Metode Golden Section Search
3. Kasus 3 :
Fungsi turun pada sebagian
dan unimodal. Nilai optimalnya tidak akan lebih dari
, oleh karena itu nilai optimal terletak pada
.
Sedangkan untuk kasus mencari nilai minimum, sifat fungsi diatas juga berlaku sebaliknya. Sifat fungsi pada ketiga kasus di atas akan
membantu dalam proses eliminasi selang yang dilakukan pada metode Golden Section Search.
Berdasarkan tekniknya, metode Golden Section Search termasuk metode langsung yaitu metode yang tekniknya menggunakan evaluasi nilai
fungsi di dua titik yang berbeda pada selang awal yang diduga memuat
Gambar 2.17. Kondisi ketika
Sumber. http:rahmafitriani.lecture.ub.ac.id
Gambar 2.18. Kondisi ketika
Sumber. http:rahmafitriani.lecture.ub.ac.id
nilai minimum atau maksimum. Nilai fungsi dari dua titik tersebut akan dibandingkan dan hasilnya akan digunakan sebagai dasar penyempitan
selang sehingga terbentuk selang yang baru. Berikut adalah algoritma penentuan titik dan penyempitan selang pada metode langsung.
1. Misalkan pada kasus minimum, diketahui fungsi adalah
fungsi non-linear satu variabel dan bersifat unimodal pada . Artinya, pada
termuat satu nilai minimum fungsi
. 2.
Pada iterasi pertama dipilih titik antara dan
, misal dan
dengan . Kondisi bahwa fungsi
adalah fungsi unimodal pada
menjamin bahwa dan
lebih kecil dari
dan 3.
Selanjutnya, dilakukan evaluasi nilai fungsi dan
untuk menentukan kasus yang terjadi lihat sifat kasus untuk selang yang lebih sempit yang sudah dijelaskan sebelumnya.
Setelah mengetahui jenis kasus yang terjadi, maka dapat ditentukan interval baru, yaitu :
Jika , maka pembuat minimum berada di [
]. Jika
, maka pembuat minimum berada di [ ].
4. Apabila yang terjadi adalah kasus dimana
, artinya dari selang
menjadi . Panjang interval
baru menjadi lebih kecil daripada panjang interval lama, atau dapat dituliskan menjadi :
dengan
Begitu juga apabila yang terjadi adalah kasus dimana , artinya dari selang
menjadi . Hal
yang sama terjadi adalah panjang interval baru menjadi lebih kecil dari panjang interval yang lama.
Sumber : Metode Numeris Untuk Menemukan Ekstrem Fungsi n-Variabel Tanpa
Kendala Priswanto,2005
Gambar 2.19.a Kondisi ketika
a b
Gambar 2.19.b Kondisi ketika
Gambar 2.20. Pereduksian selang pada metode langsung jika
untuk kasus minimum Interval
baru Interval
awal
5. Pada metode langsung, dipilih nilai agar pereduksian dalam
selang menjadi simetrik. Untuk mempermudah perhitungan, tanpa mengurangi keumuman, misalkan panjang interval
adalah 1 atau dapat ditulis .
Jika diperhatikan pada gambar 2.22 dan 2.23, pereduksian yang dilakukan bertujuan agar reduksi selang simetris sedemikan sehingga :
Gambar 2.21. Pereduksian selang pada metode langsung
jika untuk kasus minimum
Interval awal
Interval baru
Gambar 2.22. Ilustrasi pereduksian selang jika
untuk kasus minimum
� �
Iterasi 2 Iterasi 1
Gambar 2.23. Ilustrasi pereduksian selang pada metode
langsung jika untuk kasus minimum
Iterasi 1 Iterasi 2
� �
dengan suatu konstanta dan
Pereduksian selang tersebut dilakukan hingga panjang interval memenuhi panjang interval akhir yang sudah ditentukan.
Algoritma di atas merupakan algoritma dari metode langsung untuk menentukan nilai ekstrem dari fungsi non-linear satu variabel tanpa
kendala. Pada metode Golden Section Search algoritma yang digunakan sama namun konstanta
diharapkan konstan atau tetap untuk setiap iterasi dalam pereduksian selang.
Pada iterasi ke-k, misal interval perkiraan adalah , maka
dapat ditemukan dua titik baru dan
dengan : 2.14
2.15 dimana
sedemikan sehingga dan
simetris yaitu :
Nilai diharapkan konstan untuk setiap iterasi. Langkah
selanjutnya, salah satu dari titik akan digunakan sebagai titik interior pada selang yang baru, sementara titik yang lain akan menjadi batas pada selang
baru. Kemudian, dalam setiap iterasi hanya akan dicari satu titik dan hanya satu evaluasi yang akan dilakukan.
Perhatikan gambar 2.24, jika dan hanya satu
evaluasi fungsi yang akan dilakukan, maka rasio antara subinterval pada interval awal harus sama dengan panjang sub interval yang baru, yaitu :
dari 2.14 dan 2.15 diperoleh :
√
Gambar 2.24. Ilustrasi pereduksian selang metode Golden
Section Search jika untuk kasus minimum
� �
Iterasi 2 Iterasi 1
Gambar 2.25. Ilustrasi pereduksian selang metode Golden Section Search
jika untuk kasus minimum
Iterasi 1 Iterasi 2
� �
Demikian pula jika dan hanya satu evaluasi
fungsi yang akan dilakukan, maka rasio antara subinterval pada interval awal harus sama dengan panjang sub interval yang baru, yaitu :
dari 2.14 dan 2.15 diperoleh :
√
Dari dua kemungkinan di atas maka diperoleh suatu rasio
√
, karena nilai di dalam interval maka dipilih
√
. Konstanta rasio tersebut sering disebut golden ratio untuk menyusutkan
selang pada metode Golden Section Search. Secara singkat, pada iterasi ke
–k, dan
dipilih berdasarkan 2.14 dan 2.15 dengan
√
kemudian interval perkiraan disusutkan dengan faktor
. Iterasi pertama memerlukan dua evaluasi fungsi dan pada iterasi selanjutnya hanya diperlukan satu
evaluasi. Pada iterasi ke- panjang interval adalah
. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Misalkan adalah panjang interval akhir yang diinginkan, maka harus
dipilih sedemikan hingga :
2.16
Berikut adalah algoritma Golden Section Search : a.
Langkah Awal Misalkan diketahui fungsi
bersifat unimodal pada . Interval
yang telah diberikan di awal menjadi interval awal dalam algoritma. Tentukan panjang interval akhir yang diinginkan dengan
. Tentukan jumlah iterasi yang akan dikerjakan
dengan menggunakan rumus 2.16 yaitu
. b.
Langkah Utama 1.
Hitung nilai dan
dengan menggunakan bentuk persamaan 2.14 dan 2.15, yaitu :
dengan
√
dan 2.
Hitung nilai fungsi dari dan
. a.
Kasus Maksimum i
Jika maka dipilih interval baru
dan dipilih .
ii Jika
maka dipilih interval baru dan dipilih
. b.
Kasus Minimum i
Jika maka dipilih interval baru
dan dipilih .
ii Jika
maka dipilih interval baru dan dipilih
. 3.
Ulangi 1 dan 2 hingga dan hingga selisih interval akhir sudah sesuai yang diharapkan.
4. Jika proses telah sampai pada iterasi terakhir, maka dipilih nilai
paling minimum dalam kasus minimum atau maksimum dalam kasus maksimum dari 2 titik interior di dalam selang atau interval
terakhir.