Model panas jenis Einstein hanya cocok untuk suhu tinggi, sedangkan pada suhu rendah kurang sesuai.
2.4. Panas Jenis Menurut Teori Debye
Debye mengembangkan suatu model dengan mengasumsikan bahwa kisi kristal itu adalah suatu kontinum elastik dengan volume V Suwitra, 1989. Pada
model Debye, suatu kontinum elastik akan memiliki distribusi frekuensi yang kontinu pada interval frekuensi
ω sampai ω
ω
d +
, dan tenaga total diberikan oleh ω
ω ω
ω
d E
g E
D
∫
=
2.40
dengan ω
g
adalah rapat modus dan
D
ω adalah frekuensi Debye. Rapat modus didefenisikan
ω ω
d dN
g =
2.41 dengan N adalah jumlah modus.
2.4.1. Panas jenis zat padat dalam satu dimensi
Jumlah modus fonon untuk satu dimensi adalah λ
L N
= 2.42
dengan λ adalah panjang gelombang. Mengingat
λ
π λ
k 2
= , persamaan 2.42
dapat dituliskan menjadi
17 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
λ
π k
L N
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
= 2
. 2.43
Sebab k dapat juga dituliskan sebagai
s
v k
ω
λ
= , maka
s
v L
N ω
π 2
= .
2.44 Jadi rapat modus untuk satu dimensi adalah
s
v L
g π
ω 2
= 2.45
Dengan menggunakan persamaan 2.44, frekuensi ω untuk gelombang satu
dimensi diberikan oleh
L N
v
s
π ω
2 =
2.46 Dengan demikian tenaga kontinum elastis satu dimensi diberikan oleh
ω ω
ω
ω ω
d e
g E
kT
D
1 −
=
∫
h
h
ω ω
π
ω ω
d e
v L
E
D
kT s
∫
− =
1 2
h
h
2.47
Jika didefenisikan kT
x ω
h =
,
kT x
D D
ω
h =
, dan
D D
k
ω θ
h =
atau
h
D D
k
θ ω
=
D
θ adalah suhu Debye, maka panas jenis zat padat satu dimensi
diberikan oleh
L
c
T E
c
L
∂ ∂
=
18 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
∫
− =
D
x x
x s
dx e
e x
T k
v L
2 2
2
1 h
π 2.48
atau
T c
L
≈
2.49
2.4.2. Panas jenis zat padat dalam dua dimensi
Jumlah modus fonon dua dimensi
2 2
2
λ
π
k L
N ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ =
2 2
2
2
s
v L
ω π
= 2.50
Sehingga rapat modus diberikan oleh
2 2
2
2
s
v L
g ω
π ω =
, 2.51
dan frekuensi ω untuk gelombang dua dimensi diberikan oleh
2 1
2 2
2
2 ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ =
L N
v
s
π ω
2.52
Jadi tenaga kontinum elastis dua dimensi diberikan oleh ω
ω ω
ω ω
d e
g E
kT
D
1 2
− =
∫
h
h
ω ω
π
ω ω
d e
v L
E
D
kT s
∫
− =
2 2
2 2
1 2
2
h
h
2.53
19 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Mengingat kT
x ω
h =
,
kT x
D D
ω
h =
, dan
D D
k
ω θ
h =
atau
h
D D
k
θ ω
=
D
θ adalah suhu
Debye, maka panas jenis zat padat untuk dua dimensi diberikan oleh
T E
c
A
∂ ∂
=
dx e
e x
T k
v L
D
x x
x s
∫
− =
2 3
2 2
3 2
2 2
1 h
π 2.54
atau
2
T c
A
≈ 2.55
2.4.3. Panas jenis zat padat dalam tiga dimensi
Jumlah modus fonon tiga dimensi
3 3
3 4
2
λ
π π
k L
N ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ =
3 3
2 3
6
s
v L
ω π
= 2.56
sehingga rapat modus diberikan oleh
3 2
2 3
2
s
v L
g ω
π ω =
, 2.57
dan frekuensi ω untuk gelombang tiga dimensi diberikan oleh
3 1
3 3
2
6 ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ =
L N
v
s
π ω
2.58
20 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Jadi tenaga kontinum elastis tiga dimensi dapat dituliskan sebagai
atau Mengingat
21 ω
ω ω
ω ω
d e
g E
kT
D
1 3
− =
∫
h
h
ω ω
π
ω ω
d e
v L
E
D
kT s
∫
− =
3 3
2 3
1 2
3
h
h
2.59
kT x
ω h
= ,
kT x
D D
ω
h =
D D
k
, dan ω
θ
h =
atau
h
D D
k
θ ω
=
D
θ adalah suhu
Debye, maka panas jenis untuk zat padat tiga dimensi adalah
Bentuk integrasi numerik yang terdapat dalam panas jenis Debye satu dimensi persamaan 2.48, dua dimensi persamaan 2.54, dan tiga dimensi
persamaan 2.60 akan diselesaikan dengan menggunakan paket program Mathematica 5.0
3
T c
v
≈
v
c
T E
c
v
= ∂
∂
dx e
e x
T k
v L
D
x x
x s
∫
− =
2 4
3 3
4 3
2 3
1 2
3 h
π
2.61 2.60
Unsur Senyawa
Li Na K Cu Ag Au Al Ga Pb Ge Si C NaCl KCl
CaF
2
LiF SiO
2
D
θ K 335 156 91.1 343 226 162 428 325 102 378 647 1860 280 230 470 680 255 Tabel 2.1 Temperatur Debye
D
θ untuk beberapa unsur dan senyawa Omar, 1975
22 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2.5. Integrasi Numerik Menggunakan Mathematica 5.0
