BAB II HIMPUNAN, RELASI, DAN FUNGSI
Pada Bab II ini dibahas materi dasar teori himpunan. Pembahasan dimulai dari konsep-konsep dasar teori himpunan dan operasi-operasinya. Lalu ditinjau
Produk Kartesius, relasi, dan fungsi, dan akhirnya sistem aljabar dan homomorfisma.
1. Konsep Dasar Teori Himpunan
Sekotak kapur, sekaleng permen, dan sekeranjang buah-buahan adalah contoh himpunan. Pada matematika suatu himpunan didefinisikan dengan
menyatakan syarat keanggotaannya. Anggota suatu himpunan disebut unsur atau elemen. Terdapat beberapa cara untuk mendefinisikan suatu himpunan:
1. Dengan menuliskan anggota-anggotanya. Contoh: A = {1,2,3,4}.
2. Dengan menggunakan notasi pembentuk himpunan. Contoh: A = {x
⏐1 ≤ x ≤ 4}.
3. Dengan menggunakan ungkapan deskriptif verbal. Contoh: A = {bilangan
asli dari satu sampai empat}.
Untuk menyatakan keanggotaan suatu himpunan digunakan notasi ∈, sedangkan
notasi ∉ digunakan untuk menyatakan bahwa suatu obyek bukan elemen suatu
himpunan.
3 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Selain hubungan keanggotaan di atas, ada prinsip mendasar lain yaitu prinsip kesamaan dua himpunan. Jika himpunan A sama dengan himpunan B
ditulis A = B. Jika tidak sama ditulis A ≠ B. Jika A = B maka setiap elemen dari A
adalah elemen dari B dan sebaliknya. Demikian pula jika himpunan A dan himpunan B memiliki elemen yang sama maka A = B.
Prinsip ini dirumuskan dalam sebuah definisi sebagai berikut:
Definisi 2.1.1: Aksioma Perluasan
A = B bila dan hanya bila
∀x [x ∈ A ⇔ x ∈ B]
Perlu diketahui pula bahwa suatu himpunan dapat menjadi himpunan bagian dari himpunan lain.
Definisi 2.1.2: Himpunan A disebut himpunan bagian dari himpunan B, ditulis
A ⊆ B, bila dan hanya bila setiap anggota A adalah anggota B.
A ⊆ B ⇔ ∀x [x ∈ A ⇒ x ∈ B]
Dari definisi tersebut diperoleh beberapa sifat, yaitu :
Teorema 2.1.1: Jika A, B, dan C adalah himpunan-himpunan, maka
1. ∀A [A ⊆ A
] Refleksif
2. ∀A,B [ A ⊆ B dan B ⊆ A ⇔ A = B ] Antisimetris
3. ∀A,B,C [ A ⊆ B dan B ⊆ C ⇒ A = C ] Transitif
4 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Bukti:
1. Akan dibuktikan:
∀A [A ⊆ A].
Andaikan A ⊄ A, maka ada paling sedikit satu x ∈ A dan x ∉ A. Terjadi
kontradiksi, maka pengandaian salah, sehingga benar bahwa ∀A [A ⊆ A].
Jadi terbukti bahwa A ⊆ A.
2. Akan dibuktikan:
∀A,B [A ⊆ B dan B ⊆ A ⇔ A = B]
Untuk setiap himpunan A dan B berlaku A ⊆ B dan B ⊆ A bila dan hanya
bila ∀x [x ∈ A ⇒ x ∈ B] dan ∀x [x ∈ B ⇒ x ∈ A] bila dan hanya bila
∀x [x ∈ A ⇔ x ∈ B] bila dan hanya bila A = B.
Jadi terbukti bahwa A ⊆ B dan B ⊆ A ⇔ A = B.
3. Akan dibuktikan:
∀A,B,C [A ⊆ B dan B ⊆ C ⇒ A = C]
Diketahui A ⊆ B dan B ⊆ C. Ambil sebarang x ∈ A, maka x ∈ B. Karena
diketahui bahwa B ⊆ C dan x ∈ B, maka x ∈ C, sehingga x ∈ A ⇒ x ∈ C.
Jadi benar bahwa A = C. Jadi terbukti bahwa A
⊆ B dan B ⊆ C ⇒ A = C
Definisi 2.1.3: Himpunan A disebut himpunan bagian sejati dari himpunan B,
ditulis A ⊂ B, bila dan hanya bila A ⊆ B dan A ≠ B.
5 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Pada umumnya himpunan didefinisikan dengan menyatakan sifatnya. Misalkan
Φ adalah suatu sifat obyek-obyek. Prinsip himpunan mengatakan bahwa:
I. Ada paling sedikit satu himpunan yang elemen-elemennya adalah obyek-obyek dengan sifat
Φ.
Andaikan ada dua himpunan yang elemen-elemennya adalah sebarang obyek- obyek dengan sifat
Φ, maka kedua himpunan tersebut mempunyai elemen-elemen yang sama, sehingga dengan aksioma perluasan mereka adalah sama. Jadi
II. Ada paling banyak satu himpunan yang elemen-elemennya adalah obyek- obyek dengan sifat
Φ.
Dengan menggabungkan I dan II: Ada tepat satu himpunan yang elemen- elemennya adalah obyek-obyek dengan sifat
Φ, dilambangkan dengan { x⏐Φ x } dengan
Φ x berarti “ x mempunyai sifat Φ ”.
Jadi jika Φ suatu sifat, maka:
i { x ⏐Φ x } adalah sebuah himpunan, dan
ii ∀y [ y ∈ { x⏐Φ x } ⇔ Φ y ]
Andaikan A
= { x ⏐Φ x } dan B = { x ⏐Ψ x }, maka berlaku:
A = B
⇔ ∀ x [ Φ x ⇔ Ψ x ]
6 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
A ⊆ B ⇔ ∀ x [ Φ x ⇒ Ψ x ]
Andaikan Φ x adalah x ≠ x sedemikian hingga dapat dibentuk suatu
himpunan {x ⏐x ≠ x}. Himpunan ini tidak mempunyai elemen sebab tidak ada
himpunan yang elemennya tidak sama dengan elemen itu sendiri. Jadi ada tepat satu himpunan yang tidak mempunyai elemen yang disebut himpunan kosong dan
dilambangkan dengan φ.
Teorema 2.1.2: Himpunan kosong adalah himpunan bagian dari sebarang
himpunan yaitu ∀A [φ ⊆ A].
Bukti:
Diberikan himpunan A. Andaikan φ ⊄ A, maka ada elemen dalam φ tetapi
tidak dalam A. Padahal φ tidak mempunyai elemen, sehingga terjadi
kontradiksi. Pengandaian salah, sehingga φ ⊆ A.
Jadi terbukti ∀ A [ φ ⊆ A ].
Diberikan himpunan
A dan himpunan B, maka gabungan dari himpunan A
dan himpunan B, ditulis A ∪ B, didefinisikan sebagai himpunan yang elemen-
elemennya terdiri dari elemen-elemen himpunan A atau himpunan B. Dengan kata lain:
A ∪ B = { x ⏐ x ∈ A ∨ x ∈ B }
7 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Sedangkan irisan dari himpunan A dan himpunan B, ditulis A ∩ B, didefinisikan
sebagai himpunan yang elemen-elemennya terdiri dari elemen-elemen himpunan A
dan himpunan B. Dengan kata lain:
A ∩ B = { x ⏐ x ∈ A ∧ x ∈ B }
Sifat-sifat yang berlaku pada operasi gabungan dan irisan himpunan adalah sebagai berikut:
1. A
∪ φ = A ; A ∩ φ = φ
2. A
∪ B = B ∪ A ; A ∩ B = B ∩ A Komutatif
3. A
∪ B ∪ C = A ∪ B ∪ C ; A ∩ B ∩ C = A ∩ B ∩ C Asosiatif
4. A
∪ A = A ; A ∩ A = A Idempotan
5. A
⊆ B bila dan hanya bila A ∪ B = B bila dan hanya bila A ∩ B = A.
6. A
∩ B ∪ C = A ∩ B ∪ A ∩ C ; A ∪ B ∩ C = A ∪ B ∩ A ∪ C Distributif
Jika A ∩ B = φ maka dikatakan bahwa himpunan A dan himpunan B saling asing.
Selisih antara himpunan A dengan himpunan B, ditulis A – B, didefinisikan sebagai berikut:
Definisi 2.1.4: A – B = {x
⏐x ∈ A ∧ x ∉ B}
8 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Selisih antara himpunan semesta pembicaraan S dengan himpunan A, ditulis A , disebut
c
komplemen dari A, didefinisikan sebagai berikut:
Definisi 2.1.5: A
c
= S – A = { x ⏐ x ∈ S ∧ x ∉ A } = { x ⏐ x ∉ A }
Sifat-sifat yang berlaku pada operasi komplemen adalah:
1. A = A
c c
2. a.
φ = S ; S = φ
c c
b. A ∩ A = φ ; A ∪ A
c
= S di mana S adalah himpunan semesta.
c
3. A
⊆ B bila dan hanya bila B ⊆ A
c c
4. A
∪ B = A
c
∩ B ; A ∩ B
c
= A
c
∪ B Hukum De
Morgan
c c
c
Keluarga himpunan adalah himpunan yang elemen-elemennya adalah himpunan-himpunan. Digunakan himpunan indeks I = {1,2,3,..., n} untuk
menunjukkan setiap elemennya. Misalkan A
1
, A , A
3
, ..., A adalah himpunan- himpunan terindeks dengan I = {1,2,3,...,n} adalah himpunan indeks. Gabungan
dan irisan dari himpunan-himpunan ini didefinisikan sebagai berikut:
2
n
Definisi 2.1.6: Diberikan keluarga himpunan A = { A
1
, A , A
3
, ..., A }, dengan
2
n
A
1
, A , A , ..., A masing-masing adalah himpunan, maka:
2
3 n
1. A
i
= { x ⏐∃ i ∈ I x ∈ A
i
} I
= {1,2,3,...,n}
n i
1 =
U
9 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2. A
i
= { x ⏐∀ i ∈ I x ∈ A
i
} I
= {1,2,3,...,n}
n i
1 =
I
2. Produk Kartesius, Relasi, dan Fungsi
Kategori