2
2 1
2 1
x c
T k
= 2.26
sehingga besarnya energi potensial adalah adalah T
k 2
1 .
Dengan demikian besarnya panas jenis satu dimensi menurut teori klasik
ditinjau dari teori kinetik gas adalah sebesar Omar, 1975
v
c
k N
c
A v
= R
c
v
= . 2.27
Untuk panas jenis tiga dimensi
v
c R
c
v
3 =
Berdasarkan hasil eksperimen Gambar 1.1 panas jenis zat padat bergantung pada suhu T khususnya pada suhu rendah. Pada suhu tinggi
mendekati 3R. Oleh sebab itu teori panas jenis klasik masih memiliki kelemahan karena tidak dapat menjelaskan kebergantungan
terhadap T.
v
c
v
c
2.3. Panas Jenis Menurut Teori Einstein
Menurut teori panas jenis Einstein osilasi zat padat mengikuti statistik Bose-Einstein Suwitra, 1989. Einstein juga mengajukan asumsi bahwa semua
fonon osilator memiliki frekuensi yang sama. Tiap atom berprilaku sebagai tiga osilator harmonis yang independen. Menurut mekanika kuantum, tenaga osilator
harmonik diberikan oleh Alonso dan Finn, 1968 ω
2 1
h ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ + = n
E
n
,
,... 3
, 2
, 1
, =
n
2.28
13 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
dengan ω frekuensi osilator harmonik,
π 2
h =
h . Tenaga rata-rata osilator harmonik
diberikan oleh Omar, 1975
∑ ∑
∞ =
− ∞
= −
=
n kT
E n
kT E
n
n n
e e
E E
2.29
Jika dituliskan kT
1 =
β , maka persamaan 2.29 dapat dituliskan
∑ ∑
∞ =
− ∞
= −
=
n E
n E
n
n n
e e
E E
β β
2.30
Untuk memudahkan perhitungan persamaan 2.30 digunakan substitusi
∑
∞ =
−
=
n E
n
e Z
β
2.31
yang dikenal sebagai fungsi partisi Mandl, 1988. Dengan demikian, maka tenaga rata-rata pada persamaan 2.30 menjadi
Z Z
Z E
ln 1
β β
∂ ∂
− =
∂ ∂
− =
2.32 Jika persamaan 2.28 disubstitusikan ke dalam persamaan 2.30 maka diperoleh
∑
∞ =
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛ +
−
=
2 1
n n
e Z
ωβ h
∑
∞ =
− −
=
2
n n
e e
ωβ ωβ
h h
...... 1
3 2
2
+ +
+ +
=
− −
− −
ωβ ωβ
ωβ ωβ
h h
h h
e e
e e
2.33
14 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Jika ωβ
h
, maka , sehingga bentuk deret pada persamaan 2.32
dapat dituliskan menjadi 1
− ωβ
h
e
ωβ ωβ
ωβ ωβ
h h
h h
− −
− −
− =
+ +
+ +
e e
e e
1 1
... 1
3 2
Dengan demikian fungsi partisi dapat dituliskan menjadi
ωβ ωβ
h h
− −
− =
e e
Z 1
2
2.34 Dengan substitusi persamaan 2.34 ke dalam persamaan 2.32
diperoleh tenaga rata-rata osilator harmonik satu dimensi sebesar
Z E
ln
β
∂ ∂
− =
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
− −
− ∂
∂ −
=
ωβ
ωβ β
h
h e
1 ln
2 1
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
− +
= 1
1 2
1
ωβ
ω
h
h e
2.35
Jika ditinjau osilator tiga dimensi dan ada sejumlah N osilator, maka tenaga total osilator harmonik sebesar
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
− +
= =
1 1
2 1
3 3
kT
e N
E N
E
ω
ω
h
h 2.36
Kalau ada satu mol zat kristal, maka
A
N N
=
bilangan Avogadro. Dengan demikian panas jenis
diberikan oleh
v
c ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ ∂
∂ =
T E
c
v
15 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2 2
1 3
− ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ =
kT kT
A
e e
kT k
N
ω ω
ω
h h
h
2 2
1 3
− ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ =
kT kT
E
E E
e e
T R
θ θ
θ 2.37
dengan dan
k N
R
A
=
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
= k
E
ω θ
h yang dikenal sebagai suhu Einstein.
Untuk mengetahui daya prediksi panas jenis Einstein tersebut, ditinjau dua keadaan ekstrim yaitu pada suhu rendah dan suhu tinggi. Pada suhu tinggi
E
T
θ atau
1 T
E
θ sehingga
T e
E T
E
θ
θ
+ ≈1
. Jadi panas jenis Einstain pada suhu tinggi dapat dituliskan
2 3
2 3
2 2
... ...
1 3
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
+ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ +
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
+ +
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
+ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ +
+ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ =
T T
T T
T T
T R
c
E E
E E
E E
E v
θ θ
θ θ
θ θ
θ
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛ +
≈ T
R
E
θ
1 3
2.38 Pada suhu rendah
R c
v
3 ≈
E
T
θ atau
1 T
E
θ , sehingga
. Jika ,
maka faktor . Jadi panas jenis Einstein pada suhu rendah dapat
dituliskan 1
T
E
e
θ
1
T
E
e
θ
T T
E E
e e
1
θ θ
≈ −
T E
v
E
e T
R c
2
3
θ
θ
−
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
=
2.39
16 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Model panas jenis Einstein hanya cocok untuk suhu tinggi, sedangkan pada suhu rendah kurang sesuai.
2.4. Panas Jenis Menurut Teori Debye
