Metode Golden Section Search

3. Kasus 3 : Fungsi turun pada sebagian dan unimodal. Nilai optimalnya tidak akan lebih dari , oleh karena itu nilai optimal terletak pada . Sedangkan untuk kasus mencari nilai minimum, sifat fungsi diatas juga berlaku sebaliknya. Sifat fungsi pada ketiga kasus di atas akan membantu dalam proses eliminasi selang yang dilakukan pada metode Golden Section Search. Berdasarkan tekniknya, metode Golden Section Search termasuk metode langsung yaitu metode yang tekniknya menggunakan evaluasi nilai fungsi di dua titik yang berbeda pada selang awal yang diduga memuat Gambar 2.17. Kondisi ketika Sumber. http:rahmafitriani.lecture.ub.ac.id Gambar 2.18. Kondisi ketika Sumber. http:rahmafitriani.lecture.ub.ac.id nilai minimum atau maksimum. Nilai fungsi dari dua titik tersebut akan dibandingkan dan hasilnya akan digunakan sebagai dasar penyempitan selang sehingga terbentuk selang yang baru. Berikut adalah algoritma penentuan titik dan penyempitan selang pada metode langsung. 1. Misalkan pada kasus minimum, diketahui fungsi adalah fungsi non-linear satu variabel dan bersifat unimodal pada . Artinya, pada termuat satu nilai minimum fungsi . 2. Pada iterasi pertama dipilih titik antara dan , misal dan dengan . Kondisi bahwa fungsi adalah fungsi unimodal pada menjamin bahwa dan lebih kecil dari dan 3. Selanjutnya, dilakukan evaluasi nilai fungsi dan untuk menentukan kasus yang terjadi lihat sifat kasus untuk selang yang lebih sempit yang sudah dijelaskan sebelumnya. Setelah mengetahui jenis kasus yang terjadi, maka dapat ditentukan interval baru, yaitu : Jika , maka pembuat minimum berada di [ ]. Jika , maka pembuat minimum berada di [ ]. 4. Apabila yang terjadi adalah kasus dimana , artinya dari selang menjadi . Panjang interval baru menjadi lebih kecil daripada panjang interval lama, atau dapat dituliskan menjadi : dengan Begitu juga apabila yang terjadi adalah kasus dimana , artinya dari selang menjadi . Hal yang sama terjadi adalah panjang interval baru menjadi lebih kecil dari panjang interval yang lama. Sumber : Metode Numeris Untuk Menemukan Ekstrem Fungsi n-Variabel Tanpa Kendala Priswanto,2005 Gambar 2.19.a Kondisi ketika a b Gambar 2.19.b Kondisi ketika Gambar 2.20. Pereduksian selang pada metode langsung jika untuk kasus minimum Interval baru Interval awal 5. Pada metode langsung, dipilih nilai agar pereduksian dalam selang menjadi simetrik. Untuk mempermudah perhitungan, tanpa mengurangi keumuman, misalkan panjang interval adalah 1 atau dapat ditulis . Jika diperhatikan pada gambar 2.22 dan 2.23, pereduksian yang dilakukan bertujuan agar reduksi selang simetris sedemikan sehingga : Gambar 2.21. Pereduksian selang pada metode langsung jika untuk kasus minimum Interval awal Interval baru Gambar 2.22. Ilustrasi pereduksian selang jika untuk kasus minimum � � Iterasi 2 Iterasi 1 Gambar 2.23. Ilustrasi pereduksian selang pada metode langsung jika untuk kasus minimum Iterasi 1 Iterasi 2 � � dengan suatu konstanta dan Pereduksian selang tersebut dilakukan hingga panjang interval memenuhi panjang interval akhir yang sudah ditentukan. Algoritma di atas merupakan algoritma dari metode langsung untuk menentukan nilai ekstrem dari fungsi non-linear satu variabel tanpa kendala. Pada metode Golden Section Search algoritma yang digunakan sama namun konstanta diharapkan konstan atau tetap untuk setiap iterasi dalam pereduksian selang. Pada iterasi ke-k, misal interval perkiraan adalah , maka dapat ditemukan dua titik baru dan dengan : 2.14 2.15 dimana sedemikan sehingga dan simetris yaitu : Nilai diharapkan konstan untuk setiap iterasi. Langkah selanjutnya, salah satu dari titik akan digunakan sebagai titik interior pada selang yang baru, sementara titik yang lain akan menjadi batas pada selang baru. Kemudian, dalam setiap iterasi hanya akan dicari satu titik dan hanya satu evaluasi yang akan dilakukan. Perhatikan gambar 2.24, jika dan hanya satu evaluasi fungsi yang akan dilakukan, maka rasio antara subinterval pada interval awal harus sama dengan panjang sub interval yang baru, yaitu : dari 2.14 dan 2.15 diperoleh : √ Gambar 2.24. Ilustrasi pereduksian selang metode Golden Section Search jika untuk kasus minimum � � Iterasi 2 Iterasi 1 Gambar 2.25. Ilustrasi pereduksian selang metode Golden Section Search jika untuk kasus minimum Iterasi 1 Iterasi 2 � � Demikian pula jika dan hanya satu evaluasi fungsi yang akan dilakukan, maka rasio antara subinterval pada interval awal harus sama dengan panjang sub interval yang baru, yaitu : dari 2.14 dan 2.15 diperoleh : √ Dari dua kemungkinan di atas maka diperoleh suatu rasio √ , karena nilai di dalam interval maka dipilih √ . Konstanta rasio tersebut sering disebut golden ratio untuk menyusutkan selang pada metode Golden Section Search. Secara singkat, pada iterasi ke –k, dan dipilih berdasarkan 2.14 dan 2.15 dengan √ kemudian interval perkiraan disusutkan dengan faktor . Iterasi pertama memerlukan dua evaluasi fungsi dan pada iterasi selanjutnya hanya diperlukan satu evaluasi. Pada iterasi ke- panjang interval adalah . PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Misalkan adalah panjang interval akhir yang diinginkan, maka harus dipilih sedemikan hingga : 2.16 Berikut adalah algoritma Golden Section Search : a. Langkah Awal Misalkan diketahui fungsi bersifat unimodal pada . Interval yang telah diberikan di awal menjadi interval awal dalam algoritma. Tentukan panjang interval akhir yang diinginkan dengan . Tentukan jumlah iterasi yang akan dikerjakan dengan menggunakan rumus 2.16 yaitu . b. Langkah Utama 1. Hitung nilai dan dengan menggunakan bentuk persamaan 2.14 dan 2.15, yaitu : dengan √ dan 2. Hitung nilai fungsi dari dan . a. Kasus Maksimum i Jika maka dipilih interval baru dan dipilih . ii Jika maka dipilih interval baru dan dipilih . b. Kasus Minimum i Jika maka dipilih interval baru dan dipilih . ii Jika maka dipilih interval baru dan dipilih . 3. Ulangi 1 dan 2 hingga dan hingga selisih interval akhir sudah sesuai yang diharapkan. 4. Jika proses telah sampai pada iterasi terakhir, maka dipilih nilai paling minimum dalam kasus minimum atau maksimum dalam kasus maksimum dari 2 titik interior di dalam selang atau interval terakhir.

J. Penelitian yang Relevan

Dalam penelitian ini, penulis memaparkan penelitian terdahulu yang relevan dengan permasalahan dalam menentukan nilai ekstrem pada fungsi polinomial tanpa mengunakan konsep turunan dan simetri pada grafik fungsi polinomial. Taylor, R.D dan Hansen, R 2008 memaparkan penyelesaian masalah dalam menentukan nilai ekstrem pada fungsi polinomial berderajat 3 fungsi kubik tanpa menggunakan konsep turunan dalam jurnal “Optimization of Cubic Polynomial Function without Calculus” Taylor dan Hansen pada jurnal tersebut menggunakan konsep dasar aljabar PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI dan geometri dalam menentukan nilai ekstrem fungsi polinomial berderajat 3. Acuan yang digunakan dalam penelitian tersebut berasal dari penelitian sebelumnya oleh de Villiers 2004 yang mengungkapkan bahwa setiap fungsi polinomial berderajat 3 mempunyai titik simetri putar rotational symmetry point. Ide dasar pada penelitian Taylor dan Hansen adalah membawa sembarang fungsi polinomial berderajat 3 menjadi fungsi ganjil dengan menggunakan konsep translasi, yaitu dengan memindahkan titik simetris yang dimiliki oleh fungsi polinomial berderajat 3 ke titik origin O0,0. Proses translasi tersebut menghasilkan fungsi baru yang simetris terhadap titik origin O0,0 atau juga disebut fungsi ganjil. Tahap selanjutnya masih menggunakan translasi dan manipulasi aljabar. Salah satu titik ekstrem dari fungsi ganjil tersebut ditranslasi sedemikian sehingga titik ekstrem tersebut menyinggung sumbu X. Proses translasi yang kedua ini menghasilkan fungsi baru dimana titik ekstrem fungsi sekaligus menjadi akar atau pembuat nol dari fungsi yang baru. Proses selanjutnya menggunakan manipulasi aljabar sehingga diperoleh formula titik ekstrem pada fungsi yang baru. Penentuan nilai ekstrem dari fungsi awal juga menggunakan translasi, yaitu dengan menggeser fungsi akhir kembali ke posisi fungsi awal. Beberapa proses translasi dan manipulasi aljabar tersebut dapat menghasilkan solusi solusi dalam bentuk formula yang sama dengan solusi menggunakan konsep turunan. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Ayuningtyas, Setyarini, dan Retnosari 2016 memaparkan hasil penelitian dimana penelitian tersebut pengembangan dari penelitian Taylor dan Hansen, dalam “Permasalahan Optimasi pada Fungsi Polinomial Berderajat Tinggi Tanpa Melibatkan Konsep Turunan” Penelitian tersebut memaparkan proses mencari nilai ekstrem fungsi polinomial berderajat 5 tanpa menggunakan konsep turunan, tetapi menggunakan konsep dasar aljabar dan geometri seperti yang dilakukan oleh Taylor dan Hansen. Meskipun langkah-langkah yang digunakan pada penelitian tersebut hampir sama dengan penelitian Taylor dan Hansen, namun ada yang menjadi perbedaan dalam proses penelitian. Apabila setiap fungsi polinomial berderajat 3 selalu simetris atau memiliki titik simetri putar rotational symmetry point, lain halnya dengan fungsi polinomial berderajat 5. Penelitian tersebut memaparkan bahwa tidak semua fungsi polinomial berderajat 5 simetris atau memiliki titik simetri putar rotational symmetry point. Goehle dan Kobayasi 2013 medefinisikan bahwa fungsi polinomial berderajat merupakan fungsi ganjil di , jika fungsi memiliki titik simetri putar di , untuk bilangan ganjil. Sedangkan, fungsi merupakan fungsi genap di , jika fungsi mempunyai sumbu simetri , untuk genap. Selanjutnya, disebut sebagai pusat simetri dari fungsi polinomial. Fungsi polinomial yang simetris adalah fungsi yang memiliki titik simetri putar atau sumbu simetri.