b a
dx y
y V
2 2
2 1
Gambar 4.12
b. Pemutaran mengelilingi sumbu Y
Misal R adalah luasan yang dibatasi oleh
d y
c y
x g
x
, ,
Selanjutnya R diputar mengelilingi sumbu x. Lintasan kurva akan membentuk bangun berupa benda
pejal. Benda tersebut volumenya dapat didekati dengan menggunakan integral tertentu
yaitu:
dy x
V
d c
2
.
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-
117
Gambar 4.13
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-
X Y
y f
x d
y
c y
118
Gambar 4.14
Gambar 4.15
Jika R dibatasi oleh dua kurva yaitu
d y
c y
x g
x x
f x
, ,
,
2 1
. Dengan
2 1
x x
Selanjutnya R diputar mengelilingi sumbu y, maka terbentuk benda pejal yang volumenya dapat didekati dengan menggunakan integral tertentu, yaitu:
d c
dy x
x V
2 2
2 1
Benda putar yang sederhana dapat kita ambil contoh adalah tabung dengan besar volume adalah hasilkali luas alas luas lingkaran dan tinggi tabung. Volume dari benda
putar secara umum dapat dihitung dari hasilkali antara luas alas dan tinggi. Bila luas alas dinyatakan dengan Ax dan tinggi benda putar adalah panjang selang [ a,b ] maka
volume benda putar dapat dihitung menggunakan integral tentu sebagai berikut :
dx x
A V
b a
Untuk mendapatkan volume benda putar yang terjadi karena suatu daerah diputar terhadap suatu sumbu, dilakukan dengan menggunakan dua buah metode yaitu
metode cakram dan kulit tabung.
Metode Cakram
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-
119
Misal daerah dibatasi oleh b
x dan
x y
x f
y
,
1 ,
, diputar dengan
sumbu putar sumbu x. Volume benda pejalpadat yang terjadi dapat dihitung dengan memandang bahwa volume benda padat tersebut merupakan jumlah tak berhingga
cakram yang berpusat di titik-titik pada selang
b a,
. Misal pusat cakram
, x
dan jari-jari
x f
r
. Maka luas cakram dinyatakan :
2
x f
x A
Oleh karena itu, volume benda putar :
b a
dx x
f V
2
Sedang bila grafik fungsi dinyatakan dengan
d y
dan c
y x
y g
x
,
,
diputar mengelilingi sumbu Y maka volume benda putar :
d c
dy y
g V
2
Bila daerah yang dibatasi oleh
x f
y
,
, x
g x
f x
g y
untuk setiap
b x
dan a
x b
a x
,
,
diputar dengan sumbu putar sumbu X maka volume:
b a
dx x
g x
f V
2 2
Bila daerah yang dibatasi oleh
, ,
y g
y f
y g
x y
f x
untuk setiap
d y
dan c
y d
c y
,
,
diputar dengan sumbu putar sumbu Y maka volume :
d c
dy y
g y
f V
2 2
Contoh : 1. Hitung volume benda putar bila luasan yang dibatasi oleh :
2
x y
dan
x y
8
2
diputar mengelilingi a. sumbu X.
b. sumbu Y Jawab :
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-
120
Kedua kurva berpotongan di titik 0,2 dan 2,4 . a. Pada selang
2
8 ,
2 ,
x x
. Volume benda diputar mengelilingi sumbu x dinyatakan oleh
5 48
8
2 2
2 2
dx x
x V
b. Pada selang
8 ,
4 ,
2
y y
Volume benda diputar mengelilingi sumbu y dinyatakan oleh
5 48
8
2 2
2 2
dy y
y V
2. Hitung volume benda putar bila luasan yang dibatasi oleh kurva-kurva :
x y
x y
, 2
2
dan sumbuY bila diputar mengelilingi garis
2
y
Jawab : Kedua kurva berpotongan di
1 ,
1
dan
. 2
, 2
Pada selang
, 1
berlaku
x x
2
2
. Jarak kurva
x y
x y
, 2
2
terhadap sumbu putar garis y = -2 dapat dipandang sebagai jari-jari dari cakram, berturut-turut adalah
x
4
dan
x
2
. Sehingga volume benda putarnya adalah:
5 36
2 4
1 2
2 2
dx x
x V
Metode Kulit Tabung
Metode kulit tabung sebagai alternatif lain dalam perhitungan volume benda putar yang mungkin lebih mudah diterapkan bila kita bandingkan dengan metode
cakram. Benda putar yang terjadi dapat dipandang sebagai tabung dengan jari-jari kulit luar dan dalamnya berbeda, maka volume yang akan dihitung adalah volume dari kulit
tabung. Untuk lebih memperjelas kita lihat uraian berikut. Pandang tabung dengan jari-jari kulit dalam dan kulit luar berturut-turut
1
r
dan
2
r
, tinggi tabung h. Maka volume kulit tabung adalah :
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-
121
r rh
h r
r V
2
1 2
r r
r jari
jari rata
rata r
r r
dengan
1 2
1 2
, ,
2 :
Bila daerah yang dibatasi oleh
b x
a x
y x
f y
, ,
,
diputar mengelilingi sumbu Y maka kita dapat memandang bahwa jari-jari
x r
dan x
r
dan tinggi tabung
x f
h
Oleh karena itu volume benda putar yang terjadi adalah
dx x
xf V
b a
2
Misal daerah dibatasi oleh kurva
b x
dan a
x b
a x
x g
x f
x g
y x
f y
, ,
, ,
,
diputar mengelilingi sumbu Y. Maka volume benda putar
dx x
g x
f x
V
b a
2
Bila daerah dibatasi oleh grafik yang dinyatakan dengan
d y
c y
x y
f x
, ,
,
diputar mengelilingi sumbu X, maka volume =
dy y
f y
V
d c
2
Sedang untuk daerah yang dibatasi oleh
d y
dan c
y dan
d c
y y
g y
f y
g x
y f
x
,
, ,
, ,
diputar mengelilingi sumbu X. Maka volume benda putar yang didapat dinyatakan dengan
dx y
g y
f y
V
d c
2
Contoh : 1. Hitung volume benda putar bila daerah yang terletak di kuadran pertama dibawah
parabola Jawab
2
2 x
y
dan di atas parabola
2
x y
diputar mengelilingi sumbu Y.
dx x
x x
V
1 2
2
2 2
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-
122
Bila kita gunakan metode cakram, maka daerah kita bagi menjadi dua bagian yaitu : pada selang
1
y
dibatasi
y x
2
dan sumbu Y sedang pada selang dibatasi
2 1
y
dan sumbu Y. Oleh karena itu volume =
dy y
dx y
V
2 2
1 1
2
2
2. Hitung volume benda putar bila daerah D yang dibatasi oleh
2
1 x
y
, sumbu X dan sumbu Y bila diputar mengelilingi garis x = 1
Jawab Misal di ambil sembarang nilai x pada daerah D maka didapatkan tinggi benda
pejal,
2
1 x
dan jari-jari jarak x terhadap sumbu putar garis x = 1 , 1 + x . Oleh karena itu,
volume benda putar :
6 5
1 1
2
2 1
dx x
x V
4.3 Panjang Busur