Andaikan k ∈ n, maka
∈ gx, sehingga ∈ gy juga.
Dengan demikian =
untuk suatu i ∈ n. Karena
dan bilangan berdigit tunggal , pastilah k = i dan
= , maka x = y, sehingga
fungsi g : ℘N → 0,1 adalah fungsi injektif. Karena ada fungsi injektif
f : 0,1
→ ℘N dan fungsi injektif g : ℘N → 0,1, dan berdasarkan Teorema 3.3.4 maka ada korespondensi satu-satu antara himpunan semua
bilangan real R dengan himpunan kuasa ℘N.
k
m
k
10
k
m
k
10
k
m
k
10
i
n
i
10
k
m
i
n
k
m
i
n
BAB IV HIPOTESIS KONTINUUM
1. Bilangan Kardinal
56 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Bilangan asli biasanya mempunyai peran yang berbeda, yaitu sebagai tipe urutan dalam urutan biasa dan sebagai ukuran dari suatu jumlah. Pada peranan
yang pertama disebut ordinal, yang tidak dibahas dalam tulisan ini, dan yang kedua disebut kardinal. Pada himpunan hingga dua peranan tersebut secara umum
sama. Untuk himpunan takhingga barulah terlihat perbedaannya. Secara intuitif bilangan kardinal dari himpunan A adalah suatu keadaan yang dimiliki oleh A dan
yang juga dimiliki oleh semua himpunan yang ekipoten dengan A. Bilangan kardinal dari himpunan A dilambangkan dengan
⎢A ⎢, dan kemudian didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 4.1.1: Diberikan sebarang himpunan hingga A. Jika ada fungsi bijektif
f : {1,2,3,...,n}
→ A, maka bilangan kardinal himpunan A adalah n, dan ditulis
⎢A ⎢ = n. Jika
A =
φ, maka ⎢A ⎢ = 0.
Definisi 4.1.2: Bilangan kardinal pada himpunan hingga disebut kardinalitas
hingga, dan bilangan kardinal pada himpunan takhingga disebut kardinalitas takhingga atau kardinalitas transfinit.
Definisi 4.1.3: Himpunan A dan himpunan B dikatakan mempunyai bilangan
kardinal kardinalitas yang sama bila dan hanya bila ada korespondensi satu-satu dari A ke B.
Sifat bilangan kardinal pada sebarang himpunan dijelaskan dalam teorema sebagai berikut.
57 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Teorema 4.1.1: Diberikan sebarang himpunan A. Maka bilangan kardinal
himpunan A lebih kecil daripada bilangan kardinal himpunan kuasa
℘A, ditulis ⎢A ⎢ ⎢℘A ⎢. Bukti:
Diberikan sebarang himpunan A. Andaikan A = φ, maka ℘A = {φ}, ditulis
⎢A ⎢= 0 dan ⎢℘A ⎢= 1. Jadi untuk A = φ berlaku ⎢A ⎢ ⎢℘A ⎢. Andaikan A
≠ φ. Didefinisikan fungsi g : A → ℘A dengan g
x = {x}, ∀x ∈ A.
Harus ditunjukkan bahwa fungsi g adalah fungsi injektif tetapi tidak bijektif. Ambil sebarang
A x
x ∈
2 1
, dengan g
= g . Diketahui bahwa
g = {
} dan g = {
}, sehingga { } = {
}, maka =
. Jadi terbukti fungsi g adalah fungsi injektif. Andaikan fungsi g adalah fungsi
bijektif, maka untuk setiap x ∈ A ada gx ∈ ℘A, sehingga gx ⊆ ℘A.
Dengan demikian ada dua kemungkinan yaitu: x ∈ gx atau x ∉ gx.
Didefinisikan himpunan
1
x
2
x
1
x
1
x
2
x
2
x
1
x
2
x
1
x
2
x
E = {x
∈ A ⎢x ∉ gx}. Dengan demikian E
⊆ A, sehingga E ⊆ ℘A. Karena fungsi g adalah fungsi bijektif, maka fungsi g adalah fungsi surjektif, sehingga ada z
∈ A sedemikian hingga gz = E. Menurut definisi himpunan E, z
∈ A bila dan hanya bila z
∉ gz. Padahal gz = E sehingga z ∈ E bila dan hanya bila z
∉ E. Terjadi kontradiksi. Berarti pengadaian salah. Dengan demikian benar
58 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
bahwa fungsi g : A → ℘A adalah fungsi injektif tetapi tidak surjektif,
sehingga fungsi g : A → ℘A adalah fungsi yang tidak bijektif.
Jadi ⎢A ⎢ ⎢℘A ⎢.
Teorema 4.1.2: Jika A himpunan hingga dengan
⎢A ⎢ = m, maka ⎢℘A ⎢ =
m
2 . Bukti:
Telah dibuktikan dalam Teorema 3.3.1 bahwa jika himpunan hingga A memuat m elemen, maka himpunan kuasa
℘A memuat elemen.
Berdasarkan Definisi 4.1.3 maka ⎢℘A ⎢ =
.
m
2
m
2 Bilangan kardinal pada himpunan takhingga sangat istimewa karena
mempunyai lambang-lambangnya sendiri. Adalah George Cantor yang menentukan lambang dari bilangan kardinal takhingga. Ia menggunakan huruf
pertama dari abjad Hibrani yaitu ℵ baca: ‘aleph’ dengan subskrip 0 untuk
melambangkan bilangan kardinal takhingga yang pertama, yang merupakan kardinalitas dari himpunan semua bilangan asli N. Untuk melambangkan
kardinalitas himpunan semua bilangan real R digunakan huruf c. Hal ini didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 4.1.4: Bilangan kardinal dari N dilambangkan dengan
baca: ‘aleph nol’. Bilangan kardinal dari R dilambangkan oleh c, dan disebut
ℵ
kardinalitas kontinuum.
Teorema 4.1.3: Kardinalitas himpunan semua bilangan rasional Q adalah
. ℵ
59 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Bukti: Telah dibuktikan dalam Teorema 3.2.12 bahwa Q adalah himpunan
tercacah. Dengan demikian Q berkorespondensi satu-satu dengan N sedemikian hingga
⎢Q ⎢= ⎢N ⎢= ℵ . Jadi terbukti bahwa kardinalitas semua
bilangan rasional Q adalah ℵ .
Teorema 4.1.4:
Kardinalitas ℘N adalah c.
Bukti: Telah dibuktikan dalam Teorema 3.3.5 bahwa
℘N berkorespondensi satu- satu dengan R, sehingga
⎢℘N ⎢ = ⎢R ⎢ = c. Jadi terbukti bahwa kardinalitas
℘N adalah c.
Telah dibuktikan bahwa kardinalitas himpunan kuasa himpunan hingga yang memuat m elemen adalah
. Pada sebarang himpunan, kardinalitas himpunan kuasanya dijelaskan dalam teorema berikut ini.
m
2
Teorema 4.1.5:
Jika A sebarang himpunan, maka ⎢℘A ⎢ =
A
2 . Berdasarkan Teorema 4.1.4 dan Teorema 4.1.5 di atas, dapat dibentuk
suatu hubungan antara dua bilangan kardinal takhingga, yaitu dan c sebagai
berikut. ℵ
Akibat 4.1.5: c =
. 2
ℵ
Bukti: Berdasarkan Teorema 4.1.4 terbukti bahwa
⎢℘N ⎢= c, dan menurut Definisi 4.1.4
⎢N ⎢ = . Berdasarkan Teorema 4.1.5,
⎢℘N ⎢= .
ℵ 2
ℵ
Jadi c = .
2
ℵ
60 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Dari setiap
himpunan A
dapat dibentuk himpunan kuasa ℘A, dari setiap
himpunan ℘A dapat dibentuk himpunan kuasa ℘℘A. Demikian seterusnya
selalu dapat dibentuk himpunan kuasa dari himpunan sebelumnya dan telah dibuktikan bahwa
⎢A ⎢ ⎢℘A ⎢, maka berlaku ⎢A ⎢ ⎢℘A ⎢ ⎢℘℘A ⎢ ⎢℘℘℘A ⎢ .... Andaikan himpunan A hingga yang memuat n elemen,
maka ⎢A ⎢ = n dan ⎢℘A ⎢ = . Dengan demikian dapat dibentuk suatu barisan
bilangan kardinal hingga, yaitu n, , ..., dan berlaku n
.... Andaikan himpunan A takhingga dan himpunan A berkorespondensi satu-satu
dengan N, maka ⎢A ⎢ = ⎢N ⎢ =
n
2
n
2 ,
n
2
2
n
2
n
2
2
ℵ dan ⎢℘A ⎢ = . Oleh karena itu juga
dapat dibentuk suatu barisan bilangan kardinal takhingga, yaitu ,
, , ...,
dan berlaku pula .... Menurut Definisi 4.1.3 dan Teorema
4.1.5, jika himpunan takhingga A berkorespondensi satu-satu dengan R, maka ⎢A ⎢ = ⎢R ⎢ = c atau dikatakan bahwa kardinalitas himpunan A adalah kardinalitas
kontinuum. 2
ℵ
ℵ 2
ℵ
2
2
ℵ
ℵ 2
ℵ
2
2
ℵ
Beberapa contoh himpunan yang mempunyai kardinalitas kontinuum adalah himpunan semua bilangan real, himpunan semua titik dalam interval
terbuka 0,1, dan himpunan semua bilangan irasional dalam interval terbuka 0,1.
Berdasarkan hal-hal di atas, tumbuh sebuah dugaan yang kemudian dinamakan Hipotesis Kontinuum, yang akan dibahas sebagai berikut.
