Luas Suatu Luasan APLIKASI INTEGRAL TERTENTU

4.1 Luas Suatu Luasan

Luasan didefinisikan sebagai suatu daerah dalam bidang XOY dengan persamaan x f y  atau y g x  atau , y g x x f y   yang berbatasan dengan sumbu-sumbu koordinat atau garis yang sejajar sumbu koordinat. Luasan dalam bidang dapat dikelompokkan menjadi luasan positip dan luasan negatip. Luasan positip adalah luasan dengan persamaan x f y  dan sumbu-sumbu koordinat yang terletak di atas sumbu X atau luasan dengan persamaan y g x  dan sumbu-sumbu koordinat yang terletak disebelah kanan sumbu . Y Berikut ini gambar luasan positip yang dimaksud. Gambar 4.1 Luasan negatif adalah luasan dengan persamaan x f y  dan sumbu-sumbu koordinat yang terletak di bawah sumbu X atau luasan dengan persamaan y g x  dan sumbu-sumbu koordinat yang terletak disebelah kiri sumbu . Y Berikut ini gambar luasan negatif tersebut. Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- x f y  y f x  a x  b x  d y  c y  Y X X Y R R 106 Gambar 4.2 Luasan positip dan negative sebagaimana telah dijelaskan di atas, pembatasn juga dapat terjadi bukan hanya satu kurva tetapi dapat juga berupa dua kurva sekaligus, misalnya 2 x f y  dan 2 x g y  . Pembahasan dalam buku ini diawali dengan menentukan luas luasan menggunakan integral untuk daerah yang dibatasi oleh satu kuva. a. Daerah antara Kurva dan Sumbu Koordinat. Perhatikan gambar luasan dibawah ini Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- x f y  y f x  a x  b x  d y  c y  Y X Y R R 107 Gambar 4.3 R sebagaimana terlihat pada gambar 4.3 adalah luasan yang dibatasi oleh kurva- kurva . , , b x a x x f y    Dengan menggunakan integral tertentu luas luasan R dinyatakan dengan dx x f R A b a   Jika luasan terletak di bawah sumbu X maka integral tertentu di atas bernilai negatif, karena luas daerah tidak mungkin bilangan negatif maka nilai integral tersebut dimutlakkan. Sehingga luas luasan daerah negatif dinyatakan dalam bentuk      b a b a dx x f dx x f R A Untuk menghitung luas luasan dengan integral tertentu dapat diikuti langkah-langkah sebagai berikut : a Gambar luasan yang akan ditentukan luasnya sehingga tampak jelas batas-batasnya dan mudah dilihat. b Buatlah garis-garis yang sejajar sumbu X atau sumbu Y , selanjutnya bagilah luasan dalah bidang yang disebut partisi dan berikan nomor pada masing-masing partisi yang terbentuk. c Hampiri luas masing-masing partisi tertentu tersebut dengan menggunakan luas persegi panjang d Jumlahkan luas masing-masing partisi pada luasan yang telah dibentuk. Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- Y R x f y  X a x  b x  108 e Dengan menggunakan limit dari jumlah luas partisi diatas dengan lebar masing- masing partisi menuju 0, maka diperoleh integral tertentu yang menrupakan luas luasan. Contoh: 1 Segitiga ABC terletak pada XOY , titik-titik sudutnya dinyatakan dalam koordinat kartesius yaitu A0,0, B3,0 dan C3,7. Dengan menggunakan integral tertentu tentukan luas segitiga ABC. Jawab Gambar segitiga ABC adalah Gambar 4.4 Persamaan garis AC dinyatakan dengan rumus A c A c A A x x y y x x y y      Diperoleh persamaan 3 7      x y 3 7 7 3 x y atau x y   Sehingga luas yang dicari dinyatakan dengan dx x f R A b a   5 , 10 9 6 7 6 7 3 7 3 2 3                  x dx x Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- X Y , 3 B , A 7 , 3 C 109 2 Tentukan luas luasan yang dibatasi oleh kurva 2 4 x y   dan sumbu-sumbu koordinat. Jawab Luasan 2 4 x y   yang dibatasi sumbu-sumbu koordinat gambarnya adalah Gambar 4.5 Tampak pada gambar 4.5 di atas luasan yang diketahui R berada di atas sumbu x sehingga luasnya dapat dinyatakan dengan menggunakan integral yaitu: dx x f R A b a         2 2 2 4 dx x      2 2 4 2 dx x 2 3 3 1 4 2         x x                 3 3 . 3 1 . 4 2 2 . 3 1 2 . 4 2 3 32 3 8 8 2          Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- X 2  2 Y 2 4 x y   R 110 3 Tentukan luas luasan yang dibatasi oleh kurva 2 y x  dan garis 4  x Gambar 4.6 Dengan cara yang sama luas luasan di atas dinyatakan dengan     4 4 dx x f dx x f      4 4 dx x f dx x f         4 4 dx x dx x   4 2 dx x 3 32 8 . 3 4 3 2 2 4 2 3          x Selanjutnya, perhatikan gambar luasan berikut ini : Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- R X Y 4  x 2 y x  111 Gambar 4.7 Luasan R pada gambar 4.7 di atas dibatasi oleh kurva , , ,     x dan d y c y y g x . Dengan integral tertentu luas luasan R yang berada disebelah kanan sumbu x dinyatakan dalam bentuk dy y g R A d c   Jika gambar terletak disebelah kiri sumbu x maka integral tertentu di atas bernilai negatif, karena luas daerah tidak mungkin bilangan negatif maka nilai integral tersebut dimutlakkan, sehingga diperoleh:      d c d c dy y g dx y g R A Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- R y f x  Y X c d 112 Contoh 1 Tentukan luas luasan yang dibatasi oleh kurva 2 y x  dan garis 2 , 2    y y Jawab Luasan 2 y x  dan garis 2 , 2    y y dapat digambarkan sebagai berikut: Gambar 4.8 Sehingga luas luasan tersebut adalah dy y g R A d c   3 16 3 1 2 2 2 3 2 2 2 2 2              y dy y dy y

b. Daerah antara dua kurva