Akan ditunjukkan bahwa fungsi f bijektif.
Ambil sebarang y ∈ R, dipilih x =
π π
2
1
y tg
−
+ sedemikian hingga
f x = f
π π
2
1
y tg
−
+ = tg
π π
π 2
1
y tg
−
+ -
2
π
= tg
2
π +
-
1
y tg
−
2
π
= tg
1
y tg
−
= tg o y
1 −
tg = y
Dapat ditemukan x ∈ 0,1, sehingga fx = y. Dengan demikian berlaku
∀y ∈ R ∃x ∈ 0,1 fx = y, sehingga fungsi f surjektif. Ambil sebarang x,y
∈ 0,1 dengan fx = fy, sehingga tgπx -
2
π = tg
πy -
2
π , maka
x = y, sehingga fungsi f injektif. Jadi fungsi f : 0,1
→ R bijektif. Terlihat himpunan semua bilangan real R berkorespondensi satu-satu dengan interval
terbuka 0,1. Telah dibuktikan dalam Teorema 3.2.13 bahwa interval terbuka 0,1 adalah himpunan taktercacah. Jadi himpunan semua bilangan
real R adalah himpunan taktercacah.
3. Himpunan Kuasa
Telah diketahui bahwa elemen suatu himpunan dapat berupa himpunan. Secara khusus dapat dibentuk suatu himpunan yang terdiri dari semua himpunan
bagian yang mungkin dari suatu himpunan V yang diberikan, dilambangkan
47 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
dengan ℘V. Jumlah elemen dalam himpunan hingga V dilambangkan dengan
n V.
Definisi 3.3.1: Himpunan
℘V = {A ⎢A ⊆ V} disebut himpunan kuasa dari V.
Lemma 3.3.1: Jika W himpunan hingga, a
∉ W dan V = W ∪ {a}, maka n
℘V = 2 n ℘W. Bukti:
Diketahui a ∉ W dan V = W ∪ {a}, maka ℘V adalah gabungan semua
himpunan bagian dari W dan semua himpunan bagian dari W yang digabungkan dengan himpunan {a}, dan kedua keluarga himpunan bagian
tersebut saling asing, sehingga ℘V = {A ⎢A ⊆ W} ∪ {A ∪ {a} ⎢A ⊆ W}
dan {A ⎢A ⊆ W} ∩ {A ∪ {a} ⎢A ⊆ W} = φ, maka:
n ℘V = n {A ⎢A ⊆ W} ∪ {A ∪ {a} ⎢A ⊆ W}
= n
{A ⎢A ⊆ W} + n {A ∪ {a} ⎢A ⊆ W}
= n
℘W + n ℘W karena n ℘W = n ℘W ∪ {a} = 2 n
℘W
Teorema 3.3.1: Jika nV = m, maka n
℘V =
m
2 . Bukti:
Teorema ini akan dibuktikan dengan menggunakan induksi matematika. Misalkan pernyataan dalam teorema tersebut dilambangkan dengan
Φn. Jika V adalah himpunan kosong, maka
℘V = {φ}, sehingga n℘V = 1 = , maka
Φ0 benar.
........1 2
48 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Andaikan Φk benar, yaitu jika W memiliki k elemen maka ℘W memiliki
elemen. Andaikan V mempunyai k + 1 elemen. Ambil sebarang elemen a
∈ V dan bentuk himpunan W = V – {a}, maka nW = k, sehingga n℘W =
. Berdasarkan Lemma 3.3.1, maka n ℘V = 2 n ℘W = 2.
, sehingga diperoleh ∀k ∈ N [Φk ⇒ Φk+ 1]
.....2
k
2
k
2
k
2 =
1
2
+ k
Dari 1 dan 2 terbukti bahwa ∀n ∈ N Φn.
Untuk himpunan hingga V,
℘V mempunyai elemen yang lebih banyak daripada V. Bagaimana jika V adalah himpunan takhingga? Untuk menjawab
pertanyaan seperti ini dibuktikan teorema berikut:
Teorema 3.3.2: 1. A
⊆ B ⇔ ℘A ⊆ ℘B 2. A = B
⇔ ℘A = ℘B Bukti:
1. Jika A ⊆ B, maka ∀X [X ⊆ A ⇒ X ⊆ B], maka ∀X [X ∈℘A ⇒ X ∈
℘B], sehingga ℘A ⊆ ℘B. Andaikan ℘A ⊆ ℘B, maka ∀X [X ∈℘A ⇒ X ∈ ℘B], yaitu ∀X [X ⊆ A ⇒ X ⊆ B]. Ambil sebarang
t ∈ A, maka {t} ⊆ A. Jadi {t} ⊆ B, maka t ∈ B, sedemikian hingga
A ⊆ B.
2. Jika A = B bila dan hanya bila A ⊆ B dan B ⊆ A bila dan hanya bila
℘A ⊆ ℘B dan ℘B ⊆ ℘A bila dan hanya bila ℘A = ℘B.
Teorema 3.3.3: Himpunan semua himpunan bagian dari suatu himpunan tercacah
adalah himpunan taktercacah. Bukti:
49 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Diberikan A himpunan tercacah dan ℘A = {B ⎢B ⊆ A}. Akan ditunjukkan
bahwa ℘A adalah himpunan taktercacah. Andaikan ℘A tercacah, maka
ada fungsi f : A → ℘A yang bijektif. Didefinisikan T = {x ∈ A ⎢x ∉ fx},
maka T ⊆ A, sehingga T ∈ ℘A. Karena fungsi f bijektif, maka ada y ∈ A
sedemikian hingga fy = T. Jika y ∈ T, maka berdasarkan definisi T,
y ∉ fy. Karena fy = T, maka y ∉ T. Terjadi kontradiksi. Jika y ∉ T, maka
y ∉ fy, karena T = fy. Padahal berdasarkan definisi T, jika y ∉ fy, maka
y ∈ T. Kembali terjadi kontradiksi. Karena dua kemungkinan yang ada
menimbulkan kontradiksi berarti pengandaian salah. Jadi ℘A himpunan
taktercacah.
Akibat 3.3.3:
℘N adalah himpunan taktercacah. Bukti:
Karena N adalah himpunan tercacah, maka menurut Teorema 3.3.3 ℘N
adalah himpunan
taktercacah.
Telah dibuktikan pada Teorema 3.2.14 bahwa himpunan semua bilangan real R adalah himpunan taktercacah dan dari Akibat 3.3.3 di atas, terbukti bahwa
℘N adalah juga himpunan taktercacah. Sekarang akan ditunjukkan bahwa ada korespondensi satu-satu antara himpunan semua bilangan real R dan
℘N, dengan terlebih dahulu menunjukkan bukti Teorema Schröder-Bernstein sebagai
berikut.
50 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Teorema 3.3.4: Diberikan himpunan A dan B. Jika fungsi f : A
→ B dan g
: B → A adalah fungsi-fungsi injektif, maka ada fungsi
F : A
→ B yang bijektif. Bukti:
Diberikan himpunan A dan B. Diketahui fungsi f : A → B dan g : B → A
adalah fungsi-fungsi injektif. Harus ditunjukkan bahwa ada fungsi bijektif F
: A → B. Ambil sebarang ∈ B. Andaikan disusun suatu barisan , ,
, ,
, , ... yang merupakan elemen-elemen dari himpunan A dan B.
Perhatikan, mungkin ada atau tidak ada ∈ A sedemikian hingga
f =
. Jika ada, maka
unik, karena fungsi f adalah fungsi injektif. Dipilih
sebagai invers dari , yang adalah bayangan dari
berdasarkan fungsi f. Andaikan telah jelas bahwa ada, dipilih
∈ B untuk menjadi elemen yang unik sedemikian hingga g
= . Kembali,
mungkin ada atau tidak ada ∈ B. Jika ada, maka unik, karena
fungsi g adalah fungsi injektif. Dengan cara yang sama, dipilih sebagai
invers dari , yang adalah bayangan dari
berdasarkan fungsi f, dan seterusnya. Jika proses ini dilakukan terus menerus akan diperoleh tiga
kejadian yang mungkin sebagai berikut:
1
b
1
b
1
a
2
b
2
a
3
b
3
a
1
a
1
a
1
b
1
a
1
a
1
a
1
b
1
a
1
a
2
b
2
b
1
a
2
b
2
b
2
b
2
a
2
b
2
a
1. Proses akan sampai pada
∈ A dan berhenti karena tidak ada ∈ B
dengan g =
. Keadaan ini mungkin terjadi karena fungsi g bukan fungsi surjektif.
n
a
∗
b
∗
b
n
a
51 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2. Proses akan sampai pada
∈ B dan berhenti karena tidak ada ∈ A
dengan f =
. Keadaan ini mungkin terjadi karena fungsi f bukan fungsi surjektif.
n
b
∗
a
∗
a
n
b
3. Proses akan terus terjadi tanpa henti.
Demikian telah ditunjukkan bahwa untuk setiap b ∈ B akan terdefinisi
dalam proses ini, sehingga himpunan B dapat dibagi menjadi tiga himpunan bagian yang saling asing. Andaikan
A
B = { semua b ∈ B sedemikian hingga proses berakhir pada suatu }
n
a
B
B = { semua b ∈ B sedemikian hingga proses berakhir pada suatu }
n
b dan
= { semua b ∈ B sedemikian hingga proses tak pernah berakhir }.
∞
B Proses yang sama juga terjadi pada himpunan A, sehingga himpunan A juga
dibagi menjadi tiga himpunan bagian yang saling asing. Andaikan
A
A = { semua a ∈ A sedemikian hingga proses berakhir pada suatu }
n
a
B
A = { semua a ∈ A sedemikian hingga proses berakhir pada suatu }
n
b dan
= { semua a ∈ A sedemikian hingga proses tak pernah berakhir }.
∞
A Sekarang akan ditunjukkan bahwa himpunan A berkorespondensi satu-satu
dengan himpunan B. Hal ini dilakukan dengan menunjukkan bahwa berkorespondensi satu-satu dengan
, berkorespondensi satu-satu
dengan , dan
berkorespondensi satu-satu dengan . Fungsi f
dibatasi pada , sehingga fungsi f menjadi fungsi bijektif dari
ke .
Hal ini akan dibuktikan melalui dua hal sebagai berikut:
A
A
A
B
B
A
B
B
∞
A
∞
B
A
A
A
A
A
B
52 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1. Jika a
∈ maka fa
∈ , dan
A
A
A
B 2.
∀b ∈ ∃a ∈
fa = b
A
B
A
A Akan dibuktikan 1 terlebih dahulu. Andaikan a
∈ , maka proses yang
diberikan pada a, berakhir pada himpunan A. Misalkan proses diberikan pada fa. Langkah pertama ini akan kembali pada a, dan akan dilanjutkan
dengan proses yang diberikan pada a dan diakhiri pada himpunan A, sehingga fa
∈ . Sekarang akan dibuktikan 2. Andaikan b
∈ , maka
proses yang diberikan pada b, berakhir pada himpunan A, dan secara khusus proses ini harus melalui proses pertama atau proses ini akan berakhir pada
himpunan B dengan elemen b sendiri, sehingga, b = fa untuk suatu a ∈ A.
Tetapi proses yang diberikan pada a sama dengan proses lanjutan dari proses yang diberikan pada b, sehingga proses ini berakhir pada himpunan A, maka
a ∈
. Jadi fungsi terbatas f : →
adalah fungsi bijektif. Dengan cara yang sama terbukti bahwa g :
→ adalah fungsi bijektif,
sehingga jelas bahwa :
→ adalah fungsi bijektif. Fungsi
f :
→ adalah fungsi bijektif, untuk fungsi f yang merupakan fungsi
injektif dan jika b ∈
, maka b = fa untuk suatu a ∈ A, karena proses
awal yang diberikan pada b, dan a ∈
. Hal ini terjadi karena proses yang diawali dari a sama dengan proses yang diawali dari b, setelah langkah
pertama, dan proses ini tidak berakhir karena b ∈
.
A
A
A
B
A
B
A
A
A
A
A
B
B
B
B
A
1 −
g
B
A
B
B
∞
A
∞
B
∞
B
∞
A
∞
B Sekarang dapatlah didefinisikan fungsi F : A
→ B dengan
53 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
F x =
⎪ ⎩
⎪ ⎨
⎧ ∈
∈ ∈
− ∞
B A
A x
x g
A x
x f
A x
x f
untuk untuk
untuk
1
Akan ditunjukkan bahwa fungsi F : A → B adalah fungsi bijektif. Akan
ditunjukkan bahwa fungsi F adalah fungsi surjektif. Ambil sebarang y ∈ B.
Telah diketahui bahwa himpunan B dibagi menjadi tiga himpunan bagian yang saling asing, yaitu
, , dan
. Demikian pula himpunan A, dibagi menjadi tiga himpunan bagian yang saling asing, yaitu
, , dan
. Selain itu telah dibuktikan bahwa fungsi f : →
, f : →
, :
→ adalah fungsi-fungsi bijektif. Andaikan y
∈ , maka
y = fx untuk suatu x
∈ , andaikan y
∈ , maka y =
x untuk suatu x
∈ , dan andaikan y
∈ , maka y = fx untuk suatu x
∈ . Dengan
demikian selalu dapat ditemukan x ∈ A, dengan x merupakan salah satu
elemen dari ,
, atau , maka berlaku
∀y ∈ B ∃x ∈ A y = Fx. Terlihat bahwa fungsi F adalah fungsi surjektif. Sekarang akan ditunjukkan
bahwa fungsi F adalah fungsi injektif. Andaikan Fx = Fy. Jika Fx = fx untuk x
∈ dan Fy = fy untuk y
∈ , maka fx = fy. Diketahui
f :
→ adalah fungsi bijektif. Jelas bahwa x = y untuk x, y
∈ .
Jika Fx = x untuk suatu x
∈ dan Fy =
y untuk suatu y ∈
, maka x =
y. Diketahui :
→ adalah fungsi bijektif.
Jelas bahwa x = y untuk x, y ∈
, sehingga x = y untuk setiap x, y ∈ A,
dengan x, y merupakan salah satu elemen dari ,
, atau . Dengan
A
B
B
B
∞
B
A
A
B
A
∞
A
A
A
A
B
∞
A
∞
B
1 −
g
B
A
B
B
A
B
A
A
B
B
1 −
g
B
A
∞
B
∞
A
A
A
B
A
∞
A
A
A
A
A
∞
A
∞
B
∞
A
1 −
g
B
A
1 −
g
B
A
1 −
g
1 −
g
1 −
g
B
A
B
B
B
A
A
A
B
A
∞
A
54 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
demikian berlaku ∀x,y ∈ A Fx = Fy ⇒ x = y. Terlihat bahwa fungsi F
adalah fungsi injektif. Jadi fungsi F : A → B adalah fungsi bijektif.
Teorema 3.3.5: Himpunan semua bilangan real R berkorespondensi satu-satu
dengan himpunan kuasa ℘N.
Bukti: Akan ditunjukkan bahwa interval terbuka I = 0,1 berkorespondensi satu-
satu dengan ℘N, dan diketahui bahwa interval terbuka I = 0,1
berkorespondensi satu-satu dengan himpunan semua bilangan real R. Harus ditunjukkan bahwa ada fungsi-fungsi injektif f : 0,1
→ ℘N dan g
: ℘N → 0,1. Didefinisikan fungsi f : 0,1 → ℘N sebagai berikut.
Diberikan X ⊆ N, dibangun suatu perluasan desimal 0,
dengan ...
2 1
a a
a
⎩ ⎨
⎧ ∈
∉ =
X i
X i
a
i
untuk 1
untuk .
Andaikan fX = 0, . Jelas bahwa f adalah fungsi injektif, karena jika
f X = fY = 0,
., maka i ∈ X ⇔ = 1 ⇔ i ∈ Y, sehingga X = Y,
maka ada fungsi injektif f : 0,1 → ℘N. Sekarang didefinisikan fungsi
g :
℘N → 0,1, dan harus ditunjukkan bahwa fungsi g adalah fungsi injektif. Perhatikan bahwa elemen-elemen dari 0,1 dapat dinyatakan secara
unik dalam bentuk desimal 0, ..., dengan 0
≤ ≤ 9, sehingga bila
desimal diakhiri dengan 9 yang berulang, tidak diperbolehkan. Diberikan x
∈ 0,1, ditulis x = 0, ... seperti di atas, dan gx = {
⎢k ∈ n}. Andaikan gx = gy, dengan x = 0,
... dan y = 0, ....
...
2 1
a a
a ...
2 1
a a
a
i
a
3 2
1
n n
n n
k
n
3 2
1
n n
n n
k
n
k
10
3 2
1
m m
m m
3 2
1
n n
n n
55 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Andaikan k ∈ n, maka
∈ gx, sehingga ∈ gy juga.
Dengan demikian =
untuk suatu i ∈ n. Karena
dan bilangan berdigit tunggal , pastilah k = i dan
= , maka x = y, sehingga
fungsi g : ℘N → 0,1 adalah fungsi injektif. Karena ada fungsi injektif
f : 0,1
→ ℘N dan fungsi injektif g : ℘N → 0,1, dan berdasarkan Teorema 3.3.4 maka ada korespondensi satu-satu antara himpunan semua
bilangan real R dengan himpunan kuasa ℘N.
k
m
k
10
k
m
k
10
k
m
k
10
i
n
i
10
k
m
i
n
k
m
i
n
BAB IV HIPOTESIS KONTINUUM
