Tetapi graf lengkap K
n
untuk n 5 merupakan graf tak-planar. Graf planar yang digambarkan dengan sisi-sisi yang tidak saling
berpotongan dinamakan graf bidang.
Gambar 2.14 K
4
adalah graf planar
Gambar 2.15 K
5
bukan graf planar Pada Gambar 2.15, K
5
bukan graf planar karena terdapat sisi yang berpotongan pada titik yang tidak bersisian.
2.2 Pelabelan Graf Graph Labeling
Pelabelan graf adalah pemetaan bijektif yang memetakan semua elemen dari graf tersebut ke dalam suatu himpunan bilangan bulat positif.
Terdapat beberapa macam pelabelan graf, yaitu pelabelan yang domainnya himpunan dari titik yang disebut dengan pelabelan titik, pelabelan yang
domainnya himpunan dari sisi yang disebut pelabelan sisi, dan pelabelan yang domainnya titik dan sisi yang disebut dengan pelabelan total.
Dalam mengevaluasi graf terdapat bobot yang akan dihitung. Bobot adalah jumlahan dari label-label pada setiap elemen graf. Pada
pelabelan graf terdapat dua jenis pelabelan menurut jumlah dari setiap bobotnya yaitu pelabelan ajaib magic labeling dan pelabelan tak ajaib
antimagic labeling. Pelabelan ajaib adalah suatu pelabelan yang jumlah setiap bobotnya sama konstan, sedangkan pelabelan tak ajaib adalah
suatu pelabelan yang jumlah setiap bobotnya berbeda. Pada penelitian ini akan digunakan pelabelan total tak ajaib sisi dalam pengkajian masalah
yaitu pelabelan pada graf multisikel. Graf multisikel di sini merupakan gabungan beberapa sikel identik yang tidak terhubung.
Berikut ini diberikan beberapa definisi tentang pelabelan.
Definisi 2.2.1 Baca, dkk., 2003
Suatu pemetaan bijektif ∶ � ∪ � � {1, 2, 3, … , p + q }
disebut pelabelan total tak ajaib sisi dari graf G , jika bobot dari sisi
= + + , untuk setiap � � � . Jika bobot-bobot sisi pada pelabelan total tak ajaib sisi membentuk
suatu barisan aritmetika naik dengan suku pertama a dan beda d maka pelabelannya disebut pelabelan total tak-ajaib sisi
�, . Contoh :
Gambar 2.16 Graf G
13
Dari Gambar 2.16, bobot sisi terkecil adalah sisi dengan label 2, yaitu 5 + 2 + 4 = 11, kemudian dilanjutkan dengan sisi berlabel 1, yaitu 5
+ 1 + 6 = 12, dan sisi berlabel 3, yaitu 6 + 3 + 4 = 13. Terlihat bahwa bobot sisi-sisinya membentuk suatu barisan aritmetika naik dengan suku
pertama 11, dan beda 1, sehingga menurut Definisi 2.2.1 maka pelabelan pada Gambar 2.16 disebut pelabelan total tak ajaib sisi 11,1 pada Graf
G
13
.
Definisi 2.2.2 Baca, dkk., 2003
Suatu pemetaan bijektif ∶ � ∪ � � {1, 2, 3, … , p + q }
disebut pelabelan toal tak-ajaib sisi �, dari graf G , jika bobot dari
sisi-sisinya membentuk suatu barisan aritmetika naik dengan suku pertama a dan beda d.
= � �} = {�, � + , � + 2 , … , � + − 1 }
Sebagai contoh, kita ambil contoh Graf G
13
pada Gambar 2.16. maka bobot dari sisi-sisinya membentuk suatu barisan aritmetika naik
dengan suku pertama 11 dan beda 1. =
� �} = {11, 12, 13}
1 2
3 4
5 6
Definisi 2.2.3 Baca, dkk., 2003
Suatu pelabelan dikatakan „kuat‟ jika label titik-titik pada graf tersebut adalah
1, 2, 3, … , � dan label sisi-sisinya adalah � + 1,
�+ 2, …, �+�� dengan � adalah banyaknya titik pada graf tersebut dan
�� adalah banyaknya sisi pada graf tersebut. Dengan kata lain, label titik-titiknya merupakan bilangan-bilangan yang lebih kecil
daripada bilangan untuk label sisi-sisinya. Contoh :
Gambar 2.17 Graf G
14
Pada Gambar 2.17, � = 3. Label titik-titiknya adalah
1, 2, 3 dan label sisi-sisinya adalah {4, 5, 6} sehingga berdasarkan Definisi 2.2.3 maka pelabelan ini dikatakan sebagai pelabelan kuat.
Karena membentuk barisan aritmetika dengan suku pertama 8 dan beda 1, maka disebut pelabelan total tak ajaib sisi kuat 8,1 pada Graf G
14
.
1 2
3
4 5
6
2.3 Pelabelan pada graf sikel cycle graph dan graf multisikel multicycle
