Teorema 2.2.8: Diberikan fungsi bijektif f : A
→ B.
Fungsi komposit f o
1 −
f , adalah fungsi identitas pada himpunan
B , dan fungsi komposit
1 −
f o
f, adalah fungsi identitas pada himpunan A.
Bukti:
Andaikan dan
adalah fungsi-sungsi identitas dari berturut-turut himpunan A dan himpunan B, sehingga
∀x ∈ A x = x dan
∀y ∈ B y = y. Akan ditunjukkan bahwa f
A
I
B
I
A
I
B
I o
1 −
1 −
f =
. Untuk setiap y ∈ B ada
tunggal x ∈ A sedemikian sehingga
y = x, maka f
B
I f
o
1 −
1 −
f y =
f y = fx = y. Jadi f
f o
1 −
f =
.
B
I
Akan ditunjukkan bahwa
1 −
f o
f = . Untuk setiap x
∈ A ada tunggal y
∈ B sedemikian sehingga fx = y, sehingga
A
I
1 −
f o
f x = fx =
y = x. Jadi
1 −
1 −
1 −
f f
f o
f = .
A
I
3. Sistem Aljabar dan Homomorfisma
Telah diketahui bahwa fungsi adalah suatu relasi khusus antara dua himpunan. Sekarang akan dibahas tentang suatu fungsi yang memetakan suatu
sistem tertentu ke sistem tertentu yang lain. Pembahasan ini diawali dengan definisi operasi biner pada suatu himpunan dan definisi suatu sistem dalam
matematika sebagai berikut.
27 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Definisi 2.3.1: Suatu pemetaan dari
S S
× ke S disebut operasi biner pada himpunan S. Operasi biner seringkali dilambangkan dengan
∗, dan ditulis
∀a,b ∈ S ∗a,b = a ∗ b.
Definisi 2.3.2: Pasangan terurut S,
∗, yang terdiri dari himpunan S yang tidak kosong dan suatu operasi biner
∗ yang didefinisikan pada S, disebut sistem aljabar.
Homomorfisma adalah suatu fungsi yang memetakan suatu sistem aljabar ke sistem aljabar yang lain, dan mengawetkan operasinya. Hal ini didefinisikan
sebagai berikut:
Definisi 2.3.3: Andaikan S,
∗ dan T, o adalah sistem-sistem aljabar. Pemetaan f
: S → T disebut homomorfisma dari S ke T jika dan hanya jika
∀ , ∈ S f ∗ = f
1
s s
s s
s
2 1
2 1
o f
.
2
s
Definisi 2.3.4: Suatu homomorfisma yang surjektif disebut epimorfisma.
Suatu homomorfisma yang injektif disebut monomorfisma. Suatu homomorfisma bijektif disebut isomorfisma.
Suatu isomorfisma dari suatu himpunan ke himpunan itu sendiri disebut automorfisma.
28 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Definisi 2.3.5: Sistem S,
∗ dikatakan isomorfis dengan sistem T, o bila dan hanya bila ada suatu isomorfisma f : S
→ T, dilambangkan dengan S
≅ T.
Teorema 2.3.1: Jika f adalah suatu isomorfisma dari S,
∗ ke T, o, maka adalah suatu isomorfisma dari T,
1 −
f o
ke S, ∗.
Bukti:
Andaikan f : S → T suatu isomorfisma, maka f adalah suatu fungsi bijektif.
Telah dibuktikan dalam Teorema 2.2.5 bahwa : T
→ S adalah fungsi bijektif. Sekarang tinggal membuktikan bahwa
1 −
1 −
f f
1
t o
= ∗
. Ambil sebarang dan ∈ T, maka
= dan
= , dengan
dan ∈ S, dan f = dan f = . Diketahui f adalah
suatu isomorfisma, maka f ∗ = f
2
t
1 −
1 −
1 −
1 −
s s
s f
1
t f
2
t
1
t
2
t f
1
t
1
s f
2
t
2
s
1
s
2
s
1
s
1
t
2
s
2
t
1 2
1
o f
,
2
s
sehingga
1 −
f
1
t o
2
t = [ f
1 −
f
1
s o
f ]
2
s
= [ f
∗ ]
1 −
f
1
s
2
s
=
1 −
f o
f ∗
1
s
2
s
= ∗
Teo. 2.2.8
s
I
1
s
2
s
= ∗ Def.
2.2.12
1
s
2
s
29 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
= ∗
.
1 −
f
1
t
1 −
f
2
t
Terbukti bahwa invers dari suatu isomorfisma adalah suatu isomorfisma.
30 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB III HIMPUNAN TERCACAH
