29
BAB III HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN
Hasil dari penelitian ini dibagi menjadi empat bagian, yaitu perhitungan dasar tentang pelabelan total tak ajaib sisi, pelabelan total tak ajaib sisi pada graf
multisikel � untuk
3, dan 1,
�, 1 �� graf multisikel � , dan
�, 2 �� graf multisikel 3�
3.1 Perhitungan Dasar Pelabelan Total Tak Ajaib Sisi
Pelabelan total tak ajaib sisi merupakan pemetaan bijektif dari setiap titik dan sisi ke bilangan bulat positif mulai dari satu sampai dengan jumlah
total titik dan sisi ∶ � ∪ � � → 1, 2, 3, … , + dimana adalah
jumlah titik dan adalah jumlah sisi Baca, dkk., 2003. Pada pelabelan total tak ajaib sisi, setiap label sisi dihitung sekali dan
label titik dihitung dua kali, akibatnya : =
+ 2 Dimana
adalah jumlah semua bobot sisi, adalah jumlah semua
label titik, dan adalah jumlah semua label sisi Baca, dkk., 2003.
Bobot setiap sisi dihitung dengan cara menjumlahkan label dari sisi tersebut dengan label pada titik-titik ujung dari sisi tersebut. Bobot dari setiap
sisi dilambangkan dengan � .
+
+1
+
+1
= 1, 2, … , − 1
+
1
+
1
= � =
3.2 Pelabelan Total Tak Ajaib Sisi pada Graf Multisikel mC
p
Graf multisikel merupakan gabungan beberapa graf sikel �
yang tidak terhubung. Gabungan sikel yang dimaksud adalah sikel-sikel yang mempunyai
banyak titik dan sisi yang sama. Graf multisikel yang terdiri dari sejumlah graf sikel
� dilambangkan dengan � dengan banyak titik buah titik
dan buah sisi.
Berikut diberikan contoh ilustrasi pelabelan pada graf multisikel � .
Gambar 3.1 Ilustrasi pelabelan Graf Multisikel �
Gambar 3.2 Contoh Graf Multisikel 2
�
3
Pada graf multisikel � memiliki
buah titik dan buah sisi,
karena setiap sikel mempunyai buah titik dan buah sisi. Banyak total dari
v
13
v
23
v
11
v
12
v
21
v
22
...
v
1,1
v
1,2
v
1,p-1
v
2,1
v
2,2
v
m,1
v
m,2
Graf ke-1 Graf ke-2
Graf ke-m v
1,p
v
2,p-1
v
2,p
v
m,p-1
v
2,p
titik dan sisinya adalah 2
. Berdasarkan Definisi 2.2.2, diperoleh pemetaan ∶ � ∪ � � → 1, 2, 3, … , 2
. Berdasarkan Definisi 2.2.2, bobot sisi- sisi pada
� adalah jumlahan dari label sisi dan titik-titik ujung dari sisi tersebut. Akibatnya jika semua bobot sisi-sisinya dijumlahkan akan diperoleh :
= + 2
� + � + + � + 2 + ⋯ + � + − 1 = + +
1 2
� + � + − 1 = 1 + 2 + ⋯ + 2
+ 1
2 2� +
− 1 = 1
2 . 2
2 + 1 +
� +
1 2
− 1 = 2
+ 1 +
Untuk pelabelan kuat berdasarkan Definisi 2.2.3, maka label-label untuk titik-titiknya adalah
1, 2, 3, … , dan label untuk sisi-sisinya adalah
+ 1, + 2,
+ 3, … , 2
serta bobot terkecil sisi, yakni � 1 + + 1
+ 2 = + 4. Akibatnya persamaan 3.1 menjadi :
� + 1
2 − 1 =
2 + 1
+ 1
2 + 1
� + 1
2 − 1 = 2
+ 1 +
1 2
+ 1 � = 2
+ 1 +
1 2
+ 1 −
1 2
− 1 � =
5 2
+
3 2
−
1 2
− 1
+ 4 5
2 +
3 2
− 1
2 − 1
1 2
− 1 3
2 −
5 2
3.1
3.2
1 2
− 1 1
2 3
− 5 1
2 3
− 5 1
2 − 1
3 − 5
− 1 ≈ 3
3 Dari perhitungan dasar ini, diperoleh hasil :
Teorema 3.1 . Setiap graf multisikel
� mempunyai pelabelan total tak ajaib sisi
�, dengan � + 4 dan
3 untuk semua 1 dan
3. Bukti :
Bobot sisi graf sikel = + + karena setiap sisi
terdapat dua titik yaitu titik-titik di ujung-ujungnya. Ambil nilai
� terkecil yaitu 1 + + 1
+ 2 = + 4.
Bobot sisi yang paling besar adalah � +
− 1 2
+ +
− 1 dengan
� = + 4 diperoleh
+ 4 + − 1
2 +
+ − 1
− 1 4
− 1 − − 4
− 1 3
− 5 3
− 5 − 1 ≈
3 Jadi untuk sebarang
1 dan 3 diperoleh
� + 4 dan
3.
□
Di bawah ini diberikan contoh pelabelan total tak ajaib sisi pada graf multisikel
2 �
3
Gambar 3.3 Contoh Pelabelan Total Tak Ajaib Sisi pada 2
�
3
Graf pada Gambar 3.3 di atas adalah graf multisikel dengan = 3 dan
= 3, sehingga dapat dilakukan pelabelan total tak ajaib sisi pada graf tersebut. Bobot sisi
= + + , dengan bobot terkecil yaitu
1 + 8 + 5 = 14 10 dan
= 2 3 , sehingga pelabelan di atas dapat
dikatakan sebagai pelabelan total tak ajaib sisi 14,2 pada 2
�
3
. Jadi Setiap graf multisikel
� mempunyai pelabelan total tak ajaib sisi �, dengan �
+ 4 dan 3 untuk semua
1 dan 3.
Selanjutnya dicari batas atas dari � sehingga graf multisikel dapat diberi
label. Karena �
+ 4 maka nilai � bergantung pada banyaknya sikel dan
titik serta sisi pada sikel tersebut dan 3 maka nilai yang memungkinkan
adalah = 1, 2, dan 3. Selanjutnya akan ditentukan nilai
� dan yang mungkin.
i Untuk
= 1 Bobot sisi yang paling besar adalah
� + − 1
2 +
+ − 1
5 11
1 3
7 9
2 4
6 8
10
12
Dari = 1, diperoleh
� + − 1 2
+ +
− 1 � +
− 1 2 +
+ − 1
� 3 Jadi untuk
= 1, nilai batasan � adalah
+ 4 � 3
ii Untuk
= 2 Bobot sisi yang paling besar adalah
� + − 1
2 +
+ − 1
Dari = 2, diperoleh
� + − 1 2 2
+ +
− 1 � + 2
− 2 2 +
+ − 1
� 2 + 1
Nilai batasan � adalah
+ 4 � 2
+ 1 iii
Untuk = 3 Bobot sisi yang paling besar adalah
� + − 1
2 +
+ − 1
Dari = 3, diperoleh
� + − 1 3 2
+ +
− 1 � + 3
− 3 2 +
+ − 1
� + 2
Untuk = 3, diperoleh
� + 2. Hal ini tidak mungkin
karena tidak memenuhi untuk sebarang 1 dan
3. Untuk
= 1 dan = 3, diperoleh � = 5, sedangkan pada Teorema 4.1
mengharuskan �
+ 4 atau � 7.
Berdasarkan hasil perhitungan � dan
di atas, maka yang memungkinkan untuk pelabelan total tak ajaib sisi kuat pada graf multisikel
dapat dilakukan hanya ketika = 1 dan = 2.
3.3 �, �� � pada Graf Multisikel ��