Simulasi Dan Visualisasi Dinammika Molekul Dengan Model Potensial Lennard Jones
SIMULASI DAN VISUALISASI DINAMIKA MOLEKUL
DENGAN MODEL POTENSIAL LENNARD JONES
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains
LILI ANGGRAINI HARAHAP
040801016
DEPARTEMEN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2008
(2)
PERSETUJUAN
Judul : SIMULASI DAN VISUALISASI DINAMIKA MOLEKUL DENGAN MODEL POTENSIAL LENNARD JONES
Kategori : SKRIPSI
Nama : LILI ANGGRAINI HARAHAP NIM : 040801016
Program Study : SARJANA (S1) FISIKA Departemen : FISIKA
Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Diluluskan di
Medan, 21 Oktober 2008
Diketahui/disetujui oleh
Departemen Fisika FMIPA USU
Ketua, Pembimbing
Dr. Marhaposan Situmorang Prof. Dr. Muhammad. Zarlis, MSc NIP: 130 810 771 NIP: 131 570 434
(3)
PERNYATAAN
SIMULASI DAN VISUALISASI DINAMIKA MOLEKUL DENGAN MODEL POTENSIAL LENNARD JONES
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya
Medan, 21 Oktober 2008
LILI ANGGRAINI HARAHAP 040801016
(4)
PENGHARGAAN
Puji dan Syukur penulis persembahkan kepada Allah SWT yang telah melimpahkan kasih sayang serta karunia-Nya kepada penulis hingga skripsi ini berhasil diselesaikan dengan baik dan tepat pada waktu yang telah ditetapkan. Shalawat dan salam kepada Nabi Muhammad SAW sebagai suri tauladan terbaik di muka bumi.
Ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada Prof. Dr. Muhammad Zarlis, MSc, selaku pembimbing yang telah memberikan panduan, bantuan, serta segenap perhatian dan dorongan kepada penulis dalam menyempurnakan skripsi ini. Ucapan terimakasih juga ditujukan kepada Ketua dan Sekretaris Departemen Fisika Dr. Marhaposan Situmorang dan Dra.justinon, M.Si. Dekan dan Pembantu Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara, seluruh staff pengajar, dan seluruh staff pegawai pada departemen Fisika FMIPA USU. Ucapan terimakasih terbesar penulis sampaikan kepada Ibunda dan Ayahanda tercinta atas segala cinta kasih dan do’a yang selalu dihadiahkan kepada penulis tanpa henti, juga tak lupa kepada saudara terbaik penulis Rita, asri, dan Fadli yang selalu memotivasi penulis dalam menyelesaikan skripsi ini. Tak lupa pula terimakasih kepada sahabat-sahabat terbaik penulis Aisyah, Latifah, Emma, Ismu, Tika, K’Dina, Fuad, Bang Iman, Khairil Anwar, RFH, Mas Fariz dan semua rekan-rekan fisika angkatan 2004, abang kakak senior dan juga adik-adik junior departemen Fisika. Kemudian, ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada Abang terbaik penulis Gunawan Ibrahim,ST yang telah menjadikan penyelesaian skripsi ini terasa lebih menyenangkan. Semoga Allah SWT membalas kebaikan kita semua. Amin.
(5)
SIMULASI DAN VISUALISASI DINAMIKA MOLEKUL DENGAN MODEL POTENSIAL LENNARD JONES
ABSTRAK
Simulasi dinamika molekul merupakan suatu pemodelan interaksi partikel dengan penghitungan gerak partikel secara periodik dan pengintegrasian/penjumlahan keseluruhan dari persamaan gerak. Hal ini dilakukan dengan mengkombinasikan mekanika statistik dan teori kinetik, sehingga unsur-unsur mikroskopik molekul dapat dikalkulasikan. Terdapat tiga tujuan utama dilakukan Simulasi ini. Pertama, parameter yang ingin disimulasi dibandingkan dengan hasil secara eksperimen, jika terdapat kesamaan maka hasil eksperimen dapat dijelaskan berdasarkan model simulasi. Kedua, MDS dapat digunakan untuk menginterpretasi hasil eksperimen. Ketiga bertujuan untuk memberikan pemahaman mendasar dari gerak dan interaksi molekul dan juga memberikan arahan dalam melakukan pengujian, baik itu secara teoritik maupun secara eksperimen. Simulasi ini menggunakan software teknik komputasi matlab versi 6.1.
Dengan memvisualisasikan bentuk histogram dan grafik dari interaksi antarmolekul menunjukkan bahwa simulasi ini memenuhi spesifikasi ketelitian yang dibutuhkan. Simulasi dapat dilakukan dalam penelitian selanjutnya.
(6)
MOLECULAR DYNAMICS SIMULATION AND VISUALIZATION BY USING LENNARD JONES MODEL
ABSTRACT
Molecular Dynamics Simulation (MDS) models properties of a system of interacting particles by repeteadly calculating the interactions between the particles and integrating their equations of motion. Combining statistical mechanics and kinetic theory, microscopic properties of the system can be calculated. There are three main scenarios for the use of MDS. The first scenario, the simulated properties are compared with experimental result, and when the two agree, it is reasonable to claim that the experimental result can be explained by the simulation model. The second, MDS are used to interprate experimental result. The third giving exploratory tool to gain an initial understanding of a molecular motion and interaction problem, also give guidance among possible lines of investigation, be it theoretical or experimental. This simulations using the language of technical computing Matlab version 6.1
With visualizing the histogram and graph form the interaction of molecular dynamics shows that this simulation gain the specification of error needed. Exploratory simulation can be done in further research
(7)
DAFTAR ISI
Halaman
Persetujuan ii
Pernyataan iii
Penghargaan iv
Abstrak v
Abstract vi
Daftar isi vii
Daftar Gambar ix
Bab 1 Pendahuluan 1 1.1 Latar Belakang 1 1.2 Tujuan Penelitian 2
1.3 Batasan Masalah 2
1.4 Metodologi Penelitian 2 1.5 Sistematika Penulisan 3 Bab 2 Tinjauan Pustaka 5 2.1 Sistem dan Lingkungan 5
2.2 Dinamika Molekul 7 2.3 Mekanika Klasik 10
2.4 Mekanika Statistik 12 2.4.1 Energi Kinetik 12
2.4.2 Energi Potensial 13 2.4.3 Temperatur 13 2.4.4 Tekanan 14 2.4.5 Distribusi Kecepatan 15 2.4.6 Jalan bebas rata-rata 16 2.4.7 Gerak Brown 17 2.5 Model Interaksi antarmolekul 18 2.5.1 Potensial Lennard Jones 18 2.5.2 Gaya Antarmolekul 20 Bab 3 Analisis dan Perancangan Simulasi Dinamika Molekul 22 3.1 Analisis Masalah 22
3.1.1 Syarat Batas Periodik dan Kotak Simulasi 22 3.1.2 Jarak terdekat antarmolekul 23 3.1.3 Kecepatan rata-rata interaksi partikel 23
3.1.4 Posisi dan kecepatan setelah interaksi 27 3.2 Perancangan diagram alir 28
(8)
4.1 Distribusi Kecepatan Partikel 34
4.2 Jalan Bebas rata-rata 40
4.3 Potensial Lennard Jones 43
4.4 Gaya antarmolekul 45
Bab V Kesimpulan dan Saran 47
5.1 Kesimpulan 47
5.2 Saran 47 Daftar Pustaka
(9)
DAFTAR GAMBAR
Halaman Gambar 2.1 Sistem dan Lingkungan 5 Gambar 2.2 Bagan Simulasi Dinamika Molekul 8 Gambar 2.3 Sel Primer dan Sel Citra 10 Gambar 2.4 Distribusi Kecepatan Partikel pada berbagai temperature 15 Gambar 2.5 Jalan Bebas rata-rata molekul 16 Gambar 2.6 Sketsa Gerak Brown 17 Gambar 2.7 Potensial Lennard Jones untuk Atom Argon 19 Gambar 2.8 Grafik Gradien Potensial Lennard Jones 21 Gambar 3.1 Struktur Syarat Batas Periodik 22 Gambar 3.2 Diagram Alir Distribusi Laju Partikel 30 Gambar 3.3 Diagram Alir Gerak Acak Partikel 31 Gambar 3.4 Diagram Alir Potensial Lennard Jones 32 Gambar 3.5 Diagram Alir Gaya Interaksi Antarmolekul 33 Gambar 4.1 Distribusi awal kecepatan partikel 34 Gambar 4.2 Distribusi akhir kecepatan partikel pada time step 10 35 Gambar 4.3 Distribusi akhir kecepatan partikel pada time step 50 35 Gambar 4.4 Distribusi akhir kecepatan partikel pada time step 100 36 Gambar 4.5 Distribusi akhir kecepatan partikel pada timestep 500 36 Gambar 4.6 Distribusi awal kecepatan partikel 37 Gambar 4.7 Distribusi akhir kecepatan partikel pada timestep 10 38 Gambar 4.8 Distribusi akhir kecepatan partikel pada time step 100 38 Gambar 4.9 Distribusi akhir partikel ada timestep 500 38 Gambar 4.10 Distribusi akhir partikel ada timestep 1000 39 Gambar 4.11 Jalan bebas rata-rata untuk 2 partikel 40 Gambar 4.12 Jalan bebas rata-rata untuk 4 partikel 41 Gambar 4.13 Jalan bebas rata-rata untuk 6 partikel 41 Gambar 4.14 Jalan bebas rata-rata untuk 8 partikel 42 Gambar 4.15 Grafik pemotongan potensial dan Gaya 43 Gambar 4.16 Grafik Potensial Lennard jones 44 Gambar 4.17 Grafik divergensi potensial Lennard jones (gaya) 45
(10)
SIMULASI DAN VISUALISASI DINAMIKA MOLEKUL DENGAN MODEL POTENSIAL LENNARD JONES
ABSTRAK
Simulasi dinamika molekul merupakan suatu pemodelan interaksi partikel dengan penghitungan gerak partikel secara periodik dan pengintegrasian/penjumlahan keseluruhan dari persamaan gerak. Hal ini dilakukan dengan mengkombinasikan mekanika statistik dan teori kinetik, sehingga unsur-unsur mikroskopik molekul dapat dikalkulasikan. Terdapat tiga tujuan utama dilakukan Simulasi ini. Pertama, parameter yang ingin disimulasi dibandingkan dengan hasil secara eksperimen, jika terdapat kesamaan maka hasil eksperimen dapat dijelaskan berdasarkan model simulasi. Kedua, MDS dapat digunakan untuk menginterpretasi hasil eksperimen. Ketiga bertujuan untuk memberikan pemahaman mendasar dari gerak dan interaksi molekul dan juga memberikan arahan dalam melakukan pengujian, baik itu secara teoritik maupun secara eksperimen. Simulasi ini menggunakan software teknik komputasi matlab versi 6.1.
Dengan memvisualisasikan bentuk histogram dan grafik dari interaksi antarmolekul menunjukkan bahwa simulasi ini memenuhi spesifikasi ketelitian yang dibutuhkan. Simulasi dapat dilakukan dalam penelitian selanjutnya.
(11)
MOLECULAR DYNAMICS SIMULATION AND VISUALIZATION BY USING LENNARD JONES MODEL
ABSTRACT
Molecular Dynamics Simulation (MDS) models properties of a system of interacting particles by repeteadly calculating the interactions between the particles and integrating their equations of motion. Combining statistical mechanics and kinetic theory, microscopic properties of the system can be calculated. There are three main scenarios for the use of MDS. The first scenario, the simulated properties are compared with experimental result, and when the two agree, it is reasonable to claim that the experimental result can be explained by the simulation model. The second, MDS are used to interprate experimental result. The third giving exploratory tool to gain an initial understanding of a molecular motion and interaction problem, also give guidance among possible lines of investigation, be it theoretical or experimental. This simulations using the language of technical computing Matlab version 6.1
With visualizing the histogram and graph form the interaction of molecular dynamics shows that this simulation gain the specification of error needed. Exploratory simulation can be done in further research
(12)
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1Latar Belakang
Teori-teori mengenai material pada dasarnya dapat memberikan informasi yang cukup untuk memprediksi sifat material pada skala makroskopik maupun mikroskopik. Namun analisa dan perancangan material secara eksperimen biasanya harus dilakukan berulang-ulang dan memakan waktu yang cukup lama serta memerlukan biaya yang cukup mahal, selain itu ada berbagai kondisi yang sulit untuk diimplementasikan, misalnya eksperimen pada suhu maupun tekanan yang tinggi. Karena ukuran atom yang sangat kecil (jari-jari atom orde 10-10) maka sangat tidak memungkinkan bagi kita untuk mengamati perilaku atom secara langsung. Tetapi dengan berkembangnya kemajuan komputer dan kemampuan komputasi yang jauh lebih baik dari pada dahulu, maka perilaku interaksi gerak atom seperti tarik menarik, tolak menolak, tumbukan, gerak acak, dan sebagainya dapat kita amati dan analisis secara langsung melalui simulasi, dan pergerakannya dapat diamati melalui visualisasi dengan menggunakan komputer sebagai alat bantu.
Dinamika Molekul merupakan suatu teknik yang digunakan untuk mengamati pergerakan molekul yang saling berinteraksi. Pergerakan molekul ini dipengaruhi oleh suatu potensial yang dibentuk oleh medan gaya dari partikel-partikel lain disekitarnya. Hanya saja karena jumlah partikel yang berperan dalam membentuk potensial itu sangatlah banyak jumlahnya (Bilangan Avogadro berorde 1023) , maka akan sangat sulit untuk mengkalkulasikannya. Untuk itu, telah dikembangkan beberapa jenis penyederhanaan kalkulasi untuk menyelesaikan permasalah dinamika molekuler ini, yang tentunya masing-masing metode pasti memiliki keterbatasan misalnya ketelitian masing-masing metode. Salah satu model potensial yang sering digunakan dalam simulasi dinamika molekul adalah metode Potensial Lennard Jones. Salah satu keuntungan dari teknik simulasi ini adalah sifatnya yang deterministik yaitu jika suatu kedaan materi diketahui pada waktu tertentu, maka keadaan materi tersebut pada
(13)
waktu yang lainnya akan dapat ditentukan. Ciri khas dari potensial ini adalah adanya fungsi batas (cut off function) yang membatasi jumlah atom yang terlibat selama perhitungan potensial yang bekerja pada suatu atom, sehingga dengan fungsi batas ini, atom-atom yang jauh terpisah dari atom dari suatu jarak tertentu yang lebih jauh dapat diabaikan sehingga mengurangi jumlah perhitungan. Walaupun hal ini mengurangi ketelitian, tetapi pada kenyataannya kontribusi atom pada suatu potensial berbanding terbalik secara eksponensial dengan jaraknya sehingga metode ini dapat diterima.
1.2Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah:
1. Memahami prinsip dinamika molekul melalui simulasi
2. Melakukan uji coba simulasi dinamika molekul dengan berbagai parameter yang berbeda
3. Menggunakan program bantu untuk mensimulasi dan memvisualisasikan gerakan molekul
1.3Batasan Masalah
Penelitian dengan simulasi dinamika molekul pada penelitian ini dibatasi pada:
1. Simulasi dilakukan hanya pada ensemble mikrokanonikal yaitu sistem dengan energi dan temperatur konstan.
2. Simulasi dibatasi pada distribusi molekul dan gerak molekul dengan menggunakan mekanika klasik.
3. Simulasi untuk potensial dan gaya antarmolekul digunakan model potensial lennard jones.
4. Simulasi dan visualisasi gerak molekul dengan menggunakan program matlab 6,1
1.4Metodologi Penelitian
Penelitian dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut: 1. Studi literature
Merupakan tahap pengumpulan literature mengenai termodinamika statistik, dinamika molekul, potensial lennard jones, dan teknik pemrograman dengan matlab
(14)
2. Perancangan model
Merupakan tahap menentukan persamaan-persamaan matematis dengan variable-varibel yang telah ditentukan.
3. Pembuatan algoritma
Merupakan metode terstruktur yang berisi tahapan-tahapan penyelesaian masalah dinamika molekul.
4. Pembuatan program komputer
Tahap ini merupakan implementasi dari model dan algoritma yang telah dibuat ke dalam program computer dengan menggunakan bahasa pemrograman matlab 6,1
5. Analisa hasil simulasi
Memberikan analisa hasil uji coba simulasi dan visualisasi dinamika molekul yang telah diperoleh.
6. Penulisan Laporan.
1.5 Sistematika Pembahasan
Laporan tugas akhir ini disusun dalam lima bab yaitu sebagai berikut: Bab I Pendahuluan
Bab ini menjelaskan latar belakang penelitian, tujuan penelitian, batasan masalah, dan sistematika pembahasan.
Bab II Tinjauan Pustaka
Bab ini menjelaskan landasan teori yang digunakan dalam penelitian, yaitu dasar persamaan gerak, mekanika statistik, dasar-dasar dinamika molekul, model interaksi system dengan lingkungan, model interaksi antarmolekul yang digunakan untuk mengolah informasi yang akan diimplementasikan dalam simulasi.
Bab III Perancangan Simulasi Dinamika Molekul
Bab ini membahas tentang implementasi fisis yang telah diperoleh ke dalam perangkat lunak. Perancangan perangkat lunak ini menggunakan bahasa pemrograman matlab versi 6,1.
(15)
Bab ini memberikan hasil uji coba simulasi dinamika molekul yang telah dilakukan pada bab III untuk melihat kesesuaian spesifikasi metode yang digunakan sehingga dapat dianalisa hasil yang telah diperoleh.
Bab V Kesimpulan dan saran
Bab ini memberikan kesimpulan dari hasil perancangan program yang telah dilakukan dan juga memberikan saran-saran untuk penelitian selanjutnya.
(16)
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Atom dan Molekul
Definisi molekul yang sederhana yaitu bagian yang terkecil dari suatu zat yang masih mempunyai sifat yang sama dengan zat tersebut. Sebagai contoh, suatu molekul gula adalah bagian yang terkecil dari zat gula, yang masih mempunyai sifat gula meskipun secara fisik tidak tampak seperti butiran gula. Contoh lain adalah molekul air. Seperti zat lain, air tersusun atas molekul-molekul. Di dalam molekul, kita masih dapat menemukan bagian terkecil lagi yang tidak tampak dengan mata. Ada sekitar 100 jenis bagian yang lebih kecil dari molekul yang disebut atom.
Gambar 2.1 Struktur atom dan molekul
Di alam semesta terdapat sekitar 105 jenis atom. Semua zat dan molekul terdiri dari satu atau lebih atom, karena atom-atom adalah bahan dasar dari suatu molekul yang nantinya akan membentuk senyawa atau zat. Atom ini juga biasa disebut elemen atau unsur. Contoh bebrapa unsur, antara lain : Hidrogen (H), Argon (Ar), Nitrogen (N), Oksigen (O), Besi (Fe), dan sebagainya. Dua atom atau lebih atom yang sama atau berbeda bergabung membentuk molekul. Berdasarkan jenis atom pembentuknya,
(17)
molekul dibedakan atas molekul unsur dan molekul senyawa. Molekul unsur adalah molekul yang terbentuk dari gabungan dua atom atau lebih atom –atom yang sejenis. Molekul senyawa adalah molekul yang terbentuk dari atom –atom yang tidak sejenis. Misalnya H2O (molekul air), CO2 (molekul karbon dioksida), molekul (NH3
Sebelum membahas lebih jauh tentang dinamika molekul, terlebih dahulu perlu didefenisikan pengertian dari sistem dan lingkungan karena dinamika molekul pada dasarnya adalah mengamati perilaku molekul-molekul yang saling berinteraksi satu sama lain dan juga interaksi dalam suatu sistem terhadap lingkungannya. Sistem
adalah suatu keadaan yang menjadi pusat perhatian atau apa yang diamati, sedangkan
Lingkungan adalah segala sesuatu yang berada di luar sistem yang dapat
mempengaruhi keadaan sistem secara langsung. Pemisah antara sistem dan lingkungan disebut batas yang secara teoritis tidak memiliki massa maupun volume yang signifikan. Apabila antara sistem dan lingkungan memungkinkan terjadinya pertukaran materi dan energi, maka sistem tersebut merupakan sistem terbuka. Jika hanya terbatas pada pertukaran energi sedangkan materi tidak dapat menembus batas maka sistem tersebut merupakan sistem tertutup. Sedangkan jika pertukaran materi maupun energi tidak mungkin terjadi, maka sistem tersebut merupakan sistem terisolasi
), dan sebagainya.
Gambar 2.1 Sistem dan lingkungan molekul Batas
Lingkungan
(18)
Dalam sistem terdapat ensemble yang merupakan kumpulan dari keadaan sistem yang memiliki keadaan makroskopis sama tetapi memiliki keadaan mikroskopis berbeda. Beberapa contoh ensemble yang sering digunakan dalam dinamika molekul adalah ensemble mikroknonikal, ensemble kanonikal, ensemble isobarik-isotermal. Namun pada simulasi dinamika molekul ini hanya dibatasi pada
ensemble mikrokanonikal yaitu ensemble yang memiliki karakteristik jumlah
molekul N dan volume V yang tidak berubah serta energi total yang tetap pula. Ensemble ini merupakan sistem terisolasi sehingga tidak ada interaksi antara sistem dan lingkungan, dengan demikian energi tidak dapat keluar dan memasuki sistem dan energi totalnya akan tetap konstan.
Dari segi mikroskopik, didefenisikan bahwa suatu gas hanya dapat didekati dengan memakaikan hukum-hukum mekanika klasik secara statistik. Yang merupakan deenisi mikroskopik tersebut adalah:
1. Suatu gas terdiri partikel-pertikel, yang dinamakan molekul-molekul. Bergantung pada gas tersebut, maka setiap molekul terdiri dari sebuah atom atau sekelompok atom. Jika gas tersebut merupakan sebuah elemen atau suatu persenyawaan dan berada dalam suatu keadaan stabil, maka kita dapat meninjau semua molekulnya sebagai molekul-molekul yang identik. 2. Molekul-molekul bergerak secara serampangan dan menuruti
hukum-hukum gerak Newton. Molekul-molekul bergerak di dalam semua arah dan dengan berbagai laju. Di dalam menghitung sifat-sifat geraka, maka kita menganggapbahwa mekanika Newton dapat dipakai pada tingkat mikroskopik.
3. Jumlah seluruh molekul adalah besar. Arah dan laju gerakan dari setiap molekul dapat berubah secara tiba-tiba karena tumbukan dengan dinding atau dengan molekul lain. Setiap molekul khas akan mengikuti sebuah jalan yang berliku-liku karena tumbukan-tumbukan ini. akan tetapi karena banyaknya jumlah molekul yang terlibat maka kita menganggap bahwa jumlah besar tumbukan yang dihasilkan akan mempertahankan distribusi kecepatan molecular secara keseluruhan dan keserampangan/ keacakan gerakan.
4. Volume molekul-molekul merupakan jumlah pecahan kecil yang dapat diabaikan dari volume yang ditempati oleh gas tersebut
(19)
5. Tidak ada gaya-gaya yang cukup besar (appreciable forces) yang beraksi pada molekul-molekul kecuali selama tumbukan
6. Tumbukan-tumbukan adalah elastic dan tumbukan-tumbukan terjadi dalam waktu yang sangat singkat. Tumbukan antarmolekul dengan dinding wadah akan mempertahankan kekekalan energy kinetik.
2.2 Dinamika Molekul
Dinamika molekul merupakan suatu pembahasan mengenai pergerakan molekul-molekul yang saling berinteraksi. Sedangkan Simulasi Dinamika Molekul (Molecular Dynamics Simulation) merupakan suatu teknik simulasi yang memungkinkan kita untuk melihat pergerakan molekul dalam suatu material dengan cara menghitung gerakan tiap atom satu persatu. Materi pada skala makroskopis terdiri dari molekul-molekul yang jumlahnya sangat banyak. Namun dikarenakan adanya keterbatasan komputasi, maka simulasi dinamika molekul ini hanya dapat melakukan perhitungan untuk jumlah ratusan ataupun ribuan molekul saja walaupun pada dasarnya jika dilibatkan molekul dengan jumlah lebih banyak maka akan semakin realistik hasil yang diperoleh. Hal ini dapat dilakukan dengan menggunakan fungsi batas dari gaya potensial masing-masing molekul yang terlibat sehingga hanya dengan menggunakan sampel ratusan molekul saja kita sudah dapat melihat bagaimana dunia atomic berinteraksi.
Keunggulan lain dari simulasi dinamika molekul ini adalah sifatnya yang deterministik, artinya jika keadaan suatu materi pada waktu tertentu telah diketahui maka keadaan materi tersebut pada waktu berbeda dapat ditentukan dengan tepat. Hal yang paling penting dalam melakukan simulasi dinamika molekul ini adalah melakukan pemodelan sistem, yang terdiri dari model interaksi antar molekul dan model interaksi antar molekul dengan lingkungannya. Pemodelan sistem ini akan menentukan kebenaran simulasi dari segi fisis.
Adapun langkah-langkah yang harus dilakukan dalam melakukan simulasi dinamika molekul adalah sebagai berikut:
(20)
Gambar 2.2 Bagan simulasi dinamika molekul
Dinamika molekul dilakukan dengan langkah-langkah berikut: 1. Pengembangan model
Pengembangan model dilakukan sebagai persiapan awal simulasi. Model ini dapat diperoleh berdasarkan teori. Model interaksi antarmolekul dilakukan apabila terjadi interaksi antar molekul satu dengan lainnya sehingga dibutuhkan pengembangan persamaan gerak. Interaksi antar sistem dan lingkungan dibutuhkan untuk pengendalian tekanan dan juga temperatur sistem
2. Simulasi dinamika molekul
Metode molecular dynamics (dinamika molekul) mengkomputasi phase spase trajectory dari suatu koleksi molekul yang secara individu mengikuti hukum klasik dari motion. Simulasi awal dilakukan sistem dengan energi yang konstan, point awal adalah Hamiltonian yang mendskripsikan interaksi anata N partikel. Secara analisis, solusi sistem dari persamaan differensial order kedua didapat dengan melakukan integrasi dua kali dari waktu 0 ke waktu t untuk mendapatkan velocity(kecepatan) dan posisi.
Pengembangan model Produksi Ekuilibrium Inisialisasi Simulasi Dinamika Molekul Pengembangan persamaan gerak Pemodelan interaksi antarmolekul Pemodelan distribusi dan posisi Pemodelan Dinamika Molekul Analisa Hasil
(21)
Simulasi komputer dari sistem molecular dapat dibagi menjadi 3 tahapan yaitu: 1. Tahap Inisialisasi (Initialitation)
Pada tahap ini kondisi awal ditetapkan Tahap inisialisasi terdiri dari penentuan sistem unit, dan parameter simulasi. Inisialisasi melibatkan penentuan posisi awal dan kecepatan awal molekul-molekul. Pada algoritma ini anggap posisi adalah dan velocity diambil dari distribusi Boltzman
2. Tahap Ekuilibrium (Equilibration)
Equilibrium dapat dibangun jika sistem sudah ditetapkan untuk energi kinetik dan potensial tertentu.
3. Tahap Produksi (Production)
Tahap produksi adalah tahap utama dalam simulasi dinamika molekul yaitu ketika hasil simulasi telah diperoleh. Program diawali dengan pendeklarasian variabel dan parameter yang digunakan dalam program. Lalu dilanjutkan dengan menyiapkan inisial konfigurasi agar diperoleh hasil.
Molekul-molekul yang berada dekat batas sistem atau permukaan memiliki molekul tetangga yang lebih sedikit dari pada yang berada di tengah sistem sehingga mengakibatkan efek permukaan yang sangat kecil sedangkan simulasi dinamika molekul ini juga sangat dipengaruhi oleh efek permukaan. Hal ini menyebabkan informasi yang akan diperoleh dominan merupakan sifat materi yang berada dekat permukaan, padahal yang paling penting untuk diamati adalah sifat materi itu sendiri. Untuk menghindari hal ini, maka interaksi molekul dengan batas dihilangkan dengan menggunakan syarat batas periodik.
(22)
Gambar 2.3 Sel Primer dan sel citra
Objek yang diamati dibagi menjadi sel-sel yang identik satu sama lain. Sel yang diamati disebut dengan sel primer sedangkan sel lain yang tidak diamati disebut dengan sel citra yang juga memiliki semua informasi (misalnya posisi dan kecepatan molekul) yang sama dengan sel primer. Pembuatan syarat batas periodik ini memberikan implikasi yaitu apabila sebuah molekul meninggalkan sel primer, molekul tersebut akan digantikan dengan sel citranya yang masuk ke dalam sel primer secara bersamaan. Posisi molekul yang keluar dari sel primer tersebut diganti dengan posisi baru yaitu posisi citranya yang masuk ke dalam sel primer. Kondisi ini menyebabkan jumlah atom yang berada dalam sel akan konstan.
2.3Mekanika Klasik
Mekanika Klasik adalah bagian dari ilmu fisika mengenai gaya yang bekerja pada benda. Sering dinamakan "Mekanika Newton" dari Newton dan Hukum Gerak Newton. Mekanika klasik dibagi menjadi sub bagian lagi, yaitu statika (mempelajari benda diam), kinematika (mempelajari benda bergerak), dan dinamika(mempelajari
Sel primer Sel Citra
(23)
benda yang terpengaruh gaya). Penyebab gerak suatu benda atau partikel disebut sebagai dinamika gerak. Dalam pembahasan mengenai dinamika molekul ini, akan dibahas mengenai konsep-konsep yang menghubungkan kondisi gerak benda dengan keadaan-keadaan luar yang menyebabkan perubahan gerak benda. Dalam dinamika molekul ini, digunakan ketiga hukum Newton:
1. Hukum Inersia atau kelembaman, menyatakan bahwa suatu partikel akan cenderung untuk mempertahankan geraknya. Suatu partikel apabila diam, maka akan tetap diam dan apabila bergerak maka akan tetap bergerak dengan kecepatan konstan selama tidak ada pengaruh luar yang mengubah kondisi geraknya.
2. Hukum Newton kedua menyatakan bahwa percepatan sebanding dengan resultan gaya yang dialami oleh benda tersebut dan bernading terbalik dengan massanya, dan arah percpatan sejajar dengan arah gayanya. Jika partikel dengan massa m menerima gaya , maka partikel tersebut akan mengalami percepatan sebesar
(2.1)
3. Hukum Newton ketiga ini disebut dengan hukum aksi-reaksi. Jika partikel i
memberikan gaya pada partikel j sebesar , maka partikel j akan memberikan gaya pada partikel i sebesar
(2.2)
Dari pembahasan di atas dapat disimpulkan bahwa kuantitas gerak suatu benda tergantung pada massa inersia dan juga kecepatan benda. Untuk itu didefenisikan suatu besaran vector yang disebut sebagai momentum yang merupakan kuantitas gerak suatu benda. Ketiga hukum Newton ini memberikan konsekwensi hukum
kekekalan momentum. Dalam suatu sistem terisolasi (ensemble mikrokanonikal),
momentum dari masing-masing partikel dapat berubah-ubah akibat interaksi satu sama lain, namun momentum totalnya tidak berubah. Momentum total sistem diamati guna memeriksa kebenaran simulasi untuk mikrokanonikal ensemble.
(24)
(2.3)
Dimana m adalah massa molekul dan p adalah momentum molekul.
2.4Mekanika Statistik
Mekanika statistika adalah aplikasi dari teori probabilitas yang mengkombinasikan matematika ke bidang mekanika yang menangani gerak partikel atau objek yang dikenai suatu gaya. Mekanika statistik ini dibutuhkan untuk mengkonversi informasi pada skala atomic menjadi informasi pada skala makroskopik. Kemampuan untuk membuat prediksi makroskopik berdasarkan informasi dari sifat mikroskopik. Konsep partikel bebas diperkenalkan ketika suatu partikel bebas dari adanya pengaruh gaya atau interasi dari luar sistem fisis yang ditinjau. Dikatakan, dalam kerangka acuan inersia, ruang bersifat homogeny dan isotropic. Jika partikel bebas bergerak dengan kecepatan konstan dalam suatu sistem koordinat selama interval waktu tertentu tidak mengalami perubahan kecepatan, sehingga konsekwensinya adalah waktu bersifat homogen.
Menurut mekanika statistic, kuantitas fisis diperoleh sebagai rata-rata konfigurasi tersebut terhadap waktu. Konfigurasi posisi dan momentum molekul-molekul menentukan sifat-sifat yang dimiliki oleh materi tersebut sifat-sifat tersebut antara lain adalah energi, temperature, tekanan, dan entalpi dan sebagainya.
2.4.1 Energi Kinetik
Energy kinetic sistem adalah jumlah dari energy kinetic setiap molekul.
(2.4)
Dengan
Sedangkan energy total suatu sistem tersusun dari energy potensial dan juga energi kinetik sistem.
(25)
(2..5)
Untuk sistem terisolasi dimana tidak ada energy yang menembus batas, sistem bersifat konservatif atau energi sistem konstan. Konservasi energi ini adalah salah satu cara untuk memeriksa kebenaran simulasi ensemble mikrokanonikal.
2.4.2 Energi Potensial
Persamaan berdasarkan fisika Kuantum menyatakan gerak tiap partikel di alam semesta ditentukan oleh potensial yang dibentuk oleh medan gaya dari partikel-partikel lain di sekitarnya. Energy potensial adalah jumlah dari semua energy potensial molekul-molekul dalam sistem.
(2.6)
Dengan adalah set posisi titik pusat massa atom atau molekul, , sedangkan energy total suatu sistem tersusun dari energy potensial dan juga energi kinetik sistem.
(2.7)
Untuk sistem terisolasi dimana tidak ada energy yang menembus batas, sistem bersifat konservatif atau energi sistem konstan. Konservasi energi ini adalah salah satu cara untuk memeriksa kebenaran simulasi ensemble mikrokanonikal.
2.4.3 Temperatur
Ditinjau menurut termodinamika statistik, temperature merupakan suatu skala dari energy kinetic molekul-molekul penyusunnya. Untuk tiga dimensi, hubungan antara energy kinetik terhadap temperatur dinyatakan oleh:
(2.8)
(26)
(2. 9)
Dimana K adalah energy kinetic total sistem, N adalah jumlah molekul sistem, adalah konstanta Boltzman dan T adalah temperature.
2.4.4 Tekanan
Tekanan didefenisikan sebagai gaya yang bekerja tegak lurus pada suatu satua luas, yang secara matematis dinyatakan dengan:
(2.10)
Dengan menggunakan Hukum Newton kedua:
(2.11)
Maka tekanan dapat dinyatakan sebagai suatu fluks momentum atau momentum yang menembus suatu satuan luas dalam suatu satuan waktu. Sedangkan menurut termodinamika statistik, tekanan seperti ini terdiri dari dua bagian yaitu:
1. Fluks momentum akibat molekul yang menembus suatu permukaan luas selama dt, dinotasikan dengan
(2.12)
2. Fluks momentum akibat gaya yang bekerja antara dua molekul yang berada pada sisi yang berbeda dari permukaan luas, dinotasikan dengan (
(2.13)
Maka tekanan total menurut termodinamika statistik adalah:
(27)
2.4.5 Distribusi kecepatan
Untuk memahami bagaimana distribusi kecepatan dalam suatu wadah pengamatan kotak kubus, dapat diandaikan saja apabila kotak pengamatannya diam, distribusi kecepatan itu akan simetris di sekitar kecepatan nol(jumlah molekul yang bergerak ke kanan akan sama banyaknya dengan jumlah molekul yang bergerak ke kiri), dan kita juga memperkirakan bahwa distribusinya akan sedemikian rupa sehingga peluang untuk menemukan sebuah molekul dengan kecepatan besar adalah sangat kecil sekali. Hal ini disebabkan molekul-molekul dalam materi dapat memiliki kecepatan yang berbeda-beda sehingga terbentuk suatu distribusi kecepatan. Secara statistik dapat diperoleh bahwa molekul-molekul akan paling banyak berada paa suatu kecepatan tertentu, dan akan semakin berkurang jumlah molekulnya dengan semakin jauh kecepatan ny dari suatu kecepatan tersebut. Salah satu penyebabnya adalah karena molekul-molekul dalam materi akan saling bertabrakan dan berinteraksi. Interaksi ini menyebabkan adanya pemerataan energy kinetic, karena molekul yang bergerak lebih cepat memberikan tambahan momentum pada molekul yang bergerak lebih lambat dan sebaliknya. Distribusi kecepatan yang terjadi berbentuk distribusi normal, dan dinamakan disribusi Maxwell-Boltzman. Distribusi Maxwell-Boltzman bergantung waktu suhu ini dirumuskan dengan:
(2.15)
(28)
2.4.6 Jalan bebas rata-rata
Diantara tumbukan-tumbukan yang berturutan, sebuah molekul dalam suatu gas akan bergerak dengan laju yang konstan sepanjang sebuah garis lurus. Jarak rata-rata diantara tumbukan-tumbukan yang berturutan seperti itu dinamakan dengan jalan bebas rata-rata (mean-free-path).
Gambar 2.5 Jalan bebas rata-rata molekul
Sebuah molekul yang berjalan melalui suatu gas, bertumbukan dengan molekul-molekul lain sepanjang jalan yang dilaluinya. Sudah tentu bahwa semua molekul lainnya bergerak dengan cara yang sama. Seandainya molekul-molekul adalah titik-titik, maka molekul tidak akan bertumbukan sama sekali dan jalan bebas rata-rata sama dengan tak berhingga. Akan tetapi, molekul-molekul bukanlah merupakan titik-titik dan karena itu terjadilah tumbukan-tumbukan. Jika molekul-molekul tersebut sangat banyak jumlahnya sehingga menempati seluruh ruangan yang tersedia bagi molekul-molekul tersebut, dan tidak ada lagi ruangan untuk gerakan translasi, maka jalan bebas rata-rata akan sama dengan nol. Jadi jalan bebas rata-rata dihubungkan kepada ukuran molekul dan banyaknya molekul persatuan volume. Jalan bebas rata-rata l adalah jarak rata-rata di antara tumbukan-tumbukan yang berturutan. Maka l merupakan jarak total vt yang ditempuh di dalam waktu t dibagi dengan banyaknya tumbukan yang terjadi di dalam waktu ini. secara matematis ditulis dengan:
(29)
(2.16)
2.4.7 Gerak Brown
Gerak Brown dinamai menurut ahli Botani Inggris Robert Brown yang pada tahun 1827 menemukan bahwa tepung sari yang tergantung di dalam air memperlihatkan gerak sebarang yang kontinu jika dilihat di bawah mikroskop. Mula-mula gerak ini dianggap sebagai suatu bentuk kehidupan, tetapi segera ditemukan bahwa partikel-partikel yang tidak bersifat organik sekalipun memiliki perilaku yang serupa. Tidak ada keterangan kuantitatif mengenai fenomena ini hingga dikembangkannya teori kinetik. Kemudian pada tahun 1905, Albert Einstein menegmbangkan teori Gerak
Brown Einstein menyebutkan bahwa harus ada pergerakan suatu gerak
partikel-partikel mikroskopik yang terbuka kepada pengamatan tanpa mengetahui bahwa pengamatan-pengamatan yang menyangkut gerak Brown ternyata telah lama dikenal.
Gambar 2.6 Sketsa Gerak Brown
Gambar di atas merupakan sketsa gambar yang ditemukan oleh V. Henry pada tahun 1908 dari pengamatan sinematografinya mengenai gerakan Brown. Henry menggunakan sebuah mikroskop dengan kamera gambar dengan kecepatan 20 kerangka/detik, dan setiap pembukaan sebesar 1/320 detik. Garis-garis yang
(30)
berliku-liku memperlihatkan keadaan dari lima partikel. Skala pada alas dibagi-bagi atas micrometer(micron = nilai 10-6
Awalnya partikel-partikel yang diamati adalah sangat besar dibandingkan dengan molekul-molekul fluida dan ditembaki secara terus-menerus pada semua sisi oleh molekul-molekul tersebut. Jika partikel cukup besar dan jumlahnya juga besar, maka banyaknya molekul yang sama akan menumbuk partikel-partikel pada semua sisi pada setiap saat.untuk partikel yang lebih kecil dengan jumlah lebih kecil maka banyaknya molekul yang menumbuk berbagai sisi partikel pada setiap saat, semata-mata hanyalah merupakan kemungkinan, mungkin tidak sama, yakni akan terjadi fluktuasi.maka partikel pada setiap saat mengalami gaya yang tak seimbang yang menyebabkan partikel tersebut bergerak dengan berbagai cara dengan sangat tidak teratur.
)
2.5 Model Interaksi Antarmolekul 2.5.1 Potensial Lennard Jones
Energi intermolekuler yang juga disebut dengan energi potensial didefenisikan sebagai perbedaan antara energi molekul dan juga penjumlahan energi kompleks molekul yang terpisah. Pada pemisahan tak terhingga, energy intermolekul adalah nol, dan ketika kedua molekul saling mendekati satu sama lain, energi intermolekul mulai menjadi negative dan mulai mencapai keadaan keseimbangan jika mempunyai energy intermolekul terendah. Jika dua molekul ini saling mendekat maka energi intermolekulnya tidak lagi menjadi negative tetapi menjadi positif kembali (tolak-menolak). Untuk satu pasangan molekul, potensial intermolekul adalah suatu fungsi orientasi relative terhadap jarak antara kedua pusat massa molekul.
Model interaksi antarmolekul yang diperlukan adalah hukum gaya antarmolekul, yang ekivalen dengan fungsi energy potensial antarmolekul. Pemilihan energi fungsi energi potensial harus dilakukan sebelum melakukan simulasi. Pemilihan model interaksi antarmolekul sangant menentukan kebenaran simulasi dari sudut pandang fisika. Karena berada dalam skala atomik, interaksi secara prinsip harus diturunkan secara kuantum, dimana perilaku prinsip ketidakpastian Heisenberg. Namun kita dapat melakukan pendekatan mekanika klasik dimana atom dan molekul dianggap sebagai suatu titik pusat massa. Model interaksi itu harus memenuhi dua kriteria. Pertama, molekul-molekul harus mampu menahan tekanan pasangan molekul
(31)
yang saling berinteraksi. Ini berarti ada gaya tolak-menolak antarmolekul. Kedua, molekul-molekul tersebut harus saling mengikat, atau adanya gaya tarik-menarik. Pada suatu jarak tertentu, kedua
gaya tersebut saling meniadakan sehingga gaya resultannya sama dengan nol.
Untuk N jumlah atom dalam suatu simulasi maka fungsi energy potensial adalah dimana adalah set posisi titik pusat massa atom atau molekul, dimana . Salah satu model energy potensial antara dua molekul yang dikembangkan adalah Potensial Lennard Jones. Model ini dianggap paling sederhana, namun memiliki ketelitian yang baik untuk simulasi. Model potensial ini dirumuskan dengan:
(2.17)
Dengan n dan m merupakan bilangan bulat positif yang dipilih,dimana n > m, i dan j
adalah indeks dari molekul, atau jarak antara molekul i dan j,
sedangkan adalah parameter jarak, dan adalah parameter yang menyatakan kekuatan interaksi. Pilihan yang umum untuk m dan n adalah m=6 dan n=12.
Sehingga persamaan (2.17) menjadi
(2.18)
(32)
2.5.2 Gaya Antarmolekul
Gaya-gaya di antara molekul-molekul adalah berasal dari gaya elektromagnet. Molekul-molekuli ini netral secara listrik dengan pengertian bahwa muatan negatif dari elektron-elektron adalah sama besarnya dan berlawanan tandanya dengan muatan inti-inti. Bila dua molekul saling mendekati, maka muatan pada masing-masing molekul akan terganggu dan berpindah sedikit dari kedudukan yang biasa sedemikian rupa sehingga jarak rata-rata diantara muatan yang berlawanan di dalam kedua-dua molekul tersebut adalah sedikit lebih kecil daripada jarak rata-rata diantara muatan yang sejenis. Maka, sebuah gaya tarik-menarik antarmolekul akan dihasilkan. Ini hanya terjadi bila molekul-molekul sangat dekat terhadap satu sama lain, sehingga gaya-gaya ini hanya beraksi pada jarak-jarak pendek (short range forces). Jika molekul-molekul tersebut sangat dekat terhadap satu sama lain sehingga muatan-muatannya yang sebelah luar mulai tumpang tindih (overlap), maka gaya antarmolekul tersebut menjadi gaya tolak menolak.
Gaya merupakan negatif dari gradien potensial. Jika dianggap molekul kira-kira berbentuk simetri bola, maka kita dapat menjelaskan gaya-gaya antarmolekul secara grafik dengan menggambarkan tenaga potensial bersama dari dua molekul,U, sebagai fungsi dari jarak r di antara titik pusat molekul-molekul tersebut. Gaya F
yang beraksi pada setiap molekul dihubungkan dengan tenaga potensial U oleh:
(2.19)
Untuk potensial Lennard Jones, besar gaya adalah:
(2.20)
Gaya positif adalah gaya tolak menolak dan gaya negatif adalah gaya tarik-menarik. Model Lennard jones ini menggambarkan adanya gaya tolak-menolak dengan suku
yang mndominasi pada jarak dekat dan gaya tarik menarik dengan suku yang mendominasi pada jarak jauh.
(33)
Gambar 2.8 Grafik Gradient Potensial Lennard Jones
Dari persamaan (2.29), maka dapat diturunkan untuk masing-masing sumbu:
Maka diperoleh:
(34)
BAB III
ANALISIS DAN PERANCANGAN SIMULASI DINAMIKA MOLEKUL
3.1 Analisis Masalah
Dalam suatu material zat padat terdiri dari susunan atom-atom. Susunan ini terdiri atas dua susunan yaitu amorf dan Kristal. Pada amorf akan ditemukan susunan atom yang tidak teratur dan jangkauan yang pendek, sedangkan pada struktur Kristal susunan atomnya teratur dalam suatu jangkaun tertentu.Untuk lebih memudahkan pengertian, maka dapat dikatakan bahwa atom-atom dalam kristal suatu zat padat tersusun secara teratur dan susunan atom-atom tersebut menentukan struktur kristal dari logam. Susunan dari atom-atom tersebut disebut cell unit.Dalam hal ini, cell unit adalah sebuah kubus dengan atom-atom menempati kedelapan dari sudut kubus dan atom lainnya berada pada pusat masing-masing dari keenam bidang kubus.
3.1.1. Syarat Batas Periodik dan Kotak Simulasi
Simulasi dinamika molekul dilakukan dalam kubus dengan dimensi LxLxL dngan struktur Fcc (Face Centered Cubic) karena bentuk ini paling memudahkan syarat bats periodic. Pada mulanya molekul diamati pada setiap sudut kubus sehingga mengakibatkan jumlah molekul yang terlibat akan berjumlah 2n yaitu 28= 256 sedangkan apabila melibatkan satu atom lagi dari bagian permukaan kubus maka jumlah molekul akan menjadi 29 = 512
3.1.2. Posisi awal
3.1.3. Pemotongan potensial
(35)
Penghitungan interaksi antarmolekul memakan waktu paling lama dalam simulasi dinamika molekul ini. Agar waktu komputasi yang dilakukan tidak memakan waktu lama, maka interaksi molekul hanya dihitung dengan tetangga terdekat saja. Teknik seperti ini banyak dilakukan dalam dinamika molekulmateri dalam fase padat.pemotongan potensial dilakukan dengan menggunakan jarak cut offdi antara tetangga pertama dan tetangga kedua molekul dalam kotak simulasi. Jarak cut off dipasang di antara tetangga pertama yang berjarak L dan tetangga kedua berjarak .
Jarak terdekat antarmolekul
Molekul-molekul yang bergerak secara acak menyebabkan ketidakmerataan penempatan molekul. Hal ini menyebabkan adanya molekul-molekul yang saling menumpuk atau berjarak terlalu dekat sehingga terjadi gaya tolak-menolak maupun tarik-menarik yang terlalu besar. Untuk mencegah hal ini, maka molekul-molekul ini disusun dalam bentuk kubus sebagai posisi awalnya yang merupakan stuktur yang sesuai untuk fase padat. Panjang rusuk kubus adalah jarak dimana molekul-molekul berada pada potensial terendah. Untuk model Potensial Lennard Jones, maka jarak tersebut jika hanya memperhitungkan tetangga terdekatnya saja adalah dengan menggunakan persamaan 2.31:
(3.1) Maka:
(3.2) 3.1.2 Kecepatan rata-rata interaksi partikel
Seandainya sejenis gas berada dalam suatu ruangan. Maka dapat dipastikan jumlah molekulnya sangatlah banyak sehingga tidak mungkin bagi kita untuk menentukan keadaan molekul-molekul tersebut satu persatu. Molekul-molekul tersebut sangat aktif bergerak bebas dalam ruang tersebut sehingga sangat tidak mungkin bagi kita untuk mengatakan bahwa molekul itu pada suatu saat berada di titik tertentu di dalam ruang
(36)
dengan kecepatan tertentu. Kita hanya mampu meramalkan keadaan berdasarkan kebolehjadiannya (probabilitas). Adapun kebolehjadian (probabilitas) ini,ada kaitannya dengan statistic, hanya saja tidak diperlakukan seperti statistic demografi(kependudukan) dimana kita perlu menggunakan sampel untuk meramalkan populasi itu.
Prinsip yang biasa diterapkan adalah prinsip keacakan/random dimana semua molekul mempunya kebolehjadian yang sama untuk berada di titik manapun di dalam ruang dan bisa bergerak ke arah manapun dengan momentum manapun sesuai dengan batasa-batasan yang berlaku. Dengan demikian dari segi kecepatan bergerak dapat dikatakan bahwa rata-rata kecepatan semua molekul pada arah sumbu koordinat adalan nol, tetapi rata kuadratnya tidak sama dengan nol.
(3.3)
(3.4)
Untuk menghitung tekanan gas yang ditimbulkan oleh molekul-molekul tersebut, maka dapat dianggap dinding tempat molekul bergerak adalah sebuah dinding dengan luas dA yang akan ditumbukoleh molekul-molekul yang kelajuannya v di depan dA
dan arahnya membentuk sudut dengan normal pada elemen bidang tersebut.jika per cacah molekul terdapat n(v) buah molekul yang menumbuk dinding dA selama dt, maka volumenya adalah: . Dengan demikian cacah yang menumbuk dinding dA adalah:
(3.5)
Apabila tumbukan yang mengenai dinding adalah lenting sempurna, maka momentum yang diperoleh dA dalam waktu dt adalah:
(3.6)
Atau perubahan momentumnya setiap detik yang diterima oleh dA akibat molekul-molekul yang bergerak dengan kecepatan v yang berasal dari segala arah adalah:
(37)
(3.7)
Dengan demikian,gaya yang bekerja (gaya=perubahan momentum) pada dinding dA
adalah:
(3.8)
Gaya yang ditimbulkan oleh semua molekul adalah:
(3.9)
Jadi, tekanan gas pada dinding adalah;
(3.10)
Atau energy kinetik gas:
(3.11)
Persamaan-persamaan di atas dapat didekati dengan melalui probabilitas. Andaikan terjadi keseimbangan suhu T dalam sistem, maka kebolehjadian bahwa sebuah partikel berada pada posisi antara r dan r+dr dengan kelajuan antara v dan v+dv adalah:
(3.12)
Dimana P(r,v) disebut probability density dari partikel, dan Ek(r,v)adalah energy kinetiknya. A adalah tetapan yang bisa diperoleh melalui integrasi pada batas-batas yang diberikan.
(38)
Integral dari persamaan (2.13) di atas dapat dilakukan dengan separasi variabel, dengan asumsi bahwa energy kinetiknya independen terhadap r , dengan demikian, persamaan menjadi:
(3.13)
Dimana P(v) adalah probabilitas bahwa partikel memiliki kelajuan antara v dan v+dv.
Dalam koordinat silinder, kebolehadian ini adalah:
(3.14)
Karena distribusi kecepatanadalah sama di segala arah, maka komponen sudut (angular)dapat diintegrasi dengan batas-batasnya dan memberikan:
(3.15)
Pada persamaan ini, konstanta telah ditetapkan melalui kondisi . Bentuk distribusi kecepatan ini disebut distribusi Maxwell-Boltzman.
Beberapa kuantitas yang yang berkaitan dengan energu kinetic gas, dapat dikalkulasikan sebagai berikut:
(3.16)
Persamaan (2.17) di atas adalah persamaan kcepatan raa-rata partikel. Sedangkan kecepatan r.m.s partikel adalah:
(39)
Kemudian dari persamaan (2.18) ini dapat dijabarkan energy kinetic rata-rata partikel yaitu:
(3.18)
3.1.4 Posisi dan Kecepatan Setelah Interaksi
Molekul dapat dianggap sebagai partikel yang bergerak bebas sedemikian rupa sehingga sangatlah sulit untuk diketahui besaran fisisnya satu per satu.para fisikawan hanya dapat meramalkan keadaan rata-ratanya. Partikel-partikel tersebut saling bertabrakan dengan pergerakannya sehingga didefenisikanlah sebuah jalan bebas rata-rata(mean free path) sebagai jarak tempuh rata-rata partikel sebelum bertabrakan. Nilai rata-rata dari jumlah tabrakan yang rata-rata dialami oleh sebuah partikel persatuan waktu biasa disebut sebagai frekwensi tabrakan, f.
Suatu simulasi dinamika molekul lainnya untuk melakukan simulasi terhadap partikel gas dapat dilakukan dengan menggunakan persamaan Boltzman. Algoritma ini sebagiamana halnya untuk dinamika molekuler lainnya, menyatakan keadaan sistem partikel dalam posisi dan kecepatan {r,v}. Evolusi dari sistem dilakukan dengan integrasi melalui beda waktu(time step) yang biasanya dalam orde rata-rata waktu tabrakan antarpartikel. Pada setiap langkah integrasi partikel pada awalnya dianggap bergerak tanpa tabrakan sehingga setiap partikel mempunyai posisi:
(3.19)
Setelah itu partikel akan bertabrakan dengan partikel lainnya sehingga kecepatannya akan dikembalikan ke kecepatan semula. Semua pasangan partikel (i,j) dalam sebuah sel memiliki kemungkinan untuk bertabrakan. Kebolehjadian ini berbanding langsung dengan kelajuan relatifnya.
Apabila pasangan yang brtabrakan telah dipilih, maka kecepatan mereka perlu dievaluasi. Kekekalan momentum memberikan petunjuk bahwa kecepatan pusat massa tidak berubah karena tabrakan, sehingga:
(40)
Hukum kekekalan energy juga memberikan petunjuk bahwa kecepatan relative tidak berubah karena tabrakan, sehingga:
(3.21)
Kecepatan setelah tabrakan dihitung sebagai berikut:
(3.22)
Jumlah tabrakan yang terjadi dalam satu sel selama selang waktu adalah:
(3.23)
Dimana adalah volume sel. Tetapi, dengan menerapkan acceptance-rejection, maka:
(3.24)
Sehingga jumlah partikel yang akan bertabrakan adalah:
(3.25)
3.2 Perancangan Diagram alir (flowchart)
Proses perancangan program bantu dalam laporan tugas akhir ini dirancang melalui tahapan-tahapan sebagai berikut:
1. Perancangan diagram alir dan algoritma penentuan persamaan distribusi awal dan akhir kecepatan partikel, kecepatan relatif interaksi partikel, potensial lennard jones, dan gaya interaksi antarmolekul.
(41)
2. Pembuatan program lengkap berdasarkan rancangan diagram alir dan algoritma dengan menggunakan program matlab 6.1
Dalam merancang suatu program yang terstruktur dan terkendali dengan baik, terlebih dahulu perlu dilakukan perancangan diagram alir (flowchart) serta algoritma program sehingga dapat memperjelas langkah-langkah dalam membuat program secara utuh. Rancangan diagram alir program bantu dapat dilihat sebagai berikut:
(42)
start
Input nilai:
Jumlah partikel, Konstanta Boltzman, massa atom, diameter atom, suhu, densitas, panjang kotak simulasi
Hitung laju partikel
Hasil
Laju partikel dan Jumlah partikel (histogram)
Input Jumlah selang waktu
Pause (1)
Hitung distribusi akhir Laju partikel
Hasil
End
N
Y
(43)
start
Input nilai:
Jumlah partikel, Konstanta Boltzman, massa atom, diameter atom, suhu, densitas, panjang kotak simulasi
Hitung laju awal partikel dan kecepatan dinding
Memberi nilai pada posisi R1, R2= bilangan random
Hasil
Hitung kecepatan gerak molekul random
end
(44)
start
Input nilai: Kerapatan, Tetapan lennard jones
Hasil Gunakan rumus Potensial lennard
jones
End K=0
3
>
k
Inc(k)
N
Y
(45)
start
Input nilai: Kerapatan, Tetapan lennard jones
Hasil Gunakan rumus
Gaya interaksi antarmolekul
End K=0
3
>
k
Inc(k)
N
Y
(46)
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Distribusi Kecepatan Partikel
Terjadinya distribusi kecepatan disebabkan molekul-molekul dalam materi memiliki kecepatan yang berbeda-beda. Gambar di bawah ini memperlihatkan keadaan molekul pada keadaan awal dan pada keadaan setelah beberapa time step yang berbeda. Simulasi dilakukan untuk jumlah partikel 256 dan 512. Setiap satu molekul dirancang agar molekul memiliki effnumber , artinya satu molekul mewakili ribuan atom dengan tujuan untuk mempermudah penghitungan selama kalkulasi. Effnumber diperoleh dari persamaan:
masukkan jumlah molekul:256
setiap molekul mewakili 104874 atom >>
(47)
masukkan jumlah molekul:256
setiap molekul mewakili 104874 atom jumlah selang waktu:10
>>
Gambar 4.2 Distribusi akhir kecepatan molekul pada time step 10
masukkan jumlah molekul: 256
setiap molekul mewakili 104874 atom jumlah selang waktu:50
>>
(48)
masukkan jumlah molekul:256
setiap molekul mewakili 104874 atom jumlah selang waktu:100
>>
Gambar 4.4 Distribusi akhir kecepatan molekul pada time step 100
masukkan jumlah molekul:256
setiap molekul mewakili 104874 atom jumlah selang waktu:500
>>
(49)
masukkan jumlah molekul:512
setiap partikel mewakili 52437 atom
Gambar 4.6 distribusi awal kecepatan partikel
masukkan jumlah molekul:512
setiap molekul mewakili 52437 atom jumlah selang waktu:10
>>
(50)
masukkan jumlah molekul:512
setiap molekul mewakili 52437 atom jumlah selang waktu:100
>>
Gambar 4.8 Distribusi akhir kecepatan molekul pada time step 100
masukkan jumlah molekul:512
setiap molekul mewakili 52437 atom jumlah selang waktu:100
>>
(51)
masukkan jumlah molekul:512
setiap molekul mewakili 52437 atom jumlah selang waktu:1000
>>
Gambar 4.10 Distribusi akhir molekul ada timestep 1000
Berdasarkan gambar-gambar di atas dapat dilihat bagaimana partikel-partikel terdistribusi dalam berbagai selang waktu. Laju akar rata-rata kuadrat (root-mean square speed) merupakan laju molekul efektif yang stabil. Pada gambar terdapat kondisi awal dimana seua molekul yang terlibat memiliki distribusi laju Vx yang sama. Tetapi kondisi ini tidak akan bertahan terus untuk waktu yang lama karena laju partikel akan berubah dengan adanya tumbukan-tumbukan.
Banyaknya molekul yang mempunyai laju (misal v1 dan v2) menyamai luas di
bawah kurva garis v1 dan v2. Jumlah molekul dalam sebuah interval ∆V yang
diberikan akan semakin besar jika laju bertambah besar sampai ke suatu titik maksimum dan kemudian secara asymptotic menuju nol, sedangkan jangkauan kelajuannya menjadi lebih besar sehingga distribusi tersebut akan semakin melebar seperti yang tampak pada gambar. Hal ini dapat terjadi jika V≤Vrms. Simulasi
dilakukan untuk jumlah partikel 256 dimana setiap partikel memiliki 104874 atom pada time step yang berbeda. Penjelasan yang sama juga diperoleh untuk jumlah partikel 512 dimana setiap partikel mewakili 52437 atom pada time step yang berbeda.
(52)
4.2 Jalan bebas rata-rata molekul
Tumbukan-tumbukan berurutan yang dialami oleh molekul-molekul akan bergerak dengan laju konstan sepanjang garis lurus. Simulasi dilakukan dengan kotak simulasi dimana memiliki volume sebesar 1 kubik-mikron. Dengan volume yang sangat kecil ini, maka sudah dapat dipastikan bahwa julah atom sangat banyak sekali (dapat mencapai orde 106 bahkan lebih) sehingga proses komputasi satu per satu partikel akan memakan waktu yang sangat lama. Oleh karena itu, pada program dirancang agar partikel memiliki effnumber , artinya satu partikel mewakili ribuan atom, juga merupakan kumpulan molekul sehingga posisinya akan merupakan posisi rata-rata. Demikian pula kecepatannya, yaitu kecepatan rata-rata kumpulan molekul tersebut. Kecepatan awal partikel menurut sumbu y dan sumbu z ditetapkan nol dan kecepatan menurut sumbu x adalah ± vinit. Lebar sel Lc dalam orde jalan bebas rata-rata,
sehingga sel dapat dianggap homogen. Selang waktu τ = a.Lc/<v>, dimana nilai a dipilih < 1 ( misalnya a=0.2). dengan demikian setiap partikel rata-rata menghabiskan beberapa selang waktu dalam kotak simulasi.
masukkan jumlah molekul yang akan disimulasi: 2 satu molekul simulasi=1.34238e+007 atom
lebar sistem adalah 15.9784 dari jalan bebas rata2/n masukkan kecepatan dinding sebagai bil.mach: 0.4
kecepatan dinding -3.89352 dan 3.89352 m/det >>
(53)
masukkan jumlah molekul yang akan disimulasi: 4 satu molekul simulasi=6.71192e+006 atom
lebar sistem adalah 15.9784 dari jalan bebas rata2/n masukkan kecepatan dinding sebagai bil.mach: 0.4 kecepatan dinding -3.89352 dan 3.89352 m/det
>>
Gambar 4.12 Jalan bebas rata-rata untuk 4 molekul
masukkan jumlah molekul yang akan disimulasi: 6 satu molekul simulasi=4.47461e+006 atom
lebar sistem adalah 15.9784 dari jalan bebas rata2/n masukkan kecepatan dinding sebagai bil.mach: 0.4
kecepatan dinding -3.89352 dan 3.89352 m/det >>
(54)
masukkan jumlah molekul yang akan disimulasi: 8 satu molekul simulasi=3.35596e+006 atom
lebar sistem adalah 15.9784 dari jalan bebas rata2/n masukkan kecepatan dinding sebagai bil.mach: 0.4 kecepatan dinding -3.89352 dan 3.89352 m/det
>>
Gambar 4.14 Jalan bebas rata-rata untuk 8 molekul
Gambar di atas mendemonstrasikan gerakan kontinu dari molekul-molekul yang bergerak ke segala arah dengan berbagai laju. Jika molekul-molekul adalah sangat banyak sehingga menempati seluruh ruangan yang tersedia bagi molekul-molekul tersebut, dan tidak ada lagi ruangan untuk gerakan translasi, maka jalan bebas rata-rata akan sama dengan nol. Karena partikel-partikel yang terlibat sangat banyak jumlahnya, maka banyaknya molekul yang sama akan menumbuk partikel-partikel pada semua sisi pada setiap saat. Untuk partikel-partikel yang lebih kecil dan jumlah molekulnya lebih kecil maka banyaknya molekul yang menumbuk hanyalah merupakan kemungkinan, mungkin tidak sama sehingga akan terjadi fluktuasi. Garis-garis yang berliku-liku memperlihatkan kedudukan dari masing-masing partikel yang terlibat.
(55)
4.3 Potensial Lennard Jones
Untuk mendapatkan grafik potensial dari persamaan potensial Lennard Jones (persamaan 2-18), diinput nilai-nilai sebagai berikut:
, ,
Dimana adalah jarak antara molekul i dan j , adalah= parameter jarak, dan adalah parameter yang menyatakan kekuatan interaksi
Gambar 4.15 Grafik pemotongan potensial dan Gaya --- Potensial Lennard Jones --- Gaya
(56)
Gambar 4.16 Grafik Potensial Lennard jones
Grafik di atas menggambarkan tenaga potensial U dan gaya F sebagai fungsi dari jarak di antara titik-titik pusat molekul. Gaya F yang bekerja pada setiap molekul dihubungkan dengan tenaga potensial oleh
Bila dua molekul saling mendekati, maka muatan masing-masing molekul akan terganggu dan berpindah sedikit demi sedikit dari kedudukannya sehingga jarak rata-rata antara muatan yang berlawanan adalah sedikit lebih kecil dari jarak rata-rata-rata-rata antara muatan sejenis sehingga akan dihasilkan gaya tarik menarik.Jika molekul-molekul tersebut sangat dekat terhadap satu sama lain hingga muatan-muatannya saling tumpang tindih (overlap), maka akan terjadi gaya tolak menolak.
Ciri khas dari potensial lennard jones ini adalah adanya fungsi batas (cut off function) yang membatasi jumlah atom yang terlibat dalam perhitungan potensial yang bekerja
(57)
pada molekul. Dengan adanya fungsi batas ini, atom-atom yang jauh dari atom molekul tersebut, lebih jauh dari suatu jarak tertentu, dapat diabaikan sehingga mengurangi jumlah perhitungan. Walaupun hal ini mengurangi ketelitian, tetapi pada kenyataannya kontribusi atom pada suatu potensial berbanding terbalik secara eksponensial dengan jaraknya sehingga metode ini dapat diterima.
4.4 Gaya Antarmolekul
Gaya merupakan negatif dari gradient potensial. Untuk mendapatkan persamaan potensial dapat diperoleh dari
Sama seperti pada potensial Lennard Jones, diinput nilai-nilai sebagai berikut: , ,
Dimana adalah jarak antara molekul i dan j , adalah= parameter jarak, dan adalah parameter yang menyatakan kekuatan interaksi
(58)
Grafik di atas menggambarkan suatu nilai gaya F yang khas. Di sini kita dapat membayangkan sebuah molekul yang dibuat tetap di O. Maka molekul yang lainnya akan ditolak dari O bila lereng (slope) dari F adalah negative dan akan ditarik ke O
bila lereng tersebut adalah positif . Pada ro tidak ada gaya yang beraksi pada
molekul-molekul tersebut sehingga besarnya tenaga potensial pada keadaan ini adalah nol. Terdapat suatu “titik balik”(turning point) dari gerakan tersebut dimana terjadi pemisahan titik pusat dari dua buah molekul pada titik balik tersebut yang merupakan jarak pendekatan yang paling pendek ketika terjadi tumbukan. Akibat adanya perbedaan ukuran muatan dan juga penyusun muatan dalam dapat mengakibatkan gaya-gaya antarmolekul akan berubah dari satu molekul ke molekul yang lain.
(59)
BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
1. Pada distribusi laju partikel (hasil sub-bab 4.1), apabila interval laju ∆ V
pada suatu titik mencapai maksimum, maka kecepatannya kemudian akan berkurang secara asympotik menuju nol.
2. Jalan bebas rata-rata dihubungkan kepada ukuran molekul dan banyaknya molekul persatuan volume yang bertabrakan satu dengan lainnya sehingga membentuk lintasan acak/random (hasil sub-bab 4.2)
3. Jarak pisah antar atom dalam molekul Rij memiliki nilai tertentu yaitu
, nilai yang lebih jauh dari nilai tersebut dapat diabaikan sehingga mengurangi jumlah perhitungan dan ketelitian, namun grafik menunjukkan bahwa kontribusi atom pada potensial berbanding terbalik secara eksponensial terhadap jarak sehingga metode ini dapat diterima. 4. Dengan menggunakan persamaan potensial lennard jones (hasil sub-bab
4.3), tidak perlu mengkalkulasi gerakan seluruh atom (ribuan atau jutaan atom), karena hanya dengan melibatkan ratusan atom saja kita sudah dapat mengamati bagaimana dunia atomik berinteraksi.
5.2 Saran
1. Dilakukan modifikasi simulasi agar dapat melihat pengaruh parameter lainnya seperti suhu dan tekanan.
2. Penyempurnaan pada program pendukung untuk menampilkan hasil yang lebih sempurna
(60)
DAFTAR PUSTAKA
Haile, J.M.1992. Molecular Dynamics Simulation: Elementary Methods, John Wiley& Sons, Inc.
Huang, Kerson.1987. Statistical Mechanics. John Wiley & Sons, Inc.
Witoelar, Aree. 2002. Perancangan dan Analisa Simulasi Dinamika Molekul
Ensemble Mikrokanonikal dan Kanonikal dengan Potensial Lennard Jones,
Tugas Akhir. Institut Teknologi Bandung
S, Budi Sutedjo. 2004. Algoritma dan Teknik Pemrograman. Edisi ketiga.Yogyakarta: Penerbit Andi.
Etter, M Delores.2003. Pengantar matlab 6. PT INDEKS Kelompok. Jakarta: GRAMEDIA.
Reif, F.1965. Fundamentals of Statistical and Thermal Physics, McGraw-Hill Publishing Company
Suarga. 2007. Fisika Komputasi, Solusi Problematika Fisika denganMatlab, edisi pertama. Yogyakarta: Penerbit Andi.
Hedman, Fredrik. 2006. Algorithms for Molecular Dynamics Simulations, advancing
the Computational Horizon. Stocholm University.
Perangin-angin, Kasiman. 2006. Pengenalan Matlab. Yogyakarta: Penerbit Andi. Fahmi, Mahuddin. 1999. Perancangan Perangkat Lunak Simulasi Dinamika Molekul
dengan model Potensial Lennard Jones. Tugas Akhir.
Halliday, David. 1998. Fisika. Jilid 1. Edisi ketiga. Jakarta: Penerbit Erlangga Krane, Kenneth. 1992. Fisika Modern. Cetakan I. Jakarta: Penerbit Universitas Indonesia(UI-Press).
(61)
LAMPIRAN
List program 1 histogram distribusi kecepatan awal partikel
%list program gerak molekul-distribusi kecepatan %inisialisasi variabel
rand('seed',1);
npart=input('masukkan jumlah partikel:'); boltz=1.3806e-23; %tetapan boltzman mass=6.63e-26; %massa atom argon diam=3.66e-10; %diameter atom argon T=273; %suhu kelvin
density=1.78; %rapat massa atom argon L=1e-6; %panjang kotak 1 mikron eff_num=density/mass*L^3/npart;
fprintf('setiap partikel mewakili %g atom\n',ceil(eff_num));
v_init=sqrt(3*boltz*T/mass); x=L*rand(npart,1);
v=zeros(npart,3);
v(:,1)=v_init*(1-2*floor(2*rand(npart,1))); ncell=15;
tau=0.2*(L/ncell)/v_init; vrmax=3*v_init*ones(ncell,1); selxtra=zeros(ncell,1);
coeff=0.5*eff_num*pi*diam^2*tau/(L^3/ncell); vmag=sqrt(v(:,1).^2+v(:,2).^2+v(:,3).^2);
vbin=50:100:1050; %histogram distribusi kecepatan awal hist(vmag,vbin);title('distribusi awal kecepatan'); xlabel('laju partikel');ylabel('jumlah partikel'); end
(62)
List program 2 histogram distribusi kecepatan partikel pada berbagai time step %dsmc01-algoritma DSMC untuk simulasi kecepatan partikel %inisialisasi variabel
rand('seed',1);
npart=input('masukkan jumlah partikel:'); boltz=1.3806e-23; %tetapan boltzman mass=6.63e-26; %massa atom argon diam=3.66e-10; %diameter atom argon
T=273; %suhu kelvin
density=1.78; %rapat massa atom argon
L=1e-6; %panjang kotak 1 mikron
eff_num=density/mass*L^3/npart;
fprintf('setiap partikel mewakili %g atom\n',ceil(eff_num)); v_init=sqrt(3*boltz*T/mass); x=L*rand(npart,1); v=zeros(npart,3); v(:,1)=v_init*(1-2*floor(2*rand(npart,1))); ncell=15; tau=0.2*(L/ncell)/v_init; vrmax=3*v_init*ones(ncell,1); selxtra=zeros(ncell,1); coeff=0.5*eff_num*pi*diam^2*tau/(L^3/ncell); vmag=sqrt(v(:,1).^2+v(:,2).^2+v(:,3).^2);
vbin=50:100:1050; %histogram distribusi kecepatan awal hist(vmag,vbin);title('distribusi awal kecepatan'); xlabel('laju partikel');ylabel('jumlah partikel'); pause;
coltot=10%jumlah tabrakan
nstep=input('jumlah selang waktu:'); for istep=1:nstep
x(:)=x(:)+v(:,1); x=rem(x+L,L); %sortir partikel
%proses tabrakan partikel
[v,vrmax,selxtra,col]=colide(v,ncell,... vrmax,tau,selxtra,coeff);
coltot=coltot+col;
vmag=sqrt(v(:,1).^2+v(:,2).^2+v(:,3).^2); hist(vmag,vbin);
string=sprintf('sudah %g dari %g langkah; %tabrakan',... istep,nstep,coltot); title(string);xlabel('laju partikel') ylabel('jumlah partikel'); pause(1); end vmag=sqrt(v(:,1).^2+v(:,2).^2+v(:,3).^2);
(63)
string=sprintf('distribusi akhir,waktu=%g det',nstep*tau);
%distribusi akhir dari kecepatan partikel hist(vmag,vbin);title(string);
xlabel('laju partikel');ylabel('jumlah partikel') grid on
return end
List Program Jalan Bebas rata-rata (gerak random)
%Gerak random
%inisialisasi variabel rand('seed',1);
npart=input('masukkan jumlah partikel yang akan disimulasi: ');
T=273; %suhu awal
diam=3.66e-10; %diameter atom argon boltz=1.3806e-26; %tetapan boltzman mass=6.63e-26; %massa atom argon
density=1.78; %rapat massa atom argon L=1e-6; %panjang sistem
xwall=[0 L]; %posisi dinding volume=L^3;
eff_num=(density/mass)*volume/npart;
fprintf('satu partikel simulasi=%g atom\n',eff_num); mfp=1/(sqrt(2)*pi*diam^2*density/mass);
fprintf('lebar sistem adalah %g dari jalan bebas rata2/n ',L/mfp);
mpv=sqrt(2*boltz*T/mass); %kecepatan awal
vwall_m=input('masukkan kecepatan dinding sebagai bil.mach: ');
vwall=vwall_m*sqrt(5/3*boltz*T/mass)*[-1 1]; fprintf('kecepatan dinding %g dan %g
m/det\n',vwall(1),vwall(2));
x=L*rand(npart,1); %memberi nilai pada posisi
v=mpv*sqrt(-log(ones(npart,3)-rand(npart,3))).*sin(2*pi*rand(npart,3));
%v adalah kecepatan thermal dengan bilangan acak Gaussian v(:,2)=v(:,2)+vwall(1)+vwall(2)-vwall(1)*(x(:)/L);
plot(v,x);xlabel('posisi');
ylabel('jalan bebas rata-rata'); end
(64)
List Program Potensial Lennard Jones
%grafik fungsi y=4*lennard*den/den*2^1/6 lennard=0.625;
den=1,78;
x=den/den*2^1/6; k=0;
for n=1:2:7 n10=10*n;
x=linspace(-2,2,n10); y=4*lennard*(x.^12-x.^6); k=k+1;
subplot(2,2,k) plot(x,y,'r')
title(['plot fungsi dengan banyak data n= ',num2str(n10)])
axis([-2,2,-.8,.8]); xlabel('R(A)');
ylabel('interaksi potensial LJ'); grid
(1)
BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
1. Pada distribusi laju partikel (hasil sub-bab 4.1), apabila interval laju ∆ V pada suatu titik mencapai maksimum, maka kecepatannya kemudian akan berkurang secara asympotik menuju nol.
2. Jalan bebas rata-rata dihubungkan kepada ukuran molekul dan banyaknya molekul persatuan volume yang bertabrakan satu dengan lainnya sehingga membentuk lintasan acak/random (hasil sub-bab 4.2)
3. Jarak pisah antar atom dalam molekul Rij memiliki nilai tertentu yaitu , nilai yang lebih jauh dari nilai tersebut dapat diabaikan sehingga mengurangi jumlah perhitungan dan ketelitian, namun grafik menunjukkan bahwa kontribusi atom pada potensial berbanding terbalik secara eksponensial terhadap jarak sehingga metode ini dapat diterima. 4. Dengan menggunakan persamaan potensial lennard jones (hasil sub-bab
4.3), tidak perlu mengkalkulasi gerakan seluruh atom (ribuan atau jutaan atom), karena hanya dengan melibatkan ratusan atom saja kita sudah dapat mengamati bagaimana dunia atomik berinteraksi.
5.2 Saran
1. Dilakukan modifikasi simulasi agar dapat melihat pengaruh parameter lainnya seperti suhu dan tekanan.
2. Penyempurnaan pada program pendukung untuk menampilkan hasil yang lebih sempurna
(2)
DAFTAR PUSTAKA
Haile, J.M.1992. Molecular Dynamics Simulation: Elementary Methods, John Wiley& Sons, Inc.
Huang, Kerson.1987. Statistical Mechanics. John Wiley & Sons, Inc.
Witoelar, Aree. 2002. Perancangan dan Analisa Simulasi Dinamika Molekul Ensemble Mikrokanonikal dan Kanonikal dengan Potensial Lennard Jones, Tugas Akhir. Institut Teknologi Bandung
S, Budi Sutedjo. 2004. Algoritma dan Teknik Pemrograman. Edisi ketiga.Yogyakarta: Penerbit Andi.
Etter, M Delores.2003. Pengantar matlab 6. PT INDEKS Kelompok. Jakarta: GRAMEDIA.
Reif, F.1965. Fundamentals of Statistical and Thermal Physics, McGraw-Hill Publishing Company
Suarga. 2007. Fisika Komputasi, Solusi Problematika Fisika denganMatlab, edisi pertama. Yogyakarta: Penerbit Andi.
Hedman, Fredrik. 2006. Algorithms for Molecular Dynamics Simulations, advancing the Computational Horizon. Stocholm University.
Perangin-angin, Kasiman. 2006. Pengenalan Matlab. Yogyakarta: Penerbit Andi. Fahmi, Mahuddin. 1999. Perancangan Perangkat Lunak Simulasi Dinamika Molekul
dengan model Potensial Lennard Jones. Tugas Akhir.
Halliday, David. 1998. Fisika. Jilid 1. Edisi ketiga. Jakarta: Penerbit Erlangga Krane, Kenneth. 1992. Fisika Modern. Cetakan I. Jakarta: Penerbit Universitas Indonesia(UI-Press).
(3)
LAMPIRAN
List program 1 histogram distribusi kecepatan awal partikel
%list program gerak molekul-distribusi kecepatan %inisialisasi variabel
rand('seed',1);
npart=input('masukkan jumlah partikel:'); boltz=1.3806e-23; %tetapan boltzman mass=6.63e-26; %massa atom argon diam=3.66e-10; %diameter atom argon T=273; %suhu kelvin
density=1.78; %rapat massa atom argon L=1e-6; %panjang kotak 1 mikron eff_num=density/mass*L^3/npart;
fprintf('setiap partikel mewakili %g atom\n',ceil(eff_num));
v_init=sqrt(3*boltz*T/mass); x=L*rand(npart,1);
v=zeros(npart,3);
v(:,1)=v_init*(1-2*floor(2*rand(npart,1))); ncell=15;
tau=0.2*(L/ncell)/v_init; vrmax=3*v_init*ones(ncell,1); selxtra=zeros(ncell,1);
coeff=0.5*eff_num*pi*diam^2*tau/(L^3/ncell); vmag=sqrt(v(:,1).^2+v(:,2).^2+v(:,3).^2);
vbin=50:100:1050; %histogram distribusi kecepatan awal hist(vmag,vbin);title('distribusi awal kecepatan'); xlabel('laju partikel');ylabel('jumlah partikel'); end
(4)
List program 2 histogram distribusi kecepatan partikel pada berbagai time step
%dsmc01-algoritma DSMC untuk simulasi kecepatan partikel %inisialisasi variabel
rand('seed',1);
npart=input('masukkan jumlah partikel:');
boltz=1.3806e-23; %tetapan boltzman
mass=6.63e-26; %massa atom argon
diam=3.66e-10; %diameter atom argon
T=273; %suhu kelvin
density=1.78; %rapat massa atom argon
L=1e-6; %panjang kotak 1 mikron
eff_num=density/mass*L^3/npart;
fprintf('setiap partikel mewakili %g atom\n',ceil(eff_num)); v_init=sqrt(3*boltz*T/mass); x=L*rand(npart,1); v=zeros(npart,3); v(:,1)=v_init*(1-2*floor(2*rand(npart,1))); ncell=15; tau=0.2*(L/ncell)/v_init; vrmax=3*v_init*ones(ncell,1); selxtra=zeros(ncell,1); coeff=0.5*eff_num*pi*diam^2*tau/(L^3/ncell); vmag=sqrt(v(:,1).^2+v(:,2).^2+v(:,3).^2);
vbin=50:100:1050; %histogram distribusi kecepatan awal hist(vmag,vbin);title('distribusi awal kecepatan'); xlabel('laju partikel');ylabel('jumlah partikel'); pause;
coltot=10%jumlah tabrakan
nstep=input('jumlah selang waktu:'); for istep=1:nstep
x(:)=x(:)+v(:,1); x=rem(x+L,L); %sortir partikel
%proses tabrakan partikel
[v,vrmax,selxtra,col]=colide(v,ncell,... vrmax,tau,selxtra,coeff);
coltot=coltot+col;
vmag=sqrt(v(:,1).^2+v(:,2).^2+v(:,3).^2); hist(vmag,vbin);
string=sprintf('sudah %g dari %g langkah; %tabrakan',... istep,nstep,coltot); title(string);xlabel('laju partikel') ylabel('jumlah partikel'); pause(1); end vmag=sqrt(v(:,1).^2+v(:,2).^2+v(:,3).^2);
(5)
string=sprintf('distribusi akhir,waktu=%g det',nstep*tau);
%distribusi akhir dari kecepatan partikel hist(vmag,vbin);title(string);
xlabel('laju partikel');ylabel('jumlah partikel') grid on
return end
List Program Jalan Bebas rata-rata (gerak random)
%Gerak random
%inisialisasi variabel rand('seed',1);
npart=input('masukkan jumlah partikel yang akan disimulasi: ');
T=273; %suhu awal
diam=3.66e-10; %diameter atom argon boltz=1.3806e-26; %tetapan boltzman mass=6.63e-26; %massa atom argon
density=1.78; %rapat massa atom argon L=1e-6; %panjang sistem
xwall=[0 L]; %posisi dinding volume=L^3;
eff_num=(density/mass)*volume/npart;
fprintf('satu partikel simulasi=%g atom\n',eff_num); mfp=1/(sqrt(2)*pi*diam^2*density/mass);
fprintf('lebar sistem adalah %g dari jalan bebas rata2/n ',L/mfp);
mpv=sqrt(2*boltz*T/mass); %kecepatan awal
vwall_m=input('masukkan kecepatan dinding sebagai bil.mach: ');
vwall=vwall_m*sqrt(5/3*boltz*T/mass)*[-1 1]; fprintf('kecepatan dinding %g dan %g
m/det\n',vwall(1),vwall(2));
x=L*rand(npart,1); %memberi nilai pada posisi
v=mpv*sqrt(-log(ones(npart,3)-rand(npart,3))).*sin(2*pi*rand(npart,3));
%v adalah kecepatan thermal dengan bilangan acak Gaussian v(:,2)=v(:,2)+vwall(1)+vwall(2)-vwall(1)*(x(:)/L);
plot(v,x);xlabel('posisi');
ylabel('jalan bebas rata-rata'); end
(6)
List Program Potensial Lennard Jones
%grafik fungsi y=4*lennard*den/den*2^1/6 lennard=0.625;
den=1,78;
x=den/den*2^1/6; k=0;
for n=1:2:7 n10=10*n;
x=linspace(-2,2,n10); y=4*lennard*(x.^12-x.^6); k=k+1;
subplot(2,2,k) plot(x,y,'r')
title(['plot fungsi dengan banyak data n= ',num2str(n10)])
axis([-2,2,-.8,.8]); xlabel('R(A)');
ylabel('interaksi potensial LJ'); grid