Nilai Ekstrem Fungsi Polinomial

Fungsi memiliki ekstrem global di c jika adalah nilai maksimum atau minimum global. Sedangkan, fungsi memiliki ekstrem lokal di jika adalah maksimum atau minimum lokal. Pada gambar 2.12 menunjukkan bahwa di titik P dan R terdapat nilai maksimum lokal. Sedangkan di titik Q dan S terdapat nilai minimum lokal. Fungsi pada gambar 2.12, tidak memiliki nilai maksimum dan minimum global karena di kanan titik S, fungsi naik tanpa batas dan di kiri titik P, fungsi turun tanpa batas. Sedangkan, jika diperhatikan pada gambar 2.13, fungsi memiliki nilai maksimum lokal yang terletak di titik A dan C, dan memiliki nilai minimum lokal di titik B. Titik A merupakan titik maksimum lokal sekaligus titik maksimum global, karena pada titik A nilai fungsinya tertinggi untuk setiap pada domain fungsi. Fungsi pada gambar 2.13 tidak memiliki nilai minimum global karena di kiri titik A dan di kanan titik C, nilai fungsi turun tanpa batas. Gambar 2.13. Nilai ekstrem lokal dan nilai ekstrem global Teorema 2.9 Diantara 2 nilai pembuat nol real dari fungsi polinomial atau 2 akar real persamaan polinomial terdapat minimal 1 titik balik. Bukti : Pembuktian dari teorema ini akan menggunakan kontradiksi. Asumsikan diantara 2 nilai pembuat nol dari fungsi polinomial tidak ada titik balik. Misal dan adalah pembuat nol dari fungsi polinomial dengan , artinya dan . Dari asumsi yang dipunyai, fungsi tidak memiliki titik balik diantara dan , artinya tidak terjadi perubahan dari fungsi naik menjadi fungsi turun atau sebaliknya pada selang . Kasus 1 : Fungsi naik pada selang . Dari definisi fungsi naik, maka berlaku untuk setiap dengan . dan merupakan anggota dan , karena fungsi naik pada maka berlaku . Hal tersebut kontradiksi dengan fakta bahwa dan adalah pembuat nol dari fungsi , yang artinya . Oleh karena itu, memiliki minimal 1 titik balik. Kasus 2 : Fungsi konstan pada selang . Dari definisi fungsi konstan, maka berlaku untuk setiap . Diperhatikan bahwa . Jika fungsi konstan pada , maka untuk setiap berlaku . Hal terserbut terjadi apabila fungsi memiliki leading coefficient 0 dan koefisien dari setiap suku adalah 0. Hal tersebut kontradiksi dengan definisi fungsi polinomial yang memberikan syarat bahwa fungsi polinomial berderajat , koefisien yang memuat suku berpangkat tidak sama dengan 0. Oleh karena itu, fungsi konstan pada selang tidak berlaku. Kasus 3 : Fungsi turun pada selang . Dari definisi fungsi turun, maka berlaku untuk setiap dengan . dan merupakan anggota dan , karena fungsi naik pada maka berlaku . Hal tersebut kontradiksi dengan fakta bahwa dan adalah pembuat nol dari fungsi , yang artinya . Oleh karena itu, memiliki minimal 1 titik balik. Jadi, diantara 2 nilai pembuat nol real dari fungsi polinomial terdapat minimal 1 titik balik. Teorema 2.9 terbukti. QED

F. Translasi

Translasi atau pergeseran adalah suatu transformasi tanpa merubah bentuk objek. Menurut Mathematics Forum 2010, translasi adalah transformasi yang memindahkan setiap titik pada bidang menurut jarak dan arah tertentu. Jarak dan arah suatu translasi dapat dilambangkan dengan garis berarah atau vektor, misalnya ⃗⃗⃗⃗⃗ . Misalkan titik ditranslasi atau digeser berdasarkan vektor ⃗⃗⃗⃗⃗ , maka hasil pergeserannya adalah atau dapat dituliskan menjadi : → dengan adalah koordinat titik awal dan adalah koordinat titik hasil translasi atau pergeseran. Translasi juga dapat dikenakan pada grafik fungsi. Pergeseran pada grafik fungsi dapat menghasilkan grafik fungsi yang baru yang tentunya akan menghasil fungsi yang baru. Secara umum, apabila diketahui fungsi ditranslasikan oleh suatu vektor ⃗⃗⃗⃗⃗ maka : jika diambil sembarang koordinat di berlaku : ………………………………………… 2 10 ……………………………………… 2 11 ……………………………………… 2 12 Persamaan 2.11 dan 2.12 disubstitusi ke 2.10 menjadi : ……………………………… 2 13 Persamaan 2.13 menunjukkan hasil translasi fungsi f oleh vektor ⃗⃗⃗⃗⃗ . PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Translasi pada grafik fungsi dapat dilakukan dengan menggeser secara vertikal dan horizontal. Aufmann menjelaskan tentang translasi