�+ (ℎ) ( +ℎ)− ( ) = 2λℎ ( ) +λℎ ( ) + (ℎ)

Kedua ruas di bagi dengan ℎ dan dilimitkan dengan ℎ→0, maka diperoleh: M (t+ )−M (t)

ℎ = 2λ ( ) +λ ( ) + (ℎ) ℎ (M (t))

= 2λ ( ) +λ ( ) ′ _{( )} _{= 2}_λ _{( ) +} _λ λ

Mengurangkan kedua ruas dengan 2λ ( ), sehingga diperoleh:

′ ( )−2λ ( ) = λ λ

Selanjutnya mengalikan kedua ruas dengan − λ sehingga diperoleh − λ _{ _′ _{( )}₋₂_λ _{( )} =} _λ ₋λ

{ − λ ( )} = λ −λ Kemudian kedua ruas diintegralkan

∫ ( − λ ( )) =∫ λ −λ − λ _{( ) =} λ

−λ −λ + ( ) =₋λ_λ −λ + λ

Di lain pihak, (0) = ( (0) = , sehingga akan diperoleh = + 1, dan �� ( ) = ( ( ))− ( ( ))

= ( ) – ( ( ))

= �− −λ + ( + ) λ � −( λ ) = λ ( λ −1)

(28)

Model dengan pendekatan kedua ini mempunyai kemiripan dengan model (4), dengan jumlah penduduk pada saat adalah ( � −1) dan varian λ � λ −1�. Perbedaannya adalah bahwa pada model yang dihitung adalah jumlah penduduk pada saat t, sedangkan pada model (4) hanya menghitung pertambahannya saja. Selanjutnya dengan menggunakan pendekatan kedua, dibuat model berikutnya, yang merupakan kombinasi dari proses kelahiran dan kematian.

4.2 Model Kelahiran Dan Kematian tanpa Migrasi

Laju pertumbuhan penduduk dipengaruhi oleh proses kelahiran dan kematian, keduanya tidak dapat dipisahkan, karena memberikan pengaruh pada pertumbuhan penduduk secara bersamaan. Kedua proses tersebut sekarang dikombinasikan menjadi satu dengan tingkat kelahiran dan tingkat kematian . Untuk mendapatkan nilai harapan dari ( ), dengan ≥ 0, sebagai awalan harus diingat bahwa:

( +ℎ)=�

( ) + 1, dengan peluang λ ( )ℎ+ (ℎ) ( )−1, dengan peluang µ ( )ℎ+ (ℎ) ( ), dengan peluang 1−(λ+µ) ( )ℎ+ (ℎ)

[ ( +ℎ)| ( )] = λ ( )ℎ+λ ( )ℎ+µ ( )ℎ −µ ( )ℎ+ ( ) −( λ+µ) ( )ℎ+ (ℎ)

= ( λ+µ) ( )ℎ+ ( λ−µ) ( )ℎ+ ( ) −( λ+µ) ( )ℎ+ (ℎ)

= ( ) + ( λ−µ) ( )ℎ+ (ℎ) Karena [ ( )] = ( ), sehingga:

[ ( ( +ℎ)| ( ))] = ( ( ) + ( λ−µ) ( ( )ℎ) + (ℎ) ( +ℎ) = ( ( ) + ( λ−µ)ℎ � ( )�+ (ℎ)

= ( ) + ( λ−µ)ℎ ( )) + (ℎ) Mengurangkan kedua ruas dengan ( )

( +ℎ)− ( ) = ( λ−µ)ℎ ( ) + (ℎ) Ruas kanan dan kiri dibagi dengan h, menghasilkan

� ( +ℎ)−� ( )

ℎ = ( λ−µ) ( )) + (ℎ) ℎ Dilimitkan dengan ℎ→0, maka di peroleh

(29)

�′ ( )

� ( ) = ( λ−µ)

Kemudian diintegralkan, sehingga ∫�′ ( )

� ( ) = ∫( λ−µ) ln ( ) = ( λ−µ) +

( ) = ( λ−µ) + ( ) = ( λ−µ)

Karena [ ( )] = ( ) dan (0) = = maka [ ( )] = ( ) = (λ−µ) Selanjutnya kita akan mencari varian dari model ini, dan langkah pertama adalah mencari [ ( )].

[ ( +ℎ)| ( )] = ( ( ) + 1)2λ ( )ℎ+ ( ( )−1) µ ( )ℎ+ [1−(λ+µ) ( )ℎ] + (ℎ)

= ( ( ) + 2 ( ) + 1) ( )λℎ+ ( ( )−2 ( )−1) ( )µℎ+ ( )(1− ( )λℎ − ( )µℎ+ (ℎ)

= ( )λℎ+ 2 ( )λℎ+ ( )λℎ+ ( )− ( )λℎ+ (ℎ) = ( ) + 2(λ−µ)ℎ ( ) + (λ+µ)ℎ ( ) + (ℎ). Dengan ( ) = [ ( )] maka

( +ℎ) = ( ) + 2(λ−µ)ℎ ( ) + (λ+µ)ℎ ( ) + (ℎ). Kurangkan kedua ruas dengan ( ) , sehingga

( +ℎ)− ( ) = 2(λ−µ)ℎ ( ) + (λ+µ)ℎ ( ) + (ℎ). Kedua ruas di bagi dengan ℎ dan dilimitkan dengan h→0, maka diperoleh:

� ( +ℎ)−� ( )

ℎ = 2(λ−µ) ( ) + (λ+µ) ( ) + (ℎ) ℎ (� ( )) = 2(λ−µ) ( ) + (λ+µ) ( ).

Terdapat dua kasus yang perlu diperhatikan, yaitu ≠ dan = . 1. λ≠ µ

Dari penghitungan sebelumnya diketahui bahwa ( ) = (λ−µ) , maka: (M (_t))

= 2(λ−µ)M (t) + (λ+µ) (λ−µ) (M (t))

- 2(λ−µ)M (t) = (λ+µ) (λ−µ)

Selanjutnya dikalikan kedua ruas dengan − (λ−µ) lalu diintegralkan, (λ−µ) _{ (M (t))_{- 2(}_λ₋_µ_{)M (t)}={ (}_λ₊_µ₎ (λ−µ) _} − (λ−µ)

(30)

{ − (λ−µ) ( )} = (λ+µ)ie(µ−λ)t

∫ ( − (λ−µ) ( )) = ∫(λ+µ) (µ−λ) − (λ−µ) _{( )} ₌ (λ+µ)

µ−λ (µ−λ) +

( ) = (λ+µ) (µ−λ) − (λ−µ)�

(µ−λ) ₊ (λ−µ)

= (λ+µ)

(µ−λ)

(λ−µ) ₊ (λ−µ) Dengan ( ) = i2_{, dan dievaluasi pada = 0, maka:}

(0) = (λ+µ) (µ−λ)

(λ−µ). ₊ (λ−µ).

= (_µλ₋+_λµ) + c = − (_µλ₋+_λµ) Sehingga didapatkan:

( ) = (λ+µ) (µ−λ) e

(λ−µ)t_{+ [} ₋ (λ+µ)

µ−λ ] (λ−µ)

dan diperoleh Varian dari X(t) sebagai berikut:

�� ( ) = ( ( ))− ( ( )) = ( )− ( ( ))

= (_µλ₋+_λµ) (λ−µ) +� − (_µλ₋+_λµ)� (λ−µ) −[ (λ−µ) ] = (_µλ₋+_λµ) (λ−µ) +� − (_µλ₋+_λµ)� (λ−µ) − (λ−µ) = (_µλ+µ)

−λ

(λ−µ) ₊_� (µ−λ)− (λ+µ)− (µ−λ)

µ−λ �

(λ−µ)

= (_µλ+µ) −λ

(λ−µ) ₋ (λ+µ)

µ−λ

(λ−µ) _.

2. Untuk λ= µ

Dari penghitungan sebelumnya diketahui bahwa ( )= (λ−µ) . Jika λ=µ maka ( )=

(� ( ))

= (λ+µ) ( ( )) =(λ+µ)

Selanjutnya diintegralkan kedua ruas

(31)

( ) = (λ+ ) +

Dengan (0) = , dan dievaluasi pada = 0, maka (0) = (λ+ ) +

= (λ+ ) +

c = −(λ+ ) Sehingga didapatkan:

( ) = (λ+ ) + −(λ+ ) ( ) =

dan diperoleh varian dari ( ) sebagai berikut:

�� ( ) = ( ( ))− ( ( )) = ( ) – ( ( ))

= −

= 0

Jika tingkat kelahiran seimbang dengan tingkat kematian, maka pada akhirnya jumlah penduduk akan konstan.

4.3 Model Kelahiran dan Kematian dengan Migrasi

Untuk mendapatkan nilai harapan dari ( ), dengan ≥ 0, sebagai awalan harus diingat bahwa:

( +ℎ)=�

( ) + 1, dengan peluang (λ ( ) +�)ℎ+ (ℎ) ( )−1, dengan peluang µ ( )ℎ+ (ℎ) ( ), dengan peluang 1−( λ+µ) ( ) +�)ℎ+ (ℎ) Memakai cara yang sama dengan model sebelumnya, maka akan didapat nilai harapansebagai berikut:

[ ( +ℎ)| ( )] = ( ) + (( λ−µ) ( ) +�)ℎ+ (ℎ) .

Karena [ ( )] = ( ), sehingga ( ) = ( λ−µ) = ( λ−µ) +� Karena [ ( )] = ( ), (0) = = maka,

[ ( )] = ( ) = (λ−µ) +� .

Selanjutnya kita akan mencari varian dari model ini, dan langkah pertama adalah mencari [ ( )].

[ ( +ℎ)| ( )] = ( ) + 2(λ−µ)ℎ ( ) + (λ+µ+ 2�)ℎ ( ) +�ℎ+ (ℎ)

(32)

Karena ( ) = [ ( )] maka,

( +ℎ) = ( ) + 2(λ−µ)ℎ ( ) + (λ+µ+ 2�)ℎ ( ) +�ℎ+ (ℎ) Kurangkan kedua ruas dengan ( ) , sehingga

( +ℎ)− ( ) = 2(λ−µ)ℎ ( ) + (λ+µ+ 2�)ℎ ( ) +�ℎ+ (ℎ) Kedua ruas di bagi dengan ℎ dan dilimitkan dengan h→0, maka diperoleh:

(� ( ))

= 2(λ−µ) ( ) + (λ+µ+ 2�) ( ) +�

Terdapat dua kasus yang perlu diperhatikan, yaitu ≠ dan = . 1. λ≠µ

Dari penghitungan sebelumnya diketahui bahwa ( ) = (λ−µ) +� , maka: (� ( ))

- 2(λ−µ) ( ) = (λ+µ+ 2�) (λ−µ) +� +� Menggunakan cara yang sama dengan sebelumnya, maka diperoleh,

( ) = (λ+_µµ+ �)

−λ (µ−λ) + ( � +� + ) (λ−µ) Selanjutnya karena ( ) = , dan dievaluasi pada t=0, maka:

C = − (λ+_µµ+ �)

−λ

Sehingga didapatkan:

( ) = (λ+_µµ₋+ �_λ ) (λ−µ) + [ � +� + − (λ+_µµ₋+ �_λ ) ] (λ−µ) dan diperoleh varian dari ( )sebagai berikut:

�� ( ) = ( ( ))− ( ( )) = ( )− ( ( )) = (λ+_µµ+ �)

−λ (µ−λ) +� � +� −

(λ+µ+ �)

µ−λ � (λ−µ) + 2� (λ−µ) +�

2. Untuk λ=µ

Dari penghitungan sebelumnya diketahui bahwa ( )= (λ−µ) . Jika λ=µ maka ( )=

(� ( ))

= (λ+µ) ( ( )) =(λ+µ)

(33)

∫ ( ( )) =∫(λ+ ) ( ) = (λ+ ) +

Dengan (0) = , dan dievaluasi pada = 0, maka (0) = (λ+ ) +

= (λ+ ) + C = −(λ+ ) Sehingga didapatkan:

( ) = (λ+ ) + −(λ + ) ( ) =

dan diperoleh varian dari ( ) sebagai berikut:

�� ( ) = ( ( ))− ( ( )) = ( ) – ( ( ))

= −

= 0

Jika λ=µ , artinya tingkat kelahiran seimbang dengan tingkat kematian dan pada akhirnya jumlah penduduk akan konstan.

(34)

BAB V

APLIKASI MODEL

5.1 Model Kelahiran Murni

Pada bab sebelumnya telah diperoleh model kelahiran murni dengan [ ( )] = λ dan �� ( ) = λ ( λ −1). Selanjutnya akan diaplikasikan pada data penduduk Indonesia, dan mengambil λ= 0,0257 yang merupakan angka kelahiran kasar (CBR) data BPS tahun 1990. Sedangkan angka kematian dan migrasi di anggap tidak ada. Hasil proyeksi yang diperoleh disajikan pada Tabel 1.

Tabel 1 Hasil simulasi model kelahiran murni dari tahun 1990 -2010 Tahun

Jumlah penduduk

Jumlah

penduduk _bawahBatas Batas atas |Error|

( data BPS) (model) (%)

1990 179.378.946 179.378.946 179.378.946 179.378.946 0

1995 194.754.808 203.975.642 203.965.276 203.986.007 4,73

2000 205.132.458 231.945.072 231.928.913 231.961.231 13,07

2005 218.868.791 263.749.709 231.928.914 263.771.540 20,51

2010 237.641.326 299.915.444 231.928.915 299.943.269 26,21

Berdasarkan hasil pada tabel tersebut, dapat dilihat bahwa jika dibandingkan dengan data penduduk riil tahun 1995-2000, tingkat kesalahan yang diperoleh semakin membesar seiring bertambahnya waktu. Hal ini adalah wajar dalam sebuah proyeksi, karena dengan semakin bertambahnya waktu berarti jarak tahun yang diproyeksi terhadap angka awal yang diambil semakin besar. Hasil selengkapnya dapat dilihat pada Lampiran 2.

5.2 Model Kelahiran dan Kematian tanpa Migrasi

Selanjutnya dilakukan proyeksi berdasarkan data BPS tahun 1990 dengan

λ= 0,0257 dan = 0,007, yang merupakan angka kelahiran kasar (CBR) dan angka kematian kasar (CDR), sedangkan angka migrasi dianggap tidak ada. Hasil proyeksi yang diperoleh disajikan pada Tabel 2.

(35)

Tabel 2 Hasil simulasi model kelahiran dan kematian tanpa migrasi dari tahun 1990- 2010 Tahun Jumlah penduduk Jumlah penduduk Batas

bawah Batas atas |Error| ( data BPS) (model) (%)

1990 179.378.946 179.378.946 179.378.946 179.378.946 0 1995 194.754.808 196.959.985 196.948.597 196.971.372 1,13 2000 205.132.458 216.264.152 216.246.868 216.281.435 5,43 2005 218.868.791 237.460.332 237.437.605 237.483.058 8,49 2010 237.641.326 260.733.962 260.705.778 260.762.146 9,72

Berdasarkan hasil pada tabel tersebut, pada saat dibandingkan dengan data hasil BPS tingkat kesalahan yang diperoleh semakin membesar seiring bertambahnya waktu. Tetapi tingkat kesalahannya masih lebih kecil jika dibandingkan dengan model sebelumnya, karena pada model ini sudah dikombinasi antara kelahiran dan kematian. Hasil selengkapnya dapat dilihat pada Lampiran 3.

5.3 Model Kelahiran dan Kematian dengan Migrasi

Selanjutnya dilakukan proyeksi berdasarkan data BPS tahun 1990 dengan

λ= 0,0257 , = 0,007 , dan = 0,0136. Angka migrasi (�) diduga dengan cara �= −λ+ , sehingga diketahui �= −0,0015. Hasil proyeksi yang diperoleh disajikan pada Tabel 3.

Tabel 3 Hasil simulasi model kelahiran dan kematian dengan migrasi dari tahun 1990- 2010 Tahun Jumlah penduduk Jumlah penduduk Batas

bawah Batas atas |Error| ( data BPS) (model) (%)

1990 179.378.946 179.378.946 179.306.164 179.451.728 0 1995 194.754.808 196.959.985 196.883.719 197.036.249 1,13 2000 205.132.458 216.264.152 216.184.237 216.344.067 5,43 2005 218.868.791 237.460.332 237.376.592 237.544.072 8,49 2010 237.641.326 260.733.962 260.646.214 260.821.709 9,72 Tingkat kesalahan yang diperoleh model ini tidak jauh berbeda dengan model kelahiran dan kematian tanpa migrasi. Hal ini karena nilai migrasi di Indonesia yang sangat kecil. Hasil selengkapnya dapat dilihat pada Lampiran 4.

(36)

5.4 Proyeksi Penduduk Menggunakan Data BPS Tahun 2000

Selanjutnya dilakukan proyeksi berdasarkan data BPS tahun 2000 dengan

λ= 0,0206, = 0,007, dan �= 0. Hasil penghitungan dapat dilihat pada Gambar 1, dan hasil penghitungan lengkap dapat dilihat pada Lampiran 5.

Gambar 1 Perbandingan antara data hasil proyeksi memakai model dengan data proyeksi BPS tahun 2000-2025

Dari Gambar 1 dapat dilihat bahwa semakin bertambahnya tahun proyeksi, selisih antara data hasil proyeksi memakai model dan data hasil proyeksi BPS semakin besar.

5.5 Proyeksi Penduduk Menggunakan Data BPS Tahun 2010

Data hasil sensus terakhir yang ada di Indonesia adalah data tahun 2010, maka akan dilakukan proyeksi berdasarkan data tahun 2010 tersebut. Dengan

λ= 0,0184, = 0,0063 , dan = 0,0122 dimana merupakan angka laju pertumbuhan penduduk dan digunakan untuk mencari angka migrasi, sehingga

50,000,000 100,000,000 150,000,000 200,000,000 250,000,000 300,000,000 350,000,000

2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012 2015 2017 2019 2021 2023 2025

Tahun

Proyeksi BPS Model

(37)

diketahui �= 0,0001. Hasil penghitungan dapat dilihat pada Gambar 2, dan hasil penghitungan lengkap dapat dilihat pada Lampiran 6.

Gambar 2 Proyeksi memakai model dengan data hasil proyeksi BPS tahun 2010

Dari Gambar 2 dapat dilihat bahwa jumlah penduduk Indonesia diprediksi akan semakin meningkat dari tahun 2010-2035. Selanjutnya seperti disajikan pada Lampiran 6, proyeksi penduduk tahun 2015, 2020, 2025, 2030 dan 2035 berturut turut mempunyai hasil 252.462.445; 268.207.921; 284.935.404; 302.706.141 dan 321.585.196; dengan selang kepercayaan [252.446.931; 252.477.958], [268.185.287; 268.230.554], [284.906.789; 284.964.020], [302.672.011; 302.740.271] dan [321.545.757; 321.624.634].

50,000,000 100,000,000 150,000,000 200,000,000 250,000,000 300,000,000 350,000,000

2010 2012 2015 2017 2019 2021 2023 2025 2027 2029 2031 2033 2035

Tahun

(38)

BAB VI

KESIMPULAN DAN SARAN 6.1 Kesimpulan

1. Kelebihan dari model kelahiran dan kematian dengan migrasi yang dibahas dalam tulisan ini mampu memberikan selang kepercayaan, di samping memberikan nilai estimasinya.

2. Setelah diaplikasikan pada data sebenarnya, model ini memberikan tingkat kesalahan dibawah 10% dibandingkan dengan data sebenarnya dalam jangka waktu 20 tahun.

3. Berdasarkan data tahun 2000, dapat dibuat proyeksi penduduk Indonesia sampai tahun 2025. Hasil dari proyeksi ini memberikan selisih dibawah 6% dibandingkan dengan proyeksi dari BPS.

6.2 Saran

Dalam penelitian ini, penulis tidak memisahkan antara laki-laki dan perempuan, selanjutnya disarankan untuk diadakan penelitian lebih lanjut dengan memisahkan antara laki-laki dan perempuan.

(39)

(40)

DAFTAR PUSTAKA

Adioetomo SM & Samosir OB. 2010. Dasar-dasar Demografi. Lembaga Demografi, Jakarta.

Bain LJ & Engelhart M. 2001. Introduction to Probability and Mathematical Statistics. Oxford University Press, USA.

Bappenas. 2005. Proyeksi Penduduk Indonesia 2000-2025. BPS-Bappenas, Jakarta (http://www.bps.go.id dan http://www. Datastatistik-Indonesia.com/proyeksi) [23 Juli 2012]

Farlow SJ. 2006. An Intoduction to Differential Equation and their Aplication. Dover Publication, New York.

Grimmet GR. & Stirzaker DR. 2001. Probability and Random Processes.

3rd Ed. Oxford University Press, USA.

Hogg RV, Mc Kean JW, & Craig AT. 2005. Introduction to Mathematical Statistic. 6th Ed. Pearson Education, Michigan.

Ricciardi LM. 1986. Stochastic Population Theory: Birth and Death Processes Mathematical Ecology an Introduction. Springer-Verlag. Berlin.

Ross SM. 1996. Stochastic Processes. 2nd Ed. John Wiley & Sons, Inc, New York.

Susilawati W. 2005. Pemodelan stokastik suatu populasi dengan proses kelahiran dan kematian. [Skripsi] Bogor : Program Sarjana, Institut Pertanian Bogor.

Taylor HM. 1998. An Introduction to Stochastic Modeling. 3th Ed. Academic Press, New York .

United Nations. 1983. Manual x : Indirect techniques for demographic estimation. NewYork.

(41)

(42)

Lampiran 1 Definisi-definisi Definisi 1 Sensus Penduduk

Sensus Penduduk adalah suatu proses pengumpulan, pengolahan, dan penyajian data kependudukan termasuk ciri-ciri sosial ekonominya yang dilaksanakan dalam suatu waktu tertentu terhadap semua orang dalam suatu negara atau suatu teritorial tertentu.

[Lembaga Demografi FE UI 2010] Definisi 2 Survei

Survei adalah suatu kegiatan yang berhubungan dengan suatu metode pengumpulan data. Dalam bidang kependudukan, survei dilakukan untuk memperoleh data yang terperinci dan spesifik serta untuk memenuhi kebutuhan antar sensus (Survei Penduduk Antar Sensus atau SUPAS).

[Lembaga Demografi FE UI 2010]

Definisi 3 Percobaan Acak

Dalam suatu percobaan seringkali dilakukan pengulangan, yang biasanya dilakukan dalam kondisi yang sama. Walaupun dapat mengetahui semua kemungkinan hasil yang akan muncul, tetapi hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat diduga dengan tepat. Percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama semacam ini, disebut percobaan acak.

[Hogg , Mc Kean & Craig 2005]

Definisi 4 Ruang Contoh dan Kejadian

Himpunan dari semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh, dinotasikan dengan Ω.. Suatu kejadian A adalah himpunan bagian dari ruang contoh Ω.

[Grimmet & Stirzaker 2001]

Definisi 5 Medan-σ dan Peubah Acak

Medan-σ adalah suatu himpunan Ƒ yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian ruang contoh Ω, serta memenuhi kondisi berikut:

(43)

2. Jika A1, A2, …

�

Ƒ maka ∞=

�

.

3. Jika A

�

Ƒ, maka Ac ∈ Ƒ.

Suatu peubah acak X adalah suatu fungsi X : Ω → R dengan sifat bahwa { ∈ Ω; X(w)≤ x}∈ Ƒ, untuk setiap ∈

[Grimmet & Stirzaker 2001]

Definisi 6 Ukuran Peluang

Ukuran peluang adalah suatu fungsi :Ƒ →[0,1] pada (Ω,Ƒ) yang memenuhi: 1. (∅) = 0, (Ω) = 1

2. Jika A1, A2, … ∈ Ƒ adalah himpunan saling lepas, yaitu ∩ = ∅ untuk setiap pasangan i≠j, maka � ∞₌₁ �

=

∑∞₌₁

(

)

.

Pasangan (Ω,Ƒ, ) disebut ruang peluang.

[Grimmet & Stirzaker 2001]

Definisi 7 Kejadian Saling Bebas

Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika ( ∩ ) = ( ) ( ) . Secara umum, himpunan kejadian { , ∈ �} dikatakan saling bebas jika � _�� =

∏_∈� ( ), untuk setiap himpunan bagian berhingga J dari I.

[Grimmet & Stirzaker 2001]

Definisi 8 Peubah Acak Diskret

Jika himpunan nilai semua kemungkinan dari peubah acak X adalah himpunan yang dapat dicacah, maka X disebut peubah acak diskret.

[Bain & Engelhardt 2001]

Definisi 9 Peubah Acak Kontinu

Suatu peubah acak X disebut kontinu jika fungsi sebarannya dapat dinyatakan sebagai ( ) =∫_−∞ ( ) , ∈ , dengan : → [0,∞) adalah fungsi yang terintegralkan. Fungsi f disebut fungsi kepekatan peluang dari peubah acak X.

(44)

Definisi 10 Fungsi Kerapatan Peluang

Fungsi kerapatan peluang dari peubah acak diskret X adalah fungsi : →[0,1] yang diberikan oleh ( ) = ( = ).

[Grimmet & Stirzaker 2001]

Definisi 11 Nilai Harapan

Jika X adalah peubah acak diskret dengan fungsi kerapatan peluang ( ), maka nilai harapan dari X adalah: �[ ] =∑ ( ) dengan syarat jumlahnya konvergen. Jika X adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang

( ), maka nilai harapan dari X adalah: �[ ] =∫_−∞∞ ( ) , dengan syarat integral tersebut konvergen mutlak.

[Bain & Engelhardt 2001]

Definisi 12 Fungsi Sebaran Bersama Dua Peubah Acak

Misalkan X dan Y adalah peubah acak, fungsi sebaran bersama dari X dan Y adalah ( , ) = ( ≤ , ≤ ).

[Grimmet & Stirzaker 2001] Definisi 13 Fungsi Kepekatan Peluang

Misalkan X dan Y adalah peubah acak diskret dengan fungsi kepekatan peluang bersama ( , ), maka fungsi kerapatan peluang bersyarat dari X dengan syarat Y=y adalah _| ( | ) = , ( , )

( ) , dengan syarat ( ) > 0.

[Grimmet & Stirzaker 2001]

Definisi 14 Fungsi Kepekatan Peluang Bersyarat

Misalkan X dan Y adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang bersama ( , ), maka fungsi peluang bersyarat dari X dengan syarat Y=y adalah _| ( | ) = , ( , )

( ) , dengan syarat ( ) > 0.

(45)

Definisi 15 Nilai Harapan Bersyarat

Misalkan X dan Y adalah peubah acak kontinu dan _| ( | ) adalah fungsi kepekatan peluang bersyarat dari X dengan syarat Y =y. Nilai harapan dari X dengan syarat Y=y adalah [ | = ] =_∫_−∞∞ _| ( | ) . Jika X dan Y adalah peubah acak diskret dengan ( , ), adalah fungsi kerapatan peluang bersyarat dari X dengan Syarat Y=y, maka nilai harapan dari X dengan syarat Y=y

adalah [ | = ] =∑ _| ( | ).

[Hogg , Mc Kean & Craig 2005]

Definisi 16 Fungsi Pembangkit

Suatu barisan bilangan real � = {� , = 0, 1, 2, … } berisi banyak informasi. Cara singkat untuk menceritakan semua informasi yang ada pada bilangan-bilangan tersebut secara bersamaan dinyatakan dalam suatu fungsi pembangkit. Fungsi

pembangkit dari barisan � adalah fungsi _� yang didefinisikan oleh �( ) =∑∞= � , untuk ∈ jika jumlahnya konvergen. Barisan � dapat

dibentuk dari fungsi _�, dengan membuat � = ��

(�)

( )

! , dimana fungsi � ( )

adalah turunan ke dari fungsi .

[Grimmett & Stirzaker 2001]

Definisi 17 Varian

Varian dari peubah acak X adalah nilai harapan dari kuadrat selisih antara X dengan nilai harapannya. Secara matematis dinyatakan sebagai

�� ( ) = [( − ( )) ].

[Bain & Engelhardt 2001]

Definisi 18 Fungsi Pembangkit Momen

Jika adalah peubah acak, maka ( ) = [ ] disebut fungsi pembangkit momen dari jika nilai harapannya ada untuk semua nilai pada suatu interval

−ℎ< < ℎ dengan ℎ > 0.

(46)

Definisi 19 Fungsi Pembangkit Peluang

Misalkan adalah peubah acak diskret yang nilainya berupa bilangan bulat tak negatif {0,1,2, … } dan fungsi kerapatan peluangnya diberikan oleh ( = ) =

. Fungsi pembangkit peluang dari peubah acak didefinisikan oleh ( ) = ( ), dengan ( ) =∑∞₌ ( = ) =∑∞₌ .

[Grimmett & Stirzaker 2001]

Definsi 20 Sebaran Eksponensial

Peubah acak disebut memiliki sebaran Eksponensial, jika fungsi kepekatan peluangnya adalah ( ) =λ −λ dengan λ > 0, 0 < < ∞.

[Hogg , Mc Kean & Craig 2005]

Definisi 21 Sebaran Bernoulli

Suatu percobaan acak yang hanya menghasilkan dua kemungkinan (sukses dan gagal) disebut percobaan Bernoulli. Peubah acak disebut mempunyai sebaran

Bernoulli jika merupakan peubah acak pada percobaan Bernoulli dengan = �1, jika sukses

0, jika gagal .

Jika menyatakan peluang sukses, maka mempunyai fungsi kerapatan peluang ( ) = (1− ) − , = 0, 1.

[Hogg , Mc Kean & Craig 2005]

Definisi 22 Sebaran Binom

Jika percobaan Bernoulli diulang kali, dan setiap percobaan saling bebas, maka peubah acak yang menyatakan banyaknya sukses dari kali percobaan Bernoulli, disebut peubah acak Binom. Jika menyatakan peluang sukses dari setiap percobaan Bernoulli, maka fungsi kerapatan peluang dari adalah

( ) =� � (1− ) − dengan = 0, 1, 2, …

(47)

Definisi 23 Sebaran Binom Negatif

Sebaran Binom Negatif diperoleh dari percobaan Bernoulli yang dilakukan terus menerus sampai sukses tercapai. Jika peubah acak menyatakan banyaknya percobaan sampai r sukses tercapai, maka disebut memiliki sebaran Binom Negatif. Jika menyatakan peluang sukses dari setiap percobaan Bernoulli, maka fungsi kerapatan peluang dari adalah ( ) = ( = ) =� ₋− � (1−

) − .

[Hogg , Mc Kean & Craig 2005]

Definisi 24 Proses Stokastik

Proses Stokastik { ( ),

�

} adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh Ω ke ruang state .

[Ross 1996]

Definisi 25 Rantai Markov dengan Waktu Diskret

Proses Stokastik { , = 0, 1, 2, … } dengan ruang state {0, 1, 2, … }, disebut rantai markov dengan waktu diskret jika untuk setiap = {0, 1, 2, … } berlaku

( + 1 = | = , −1 = −1, … , ₀ = ) = ( ₊ = | = ).

[Ross 1996] Definisi 26 Rantai Markov dengan Waktu Kontinu

Suatu proses Stokastik dengan waktu kontinu { ( ), ≥0}, dengan ruang state diskret {0, 1, 2, … }, disebut rantai markov dengan waktu kontinu jika untuk setiap t, > 0 dan , , ( )

�

{0, 1, 2, … }, 0 ≤ < berlaku ( ( , ) = | ( ) = , ( ) = ( ); 0 ≤ < ) = ( ( + ) = | ( ) = ).

[Ross 1996]

Definisi 27 Proses Pencacahan

Suatu proses stokastik { ( ), ≥0} disebut proses pencacahan jika ( ) menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu .

(48)

Definisi 29 Proses Poisson

Suatu proses stokastik { ( ), ≥0} disebut proses Poisson dengan laju λ,λ≥0, jika memenuhi syarat berikut:

i) (0) = 0

ii) Memiliki inkremen bebas dan inkremen stationer.

iii)Banyaknya kejadian pada sembarang interval waktu memiliki sebaran Poisson dengan nilai harapan λ .

[Ross 1996]

Definisi 28 Persamaan Diferensial Biasa

Suatu persamaan yang melibatkan variabel x dengan suatu fungsi tak bebas y dan turunan-turunannya ( , , ( ), ( ), … disebut persamaan diferensial biasa.

[ Farlow 2006]

Definisi 29 Persamaan Diferensial Biasa Linear

Jika persamaan diferensial dapat dituliskan dalam bentuk + = , dimana P dan Q merupakan fungsi dalam x, maka persamaan tersebut disebut persamaan diferensial linear orde satu.

[Farlow 2006]

Definisi 30 Persamaan Diferensial Parsial (PDP)

Adalah suatu persamaan yang memiliki bentuk sebagai berikut: ( , , … , , , , … , , , , … ) = 0

yaitu persamaan yang menghubungkan nilai-nilai variabel bebas , = 1, … , , fungsi ( , … , ) dan turunan-turunan parsialnya.

[Farlow 2006]

Definisi 31 PDP Linear dan Quasi linier

PDP adalah linier jika hubungan antara sebuah fungsi dan turunan-turunannya adalah linear.

Suatu PDP berorde k disebut Quasi Linear jika turunan parsial ke k adalah linear [Farlow 2006]

(49)

Lampiran 2 Hasil simulasi model kelahiran murni tahun 1990-2010 berdasarkan data tahun 1990*

Zhitung = 1,96 λ1990 = 0,0257

µ1990 = 0

θ1990 = 0

Tahun Jumlah Jumlah Batas bawah Batas atas |Error|

Penduduk* penduduk (%)

(Data BPS) (Model)

1990 179.378.946 179.378.946 179.378.946 179.378.946 0 1991 184.048.735 184.044.444 184.053.025

1992 188.840.092 188.833.907 188.846.278 1993 193.756.184 193.748.460 193.763.908 1994 198.800.257 198.791.164 198.809.350

1995 194.754.808 203.975.642 203.965.277 203.986.008 4,73 1996 209.285.759 209.274.181 209.297.336

1997 214.734.114 214.721.363 214.746.865 1998 220.324.307 220.310.408 220.338.207 1999 226.060.030 226.044.997 226.075.063

2000 205.132.458 231.945.072 231.928.913 231.961.231 13,07 2001 237.983.319 237.966.037 238.000.602

2002 244.178.761 244.160.353 244.197.169 2003 250.535.489 250.515.950 250.555.029 2004 257.057.703 257.037.024 257.078.382

2005 218.868.791 263.749.710 263.727.880 263.771.540 20,51 2006 270.615.930 270.592.936 270.638.925

2007 277.660.900 277.636.726 277.685.074 2008 284.889.272 284.863.900 284.914.643 2009 292.305.821 292.279.233 292.332.408

2010 237.641.326 299.915.445 299.887.621 299.943.269 26,21 | | = �ℎ ( � ��)− �ℎ ( )

�ℎ ( � ��) 100% *Sumber :

(50)

Lampiran 3 Hasil simulasi model kelahiran dan kematian tanpa migrasi tahun 1990-2010 berdasarkan data tahun 1990*

Zhitung = 1,96 λ1990 = 0,0257 µ1990 = 0,007

θ1990 = 0

Tahun Jumlah Jumlah Batas bawah Batas atas |Error|

Penduduk* penduduk (%)

(Data BPS) (Model)

1990 179.378.946 179.378.946 179.378.946 179.378.946 0 1991 182.764.892 182.760.078 182.769.706

1992 186.214.751 186.207.847 186.221.656 1993 189.729.730 189.721.154 189.738.306 1994 193.311.057 193.301.014 193.321.100

1995 194.754.808 196.959.985 196.948.597 196.971.372 1,13 1996 200.677.790 200.665.138 200.690.441

1997 204.465.771 204.451.912 204.479.631 1998 208.325.255 208.310.228 208.340.282 1999 212.257.590 212.241.424 212.273.756

2000 205.132.458 216.264.152 216.246.868 216.281.435 5,43 2001 220.346.341 220.327.955 220.364.727

2002 224.505.585 224.486.107 224.525.063 2003 228.743.339 228.722.776 228.763.903 2004 233.061.085 233.039.439 233.082.730

2005 218.868.791 237.460.332 237.437.605 237.483.058 8,49 2006 241.942.619 241.918.810 241.966.427

2007 246.509.513 246.484.619 246.534.407 2008 251.162.612 251.136.628 251.188.596 2009 255.903.542 255.876.462 255.930.622

2010 237.641.326 260.733.962 260.705.778 260.762.146 9,72 | | = �ℎ ( � ��)− �ℎ ( )

�ℎ ( � ��) 100% *

Sumber :

(51)

Lampiran 4 Hasil simulasi model kelahiran dan kematian dengan migrasi tahun 1990-2010 berdasarkan data tahun 1990*

Zhitung = 1,96 λ1990 = 0,0257 µ1990 = 0,007 θ1990 = -0,0051