Himpunan Tercacah dan Himpunan Terbilang Definisi 3.1:

Cara yang kedua digunakan pada himpunan yang jumlah elemennya tidak dapat dibilang sampai habis. Himpunan ini disebut himpunan takhingga yang didefinisikan sebagai berikut: Definisi 3.1.2: Himpunan H dikatakan takhingga bila dan hanya bila H merupakan himpunan tidak kosong, yang tidak berkorespondensi satu-satu dengan himpunan {1,2,3,...,k} untuk setiap k ∈ N. Ada dua jenis himpunan takhingga yang berbeda dan konsep korespondensi satu-satu kembali digunakan untuk menjelaskan perbedaan tersebut. 2. Himpunan Tercacah dan Himpunan Terbilang Definisi 3.2.1: Suatu himpunan takhingga yang berkorespondensi satu-satu dengan N disebut himpunan tercacah. Definisi 3.2.2: Himpunan hingga atau himpunan tercacah disebut himpunan terbilang. Definisi 3.2.3: Himpunan takhingga yang tidak berkorespondensi satu-satu dengan N disebut himpunan taktercacah. Untuk selanjutnya pembicaraan akan lebih pada himpunan tercacah dan himpunan taktercacah. Definisi 3.2.4: Diberikan sebarang himpunan A, dan R adalah relasi terurut parsial pada A. Elemen a ∈ A adalah elemen terkecil bila dan hanya bila ∀x ∈ A aRx. Elemen a ∈ A adalah elemen terbesar bila dan hanya bila ∀x ∈ A xRa. 32 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Definisi 3.2.5: Diberikan sebarang himpunan A, dan R adalah relasi terurut total pada A. Himpunan A dikatakan terurut wajar bila dan hanya bila setiap himpunan bagian dari A memuat elemen terkecil. Contoh himpunan tercacah adalah himpunan semua bilangan bulat Z dan himpunan semua bilangan rasional Q, dan contoh himpunan taktercacah adalah interval 0,1. Hal ini akan dibuktikan sesudah membahas beberapa sifat himpunan tercacah sebagai berikut. Teorema 3.2.1: Himpunan semua bilangan asli N terurut wajar oleh relasi ≤. Bukti: Akan ditunjukkan bahwa relasi ≤ adalah relasi urutan total pada N dengan menunjukkan bahwa relasi ≤ memenuhi sifat relasi urutan total. a. Refleksif Ambil sebarang x ∈ N. Jelas bahwa x ≤ x, maka ∀x ∈ N x ≤ x. Jadi relasi ≤ memenuhi sifat refleksif. b. Antisimetris Ambil sebarang x,y ∈ N dengan x ≤ y dan y ≤ x, maka jelas bahwa x = y, sehingga ∀x,y ∈ N x ≤ y ∧ y ≤ x ⇒ x = y. Jadi relasi ≤ memenuhi sifat antisimetris. c. Transitif Ambil sebarang x,y,z ∈ N dengan x ≤ y dan y ≤ z, maka jelas bahwa x ≤ z, sehingga ∀x,y,z ∈ N x ≤ y ∧ y ≤ z ⇒ x = z. Jadi relasi ≤ memenuhi sifat transitif. 33 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI d. Ambil sebarang x,y ∈ N, maka haruslah x ≤ y atau y ≤ x. Karena jika x ≤ y dan y ≤ x, maka x = y, dan sifat ini sudah dipenuhi sebelumnya. Dengan demikian relasi ≤ memenuhi sifat ∀x,y ∈ N x ≤ y ∨ y ≤ x. Berdasarkan a, b, c, dan d di atas, maka relasi ≤ adalah relasi urutan total, sehingga setiap pasang elemen dalam N pasti terbanding. Dibentuk sebarang himpunan P ⊆ N dan P ≠ φ, dengan P = {a}. Jelas bahwa a ≤ a, sehingga a ∈ P adalah elemen terkecil. Andaikan dibentuk sebarang himpuan T ⊆ N dan T ≠ φ, dengan T = {a,d}, maka ∀x ∈ T jika a ≤ x, maka a ∈ T adalah elemen terkecil atau jika d ≤ x, maka d ∈ T adalah elemen terkecil. Dengan demikian himpunan P dan T memuat elemen terkecil. Kembali dibentuk sebarang himpunan D ⊆ N dan D ≠ φ, dengan D = {e,g,h,k,m,p,...}. Dengan cara yang sama ditemukan bahwa himpunan D memuat elemen terkecil, misalnya e, karena ∀x ∈ D e ≤ x. Terlihat bahwa setiap himpunan bagian tidak kosong dari N memuat elemen terkecil. Jadi himpunan semua bilangan asli N terurut wajar oleh relasi ≤. „ Teorema 3.2.2: Jika himpunan S adalah himpunan bilangan asli sedemikian sehingga: 1. 1 ∈ S 2. ∀n ∈ S n ∈ S ⇒ n + 1 ∈ S, maka S = N. 34 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Bukti: S adalah himpunan bilangan asli sedemikian sehingga 1 ∈ S dan ∀n ∈ S n ∈ S ⇒ n + 1 ∈ S. Andaikan A = N – S adalah himpunan yang tidak kosong. Karena N, ≤ terurut wajar, maka A memuat suatu elemen terkecil, misalnya a. Jelas a ≠ 1, karena 1 ∈ S dan A = N – S, maka a – 1 ∈ N, dan a – 1 ≤ a. Karena a adalah elemen terkecil dari A, maka a – 1 ∉ A, sehingga a – 1 ∈ S. Karena a – 1 ∈ S, maka a – 1 + 1 ∈ S, sehingga a ∈ S. Padahal a ∈ A dan S = N – A, sehingga a ∉ S. Terjadi kontradiksi. Pengandaian salah, maka A = φ. Jadi S = N – A = N – φ = N. „ Teorema 3.2.3: Andaikan A adalah himpunan tercacah dan x ∉ A, maka A ∪ {x} adalah himpunan tercacah. Bukti: A adalah himpunan tercacah dan x ∉ A, maka ada fungsi bijektif f : A → n. Didefinisikan fungsi g : A ∪ {x} → N, dengan g y = ⎩ ⎨ ⎧ ∈ + = A y y f x y untuk 1 untuk 1 Harus ditunjukkan bahwa fungsi g bijektif. Andaikan n ∈ N. Jika n = 1, maka n = gx. Jika n ≠ 1, maka n = k + 1 untuk suatu k ∈ N. Tetapi k = fy untuk suatu y ∈ A, sehingga n = k + 1 = fy + 1 = gy untuk suatu y ∈ A. Karena untuk setiap n ∈ N dapat ditemukan y ∈ A ∪ {x} sedemikian hingga n = gy, maka fungsi g surjektif. Andaikan gy = gz. Jika gy = 1, maka y = z = x. Jika gy ≠ 1, maka fy + 1 = fz + 1. Karena fungsi f adalah 35 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI fungsi injektif, maka y = z. Karena untuk semua y, z ∈ A ∪ {x} berlaku jika g y = gz, maka y = z, sehingga fungsi g injektif. Terbukti bahwa fungsi g bijektif. Jadi A ∪ {x} adalah himpunan tercacah. „ Teorema 3.2.4: Gabungan himpunan tercacah dan himpunan hingga yang saling asing adalah himpunan tercacah. Bukti: Diberikan himpunan tercacah A dan himpunan hingga B yang tidak kosong, dengan A ∩ B = φ. Akan dibuktikan bahwa A ∪ B adalah himpunan tercacah. Karena A himpunan tercacah, maka ada fungsi bijektif f : A → N dan karena B adalah himpunan hingga, maka ada fungsi bijektif g : B → {1,2,3,...,n} untuk suatu n ∈ N. Didefinisikan fungsi h : A ∪ B → N dengan h y = ⎩ ⎨ ⎧ ∈ Ν ∈ + ∈ A y k k n B y y g untuk , untuk Harus ditunjukkan bahwa fungsi h adalah fungsi bijektif. Ambil sebarang t ∈ N. Jika t = k untuk suatu k ∈ {1,2,3,...,n}, maka dapat ditemukan y ∈ B sedemikian hingga gy = k, karena fungsi g surjektif. Dengan demikian hy = gy = k. Jika t = n + k, untuk suatu k ∈ n, maka dapat ditemukan y ∈ A sedemikian hingga fy = t, karena fungsi f surjektif. Dengan demikian hy = n + k = t. Oleh karena itu untuk semua t ∈ N dapat ditemukan y ∈ A ∪ B sedemikian hingga t = hy, maka fungsi h surjektif. Ambil sebarang y, z ∈ A ∪ B sedemikian hingga hy = hz. Tidak mungkin terjadi hy = gy dan hz = n + k, k ∈ n, atau hy = n + k, k ∈ n, dan hz 36 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI = gz. Jika hy = gy dan hz = gz, maka jelas gy = gz, sehingga y = z, karena fungsi g injektif. Jika hy = n + k, k ∈ n, dan hz = n + k, k ∈ n, maka untuk t = n + k, k ∈ n ada y ∈ A sedemikian hingga fy = t dan untuk p = n + k, k ∈ n ada z ∈ A sedemikian hingga fz = p, karena fungsi f surjektif, sehingga t = p = n + k, k ∈ n, maka fy = fz. Karena fungsi f injektif, maka y = z. Dengan demikian untuk semua y,z ∈ A ∪ B berlaku jika h y = hz, maka y = z. Jadi fungsi h injektif. Terbukti fungsi h bijektif. Jadi A ∪ B adalah himpunan tercacah. „ Teorema 3.2.5: Gabungan dua himpunan tercacah yang saling asing adalah himpunan tercacah. Bukti: Diberikan himpunan tercacah A dan B, dengan A ∩ B = φ. Harus dibuktikan bahwa A ∪ B himpunan tercacah. Himpunan A dan B masing-masing berkorespondensi satu-satu dengan N, sehingga ada fungsi-fungsi bijektif f : A → N dan g: B → N. Didefinisikan fungsi h : A ∪ B → N dengan h x = ⎩ ⎨ ⎧ ∈ − ∈ B x x g A x x f untuk 1 2 untuk 2 Harus ditunjukkan bahwa h fungsi bijektif. Ambil sebarang t ∈ N. Jika t genap, maka t = 2n untuk suatu n ∈ N. Diketahui bahwa fungsi f surjektif, sehingga ∃x ∈ A sedemikian hingga f x = n, maka hx = 2fx = 2n = t. Jika t ganjil, maka t = 2n – 1 untuk suatu n ∈ N. Diketahui bahwa fungsi g surjektif, sehingga ∃x ∈ B sedemikian hingga gx = n, sehingga hx = 2gx – 1 = 2n – 1 = t. Dengan demikian 37 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI ∀t ∈ N ∃x ∈ A ∪ B hx = t, sehingga h adalah fungsi surjektif. Ambil sebarang t, p ∈ A ∪ B sedemikian hingga ht = hp. Tidak mungkin terjadi h t = 2ft dan hp = 2gp – 1 atau ht = 2gt – 1 dan hp = 2fp, karena 2ft dan 2fp adalah bilangan genap, sedangkan 2gt – 1 dan 2gp – 1 adalah bilangan ganjil. Dengan demikian haruslah ht = 2ft dan hp = 2fp atau ht = 2gt – 1 dan hp = 2gp – 1, sehingga 2ft = 2fp f t = fp t = p karena fungsi f injektif atau 2gt – 1 = 2gp – 1 2gt = 2gp g t = gp t = p karena fungsi g injektif Dengan demikian berlaku ∀t, p ∈ A ∪ B ht = hp ⇒ t = p, maka fungsi h : A ∪ B → N adalah fungsi bijektif. Jadi A ∪ B himpunan tercacah. „ Teorema 3.2.6: Himpunan A dengan A ⊆ N adalah himpunan terbilang. Bukti: Diberikan himpunan A dengan A ⊆ N. Harus ditunjukkan bahwa himpunan A hingga atau tercacah. Jika himpunan A hingga, maka jelas bahwa himpunan A terbilang. Andaikan himpunan A takhingga. Harus ditunjukkan bahwa himpunan A tercacah, dengan membangun suatu fungsi f : N → A, dan harus ditunjukkan bahwa fungsi f : N → A adalah fungsi bijektif. Telah 38 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI diketahui bahwa N, ≤ terurut wajar, maka A mempunyai elemen terkecil. Andaikan f1 ∈ A adalah bayangan dari 1 ∈ N, dan merupakan elemen terkecil dari A. Dibentuk himpunan A A = 1 - { f1}, maka = { f2, f3, f 4,...} dan ⊆ N, maka memuat elemen terkecil, yaitu f2, dengan f 2 adalah bayangan dari 2 ∈ N. Demikian seterusnya ∀n ∈ N dapat dibentuk = A - { f1, f2, f3,..., fn}, maka = { fn+1, fn+2, f n+3,...} dan ⊆ N, sehingga memuat elemen terkecil yaitu fn+1, dengan fn+1 adalah bayangan dari n+1 ∈ N. Dengan demikian dapat dibentuk suatu fungsi f : N → A dengan fx = y dan y berada di urutan ke-x dalam daftar. Harus ditunjukkan bahwa fungsi f : N → A adalah fungsi bijektif. Ambil sebarang y ∈ A dan y ∉ Ran f. Jika y – 1 = fj untuk suatu j ∈ N, maka y = f j+1, karena y adalah elemen terkecil dari . Padahal y ∉ Ran f, sehingga terjadi kontradiksi, maka y – 1 ∉ Ran f, sehingga y – 2 ∉ Ran f, dan seterusnya sedemikian hingga f1 ∉ Ran f. Padahal f1 adalah elemen terkecil dari A. Kembali terjadi kontradiksi, sehingga y ∈ Ran f, maka A ⊆ Ran f. Dengan demikian dapat ditemukan x ∈ N sedemikian hingga y = fx. Jadi fungsi f surjektif. Untuk setiap n ∈ N, f1, f2, f3,..., f n adalah daftar elemen pertama dari A yang juga terurut berdasarkan urutan wajar N, ≤. Ambil sebarang m,n ∈ N. Jika fm = fn, maka dalam daftar bilangan ke-m sama dengan bilangan ke-n, sehingga m = n. Jadi fungsi f injektif, sehingga fungsi f bijektif, maka A himpunan tercacah. Jadi terbukti A himpunan terbilang. „ 1 A 1 A 1 A n A n A n A n A j A 39 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Teorema 3.2.7: Diberikan himpunan tercacah A dan himpunan B dengan B ⊆ A, maka himpunan B terbilang. Bukti: Diberikan himpunan tercacah A, maka ada fungsi bijektif f : A → N. Diketahui himpunan B, dengan B ⊆ A. Karena B ⊆ A dan A ~ N, maka B ~ f B ⊆ N, sehingga B dapat dipandang sebagai subset dari N. Jadi berdasarkan Teorema 3.2.6 himpunan B terbilang. „ Teorema 3.2.8: Produk Kartesius N × N adalah himpunan tercacah. Bukti: Didefinisikan fungsi f : N × N → N dengan fa,b = . Akan ditunjukkan bahwa fungsi f bijektif. Ambil sebarang n ∈ N. Jika n ganjil, dipilih a = 1 dan b = 1 2 2 1 − − b a 2 1 + n , sehingga f1, 2 1 + n = n+1 – 1 = n. Jika n genap, dipilih a = 2 dan b = 2 4 2 + n , sehingga f2, 4 2 + n = 2 2 2 + n - 1 = 2 2 n + 1 – 1 = n. Dapat ditemukan a,b ∈ N × N sedemikian hingga f a,b = n, sehingga ∀n ∈ N ∃a,b ∈ N × N fa,b = n, maka fungsi f surjektif. Ambil sebarang a,b, p,q ∈ N × N dengan fa,b = fp,q. Harus ditunjukkan a,b = p,q, maka fa,b = fp,q = 1 2 2 1 − − b a 1 2 2 1 − − q p = tiap ruas dikali 2 1 2 2 − b a 1 2 2 − q p 40 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Tidak mungkin terjadi a 2 = 1 2 − q dan p 2 = 1 2 − b , karena dan adalah bilangan genap, sedangkan a 2 p 2 1 2 − b dan 1 2 − q adalah bilangan ganjil. Haruslah terjadi = dan a 2 p 2 1 2 − b = 1 2 − q , sehingga a = p dan b = q, maka a,b = p,q. Dengan demikian berlaku fa,b = fp,q ⇒ a,b = p,q, sehingga ∀a,b, p,q ∈ N × N fa,b = fp,q ⇒ a,b = p,q. Terlihat bahwa fungsi f injektif, sehingga fungsi f bijektif. Jadi N × N tercacah. „ Teorema 3.2.9: Produk Kartesius dari dua himpunan tercacah adalah himpunan tercacah. Bukti: Diberikan himpunan tercacah A dan B, maka himpunan A dan B masing- masing berkorespondensi satu-satu dengan N, sehingga ada fungsi bijektif f : A → N dan g : B → N. Akan ditunjukkan A × B adalah himpunan tercacah. Diketahui A × B = {a,b ⏐a ∈ A dan b ∈ B}. Didefinisikan fungsi F : A B → N dengan Fa,b = 2gb – 1. Akan ditunjukkan bahwa fungsi F : A B → N adalah fungsi bijektif. Ambil sebarang n ∈ N. Jika n ganjil, maka dipilih a = 1 dan b = × 1 2 − a f × 1 − f 1 − g 2 1 + n , sehingga F 1, 1 − f 1 − g 2 1 + n = 2g 1 1 1 2 − − f f 1 − g 2 1 + n – 1 = 2 g 1 1 1 2 − ° − f f o 1 − g 2 1 + n – 1 = n + 1 – 1 2 = n 41 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Jika n genap, maka dipilih a = 2 dan b = 1 − f 1 − g 4 2 + n , sehingga F 2, 1 − f 1 − g 4 2 + n = 2g 1 2 1 2 − − f f 1 − g 4 2 + n – 1 = 2 g 1 2 1 2 − ° − f f o 1 − g 4 2 + n – 1 = 2 2 n + 1 – 1 = n Dapat ditemukan a,b ∈ A × B sedemikian hingga Fa,b = n, sehingga ∀n ∈ N ∃a,b ∈ A × B Fa,b = n. Terlihat bahwa fungsi F adalah fungsi surjektif. Sekarang ambil sebarang a,b, p,q ∈ A B dengan F a,b = Fp,q. Harus ditunjukkan bahwa a,b = p,q, sehingga × F a,b = Fp,q 1 2 − a f 2gb – 1 = 2gq – 1 1 2 − p f 2 a f 2gb – 1 = 2gq – 1 tiap ruas dikali 2 2 p f Tidak mungkin terjadi = 2gq – 1 dan = 2gb – 1, karena dan adalah bilangan genap, sedangkan 2gb – 1 dan 2gq – 1 adalah bilangan ganjil. Dengan demikian haruslah = dan 2gb – 1 = 2gq – 1, sehingga fa = fp dan gb = gq. Karena f : A → N dan g : B → N adalah fungsi-fungsi injektif maka a = p dan b = q, sehingga a,b = p,q. Dengan demikian berlaku Fa,b = Fp,q ⇒ a,b = p,q sedemikian hingga ∀a,b, p,q ∈ A 2 a f 2 p f 2 a f 2 p f 2 a f 2 p f × B Fa,b = Fp,q ⇒ a,b = p,q. Terlihat bahwa fungsi F adalah fungsi injektif. Jadi fungsi 42 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI F : A × B → N adalah fungsi bijektif. Jadi Produk Kartesius dari dua himpunan tercacah adalah himpunan tercacah. „ Teorema 3.2.10: Himpunan semua bilangan bulat Z adalah himpunan tercacah. Bukti: Didefinisikan fungsi f : N → Z dengan fx = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − = − genap bila 2 ganjil bila 2 1 2 x x x x . Akan ditunjukkan bahwa fungsi f : N → Z bijektif. Dengan diagram ditunjukkan sebagai berikut: N 1 2 3 4 5 6 7 ... ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ Z 0 - 1 1 - 2 2 - 3 3 ... Akan ditunjukkan bahwa fungsi f surjektif. Ambil sebarang n ∈ Z. a. Jika n 0, maka x = - 2n ∈ N, dan fx = f-2n = - 2 1 - 2n = n b. Jika n ≥ 0, maka x = 2n + 1 ∈ N, dan fx = f2n + 1 = 2 1 2n + 1 - 2 1 = n. Berlaku ∀n ∈ Z ∃x ∈ N fx = n. Jadi fungsi f surjektif. Sekarang akan ditunjukkan bahwa fungsi f injektif. Ambil sebarang x,y ∈ N dengan fx = fy. Jika x ganjil dan y genap, maka fx = 2 1 x - 2 1 dan f y = - 2 1 y , sehingga fx ≠ fy. Jika x genap dan y ganjil, maka 43 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI f x = - 2 1 x dan fy = 2 1 y - 2 1 , sehingga fx ≠ fy. Padahal diketahui f x = fy. Terjadi kontradiksi. Oleh karena itu tidak mungkin terjadi x ganjil dan y genap atau x genap dan y ganjil. Haruslah x dan y genap atau x dan y ganjil. a. Jika x dan y ganjil, maka 2 1 x - 2 1 = 2 1 y - 2 1 , sehingga x = y. b. Jika x dan y genap, maka - 2 1 x = - 2 1 y , sehingga x = y. Berlaku ∀x,y ∈ N fx = fy ⇒ x = y. Jadi fungsi f injektif. Terlihat bahwa fungsi f : N → Z bijektif. Jadi himpunan semua bilangan bulat Z adalah himpunan tercacah. „ Sebelum menunjukkan bahwa himpunan semua bilangan rasional Q tercacah, terlebih dahulu akan ditunjukkan bahwa himpunan semua bilangan rasional positif tercacah. Hal ini dibuktikan dalam teorema sebagai berikut. + Q Teorema 3.2.11: Himpunan semua bilangan rasional positif tercacah. + Q Bukti: Telah dibuktikan dalam Teorema 3.2.8 bahwa himpunan N × N tercacah. Padahal setiap bilangan rasional positif berbentuk pecahan q p , dengan p , q ∈ N. Dapat dikatakan bahwa elemen-elemen dari adalah pasangan terurut p,q dengan p ∈ N dan q ∈ N, sehingga p,q ∈ N × N, maka kita dapat memandang bahwa ⊆ N + Q + Q × N. Himpunan tak hingga, sehingga dengan Teorema 3.2.7 terbukti himpunan tercacah. „ + Q + Q 44 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Teorema 3.2.12: Himpunan semua bilangan rasional Q tercacah. Bukti: Telah dibuktikan dalam Teorema 3.2.11 bahwa himpunan tercacah dan dalam Teorema 3.2.10 bahwa himpunan semua bilangan bulat Z adalah himpunan tercacah. Karena + Q − Z ⊆ Z dan himpunan − Z takhingga, maka berdasarkan Teorema 3.2.7, − Z himpunan tercacah. Berdasarkan Teorema 3.2.9, maka − Z N adalah himpunan tercacah. Setiap bilangan rasional negatif berbentuk pecahan × b a dengan a ∈ − Z dan b ∈ N, sehingga dapat dikatakan bahwa elemen-elemen dari adalah pasangan terurut a,b, dengan a ∈ − Q − Z dan b ∈ N, maka kita dapat memandang ⊆ − Q − Z N dan himpunan takhingga. Kembali menggunakan Teorema 3.2.7 maka himpunan adalah himpunan tercacah. Dengan demikian Q’ = ∪ , dengan ∩ = φ dan berdasarkan Teorema 3.2.5 adalah himpunan tercacah. Telah dibuktikan dalam Teorema 3.2.4 bahwa gabungan himpunan tercacah dan himpunan hingga yang saling asing adalah himpunan tercacah. {0} adalah himpunan hingga dan Q’ ∩ {0} = φ, sehingga Q = Q’ ∪ {0} adalah himpunan tercacah. Jadi terbukti himpunan semua bilangan rasional Q tercacah. „ × − Q − Q − Q + Q − Q + Q Teorema 3.2.13: Interval 0,1 adalah himpunan taktercacah. Bukti: 45 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Andaikan interval I = 0,1 adalah himpunan tercacah, sehingga I = { , , ,...} dengan setiap elemen dari I dapat dinyatakan sebagai berikut: 1 x 2 x 3 x = 0, 1 x ... ... 1 13 12 11 n k k k k = 0, 2 x ... ... 2 23 22 21 n k k k k = 0, 3 x ... ... 3 33 32 31 n k k k k . . . = 0, n x ... ... 3 2 1 nn n n n k k k k . . . dengan ∈ {0,1,2,3,...,9} dan ≠ 0,000... ∀n ∈ N. Perhatikan y = 0, dengan ∈ {0,1,2,3,...,9} dan ≠ , ≠ , ≠ , ..., ≠ , ...., maka y ∈ I dan y ≠ , ∀n ∈ N. Jadi y ∉ I. Terjadi kontradiksi. Jadi terbukti bahwa interval 0,1 adalah himpunan taktercacah. „ ij k n x ... ... 3 2 1 n b b b b i b 1 b 11 k 2 b 22 k 3 b 33 k n b nn k n x Teorema 3.2.14: Himpunan semua bilangan real R taktercacah. Bukti: Didefinisikan fungsi f : 0,1 → R dengan fx = tgπx - 2 π . 46 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Akan ditunjukkan bahwa fungsi f bijektif. Ambil sebarang y ∈ R, dipilih x = π π 2 1 y tg − + sedemikian hingga f x = f π π 2 1 y tg − + = tg π π π 2 1 y tg − + - 2 π = tg 2 π + - 1 y tg − 2 π = tg 1 y tg − = tg o y 1 − tg = y Dapat ditemukan x ∈ 0,1, sehingga fx = y. Dengan demikian berlaku ∀y ∈ R ∃x ∈ 0,1 fx = y, sehingga fungsi f surjektif. Ambil sebarang x,y ∈ 0,1 dengan fx = fy, sehingga tgπx - 2 π = tg πy - 2 π , maka x = y, sehingga fungsi f injektif. Jadi fungsi f : 0,1 → R bijektif. Terlihat himpunan semua bilangan real R berkorespondensi satu-satu dengan interval terbuka 0,1. Telah dibuktikan dalam Teorema 3.2.13 bahwa interval terbuka 0,1 adalah himpunan taktercacah. Jadi himpunan semua bilangan real R adalah himpunan taktercacah. „

3. Himpunan Kuasa