11
BAB II KAJIAN PUSTAKA DAN LANDASAN TEORI
2.1 Teori Graf
Dalam mempelajari graf terdapat beberapa teori dasar untuk mendukung pembuktian dan mempermudah pemahaman. Beberapa teori dasar
meliputi pengertian graf, beberapa istilah dalam graf, jenis-jenis graf, dan pelabelan graf. Berikut ini disajikan pengertian graf :
1. Pengertian Graf :
Graf tak bearah G, yang selanjutnya hanya disebut dengan graf G didefinisikan sebagai himpunan pasangan teurut
� = , �dengan adalah himpunan berhingga titik-titik vertex-vertex yang tidak kosong
1 2
, ,
,
p
v v v
dan � adalah himpunan edge sehingga
= � � untuk
,
1 2
, ,
,
p
v v v
. Selanjutnya anggota disebut titik dan anggota �
disebut sisi. Banyaknya titik dari graf G disebut order graf G dan dinotasikan
dengan = dan banyaknya sisi dari graf G disebut ukuran size dari
G dan dinotasikan dengan
� = . Secara geometri, graf dapat digambarkan sebagai sekumpulan titik di dalam bidang dua dimensi yang
dihubungkan dengan sekumpulan sisi Prasetyo, 2008.
Contoh graf dan yang bukan graf:
a Graf
b Bukan graf Gambar 2.1 Graf dan Bukan Graf
Gambar 2.1 a di atas merupakan contoh graf dengan = 4, dan
� = 4, sedangkan gambar b bukan graf karena = 0, sehingga tidak memenuhi definisi.
2. Beberapa istilah dalam Graf
Dalam mempelajari tentang graf terdapat beberapa istilah yang berkaitan dengan graf. Berikut ini diberikan definisi tentang adjacent,
incident, derajat verteks, gelang loop, serta sisi ganda.
Definisi 2.1.1 Suryadi, 1996
Misal pada graf G terdapat dua titik v
i
dan v
j
, dua buah titik pada G dikatakan
berdampingan adjacent
bila terdapat
sisi yang
menghubungkan kedua titik tersebut. Dapat ditulis dengan notasi e = v
i
, v
j
E G dimana v
i
≠ v
j
.
Gambar 2.2 Graf G
1
v
3
v
2
v
1
v
4
Pada Gambar 2.2, titik v
1
dan v
2
berdampingan adjacent. Selain itu, titik v
1
dan v
4
juga berdampingan adjacent karena terdapat sisi edge yang menghubungkan kedua titik itu. Sedangkan titik v
1
dan v
3
bukan merupakan titik yang berdampingan karena tidak ada sisi yang
menghubungkan keduanya.
Definisi 2.1.2 Wiitala, 1987
Diberikan graf G dan {v
i
, v
j
}
V G jika e = v
i
, v
j
EG maka
dikatakan e bersisian incident dengan titik v
i
atau e bersisian dengan titik v
j
.
Gambar 2.3 Graf G
2
Pada Gambar 2.3 di atas, e
5
bersisian incident dengan titik v
1
dan v
3
. Sedangkan e
2
tidak bersisian dengan v
1.
Definisi 2.1.3 Wiitala, 1987
Derajat degree sebuah titik v pada sebuah graf G yang dituliskan dengan der v adalah banyak sisi yang bersisian pada v, dengan kata lain
banyak sisi yang memuat v sebagai titik ujung. Sisi dengan titik-titik ujung yang sama disebut gelang loop. Titik dengan derajat nol disebut titik
terisolasi isolated vertex.
Gambar 2.4 Graf G
3
v
3
v
2
v
1
v
4
e
3
e
1
e
2
e
4
e
5
v
3
v
2
v
1
v
4
v
5
e
1
Pada Gambar 2.4, derajat degree titik v
1
adalah tiga, karena ada tiga sisi yang bersisian dengan titik v
1
. Sedangkan derajat v
2
adalah dua. Untuk titik v
5
, derajatnya adalah nol sehingga disebut titik terisolasi isolated vertex. Sisi e
1
disebut sebagai gelang loop karena titik-titik di ujung-ujungnya adalah sama yaitu v
4
.
Definisi 2.1.4 Wiitala, 1987
Misal terdapat
beberapa sisi
berbeda pada
graf yang
menghubungkan pasangan titik yang sama, maka graf yang demikian dapat dikatakan mempunyai sisi ganda multiple edge.
Gambar 2.5 Graf G
4
Pada Gambar 2.5, Graf G
4
memuat sisi ganda yaitu sisi e
1
dan e
2
karena menghubungkan dua titik yang sama yaitu v
1
dan v
2
. Berikut ini akan diberikan definisi tentang walk, trail, dan path.
Definisi 2.1.5 West, 2009
Suatu walk pada sebuah graf adalah suatu urutan yang terdiri atas titik-titik dan sisi-sisi bergantian, dimana setiap sisi bersisian dengan titik
terdekat, dengan diawali dan diakhiri pada suatu titik.
v
1
e
1
e
2
e
3
e
4
e
5
e
6
v
2
v
3
v
4
Definisi 2.1.6 West, 2009
Suatu walk yang setiap sisinya berbeda disebut trail. Suatu trail yang setiap titiknya berbeda disebut lintasan path. Panjang lintasan
adalah banyaknya sisi dalam lintasan tersebut. Di bawah ini akan diberikan contoh untuk memperjelas Definisi
2.1.5 dan Definisi 2.1.6.
Gambar 2.6 Graf G
5
Pada Graf G
5
terdapat : Walk
: v
1
, e
1
, v
2
, e
2
, v
3
, e
3
, v
3
, e
4
, v
4
Trail : v
1
, e
1
, v
2
, e
2
, v
3
, e
3
, v
3
, e
4
, v
4
Path : v
1
, e
1
, v
2
, e
2
, v
3
, e
4
, v
4
Berikut diberikan definisi tentang graf terhubung connected graph dan graf tak terhubung disconnected graph.
Definisi 2.1.7 Wiitala, 1987
Suatu graf G dikatakan graf terhubung jika untuk setiap pasang titik v
i
dan titik v
j
, v
i
≠ v
j
, di dalam himpunan V terdapat lintasan dari v
i
ke v
j
. Jika tidak, maka graf G disebut graf tak terhubung connected graph.
Di bawah ini diberikan contoh untuk memperjelas Definisi 2.1.7.
v
1
v
2
v
3
v
4
v
5
v
6
e
1
e
2
e
3
e
4
e
5
e
6
e
7
e
8
e
9
Contoh :
Gambar 2.7 Graf G
6
dan G
7
Graf G
6
pada Gambar 2.7 merupaan graf tak terhubung karena tidak terdapat sisi yang menghubungkan titik v
5
dengan titik v
1
, v
2
, v
3
, v
4
, sedangkan graf G
7
merupakan graf terhubung karena setiap titik terhubung oleh suatu sisi.
3. Jenis-jenis Graf
Berdasarkan sifatnya graf dapat dikelompokkan menjadi beberapa jenis bergantung pada sudut pandang pengelompokannya. Pengelompokan
graf dapat dipandang berdasarkan ada tidaknya sisi ganda, berdasarkan banyak titik,atau berdasarkan orientasi arah pada sisi.
Berdasarkan ada tidaknya gelang atau sisi ganda pada suatu graf, maka graf dikelompokkan menjadi dua jenis Prasetyo, 2008, yaitu :
1. Graf sederhana simple graph
Graf sederhana adalah graf yang tidak mengandung gelang maupun sisi-ganda.
2. Graf tak sederhana unsimple graph
Graf tak-sederhana adalah graf yang mengandung sisi ganda maupun gelang. Ada dua macam graf tak-sederhana, yaitu graf ganda
v
1
v
2
v
3
v
4
v
5
v
1
v
2
v
3
v
4
Graf G
6
Graf G
7
multigraph dan graf semu pseudograph. Graf ganda adalah graf yang mengandung sisi ganda. Graf semu adalah graf yang
mengandung sisi ganda dan gelang. Di bawah ini diberikan contoh untuk graf sederhana dan graf tak
sederhana. Contoh :
Gambar 2.8 Graf G
8
, G
9
, dan G
10
Pada Gambar 2.8 di atas, Graf G
8
merupakan graf sederhana, Graf G
9
merupakan graf ganda, dan Graf G
10
merupakan graf semu. Berdasarkan banyak titik pada suatu graf, maka secara umum graf
dapat dikelompokkan menjadi dua jenis Prasetyo, 2008, yaitu : 1.
Graf berhingga finite graph Graf berhingga adalah graf yang memiliki jumlah titik yang berhingga
dan jumlah sisi yang berhingga. Graf berhingga dengan satu titik tanpa sisi, atau dengan kata lain,
merupakan suatu titik tunggal, disebut graf trivial. 2.
Graf tak-berhingga infinite graph Graf tak berhingga dalah graf yang banyak titik verteksnya tidak
berhingga.
v
2
v
3
v
1
v
4
v
2
v
2
v
1
v
4
v
3
v
1
v
3
v
4
Graf G
8
Graf G
9
Graf G
10
Berdasarkan orientasi arah pada sisi edge, maka secara umum graf dapat dikelompokkan menjadi dua jenis Prasetyo, 2008 , yaitu :
1. Graf tak berarah undirected graph
Graf tak berarah adalah graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah. Pada graf tak berarah, urutan pasangan titik yang dihubungkan
oleh sisi tidak diperhatikan. Jadi v
j
, v
k
= v
k
, v
j
adalah sisi yang sama. 2.
Graf berarah directed graph Graf berarah adalah graf yang setiap sisinya diberikan orientasi arah.
Pada graf bearah v
j
, v
k
dan v
k
, v
j
menyatakan dua sisi yang berbeda, dengan kata lain
, ≠ , . Untuk sisi , titik v
j
dinamakan titik asal initial vertex dan titik v
k
dinamakan titik terminal terminal vertex.
Di bawah ini diberikan contoh untuk graf tak berarah dan graf berarah. Contoh
:
Gambar 2.9 Graf G
11
dan G
12
Pada gambar 2.9 di atas, Graf G
11
merupakan graf tak berarah. Sedangkan Graf G
12
merupakan graf berarah.
v
3
v
2
v
1
v
4
v
3
v
2
v
1
v
4
Graf G
11
Graf G
12
Terdapat beberapa jenis graf sederhana khusus. Berikut ini didefinisikan beberapa graf khusus Prasetyo, 2008:
1. Graf lengkap Complete Graph
Graf lengkap merupakan graf sederhana yang setiap titiknya terhubung langsung oleh satu sisi ke semua titik lainnya. Dengan
kata lain, setiap titiknya bertetangga. Graf lengkap dengan n buah titik dilambangkan dengan K
n
. Banyak sisi pada sebuah graf lengkap yang terdiri dari n buah titik adalah
1 2
− 1 sisi. Di bawah ini diberikan beberapa contoh graf lengkap.
Contoh :
Gambar 2.10 Graf Lengkap Pada Gambar 2.10 di atas, gambar graf berturut-turut dari kiri
adalah graf lengkap dengan n = 1, 2, 3, 4, 5, dan 6. Dituliskan K
1
, K
2
, K
3
, K
4
, K
5
, dan K
6
. 2.
Graf sikel cycle graph Graf sikel merupakan graf sederhana yang setiap titiknya
mempunya dua sisi yang insiden bersisian. Graf sikel dengan p titik dilambangkan dengan C
p
. Di bawah ini beberapa contoh graf sikel.
Contoh :
Gambar 2.11 Graf sikel Pada gambar 2.7 berturut-turut dari kiri adalah graf sikel
dengan p = 3, 4, 5, dan 6. Dilambangkan dengan C
3
, C
4
, C
5 ,
dan C
6
. 3.
Graf Roda Wheels Graph Graf roda merupakan graf yang diperoleh dengan cara
menambahkan satu titik pada graf sikel C
P
, dan menghubungkan titik baru tersebut dengan semua titik pada graf sikel tersebut.
Di bawah ini diberikan beberapa contoh graf roda. Contoh :
Gambar 2.12 Graf Roda Pada gambar 2.8 berturut-turut dari kiri adalah graf roda yang
terbentuk dari graf sikel dengan p = 3,4,5, dan 6. Dituliskan dengan W
3
, W
4
, W
5
, dan W
6
. 4.
Graf Teratur Regular Graph
Graf teratur merupakan graf yang setiap titiknya mempunyai derajat yang sama. Apabila derajat setiap titik pada graf teratur adalah
r , maka graf tersebut dinamakan graf teratur berderajat r. Banyak sisi
pada graf teratur dengan n titik adalah 2nr sisi. Di bawah ini diberikan salah satu contoh graf teratur.
Contoh :
Gambar 2.13 Graf Teratur dengan r = 3 5.
Graf Planar Planar Graph dan Graf Bidang Plane Graph Suatu graf disebut graf planar jika graf tersebut dapat
digambarkan pada bidang datar sedemikian sehingga tidak ada sisi- sisinya yang berpotongan kecuali di titik dimana keduanya bersisian.
Dibawah ini diberikan beberapa contoh graf planar dan graf bidang.
Contoh : -
Semua graf sikel merupakan graf planar -
Graf lengkap K
1
, K
2
, K
3
, K
4
merupakan graf planar
Tetapi graf lengkap K
n
untuk n 5 merupakan graf tak-planar. Graf planar yang digambarkan dengan sisi-sisi yang tidak saling
berpotongan dinamakan graf bidang.
Gambar 2.14 K
4
adalah graf planar
Gambar 2.15 K
5
bukan graf planar Pada Gambar 2.15, K
5
bukan graf planar karena terdapat sisi yang berpotongan pada titik yang tidak bersisian.
2.2 Pelabelan Graf Graph Labeling
Kategori