Contoh 1 Tentukan luas luasan yang dibatasi oleh kurva
2
y x
dan garis
2 ,
2
y y
Jawab Luasan
2
y x
dan garis
2 ,
2
y y
dapat digambarkan sebagai berikut:
Gambar 4.8
Sehingga luas luasan tersebut adalah
dy y
g R
A
d c
3 16
3 1
2 2
2 3
2 2
2 2
2
y dy
y dy
y
b. Daerah antara dua kurva
Daerah antara dua kurva adalah luasan yang pembatsanya adalah
x f
y
dan
x g
y
dengan
x g
x f
pada selang
b a,
. Sepertihalnya luasan yang dibatasi oleh satu kurva, luasan yang dibatasi dua kurva dapat berupa luasan positip dan luasan
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-
R
X
Y
2
y
2
y x
2
y
113
negatip. Dengan demikian aturan menentukan luas luasan dengan integral pada luasan yang dibatasi satu kurva juga berlaku untuk luasan yang dibatasi oleh dua kurva.
Perhatikan gambar 4.9 berikut ini.
Gambar 4.9
x x
g x
f A
Sehingga luas luasan dinyatakan dengan:
b a
dx x
g x
f R
A
Rumus di atas berlaku untuk luasan di atas sumbu x, jika luasannya disebelah kanan sumbu y, maka luas luasan yang dibatasi oleh dua kurva dinyatakan dengan
d c
dy y
g y
f R
A
Soal-soal
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-
Y
a x
b x
x g
x f
x
114
Gunakah integral tertentu untuk menentukan luas luasan berikut. 1. Luasan R dibatasi oleh kurva
2
2
x y
dan
4 2
2
x
x y
2. Luasan R dibatasi oleh kurva-kurva x
y ,
x y
2
dan
x y
5
3. Luasan R dibatasi oleh kurva
x y
dan
6
x y
4. Luasan R dibatasi oleh kurva-kurva
6
x
y
,
3
x y
dan
2
x
y
. Kemudian hitunglah luasnya.
5. Luasan R dibatasi oleh kurva
x y
4
2
dan
x y
4 4
2
4.2 Volume Benda Putar a. Pemutaran mengelilingi sumbu X
Misal R adalah luasan yang dibatasi oleh
b x
a x
x f
y
, ,
Selanjutnya R diputar mengelilingi sumbu x. Lintasan kurva karena mengelilingi sumbu X
membentuk bangun berupa benda padat pejal. Dengan menggunakan integral tertentu volume benda padat tersebut dapat didekati dengan menggunakan rumus:
dx y
V
b a
2
.
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-
115
Gambar 4.10
Gambar 4.11
Jika R dibatasi oleh dua kurva yaitu
b x
a x
x g
y x
f y
, ,
,
2 1
. Dengan
2 1
y y
Selanjutnya R diputar mengelilingi sumbu x, maka terbentuk benda pejal yang volumenya dapat didekati dengan menggunakan integral tertentu, yaitu:
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-
X Y
b a
x f
y
116
b a
dx y
y V
2 2
2 1
Gambar 4.12
b. Pemutaran mengelilingi sumbu Y
