Nilai Ekstrem Fungsi Polinomial
Fungsi memiliki ekstrem global di c jika adalah nilai maksimum
atau minimum global. Sedangkan, fungsi memiliki ekstrem lokal di
jika adalah maksimum atau minimum lokal.
Pada gambar 2.12 menunjukkan bahwa di titik P dan R terdapat nilai maksimum lokal. Sedangkan di titik Q dan S terdapat nilai minimum
lokal. Fungsi pada gambar 2.12, tidak memiliki nilai maksimum dan minimum global karena di kanan titik S, fungsi naik tanpa batas dan di kiri
titik P, fungsi turun tanpa batas. Sedangkan, jika diperhatikan pada gambar 2.13, fungsi memiliki nilai maksimum lokal yang terletak di titik A dan C,
dan memiliki nilai minimum lokal di titik B. Titik A merupakan titik maksimum lokal sekaligus titik maksimum global, karena pada titik A
nilai fungsinya tertinggi untuk setiap pada domain fungsi. Fungsi pada
gambar 2.13 tidak memiliki nilai minimum global karena di kiri titik A dan di kanan titik C, nilai fungsi turun tanpa batas.
Gambar 2.13. Nilai ekstrem lokal dan nilai ekstrem global
Teorema 2.9
Diantara 2 nilai pembuat nol real dari fungsi polinomial atau 2 akar real persamaan polinomial terdapat minimal 1 titik balik.
Bukti :
Pembuktian dari teorema ini akan menggunakan kontradiksi. Asumsikan diantara 2 nilai pembuat nol dari fungsi polinomial tidak ada
titik balik. Misal
dan adalah pembuat nol dari fungsi polinomial dengan , artinya
dan . Dari asumsi yang dipunyai, fungsi
tidak memiliki titik balik diantara dan
, artinya tidak terjadi perubahan dari fungsi naik menjadi fungsi turun atau sebaliknya pada selang
.
Kasus 1 : Fungsi naik pada selang
. Dari definisi fungsi naik, maka berlaku
untuk setiap dengan
. dan merupakan anggota dan , karena fungsi naik pada
maka berlaku . Hal tersebut kontradiksi dengan fakta bahwa
dan adalah pembuat nol dari fungsi , yang artinya . Oleh karena itu, memiliki minimal 1 titik balik.
Kasus 2 : Fungsi konstan pada selang
. Dari definisi fungsi konstan, maka berlaku
untuk setiap .
Diperhatikan bahwa . Jika fungsi konstan pada ,
maka untuk setiap berlaku . Hal terserbut terjadi
apabila fungsi memiliki leading coefficient 0 dan koefisien dari setiap
suku adalah 0. Hal tersebut kontradiksi dengan definisi fungsi polinomial yang memberikan syarat bahwa fungsi polinomial berderajat
, koefisien yang memuat suku berpangkat
tidak sama dengan 0. Oleh karena itu, fungsi konstan pada selang
tidak berlaku.
Kasus 3 : Fungsi turun pada selang
. Dari definisi fungsi turun, maka berlaku
untuk setiap dengan
. dan merupakan anggota dan , karena fungsi naik pada
maka berlaku . Hal tersebut kontradiksi dengan fakta bahwa
dan adalah pembuat nol dari fungsi , yang artinya . Oleh karena itu, memiliki minimal 1 titik balik.
Jadi, diantara 2 nilai pembuat nol real dari fungsi polinomial terdapat minimal 1 titik balik. Teorema 2.9 terbukti.
QED