Polinomial Fungsi Polinomial LANDASAN TEORI

Misal diketahui dan maka fungsi disebut fungsi real dan dapat dilambangkan dengan : Clapham, 1990: 148 Penyajian fungsi dapat berupa himpunan pasangan terurut, rumus fungsi, diagram panah atau grafik fungsi Aufmann, 1990: 148. Fungsi dapat diklasifikasikan menjadi fungsi ganjil odd function, fungsi genap even function, atau bukan keduanya. Definisi 2.2 Aufmann,190:150 Fungsi adalah fungsi genap jika untuk setiap anggota domain . Fungsi adalah fungsi ganjil jika untuk setiap anggota domain . Contoh 2.1 : 1. Diperhatikan bahwa : Fungsi memenuhi , maka fungsi adalah fungsi genap. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 2. Diperhatikan bahwa : Fungsi memenuhi , maka fungsi adalah fungsi ganjil. 3. Diperhatikan bahwa : Pada bentuk di atas, fungsi tidak memenuhi bentuk dan , maka fungsi bukan fungsi genap dan bukan fungsi genap. Ciri geometris dari fungsi genap adalah grafik fungsinya simetris terhadap sumbu Y. Sumbu Y menjadi sumbu simetri dari grafik fungsi genap. Artinya, jika grafik fungsi telah diperoleh untuk maka grafik secara keseluruhan dapat digambarkan secara mudah dengan mencerminkan terhadap sumbu Y. Sedangkan, ciri geometris dari fungsi ganjil adalah grafik fungsinya simetris terhadap titik asal O0,0. Titik O0,0 merupakan titik simetri putar rotational symmetry dari grafik fungsi ganjil. Artinya, jika grafik fungsi telah diperoleh untuk maka PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI grafik secara keseluruhan dapat diperoleh dengan merotasikan sebesar dengan pusat rotasi titik O0,0. Stewart, 2009: 28 Menurut Carico 1984:123, jika dilihat secara grafik, fungsi genap simetris terhadap sumbu Y. Grafik fungsi simetris terhadap sumbu Y artinya jika titik termuat dalam grafik maka juga termuat dalam grafik. Sedangkan fungsi ganjil simetris terhadap titik O0,0, atau yang sering disebut titik asal origin. Grafk fungsi simetris terhadap titik O0,0 artinya jika titik termuat dalam grafik maka titik juga termuat dalam grafik. Gambar 2.1 Grafik Fungsi Genap Even Function Gambar 2.2 Grafik Fungsi Ganjil Odd Function Sumber : Calculus Stewart, 2009:27 Pada beberapa grafik fungsi polinomial terlihat seperti fungsi genap tetapi sumbu simetrinya bukan sumbu Y. Ada pula beberapa grafik fungsi polinomial terlihat seperti fungsi ganjil tetapi titik simetrinya bukan pada O0,0 Goehle dan Kobayasi, 2013. Pada gambar 2.3, grafik fungsi terlihat simetris dengan titik simetri putar di . Sedangkan pada gambar 2.4, grafik fungsi terlihat simetris dengan sumbu simetri . Goehle dan Kobayasi 2013 mendefinisikan fungsi polinomial berderajat adalah fungsi ganjil di jika fungsi memiliki titik simetri putar di untuk bilangan ganjil. Sedangkan, fungsi genap di jika fungsi memiliki sumbu simetri di untuk bilangan genap. Selanjutnya, disebut sebagai pusat simetri dari fungsi polinomial. Fungsi memiliki pusat simetri berupa sumbu simetri artinya jika titik Gambar 2.4 Grafik fungsi Gambar 2.3 Grafik fungsi 4 termuat dalam grafik maka titik juga termuat dalam grafik. Sedangkan, fungsi memiliki pusat simetri berupa titik simetri putar , dengan adalah nilai fungsi dari , artinya jika titik termuat dalam grafik maka titik juga termuat dalam grafik. Grafik sebuah fungsi dapat berupa garis lurus ataupun kurva lengkung. Salah satu hal yang penting dalam membuat sketsa grafik fungsi adalah mengetahui fungsi naik atau fungsi turun atau fungsi konstan. Aufmann 1990:157 menjelaskan tentang fungsi naik increasing function, fungsi turun decreasing function dan fungsi konstan constant function sebagai berikut : Definisi 2.3 Aufmann,1990:157 Jika a dan b adalah anggota dalam interval I baik interval tertutup ataupun terbuka yang merupakan himpunan bagian dari domain fungsi , maka : i fungsi naik pada I jika untuk setiap ii fungsi turun pada I jika untuk setiap iii fungsi konstan pada I jika untuk setiap dan anggota I. Gambar 2.5a Fungsi Naik Gambar 2.5b. Fungsi Turun Gambar 2.5c. Fungsi Konstan Definisi 2.4 Suryawan, 2016: 55 Fungsi polinomial adalah sebuah fungsi P: dalam variabel yang berbentuk : dengan adalah konstanta, yang disebut koefisien polinomal, dan adalah bilangan bulat nonnegatif. Domain atau daerah asal untuk semua fungsi polinomial real adalah . Fungsi polinomial merupakan fungsi yang terdefinisi dan kontinu untuk semua nilai Stewart, 2009: 40. Selain itu, setiap fungsi polinomial memiliki grafik fungsi yang berbentuk kurva mulus dan kontinu smooth continuous curves. Sebuah kurva mulus adalah kurva yang tidak memiliki ujung yang lancip. Sedangkan, kurva yang kontinu artinya kurva tidak memiliki lubang atau lompatan. Swokowski dan Cole, 2004: 248 Gambar 2.6 Grafik fungsi yang mulus dan kontinu smooth continuous curve Gambar 2.7 Grafik fungsi yang tidak kontinu PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Grafik fungsi polinomial berderajat 0 atau fungsi konstan berbentuk garis lurus horisontal. Sedangkan grafik fungsi polinomial berderajat 1 atau fungsi linear berbentuk garis lurus atau linear dengan kemiringan tidak nol. Grafik dari fungsi polinomial berderajat 2 atau fungsi kuadrat selalu berbentuk parabola James Stewart, 2009: 40. Definisi 2.5 Swokowski dan Cole, 2004: 260 Sebuah polinomial dibagi oleh polinomial , dengan artinya dapat ditemukan polinomial dan sedemikian sehingga : dengan kurang dari . disebut sebagai pembagi dan adalah sisa. Definisi 2.5 sering disebut sebagai definisi dari algoritma pembagian pada polinomial atau division algorithm for polynomials. Gambar 2.8 Grafik fungsi yang tidak mulus Sumber : courses.lumenlearning.com PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Teorema 2.1 Spitzbart Bardell, 1958: 75 Jika sebuah polinomial dibagi dengan , dengan bilangan sembarang hingga sisanya berupa konstanta, maka sisanya adalah . Bukti : Misalkan hasil bagi oleh adalah dan sisa pembagiannya adalah konstanta , akan ditunjukkan bahwa . Berdasarkan definisi 2.3, maka bentuk fungsi polinomial dapat dituliskan menjadi : Untuk , maka : Teorema 2.1 terbukti. QED Menurut Aufmann 1990, bentuk grafik dari fungsi polinomial dapat diperkirakan dengan leading term test atau sering disebut dengan sifat the end behavior, yaitu dengan mengetahui sejauh mana nilai fungsi bergerak naik atau turun dari kiri ke kanan. Jika diketahui fungsi polinomial berderajat , , maka disebut leading term dan disebut leading coefficient dari fungsi . Leading term test atau sifat dari the end behavior dapat memperkirakan nilai fungsi hanya dengan melihat leading term dan leading coefficient dari fungsi . Leading term adalah suku yang memuat pangkat tertinggi dari fungsi polinomial , artinya mendominasi fungsi . Diperhatikan bahwa untuk dengan yang semakin besar, maka juga akan bertambah semakin besar. Oleh karena itu, grafik fungsi polinomial dengan sebagai leading term memiliki sifat sebagai berikut : bilangan genap bilangan ganjil Jika maka Jika maka Grafik fungsi semakin naik ke kiri dan semakin naik ke kanan up to left and up to right. Jika maka Jika maka Grafik fungsi semakin turun ke kiri dan semakin naik ke kanan down to left and up to right. Jika maka Jika maka Grafik fungsi semakin turun ke kiri dan semakin turun ke kanan down to left and down to right. Jika maka Jika maka Grafik fungsi semakin naik ke kiri dan semakin turun ke kanan up to left and down to right. Tabel 2.2 Sifat The End Behavior of Polynomials Aufmann, 1990 Berikut adalah gambar yang mengilustrasikan sifat the end behavior of polynomials : Gambar 2.9 Sifat The End Behavior of Polynomials untuk � bilangan ganjil � Up to right Down to left Down to right Up to left � � bilangan ganjil Up to right Up to left � Down to right Down to left � � bilangan genap Gambar 2.10 Sifat The End Behavior of Polynomials untuk � bilangan genap PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

C. Pembuat Nol Fungsi Polinomial

Pembuat nol dari fungsi polinomial disebut juga solusi atau akar dari persamaan polinomial . Menurut Departemen Pendidikan dan Kebudayaan 1995, persamaan polinomial adalah polinomial satu variabel atau lebih yang sama dengan 0. Bentuk umum dari persamaan polinomial satu variabel dalam dapat dituliskan : dengan adalah konstanta yang merupakan bilangan real atau kompleks, dan adalah bilangan bulat nonnegatif. Definisi 2.6 Aufmaan,1990:225 Jika adalah sebuah fungsi polinomial, maka nilai dari yang membuat bernilai 0 disebut pembuat nol dari atau akar-akar dari persamaan . Teorema 2.2 Spitzbart Bardell, 1958:76 Sebuah fungsi polinomial mempunyai faktor jika dan hanya jika . Bukti : 1. Misal fungsi mempunyai faktor . Akan ditunjukkan . Berdasarkan asumsi bahwa adalah faktor dari fungsi dapat dituliskan : 2.1 untuk suatu polinomial . Misal R adalah sisa pembagian dari oleh , maka dari persamaan 2.1 diperoleh . Berdasarakan teorema 2.1, jika fungsi dibagi oleh , maka sisa pembagiannya adalah Oleh karena itu, . terbukti 2. Misal . Akan ditunjukkan adalah faktor dari fungsi . Asumsi , berdasarkan teorema 2.1 maka : 2.2 untuk suatu polinomial . Dari persamaan 2.2 jelas bahwa adalah faktor dari fungsi polinomial . Dari 1 dan 2, teorema 2.2 terbukti. QED Pembuat nol dari fungsi polinomial dapat berupa bilangan yang kembar dan diulang untuk beberapa kali pembuat nol kembar atau disebut multiple zero. Sedangkan, akar-akar dari persamaan polinomial yang diulang untuk beberapa kali disebut akar-akar ganda atau multiple roots. Aufman n dalam buku “College Algebra” juga mengungkapkan definisi dari multiple zero of polynomial. Definisi 2.7 Aufmann, 1990:226 Jika fungsi polinomial memiliki sebagai faktor untuk kali, maka disebut sebagai pembuat nol yang kembar sebanyak dari polinomial . Sebagai contoh, misal diketahui 4 . Pada fungsi polinomial P, untuk nilai adalah : 5 sebagai pembuat nol kembar-dua atau zero of multiplicity 2 -2 sebagai pembuat nol kembar-tiga atau zero of multiplicity 3 -4 sebagai pembuat nol tunggal atau zero of multiplicity 1 simple zero Chapra dan Canale 1989 menyatakan bahwa jika akar-akar dari persamaan polinomial diulang sebanyak kali, dengan adalah bilangan ganjil maka grafik fungsi polinomial akan memotong sumbu X di titik pembuat nol tersebut. Sedangkan untuk bilangan genap, maka grafik fungsi polinomial akan menyinggung sumbu X di titik pembuat nol tersebut. Teorema 2.3 Loveless, 2011 Bilangan adalah pembuat nol dari fungsi polinomial berderajat jika dan hanya jika untuk suatu polinomial berderajat . Sumber : Numerical Method for Engineers 6 th Edition Gambar 2.11a. Akar ganda-dua Gambar 2.11b. Akar ganda-tiga Gambar 2.11c. Akar ganda-empat