Himpunan Tercacah dan Himpunan Terbilang Definisi 3.1:
Cara yang kedua digunakan pada himpunan yang jumlah elemennya tidak dapat dibilang sampai habis. Himpunan ini disebut himpunan takhingga yang
didefinisikan sebagai berikut:
Definisi 3.1.2: Himpunan H dikatakan takhingga bila dan hanya bila H
merupakan himpunan tidak kosong, yang tidak berkorespondensi satu-satu dengan himpunan {1,2,3,...,k} untuk setiap k
∈ N. Ada dua jenis himpunan takhingga yang berbeda dan konsep
korespondensi satu-satu kembali digunakan untuk menjelaskan perbedaan tersebut.
2. Himpunan Tercacah dan Himpunan Terbilang Definisi 3.2.1:
Suatu himpunan takhingga yang berkorespondensi satu-satu dengan N disebut himpunan tercacah.
Definisi 3.2.2: Himpunan hingga atau himpunan tercacah disebut himpunan
terbilang.
Definisi 3.2.3: Himpunan takhingga yang tidak berkorespondensi satu-satu
dengan N disebut himpunan taktercacah. Untuk selanjutnya pembicaraan akan lebih pada himpunan tercacah dan
himpunan taktercacah.
Definisi 3.2.4: Diberikan sebarang himpunan A, dan R adalah relasi terurut parsial
pada A. Elemen a ∈ A adalah elemen terkecil bila dan hanya bila
∀x ∈ A aRx. Elemen a ∈ A adalah elemen terbesar bila dan hanya bila
∀x ∈ A xRa.
32 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Definisi 3.2.5: Diberikan sebarang himpunan A, dan R adalah relasi terurut total
pada A. Himpunan A dikatakan terurut wajar bila dan hanya bila setiap himpunan bagian dari A memuat elemen terkecil.
Contoh himpunan tercacah adalah himpunan semua bilangan bulat Z dan himpunan semua bilangan rasional Q, dan contoh himpunan taktercacah adalah
interval 0,1. Hal ini akan dibuktikan sesudah membahas beberapa sifat himpunan tercacah sebagai berikut.
Teorema 3.2.1: Himpunan semua bilangan asli N terurut wajar oleh relasi
≤. Bukti:
Akan ditunjukkan bahwa relasi ≤ adalah relasi urutan total pada N dengan
menunjukkan bahwa relasi ≤ memenuhi sifat relasi urutan total.
a. Refleksif
Ambil sebarang x ∈ N. Jelas bahwa x ≤ x, maka ∀x ∈ N x ≤ x.
Jadi relasi ≤ memenuhi sifat refleksif.
b. Antisimetris
Ambil sebarang x,y ∈ N dengan x ≤ y dan y ≤ x, maka jelas bahwa x = y,
sehingga ∀x,y ∈ N x ≤ y ∧ y ≤ x ⇒ x = y.
Jadi relasi ≤ memenuhi sifat antisimetris.
c. Transitif
Ambil sebarang x,y,z ∈ N dengan x ≤ y dan y ≤ z, maka jelas bahwa x
≤ z, sehingga ∀x,y,z ∈ N x ≤ y ∧ y ≤ z ⇒ x = z. Jadi relasi
≤ memenuhi sifat transitif.
33 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
d. Ambil sebarang x,y
∈ N, maka haruslah x ≤ y atau y ≤ x. Karena jika x
≤ y dan y ≤ x, maka x = y, dan sifat ini sudah dipenuhi sebelumnya. Dengan demikian relasi
≤ memenuhi sifat ∀x,y ∈ N x ≤ y ∨ y ≤ x. Berdasarkan a, b, c, dan d di atas, maka relasi
≤ adalah relasi urutan total, sehingga setiap pasang elemen dalam N pasti terbanding. Dibentuk sebarang
himpunan P ⊆ N dan P ≠ φ, dengan P = {a}. Jelas bahwa a ≤ a, sehingga a
∈ P adalah elemen terkecil. Andaikan dibentuk sebarang himpuan T ⊆ N dan T
≠ φ, dengan T = {a,d}, maka ∀x ∈ T jika a ≤ x, maka a ∈ T adalah elemen terkecil atau jika d
≤ x, maka d ∈ T adalah elemen terkecil. Dengan demikian himpunan P dan T memuat elemen terkecil. Kembali dibentuk
sebarang himpunan D ⊆ N dan D ≠ φ, dengan D = {e,g,h,k,m,p,...}. Dengan
cara yang sama ditemukan bahwa himpunan D memuat elemen terkecil, misalnya e, karena
∀x ∈ D e ≤ x. Terlihat bahwa setiap himpunan bagian tidak kosong dari N memuat elemen terkecil. Jadi himpunan semua bilangan
asli N terurut wajar oleh relasi ≤.
Teorema 3.2.2: Jika himpunan S adalah himpunan bilangan asli sedemikian
sehingga: 1.
1 ∈ S
2. ∀n ∈ S n ∈ S ⇒ n + 1 ∈ S,
maka S = N.
34 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Bukti: S
adalah himpunan bilangan asli sedemikian sehingga 1 ∈ S dan ∀n ∈ S
n ∈ S ⇒ n + 1 ∈ S. Andaikan A = N – S adalah himpunan yang tidak
kosong. Karena N, ≤ terurut wajar, maka A memuat suatu elemen terkecil,
misalnya a. Jelas a ≠ 1, karena 1 ∈ S dan A = N – S, maka a – 1 ∈ N, dan
a – 1
≤ a. Karena a adalah elemen terkecil dari A, maka a – 1 ∉ A, sehingga a
– 1 ∈ S. Karena a – 1 ∈ S, maka a – 1 + 1 ∈ S, sehingga a ∈ S. Padahal
a ∈ A dan S = N – A, sehingga a ∉ S. Terjadi kontradiksi. Pengandaian
salah, maka A = φ. Jadi S = N – A = N – φ = N.
Teorema 3.2.3: Andaikan A adalah himpunan tercacah dan x
∉ A, maka A ∪ {x} adalah himpunan tercacah.
Bukti: A
adalah himpunan tercacah dan x ∉ A, maka ada fungsi bijektif f : A → n.
Didefinisikan fungsi g : A ∪ {x} → N, dengan
g y =
⎩ ⎨
⎧ ∈
+ =
A y
y f
x y
untuk 1
untuk 1
Harus ditunjukkan bahwa fungsi g bijektif. Andaikan n ∈ N. Jika n = 1,
maka n = gx. Jika n ≠ 1, maka n = k + 1 untuk suatu k ∈ N. Tetapi k = fy
untuk suatu y ∈ A, sehingga n = k + 1 = fy + 1 = gy untuk suatu y ∈ A.
Karena untuk setiap n ∈ N dapat ditemukan y ∈ A ∪ {x} sedemikian hingga
n = gy, maka fungsi g surjektif. Andaikan gy = gz. Jika gy = 1, maka
y = z = x. Jika gy
≠ 1, maka fy + 1 = fz + 1. Karena fungsi f adalah
35 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
fungsi injektif, maka y = z. Karena untuk semua y, z ∈ A ∪ {x} berlaku jika
g y = gz, maka y = z, sehingga fungsi g injektif. Terbukti bahwa fungsi g
bijektif. Jadi A ∪ {x} adalah himpunan tercacah.
Teorema 3.2.4: Gabungan himpunan tercacah dan himpunan hingga yang saling
asing adalah himpunan tercacah. Bukti:
Diberikan himpunan tercacah A dan himpunan hingga B yang tidak kosong, dengan A
∩ B = φ. Akan dibuktikan bahwa A ∪ B adalah himpunan tercacah. Karena A himpunan tercacah, maka ada fungsi bijektif f : A
→ N dan karena B adalah himpunan hingga, maka ada fungsi bijektif
g : B
→ {1,2,3,...,n} untuk suatu n ∈ N. Didefinisikan fungsi h : A
∪ B → N dengan
h y =
⎩ ⎨
⎧ ∈
Ν ∈
+ ∈
A y
k k
n B
y y
g untuk
, untuk
Harus ditunjukkan bahwa fungsi h adalah fungsi bijektif. Ambil sebarang t
∈ N. Jika t = k untuk suatu k ∈ {1,2,3,...,n}, maka dapat ditemukan y
∈ B sedemikian hingga gy = k, karena fungsi g surjektif. Dengan demikian hy = gy = k. Jika t = n + k, untuk suatu k
∈ n, maka dapat ditemukan y
∈ A sedemikian hingga fy = t, karena fungsi f surjektif. Dengan demikian hy = n + k = t. Oleh karena itu untuk semua t
∈ N dapat ditemukan y
∈ A ∪ B sedemikian hingga t = hy, maka fungsi h surjektif. Ambil sebarang y, z
∈ A ∪ B sedemikian hingga hy = hz. Tidak mungkin terjadi hy = gy dan hz = n + k, k
∈ n, atau hy = n + k, k ∈ n, dan hz
36 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
= gz. Jika hy = gy dan hz = gz, maka jelas gy = gz, sehingga y = z, karena fungsi g injektif. Jika hy = n + k, k
∈ n, dan hz = n + k, k ∈ n, maka untuk t = n + k, k
∈ n ada y ∈ A sedemikian hingga fy = t dan untuk p
= n + k, k ∈ n ada z ∈ A sedemikian hingga fz = p, karena fungsi f
surjektif, sehingga t = p = n + k, k ∈ n, maka fy = fz. Karena fungsi f
injektif, maka y = z. Dengan demikian untuk semua y,z ∈ A ∪ B berlaku jika
h y = hz, maka y = z. Jadi fungsi h injektif. Terbukti fungsi h bijektif. Jadi
A ∪ B adalah himpunan tercacah.
Teorema 3.2.5: Gabungan dua himpunan tercacah yang saling asing adalah
himpunan tercacah. Bukti:
Diberikan himpunan tercacah A dan B, dengan A ∩ B = φ. Harus dibuktikan
bahwa A ∪ B himpunan tercacah. Himpunan A dan B masing-masing
berkorespondensi satu-satu dengan N, sehingga ada fungsi-fungsi bijektif f
: A → N dan g: B → N. Didefinisikan fungsi h : A ∪ B → N dengan
h x =
⎩ ⎨
⎧ ∈
− ∈
B x
x g
A x
x f
untuk 1
2 untuk
2
Harus ditunjukkan bahwa h fungsi bijektif. Ambil sebarang t
∈ N. Jika t genap, maka t = 2n untuk suatu n ∈ N. Diketahui bahwa fungsi f surjektif, sehingga
∃x ∈ A sedemikian hingga f
x = n, maka hx = 2fx = 2n = t. Jika t ganjil, maka t = 2n – 1 untuk suatu n
∈ N. Diketahui bahwa fungsi g surjektif, sehingga ∃x ∈ B sedemikian hingga gx = n, sehingga hx = 2gx – 1 = 2n – 1 = t. Dengan demikian
37 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
∀t ∈ N ∃x ∈ A ∪ B hx = t, sehingga h adalah fungsi surjektif. Ambil sebarang t, p
∈ A ∪ B sedemikian hingga ht = hp. Tidak mungkin terjadi h
t = 2ft dan hp = 2gp – 1 atau ht = 2gt – 1 dan hp = 2fp, karena 2ft dan 2fp adalah bilangan genap, sedangkan 2gt – 1 dan 2gp – 1
adalah bilangan ganjil. Dengan demikian haruslah ht = 2ft dan hp = 2fp atau ht = 2gt – 1 dan hp = 2gp – 1, sehingga
2ft = 2fp f
t = fp t
= p karena fungsi f injektif
atau 2gt – 1 = 2gp – 1
2gt = 2gp g
t = gp t
= p karena fungsi g injektif
Dengan demikian berlaku ∀t, p ∈ A ∪ B ht = hp ⇒ t = p, maka fungsi
h : A
∪ B → N adalah fungsi bijektif. Jadi A ∪ B himpunan tercacah.
Teorema 3.2.6: Himpunan A dengan A
⊆ N adalah himpunan terbilang. Bukti:
Diberikan himpunan A dengan A ⊆ N. Harus ditunjukkan bahwa himpunan
A hingga atau tercacah. Jika himpunan A hingga, maka jelas bahwa
himpunan A terbilang. Andaikan himpunan A takhingga. Harus ditunjukkan bahwa himpunan A tercacah, dengan membangun suatu fungsi f : N
→ A, dan harus ditunjukkan bahwa fungsi f : N
→ A adalah fungsi bijektif. Telah
38 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
diketahui bahwa N, ≤ terurut wajar, maka A mempunyai elemen terkecil.
Andaikan f1 ∈ A adalah bayangan dari 1 ∈ N, dan merupakan elemen
terkecil dari A. Dibentuk himpunan A
A =
1
- { f1}, maka = { f2, f3,
f 4,...} dan
⊆ N, maka memuat elemen terkecil, yaitu f2, dengan f
2 adalah bayangan dari 2 ∈ N. Demikian seterusnya ∀n ∈ N dapat
dibentuk = A - { f1, f2, f3,..., fn}, maka
= { fn+1, fn+2, f
n+3,...} dan ⊆ N, sehingga
memuat elemen terkecil yaitu fn+1, dengan fn+1 adalah bayangan dari n+1
∈ N. Dengan demikian dapat dibentuk suatu fungsi f : N
→ A dengan fx = y dan y berada di urutan ke-x dalam daftar. Harus ditunjukkan bahwa fungsi f : N
→ A adalah fungsi bijektif. Ambil sebarang y
∈ A dan y ∉ Ran f. Jika y – 1 = fj untuk suatu j
∈ N, maka y = f j+1, karena y adalah elemen terkecil dari . Padahal
y ∉ Ran f, sehingga terjadi kontradiksi, maka y – 1 ∉ Ran f, sehingga y – 2
∉ Ran f, dan seterusnya sedemikian hingga f1 ∉ Ran f. Padahal f1 adalah elemen terkecil dari A. Kembali terjadi kontradiksi, sehingga y
∈ Ran f, maka A
⊆ Ran f. Dengan demikian dapat ditemukan x ∈ N sedemikian hingga y = fx. Jadi fungsi f surjektif. Untuk setiap n
∈ N, f1, f2, f3,..., f
n adalah daftar elemen pertama dari A yang juga terurut berdasarkan urutan wajar N,
≤. Ambil sebarang m,n ∈ N. Jika fm = fn, maka dalam daftar bilangan ke-m sama dengan bilangan ke-n, sehingga m = n. Jadi
fungsi f injektif, sehingga fungsi f bijektif, maka A himpunan tercacah. Jadi terbukti A
himpunan terbilang.
1
A
1
A
1
A
n
A
n
A
n
A
n
A
j
A
39 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Teorema 3.2.7: Diberikan himpunan tercacah A dan himpunan B dengan B
⊆ A, maka himpunan B terbilang.
Bukti: Diberikan himpunan tercacah A, maka ada fungsi bijektif f : A
→ N. Diketahui himpunan B, dengan B
⊆ A. Karena B ⊆ A dan A ~ N, maka B ~
f B
⊆ N, sehingga B dapat dipandang sebagai subset dari N. Jadi berdasarkan Teorema 3.2.6 himpunan B terbilang.
Teorema 3.2.8: Produk Kartesius N
×
N adalah himpunan tercacah. Bukti:
Didefinisikan fungsi f : N
×
N → N dengan fa,b =
. Akan ditunjukkan bahwa fungsi f bijektif. Ambil sebarang n
∈ N. Jika n ganjil, dipilih a = 1 dan b =
1 2
2
1
−
−
b
a
2 1
+ n
, sehingga f1,
2 1
+ n
= n+1 – 1 = n. Jika
n genap, dipilih a = 2 dan b =
2
4 2
+ n
, sehingga f2,
4 2
+ n
= 2
2 2
+ n
- 1
= 2
2 n
+ 1 – 1 = n. Dapat ditemukan a,b ∈ N
×
N sedemikian hingga f
a,b = n, sehingga ∀n ∈ N ∃a,b ∈ N
×
N fa,b = n, maka fungsi f surjektif. Ambil sebarang a,b, p,q
∈ N
×
N dengan fa,b = fp,q. Harus ditunjukkan a,b = p,q,
maka fa,b = fp,q =
1 2
2
1
−
−
b
a
1 2
2
1
−
−
q
p
= tiap ruas dikali 2
1 2
2 −
b
a
1 2
2 −
q
p
40 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Tidak mungkin terjadi
a
2 =
1 2
− q
dan
p
2 =
1 2
− b
, karena dan
adalah bilangan genap, sedangkan
a
2
p
2
1 2
− b
dan
1 2
− q
adalah bilangan ganjil. Haruslah terjadi
= dan
a
2
p
2 1
2 −
b =
1 2
− q
, sehingga a = p dan b
= q, maka a,b = p,q. Dengan demikian berlaku fa,b = fp,q ⇒
a,b = p,q, sehingga ∀a,b, p,q ∈ N
×
N fa,b = fp,q ⇒ a,b =
p,q. Terlihat bahwa fungsi f injektif, sehingga fungsi f bijektif. Jadi N
×
N tercacah.
Teorema 3.2.9: Produk Kartesius dari dua himpunan tercacah adalah himpunan
tercacah. Bukti:
Diberikan himpunan tercacah A dan B, maka himpunan A dan B masing- masing berkorespondensi satu-satu dengan N, sehingga ada fungsi bijektif
f : A
→ N dan g : B → N. Akan ditunjukkan A
×
B adalah himpunan tercacah. Diketahui A
×
B = {a,b ⏐a ∈ A dan b ∈ B}. Didefinisikan fungsi
F : A B
→ N dengan Fa,b = 2gb – 1. Akan ditunjukkan
bahwa fungsi F : A B → N adalah fungsi bijektif. Ambil sebarang n ∈ N.
Jika n ganjil, maka dipilih a = 1 dan b =
×
1
2
− a
f
×
1 −
f
1 −
g
2 1
+ n
, sehingga
F 1,
1 −
f
1 −
g
2 1
+ n
= 2g
1 1
1
2
−
−
f f
1 −
g
2 1
+ n
– 1
= 2 g
1 1
1
2
− °
−
f f
o
1 −
g
2 1
+ n
– 1 =
n + 1 – 1 2
= n
41 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Jika n genap, maka dipilih a = 2 dan b =
1 −
f
1 −
g
4 2
+ n
, sehingga
F 2,
1 −
f
1 −
g
4 2
+ n
= 2g
1 2
1
2
−
−
f f
1 −
g
4 2
+ n
– 1
= 2 g
1 2
1
2
− °
−
f f
o
1 −
g
4 2
+ n
– 1
= 2
2 n
+ 1 – 1 = n
Dapat ditemukan a,b ∈ A
×
B sedemikian hingga Fa,b = n, sehingga ∀n ∈ N ∃a,b ∈ A
×
B Fa,b = n. Terlihat bahwa fungsi F adalah fungsi surjektif. Sekarang ambil sebarang a,b, p,q
∈ A B dengan F
a,b = Fp,q. Harus ditunjukkan bahwa a,b = p,q, sehingga
×
F a,b = Fp,q
1
2
− a
f
2gb – 1 = 2gq – 1
1
2
− p
f
2
a f
2gb – 1 = 2gq – 1 tiap ruas dikali 2
2
p f
Tidak mungkin terjadi = 2gq – 1 dan
= 2gb – 1, karena dan
adalah bilangan genap, sedangkan 2gb – 1 dan 2gq – 1 adalah bilangan ganjil. Dengan demikian haruslah
= dan 2gb –
1 = 2gq – 1, sehingga fa = fp dan gb = gq. Karena f : A → N dan g
: B → N adalah fungsi-fungsi injektif maka a = p dan b = q, sehingga a,b =
p,q. Dengan demikian berlaku Fa,b = Fp,q ⇒ a,b = p,q
sedemikian hingga ∀a,b, p,q ∈ A
2
a f
2
p f
2
a f
2
p f
2
a f
2
p f
×
B Fa,b = Fp,q ⇒ a,b =
p,q. Terlihat bahwa fungsi F adalah fungsi injektif. Jadi fungsi
42 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
F : A
×
B → N adalah fungsi bijektif. Jadi Produk Kartesius dari dua
himpunan tercacah adalah himpunan tercacah.
Teorema 3.2.10: Himpunan semua bilangan bulat Z adalah himpunan tercacah.
Bukti:
Didefinisikan fungsi f : N → Z dengan fx =
⎪ ⎩
⎪ ⎨
⎧ =
− =
− genap
bila 2
ganjil bila
2 1
2 x
x x
x .
Akan ditunjukkan bahwa fungsi f : N → Z bijektif. Dengan diagram
ditunjukkan sebagai berikut: N
1 2 3 4 5 6 7 ... ↓
↓ ↓
↓ ↓
↓ ↓
Z 0 -
1 1 -
2 2 -
3 3 ...
Akan ditunjukkan bahwa fungsi f surjektif. Ambil sebarang n ∈ Z.
a. Jika n
0, maka x = - 2n ∈ N, dan fx = f-2n = -
2 1
- 2n = n
b. Jika n
≥ 0, maka x = 2n + 1 ∈ N, dan fx = f2n + 1 =
2 1
2n + 1 -
2 1
= n. Berlaku
∀n ∈ Z ∃x ∈ N fx = n. Jadi fungsi f surjektif. Sekarang akan ditunjukkan bahwa fungsi f injektif. Ambil sebarang x,y
∈ N dengan fx = fy. Jika x ganjil dan y genap, maka fx =
2 1
x -
2 1
dan
f y = -
2 1
y , sehingga fx
≠ fy. Jika x genap dan y ganjil, maka
43 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
f x = -
2 1
x dan fy =
2 1
y -
2 1
, sehingga fx ≠ fy. Padahal diketahui
f x = fy. Terjadi kontradiksi. Oleh karena itu tidak mungkin terjadi x ganjil
dan y genap atau x genap dan y ganjil. Haruslah x dan y genap atau x dan y ganjil.
a. Jika x dan y ganjil, maka
2 1
x -
2 1
=
2 1
y -
2 1
, sehingga x = y.
b. Jika x dan y genap, maka -
2 1
x = -
2 1
y , sehingga x = y.
Berlaku ∀x,y ∈ N fx = fy ⇒ x = y. Jadi fungsi f injektif.
Terlihat bahwa fungsi f : N → Z bijektif. Jadi himpunan semua bilangan
bulat Z adalah himpunan tercacah.
Sebelum menunjukkan bahwa himpunan semua bilangan rasional Q tercacah, terlebih dahulu akan ditunjukkan bahwa himpunan semua bilangan
rasional positif tercacah. Hal ini dibuktikan dalam teorema sebagai berikut.
+
Q
Teorema 3.2.11: Himpunan semua bilangan rasional positif
tercacah.
+
Q Bukti:
Telah dibuktikan dalam Teorema 3.2.8 bahwa himpunan N
×
N tercacah. Padahal setiap bilangan rasional positif berbentuk pecahan
q p
, dengan
p , q
∈ N. Dapat dikatakan bahwa elemen-elemen dari adalah pasangan
terurut p,q dengan p ∈ N dan q ∈ N, sehingga p,q ∈ N
×
N, maka kita dapat memandang bahwa
⊆ N
+
Q
+
Q
×
N. Himpunan tak hingga, sehingga
dengan Teorema 3.2.7 terbukti himpunan tercacah.
+
Q
+
Q
44 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Teorema 3.2.12: Himpunan semua bilangan rasional Q tercacah.
Bukti: Telah dibuktikan dalam Teorema 3.2.11 bahwa himpunan
tercacah dan dalam Teorema 3.2.10 bahwa himpunan semua bilangan bulat Z adalah
himpunan tercacah. Karena
+
Q
−
Z ⊆ Z dan himpunan
−
Z takhingga, maka
berdasarkan Teorema 3.2.7,
−
Z himpunan tercacah. Berdasarkan Teorema
3.2.9, maka
−
Z N adalah himpunan tercacah. Setiap bilangan rasional
negatif berbentuk pecahan
×
b a
dengan a ∈
−
Z dan b
∈ N, sehingga dapat
dikatakan bahwa elemen-elemen dari adalah pasangan terurut a,b,
dengan a ∈
−
Q
−
Z dan b
∈ N, maka kita dapat memandang ⊆
−
Q
−
Z N
dan himpunan takhingga. Kembali menggunakan Teorema 3.2.7 maka
himpunan adalah himpunan tercacah. Dengan demikian Q’ =
∪ ,
dengan ∩
= φ dan berdasarkan Teorema 3.2.5 adalah himpunan
tercacah. Telah dibuktikan dalam Teorema 3.2.4 bahwa gabungan himpunan tercacah dan himpunan hingga yang saling asing adalah himpunan tercacah.
{0} adalah himpunan hingga dan Q’ ∩ {0} = φ, sehingga Q = Q’ ∪ {0}
adalah himpunan tercacah. Jadi terbukti himpunan semua bilangan rasional Q
tercacah.
×
−
Q
−
Q
−
Q
+
Q
−
Q
+
Q
Teorema 3.2.13: Interval 0,1 adalah himpunan taktercacah.
Bukti:
45 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Andaikan interval I = 0,1 adalah himpunan tercacah, sehingga I = { ,
, ,...} dengan setiap elemen dari I dapat dinyatakan sebagai berikut:
1
x
2
x
3
x = 0,
1
x ...
...
1 13
12 11
n
k k
k k
= 0,
2
x ...
...
2 23
22 21
n
k k
k k
= 0,
3
x ...
...
3 33
32 31
n
k k
k k
. .
. = 0,
n
x ...
...
3 2
1 nn
n n
n
k k
k k
. .
. dengan
∈ {0,1,2,3,...,9} dan ≠ 0,000... ∀n ∈ N. Perhatikan y = 0,
dengan ∈ {0,1,2,3,...,9} dan ≠
, ≠
, ≠
, ..., ≠
, ...., maka y ∈ I dan y ≠ , ∀n ∈ N. Jadi y ∉ I. Terjadi
kontradiksi. Jadi terbukti bahwa interval 0,1 adalah himpunan taktercacah.
ij
k
n
x ...
...
3 2
1 n
b b
b b
i
b
1
b
11
k
2
b
22
k
3
b
33
k
n
b
nn
k
n
x
Teorema 3.2.14: Himpunan semua bilangan real R taktercacah.
Bukti: Didefinisikan fungsi f : 0,1
→ R dengan fx = tgπx -
2
π .
46 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Akan ditunjukkan bahwa fungsi f bijektif.
Ambil sebarang y ∈ R, dipilih x =
π π
2
1
y tg
−
+ sedemikian hingga
f x = f
π π
2
1
y tg
−
+ = tg
π π
π 2
1
y tg
−
+ -
2
π
= tg
2
π +
-
1
y tg
−
2
π
= tg
1
y tg
−
= tg o y
1 −
tg = y
Dapat ditemukan x ∈ 0,1, sehingga fx = y. Dengan demikian berlaku
∀y ∈ R ∃x ∈ 0,1 fx = y, sehingga fungsi f surjektif. Ambil sebarang x,y
∈ 0,1 dengan fx = fy, sehingga tgπx -
2
π = tg
πy -
2
π , maka
x = y, sehingga fungsi f injektif. Jadi fungsi f : 0,1
→ R bijektif. Terlihat himpunan semua bilangan real R berkorespondensi satu-satu dengan interval
terbuka 0,1. Telah dibuktikan dalam Teorema 3.2.13 bahwa interval terbuka 0,1 adalah himpunan taktercacah. Jadi himpunan semua bilangan
real R adalah himpunan taktercacah.