Bila kita gunakan metode cakram, maka daerah kita bagi menjadi dua bagian yaitu : pada selang
1
y
dibatasi
y x
2
dan sumbu Y sedang pada selang dibatasi
2 1
y
dan sumbu Y. Oleh karena itu volume =
dy y
dx y
V
2 2
1 1
2
2
2. Hitung volume benda putar bila daerah D yang dibatasi oleh
2
1 x
y
, sumbu X dan sumbu Y bila diputar mengelilingi garis x = 1
Jawab Misal di ambil sembarang nilai x pada daerah D maka didapatkan tinggi benda
pejal,
2
1 x
dan jari-jari jarak x terhadap sumbu putar garis x = 1 , 1 + x . Oleh karena itu,
volume benda putar :
6 5
1 1
2
2 1
dx x
x V
4.3 Panjang Busur
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-
123
Gambar 4.16
Pada gambar 4.16, AB adalah suatu bagian kurva
. x
f y
Berdasarkan definisi, AB merupakan limit penjumlahan dari panjang sekumpulan tali busur
B P
P P
P P
P P
AP
n n
n 1
1 2
4 3
2 1
1
, ,...
, ,
yang menghubungkan titik-titik pada busur itu. Jika banyaknya titik-titik pada kurva
x f
y
banyaknya menuju tak hingga maka panjang tiap tali busur tersebut menuju nol.
Selanjutnya jika
, c
a A
dan
, d
b B
sebarang dua titik pada kurva
x f
y
dengan turunan
x f
y
adalah
x f
y
yang masing-masing kontinu pada interval
b x
a
maka panjang tali busur dinyatakan oleh
b a
AB
dx dx
dy ds
s
2
1
Dengan cara yang sama, jika
, c
a A
dan
, d
b B
dua titik pada kurva yang persamaannya dinyatakan dengan
y f
x
dengan
y f
x
turunannya adalah
y f
x
yang masing-masing kontinu pada
d y
c
maka panjang busur AB dinyatakan oleh
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-
B P
n
2
P Y
X
x f
y
i
P
j
P
A P
o
1
P
124
d c
AB
dy dy
dx ds
s
2
1
Apabila persamaan kurva dinyatakan dalam bentuk persamaan parametrik
2 1
tt t
dengan tg
y tf
x
Dan jika syarat kontinuitasnya dipenuhi maka panjang tali busur AB dinyatakan oleh:
2 1
2 2
t t
AB
du dt
dy dt
dx ds
s
Contoh 1 Gunakan dengan teknik integral untuk menentukan panjang ruas garis
3 2
x
y
antara titik 1,5 dan 3,9. Bandingkan hasilnya dengan menggunakan rumus jarak. Jawab
Karena
3 2
x
y
diperoleh
2
dx dy
sehingga
3 1
2 3
1 2
2 1
1 dx
dx dx
dy s
5 2
5 1
5 3
5
3 1
x
Dengan menggunakan rumus jarak yang menghubungkan dua titik
2 2
A B
A B
Y Y
X X
AB
5 2
20 16
4 5
9 1
3
2 2
AB
Kedua cara memberikan hasil yang sama.
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-
125
2 Tentukan panjang tali busur AB pada kurva
2 2
8x y
jika
, A
dan
2 ,
1 B
Jawab Karena
2 2
8x y
maka
x dx
dy y
16 2
atau
2
8 16
x x
dx dy
dan berubah dari
x
dan
1
x
sehingga
dx dx
x x
dx dx
dy s
1 1
2 2
1 2
32 1
8 16
1 1
1
33 x
33
3 Tentukan panjang tali busur AB pada kurva
1 3
2 3
y x
untuk
4
y
. Jawab
Karena
1 3
2 3
y x
maka
y dy
dx 2
9
sehingga
d c
dy dy
dx S
2
1
4 2
2 9
1 dy
y
4
4 81
1 dy
y
Dengan menggunakan substitusi . Misal
y m
4 81
1
diperoleh
y m
4 81
1
2
sehingga
dy mdm
4 81
2
Karena
y
maka
1
m
dan Karena
4
y
maka
90
m
Sehingga
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-
126
90 1
90 1
3 4
3 1
81 8
81 8
4 81
1
m dm
m m
dy y
3 1
90 30
81 8
4 Tentukan panjang tali busur pada kurva
8 24
4
x xy
antara
2 1
x dan
x
Jawab Karena
8 24
4
x xy
maka
dx x
ydx xdy
3
4 24
Atau
dx y
x dy
x 24
4 24
3
sehingga diperoleh
3 4
4 3
3
8 16
24 24
8 24
24 24
24 4
x x
x x
x x
x y
x dx
dy
Karena y berubah dari
2 1
x dan
x
sehingga
2 1
2
1 dx
dx dy
s
2 1
2 4
8 16
1 dy
x x
\
2 1
2 2
4
16 64
1 dx
x x
2 1
2 2
16 8
1 dx
x x
2 1
3
32 3
1 8
1
x
x
24 55
3 55
8 1
32 3
1 8
1 16
3 8
8 1
5 Tentukan panjang tali busur pada kurva
1 ,
3 2
, 1
t t
y t
x
Jawab Karena
t x
1
maka
1
dt dx
dan karena
t y
3 2
maka
3
dt dy
Sehingga diperoleh
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-
127
2 1
2 2
t t
AB
dt dt
dy dt
dx ds
s
1 2
2
3 1
dt
1
10dt
10 10
1
t
Soal-soal Tentukan panjang tali busur yang ditunjukkan oleh
1
2 3
2
1 3
2
x
y
antara
1
x
dan
2
x
2
2 3
3 2
4 x
y
antara
1
x
dan
8
x
3
1 3
2 3
y x
antara
y
dan
4
y
4
3 6
4
x xy
antara
1
x
dan
2
x
5
4 1
, 2
1 2
, 2
3
3 2
t t
y t
x
6
2 ,
5 cos
4 ,
sin 4
t t
y t
x
4.4 Luas Permukaan Benda Putar
