Amrinsyah Analisis Struktur Metode matri

1.1 Portal 1

1.2 Rangka 3

1.3 Bentuk Struktur Rangka 5

1.4 Bcban Luar 6

1.5 Analisis Beban 17

1.6 Spesifikasi Pembebanan pada Jembatan dan Jalan 21

1. 7

Soal-soal 30

2 Portal Bidang 39

2.1 Enersi Regangan Akibat Momen Lentur dan Gaya Normal 39

2.2 Persamaan Diferensial Pcnentu Elemen Balok 43

2.3 Derajat Kebebasan dan Matrik Kekakuan Struktur 47

2.4 Koordinat Lokal dan Koordinat Struktur 51

2.5 Vektor Beban Ekivalen (P) 58

2.6 Solusi [K](X} = (P} 61

2.7 Gaya-gaya dalam Elemen 65

2.8 Diagram Gaya 66

2.9 Contoh Analisis Struktur Portal Bidang 68

2. J 0

Program Komputer Analisis Struktur Rangka Bidang 104

2.1 J

Program Komputer Portal Bidang 131

2.12 Soal-soal 141

3 Rangka Bidang 147

Wilayah Gempa 3

0.80 -- - --- - - ---- T-

-- - r

- ---- --- ,

--- -

----.. .........- 0) u

�, / tanah sedang -- --

0.30 "' ... - ...

... 'i" :

tan a� keras

0.20 J ___ _ ------- .... ..._ --- 0.10!

- -- ---------_ J_- - --

Perioda T [detik]

(d) Respons Spektrum Gempa Rencana

Wilayah Gempa 4

(e) Respons Spektrum Gempa Rencana

Wilayah Gempa 5

- -�-----

- - -----+

0.1

0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 Perioda T [detik]

- ---- -- - (f) Respons

I -S � �k

trum Gempa R � nc ;��

Wilayah Gempa 6

1.00

0.90

0.80

0.70

0.60 § I 0.50

(a) Konfigurasi Portal Ruang dengan Unsur Elemen

2 Portal Bidang

Sistem struktur yang menerima beban termasuk suatu sistem energi. Pada kondisi tidak adanya beban, konfigurasi sistem mempunyai bentuk yang spesifik sesuai sistem. Apabila menerima beban, konfigurasi ini berubah posisi terhadap dudukan awalnya. Ini berarti, karena akibat gaya luar terjadi kerja luar dan energi dalam struktur.

\lengabaikan kehilangan akibat gesekan, dan faktor pengaruh lainnya, kerja luar haruslah seimbang dengan energi dalam. Keadaan ini disebut Hukum Konservasi Kerja dan Energi

yang merupakan konsep dasar analisis struktur.

2.1 Enersi Regangan Akibat Momen Lentur dan Gaya Normal Teori mengenai balok lurus didasarkan atas anggapan bahwa regangan serat memanjang

balok pada tiap-tiap penampang adalah terbagi rata secara linear. Anggapan ini disimpulkan dalam azas Navier :

"penampang melintang yang datar tetap datar, setelah menerima Dl:'ban"

Bila ditinjau penampang sembarang seperti Gambar 2. I .I berikut:

L ...... .

(7) Menentukan gaya-gaya dalam ujung elemen Elemen

x·. = X'1

0 0 {x}l = 0

7 {tl}, = [T], {x}, = -0.001778

0.00782

-0.00077 8 -0.01088

0.00301

9 0.00301

15.751

163.075 178.826

11.252

11.373 22.625

{FL ={FE}1 +[S]I{L'lL 107.136

32.265

74.871

15.751

-163.074 -147.324

11.252

-11.373 -0.121

-32.265

120.796 88.531

X Gambar 3.5.2a

Derajat kebebasan elemen terhadap koordinat batang

P,, X,

X Gambar 3.5.2b

Derajat kebebasan elemen terhadap koordinat struktur

Penyusunan data input program komputer bagi contoh soal

W/2 · ... ·

2.5m 2.8m

0.1 w

z,Z

[T]T[S][T] merupakan transformasi

Perkalian matrik

matrik kekakuan elemen [S] menjadi matrik kekakuan elemen pada sistem koordinat struktur. Dinamakan hasil

perkalian sebagai matrik kekakuan elemen [k]111 = Hasil perkalian unsur ketiga matrik merupa

X6.P6

[T]T[s][T].

kan unsur matrik [k]111, seperti dijelaskan pada tabel 4.2. I. lndeks dalam kotak persegi I, 2,

5, 6 menyatakan

besaran arah positip gaya dan perpindahan kedua ujung elemen dalam sistem koordinat struktur/global.

x4,P4

. . ... . X

IT]

[I]

IT] [

--' cos 8 + --' sin 8 2 4EI 2 (GI, -----· 4El,). sin8cos8

6EI, . O

--'cos 8+-sin 8 2 2EI . 2

(GI - --' + --' sin8cos8

2EI ) 6EI, .

Sin

- --· sinS

6EI, -' ---' sin8cos8

--sin +--cos 8 2e cos8

---cos 8+--· sin 8 - --+ 2 2EI, . 2 --cos8

sin8cos8

e e3 c2 e €

j}J

12EI, --'sinS

[k]m

sinS £

---' cos8 (2

- ' sinS

t 2 c-

4EI, J

4EI, --' cos-8+-sm 2EI . 2e

- --+--· sin8cos8

--·sinS

--' cos-e + --· sin-e

-- ' ---·

sin8cos8 -( ' sinS

f. f. e e 2 (GI

e {2

IT] O

(GI, --- --· 4EI,).

e e t (2' cos 6El, .

--' sin8cos8

---cos 8+--· sin 8

---· sm8

sin0cos8

[I]

--' cos8

Tabel 4.2.1 Matrik kekakuan elemen [k]m pada sistem koordinat struktur/global

216 Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

4.3 Matrik Kekakuan Struktur [K]s Matrik kekakuan elemen [k ]m menjadi bagian dari penyusunan unsur matrik kekakuan

struktur [K]. Meninjau penyusunan unsur matrik kekakuan struktur d i titik kumpul 8, maka prosedur menggabungkan indeks unsur kekakuan elemen [k]m dengan sebutan derajat kebebasan struktur haruslah ditetapkan dari posisi indeks derajat kebebasan elemen. Untuk elemen 6 indeks unsur elemen 4, 5, dan 6 sama dengan indeks derajat kebebasan 1 3, 1 4, dan

1 5; sedangkan bagi elemen 7 indeks unsur elemen dan sama dengan indeks derajat I, 2, kebebasan struktur 1 3, 1 4, dan 1 6. Pesamaan [ 1 - 3 7] menjelaskan posisi indeks elemen dengan indeks struktur di titik kumpul 8.

,.� .b1dang ·-· -· -- -· -··- X-Y ... . ....

I . ......

/./'

X1, /1

.. -··- .. �/..,../

!A !A � � &� --- indeks derajat kebebasan struktur

[1] 0 QJ � � 0 ---indeks derajat kebebasan elemen kll k12 ku kl4 kl\ klh

�[I]

�0 k21 k 22 k23 k24 k25 k26 k11 k,2 k]] k34 k]j k,6 [k]2

K = = �0 kekangan

k41 k42 k43 k44 k4, k46 �0

�0 k,l k,2 k 53 k,4 k,, k,6 �0 k61 k62 kh3 k64 k65 k66

+--- &6 indeks derajat kebebasan struktur �& ��

+--- [i] 0 indeks derajat kebebasan elemen 0 � � �

k,, k 12 kl3 k,4 �[I] k,s kl6

&0 k 21 k 22 k 21 k 24 k 25 k 26

k]] k14 [k]5 k15 k16 &0 k11 k12

= LJ1. 0 k41 k42 k41 k44 k45 k46

k51 k52 k 51 k54 �0 kss k56 &0 k61 k62 k6] k64 k65 k66

&6 �� &� +--- indeks derajat kebebasan elemen

+--- indeks derajat kebebasan struktur

kll kl2 kl3 kl4 �[I] k 15 kl6

&0 k21 k22 k 2.1 k24 k25 k26

[k ]7 &0 kll k12

k" ,L1 k14 k35 k36

= &0 k41 k42 k4] k44 k45 k46

ks1 ks2 k 51 k54 �0 kss k56 k61 k(,2 k6] k(>4 �0 k65 k66

Berdasarkan persamaan ( 4 - 4) unsur K ; 1 bagi derajat kebebasan di titik kumpul 6 adalah :

K66 = k ( � 6 + k � 6 + k i l + k i J K67 = k ( i 2 + k i J K6s = k ( i , + k J , } Kn = k ( � 2 + k i J

K78 = k � , + k i ,

) Kss =

( � 3 + ; 3 ) K76 = K67; Ks6 = K6s·

Unsur matrik

k' IJ

dihitung menggunakan persamaan pad a Tabel 4.3 . I , dengan 8elemen sesuai

posisi elemen terhadap absis -X koordinat struktur.

&. &. £

IKII K12

K12o XI PI K21 K22

K16

Ki7

K1s

K26

K27

K28

K22o Xz P2

x 6 p6 K"1 K"2

K66=

K67=(ki2 . + kiz) K6s=(ki3 + k �

K ,2 o

( ' 4 \ 7) k�6 + k66 + kll + kll

(4 -

K11 Kn K7<>=(ki2 + kiz} Kn=(k;2 + kiz}

K12o x7 p7 Ks1 Ksz

Ks6

Ks7=(k�3 + k;J Kss=(k�3 + kU

Kszo Xs l's

K2o2

K2o6

Kzo7

Kzos

Kzozo Xzo

K2o1

P2o

4.4 Vektor Beban Ekivalen {P}

cose sine 0 0 0 0 P FOI 1

- sine cose 0 0 0 0 o

Fo2 0 0 0 0 0 P03 Po2 atau

Fo, 0 0 0 cose sin e 0

{FoL, =[T]{P0},

Fo4 0 0 0 -sine cos 8 0 Po4 Fos 0 0 0 0 0 Pos

(4- 9)

Fo6

Po6

Mengalikan kedua suku dengan matrik invers [Tr1, mengingat matrik tnvers [Trl [T]r, maka :

cose - sine 0 0 0 o 0

0 0 0 0 Fol Po2 Pm 0 0 I 0 0 0 F02

sine cose

Fo, {PaL, {FoL, 0) Po4 Pos 0 0 0 sine cose 0 Fo4 = [Tr

0 0 0 cose - sine 0 a tau

(4 - I

0 0 0 0 0 Fos Fo6

Po6

Dengan menetapkan vektor {P L, bagi setiap elemen berdasarkan kontigurasi be ban luar yang bekerja, unsur vektor

0 d igunakan mendapatkan matrik gaya ekivalen { P } sistem

{P0} m

struktur. Apabila ditetapkan ( Ph sebagai matrik gaya ekivalen berdasarkan beban l uar yang bekerja ditengah bentang, dan matrik gaya { P }J sebagai akibat bekerjanya be ban luar di titik kumpul, maka :

{P} {P} E +

{P}

Menjelaskan penyusunan matrik { P } , d itinjau perakitan gaya titik kumpul ekivalen di titik kumpul 6. Elemen batang 2 d i bebani beban P terpusat, titik kumpu l 6 menerima gaya

F�4,F�,,F�6, sedangkan elemen 4 dibebani beban merata q1, dari element 5 beban merata F�4,F�,,F�6, sedangkan elemen 4 dibebani beban merata q1, dari element 5 beban merata

c � se - sin8

P05 = - sm8 cos8 0 Fos

P02 = - s1118 cos8 0 Fo2

(4 - l l b)

Po6

5 Fo6 -) Po, 7

0 0 I 0 0 I Fo, 7

7 Fo6 Fos 7 Fo4

4 Fo3

4 Fo6

Fo1

Gambar 4.4.2 Vektor gaya ujung kondisi terkekang

Dengan demikian besarnya gaya bagi kesei mbangan di titik kumpul 6 (Gambar 4.4.3) :

4.6 Gaya-Gaya Dalam Elemen Has i l solusi ( X} digunakan untuk mendapatkan besarnya gaya-gaya dalam uj ung elemen dan

reaksi perletakan. Unsur matri k { X } merupakan data bagi perhitungan. Apabila ditinjau elemen 4 pada Gambar 4.6. 1 , maka kedua ujung elemen yang mempunyai derajat kebebasan

yang sama dengan derajat kebebasan struktur adalah :

Gambar

lndeks derajat kebebasan struktur dan elemen

[1] 0 [3] � � [6] X

p4 I kll P, �CO kl2 kl3 kl4 kl5 kl()

� = X,

80 p4

k21

k 22 k23 k24 k25 k26 xi= x4 p �

k,, k32 k33 k,4 k,s k36 X 3 =X5 4

eo se - sine

0 0 0 0 PI

F2 sine eo se

0 0 0 0 p2

F3 0 0 I 0 0 0 p3

(4 - 1 5)

0 0 0 eo se

- sine

F4 0 p4

0 0 0 sine

eo se

0 Ps

0 0 0 0 F6 4 0

p6 4

besarnya gaya dalam rencana e lemen pada kedua ujung adalah :

Ts-6 Fl FET; Ms-6

F2 FEQ;

Os-6 F, FEM; + FET

(4 - 1 6)

Tr,-s

F4 .I

M6-s Fs FEQ .I

F4 06-5 4 F6 4 FEM J 4

Gambar

Gaya-gaya Ujung Elemen

4.7 Contoh Diketahui struktur grid seperti gambar di bawah ini.

,_18000 - ,,--, 1- --

Parameter dan sifat unsur : E = 20000 M pa; u = 0.25

Pembebanan struktur sebagai berikut :

jepit

Gambar 4.7.2 Pembebanan struktur kisi (grid)

Anal isis g rid u ntuk s istem stru ktur dilaku kan melal u i p roses :

1 . Menentukan parameter penampang/analisis penampang

2. Menetapkan derajat kebebasan struktur

3. Menghitung matriks kekakuan struktur elemen [S]m

4. M enjabarkan matriks kekakuan elemen [k ]111 terhadap sumbu struktur

5. Merakit matriks kekakuan struktur [k]s

6. M enjabarkan vektor beban elemen { F o } m

7. Merakit vektor beban bentang elemen {P} m

8. Menyusun vektor beban titik kumpul

9. Merakit vektor beban struktur {P}s

Derajat Kebebasan Struktur R4

Gambar 4.7.3 lndeks derajat kebebasan struktur

E 20000 MPa

A 2 1 0000 mm'

1 10182,34 mm

a lpha

6 , 300E+09 mm'

5 , 4 5 4 E+09 mm4

5 , 04 N /mm

( be r a t s endiril

4 5000 N /mm

( beban s e g i t i ga )

[T]Tl

CV G)

-1,778E+10 -6,315E+06 -2,769E+10 2,796E+10

3,927E+10

-2,769E+10 6,315E+06

1, 642E+10

5,156E+06 [k],

-5,156E+06 -1,778E+10 9,161E+09

6,315E+06 -5,156E+06 1,432E+03

6,315E+06

-5,156E+06 -1, 432E+03

-2, 769E+10 -6,315E+06 -1,778E+10 9,161E+09

1, 642E+10

-1,778E+10 6,315E+06

3,927E+10

-5,156E+06 -2,769E+10 2,796E+10

5,156E+06

-6,315E+06 5,156E+06

-1,432E+03 -6,315E+06 5,156E+06

1,432E+03

Elemen 2

b 3 50 rrun

h 600 rrun

E 2 0000 MP a

A 2 10000 rrun" L

4 8 14 , 33 rrun alpha

I 6 , 3 00E+09 rrun'

5 , 04 N/rrun

(berat s endi r i )

1 0000 N-m/m ( beban tors i )

9, 063E+09

-9, 063E+09

1, 047E+ll

5,2344E+l0

I 262E+07

5,234E+l0

-3,262E+07

1,047E+ll

3, 262E+07

-1,35SE+04

3,262E+07

1,355Ev04

-9,235E+09 -2,825E+07 -1,438E+10

7,879E+10

-1,438E+10 2, 825E+07

3,898E+10

9,954E+09

-5,664E+06 -9,235E+09 -5,219E+09 5,664E+06

[k], 2,825E+07

2,825E+07 -5,664E+06 -1. 355E+04 3,898E+10

-5,664E+06 1,35SE+04

-9,235E+09 2,825E+07

7,879E+10

-1. 438E+10 -2,825E+07

-9,235E+09 -5,219E+09 -5,664E+06 -1. 438E+10 9,954E+09 5,664E+06

-2, 825E+07 5,664E+06 -1,3SSE+04 -2,825E+07 5,664E+06 1,355E+04

1 , 3 84E+l 0

8 , 64 N/mm . ( berat sendiri )

N/mm . ( beban mer a t a l

0 1, 25821E+ll 4,886E+07

[S],

0 -48860589,81 -12649.52721 -1,433E+10

0 -4,886E+07

1,265E+04

0 0 1,433E+10

0 1. 258E+ll

-4,886E+07

2, 516E+ll 48860589,81

0 4,886E+07

-1.265E+04

4,886E+07 1,265E+04

(T]T3

8 , 6 4 N/mm

( berat sendiri )

200000N

(beban terpu s a t )

[T]T,

G G)

1,5549E+11 7,462E+07

1,771E+l0

0 1. 771E+10

0 1. 555E+ll

-7, 462E+07

3, llOE+ll 74620890,69

0 7,462E+07

-2, 387E+04

7,462E+07 2,387E+04

[T]Ts

1,544E+10 -7, 298E-02 1,989E-05 -1,544E+10 -4,310E-02 -1. 989E-05

-7,298E-02

2,710E+11

-6,966E+07 -4,310E-02 1. 355E+ll 6,966E+07

[k],

1. 989E-05

-6,966E+07 2,387E+04

1,989E-05

-6,966E+07 -2,387E+04

-1, 544E+10 -4,310E-02 1,989E-05

1,544E+10

-7,298E-02 -1,989E-05

-4,310E-02 1. 355E+11 -6,966E+07 -7, 298E-02 2, 710E+ll 6,966E<-07

-1,989E-05

6,966E+07

-2,387E+04 -1,989E-05 6,966E+07 2,387E+04

Pera kitan matriks kekakuan struktur

1 ,249E+10 -5,906E-02 -1 ,249E+10 -3,488E-02 -1 ,302E-05 O,OOOE+OO O,OOOE+OO O,OOOE+OO O,OOOE+OO O,OOOE+OO -5,906E-02 2,193E+11 -3,488E-02 1 ,097E+11 4,562E+07 O,OOOE+OO O,OOOE+OO O,OOOE+OO O,OOOE+OO O,OOOE+OO

2 -1,249E+10 -3,488E-02 7,028E+10 -2,769E+10 -6,315E+06 -1,852E+10 -5, 172E-02 -2,864E-05 O,OOOE+OO O,OOOE+OO

3 -3,488E-02 1 ,097E+11 -2 769E+10 5,725E+1 1 -4.952E+07 -5.172E-02 1 ,626E+11 1,003E+08 O,OOOE+OO O,OOOE+OO

-1,302E-05 4,562E+07 -6,315E+06 -4,952E+07 5,532E+04 2,864E-05 -1 ,003E+08 -4,124E+04 O,OOOE+OO O,OOOE+OO

5 O.OOOE+OO O,OOOE+OO -1,852E+10 -5, 172E-02 2.864E-05 1.128E+11 -1,438E+10 -2,825E+07 -1,544E+10 -4,310E-02

[K] s

6 O,OOOE+OO O.OOOE+OO -5,172E-02 1,626E+11 -1 ,003E+08 -1,438E+10 6,062E+11 3,629E+07 -4,310E-02 1,355E+11

O,OOOE+OO O.OOOE+OO -2,864E-05 1,003E+08 -4,124E+04 -2,825E+07 3,629E+D7 7,866E+04 1,989E-05 -6,966E+07 O,OOOE+OO O,OOOE+OO O,OOOE+OO O,OOOE+OO O.OOOE+OO -1,544E+10 -4,310E-02 1,989E-05 1,544E+10 -7.298E-02 O,OOOE+OO O,OOOE+OO O.OOOE+OO O.OOOE+OO O,OOOE+OO -4,310E-02 1.355E+1 1 -6.966E+07 -7,298E-02 2,710E+11

invers matriks kekakuan struktur

& & 1,042E-10 -6,128E-12 2,412E-11 & 4,399E-13 2,841E-08 1,092E-11 2,754E-12 2,041E-08 1,092E-11 3,869E-12

-6,128E-12 1,146E-11 -6,128E-12 -9.192E-13 -3,096E-08 -7,191E-12 -3,151E-12 -1,915E-08 -7,191E-12 -3,346E-12

2.412E-11 -6,128E-12 2,412E-11

4,399E-13 2,841E-08 1,092E-11 2,754E-12 2,041 E-08 1,092E-1 1 3,869E-12

4 4,399E-13 -9.192E-13 4,399E-13 3,217E-12 -3.315E-09 -2,306E-12 -6,037E-13 -7,927E-09 -2,306E-12 -1,736E-12

2.841E-08 -3,096E-08 2,841E-08 -3.315E-09 1,568E-04

4,012E-08 1.660E-08 1,111E-04 4,012E-08 2,026E-08

[K] s

1,092E-11 -7,191E-12 1,092E-11 -2.306E-12 4,012E-08 2,385E-11 3,835E-12 3,764E-08 2,385E-1 1 7,756E-12

6 2.754E-12 -3,151E-12 2,754E-12 -6,037E-13 1,660E-08 3,835E-12 3,997E-12 9,370E-09 3,835E-12 4,100E-13

2,041 E-08 -1.915E-08 2,041 E-08 -7.927E-09 1,111E-04 3,764E-08 9,370E-09 1,115E-04 3,764E-08 2,397E-08 1,092E-11 -7,191E-12 1,092E-11 -2.306E-12 4,012E-08 2,385E-11 3.835E-12 3,764E-08 8,862E-1 1 7,756E-12

3,869E-12 -3,346E-12 3,869E-12 -1.736E-12 2,026E-08 7,756E-12 4,100E-13 2,397E-08 7,756E-12 9,646E-12

.::J,

Q. N

w ..

Perakitan vektor beban struktur

Gaya Dal am U j ung Aki bat

Gaya Dal am U j ung Akibat

Vektor Beban

Berat Sendi r i

trans forma s i O , OOOE+OO

Beban Luar

O , OOOE+OO

[P)

O , OOOE+OO

5 Gaya Dal am Uj ung Akibat

1,146E+08

Gaya Dalam U j ung Akibat

Vektor Beban

Berat Sendi r i

transformasi O , OOOE+OO

Beban Luar

O , OOOE+OO

1 , 9 1 6 E +07

2 1 , 2 1 3 E+ 0 4 [F) R = O , OOOE+OO

1, 213E+04

O , OOOE+OO

O , OOOE +OO

2 , 2 54 E + 07

1, 213E+04

O , OOOE+OO

1, 213E+04

Gaya Da l am U j ung Aki ba t

Vektor Beban P Berat Sendi r i

Gaya Dal a'm Uj ung Akibat

trans f ormas i O , OOOE+OO

Beban Luar

1 - 4 , 2 97E+07

O , OOOE+OO

3 1,352E+08 R [F)

3 , 3 37E+ 0 4

1,352E+08

O , OOOE+OO

[P)

O , OOOE+OO

Gaya Dalam Ujung Akibat

Vektor Beban P Berat Sendi ri

Gaya Dal am Uj ung Akibat

tran s f ormasi O , OOOE+OO

Beban Luar

3 - 1 , 954E+07

O , OOOE+OO

3 , 993E - 0 5

- 1 , 3 98E+08 4 2,251E+04

- 1 , 3 03 E + 0 8

5 , 2 1 0E + 0 8 [F)

[ P) 4 O , OOOE+OO 5 O , OOOE+OO - 3 , 993E- 05 6

5,210E+08

[P)

Pera kitan vektor beban struktur

Gaya da l am u j ung akiba t

Vek tor beban P berat sendiri

Gaya da l am uj ung akibat

trans formas i O , O O OE + O O

beban luar

1,263E+12 R - 4 , 3 5 5£+07

O,OOOE+OO

-1, 031E+12 R

1, 146E+08 R [F]

O,OOOE+OO

[P]

O,OOOE+OO

Gaya d a l am u j ung akibat

Vektor beban P berat send i r i

Gaya dal am u j ung akibat

beban luar

trans f orma s i

1 , 2 6 1£+07 R - 9 , 73 5£+06

O,OOOE+OO

1 , 91 6£+07 R

1 , 2 1 3£ + 0 4 [F]

1 , 2 1 3£+ 0 4 R O,OOOE+OO

O,OOOE+OO

8 Gaya dalam u j ung akiba t

O,OOOE+OO

Vek tor beban P berat sendiri

Gaya dalam u j ung akibat

beban l uar

trans f orma s i

1 - 4 , 2 97£+07

O,OOOE+OO

O , O O OE+OO

[P]

O,OOOE+OO 3

5 Gaya d a l am u j ung akibat

Vektor beban P berat sendiri

Gaya da l am u j ung akibat

beban luar

trans f orma s i

3 - 1 , 954£+07

O , O O OE+OO

4 - 3' 993£- 0 5 6

Vektor Beban Ekivalen {P}s

4,641E-02

-1, 625E+ll

-1,263E+l2

1,1 9 3 E + l2

(P} s -4,25 0E+06

7,7 0 8 E + 0 8

- 7,587E +l0

5, 992E+OR

Vektor perpindahan

-6,l2RE-l2 2, 4l�E-1J

l'}';)E-13

x, 4, 611E-02

9l�E-OR

-l,"l46E-l2 X-' -1,625E+ll

X3 -1, 26JE+] 2 ' 3:1%-13

�LE-11

L0'J2E-lL

x, 1, 193E+12 2' �41£-08

-9,192£-13

J,2l'E 12 -J HSE-09

-3' 096£-08 ,', �4lE-OR

-3,315£-09

l,S6RE-04

4, Ol�E-OR

4,0UE-OR

.<,026E-OR Xc 7,708E+OH

l')lE " x, -4,250E+06 2,-54£-12

Xo -"1,587E+l0 -l.9l5E·OR

3, 1 � lE-12 �. 754£-U

6,03�£-U

J,H35E-l2

3, 9�-E-12

9,3-oE-09

3, H]�E-12

2,3:.-,E-OH x, 5,99�E+08 l.092E-ll

92'£-09

l, lllF> 04

],764£-0R

9,370£-09

L,llSE-04

3 .. 64£-08

X9 -2, 171E-02 -3,346E·U

-7,J91E-U

3' �35£-12

3,764£-0R

2,B"7E-OR

',-s&E-12

9,646E-l2 x, 7,603E+ 10

Solusi persamaan ini menghasilkan nilai vektor perpindahan {X}

5,277E+OO --l,OSBE+Ol

�,277E+00

Perpindahan ujung elemen

Gaya-gaya dalam ujung sumbu struktur

Perpindahan ujung elemen

sumbu lokal

elemen

0, OOOE+OO

2.078+12 0, OOOE+OO

0, OOOE+OO

R 0, OOOE+OO

0, OOOE+OO

2. BOE+OB {X)_

UJ,

0, OOOE+OO

{f-<'}1

5, 277E+00

3,038E-01 -7, 369E+OO

4. 99E+ll 1, 530E+05

1,530E+05

0, OOOE+OO

2 "07E+12 0, OOOE+OO

0, OOOE+OO

-2.58E+ll 0, OOOE+OO

0, OOOE+OO

6.438+08 R {X)'

O,OOOE+OO

6.14E+ll 1, 445E+Ol

-2.80E+ll 1,215E+05

5, 277E+OO

-3,058E+01

-2,854E+Ol

4.95E+08 R {X)'

0, OOOE+OO

{"'J

{F)j

7.418-01 -3,958E+00

5, 277E+OO

4, 926E+OO

-2.59E+l2 1,

-3, 69SE+OO

5, 277E+OO 6 .14E+ll -3,958E+OO

2.09E+12 1, 530E+05

2. 75E+08 (X)�

-6.14E+ll 1,445E+Ol

-8.99E+ll 1, 215E+05

7.67E+08

3,840E+Ol

-3 .36E-01 1, 445E+Ol

3,58SE+Ol

1.18E+l2 1, 215E+OS

{X}� -1.24E+08

1,21SE+OS

G a m ba r 4.7.4a

Diagram Momen Lentur

G a m ba r 4.7.4c

Diagram Tarsi

4.8 P rogram Kom puter S istem Grid Program komputer sistem struktur grid yang lengkap dirancang berdasarkan bagan alir yang

dikembangkan oleh William Weaver, Jr. dan James M. Gere, pengarang Mulrix Anu/ysis of" Frwned S!rue/ure (Second Edilion,

D. Vun Noslrund, /980).

Membuat kode program a na!isa struktur u ntu k sistem grid.

Program yang digunakan adalah Tubo Pascal for Windows v 1 .5 Dalam program ini dibuatfile�jile pembantu ( * .i nc) yang dipanggil dengan p r o c ed ur e pada program utama. Adapun.file�file yang diperlukan di dalam program ini adalah:

I. mainJJro.pas : merupakan badan program utama

2. sdatag inc : berisi prosedur input data

3. ldataginc

: berisi input data dan pengkombinasian beban titik

4. /oadg. inc : berisi prosedur ekivalensi beban titik

5. stiff'ginc : berisi perakitan matrik kekakuan

6. banfac. inc : berisi prosedur fakorisasi matrik

7. ban sol. inc

: berisi penyelesaian vektor

8. resulg. inc : berisi penulisan basi l perhitungan Sedangkan untuk input dan outputnya diletakkan pada tile text (*.txt), yaitu:

I. dt struk. txl : berisi input data struktur

2. dt load.txl : berisi input pembebanan

3. reporl.lxt : berisi laporan input beserta bas i l perhitungan. Berdasarkan bagan alir yang telah diberikan, maka kode program secara keseluruhan dapat

disusun. Kode program lengkap dapat d i l ihat pada halaman berikut.

Source code dari

file main_pro.pas

p rogram ANALISIS_GRID; uses w i nc r t;

type rn a t r i k_reall

a r r ay [1 . . 5 0 ] of real; ma t r ik_real2

array [1 . . 40,1 . .

4 0 ] of real;

matrik i n tl a r r ay [1 . .

50] o f in teger;

VAR M,N,NJ,NR,NRJ,NLJ,NLM

shortint;

NDJ , ND,MD,I,LN

sho r t i n t;

NBI , NB, Nl, JR , JE

shor t in t;

Jl,J2 , J3,Kl,K2,K3

shor t in t;

E,G,SCM1,SCM2,SCM3 , SCM4:

r e a l;

XCL , YCL,SUM,TEMP

r e a l;

dt,ld,out

K , J,IR,IC, Il,I2 , I tem

integer;

X,Y

ma t r i k_rea ll;

JJ,JK,JRL , IM, ID

m a t r ik_in tl;

EL,XI,YI,CY,CX

m a t r ik_reall;

SFF , SMS

ma t r i k_rea l2;

AC,AJ,AE , DJ , DF

m a t r ik_reall;

LML

mat rik_in tl;

AML

ma t r ik_real2;

AMD,AM, AR

ma t r i k_reall;

{$I sdatag . i nc) ($I s t if fg . inc} ($I banfac . inc} ($I lda tag . inc} ($I loadg . i nc } {$I banso l . i nc} {$I resu l g . i nc}

BEGIN c l rscr; a s s ign (out, 'repo r t . tx t'};

r ew r i t e (out}; input_data;

s usun_ma t r ik_kekakuan; faktorisas i _ma t r ik;

load data· beban_ekiv_j o int; kombinasi_beban_jo int; s o l u s i_vekto r_x; resu l t;

Source code dari file stiffg.inc

p rocedure susun_ma t r i k_kekakuan; Begin

(Kekakuan Elemen} for J:�1 to N do Begin

f or K:�1 to NB do SFF I J, K] : � 0. 0; End;

(Mengubah M a t r i k Kekakuan T i t i k Kumpul } f or I:�1 to M do Begin SCM1

G*XIII]/ELII]; SCM2

4.0*E*YIIII/ELII]; SCM3

1.5*SCM2/ELIIJ; SCM4 .- 2*SCM3/ELIII;

SMSI1, 1] :�SCM1*CXII]*CXII]+SCM2*CYII]*CYIIJ; SMSI1, 2] :�SCM1*CXII] *CYII]-SCM2*CXII] *CYIIJ; SMSI1, 3] :�SCM3*CYIIJ; SMSI1, 4] :�-SCM1*CXIII*CXII]+0.5*SCM2*CYII]*CYIII; SMSI1,5] :�-SCM1*CXIII*CYII]-0.5*SCM2*CXII]*CYIIJ; SMSI1, 6] :�-SCM3*CYIII; SMS I 2, 21 : �SCM1 *CY I I] *CY I I] +SCM2 *CX I

I I *CX I I I ; SMSI2, 3I :�-SCM3*CXIII; SMS I l : � SMS I 1 , 5 2, 4 l; SMSI2, 5] :�-SCM1*CYII]*CYII]+0.5*SCM2*CXII]*CXIIJ; SMS I 2 , 6 I : � SCM3 * C X I I l; SMS I 3, 31 : �SCM4; SMS I 3 , 4 I : � SMS I 1 , 3 I ; SMSI3, 5] :�SMSI2,3I; SMS I 3 , 6] : �-SCM4; SMS I 4 , 4 ] : � SMS I 1 , 11 ; SMS I 4 , 5 l : � SMS I 1 , 2 I ; SMS I 4, 6] : �-SMS I 1, 3];

SMS I 5 , 5] : � SMS I 2 , 2 I ; SMS I 5 , 6 l : �-SMS I 2 , 3 ] ; SMS I 6 , 6] : � SMS I 3 , 3 I ;

IMI11 :�3*JJIII-2; IMI2] :�3*JJII]-1; IMI31 :�3*JJII];

IMI4] :�3*JKII]-2; IMISI :�3*JKII]-1; IMI6] :�3*JKII];

for J:�1 to MD

Begin Il :� IMIJ];

i f (JRLII1] <� 0) then Begin

Source code dari file banfac.inc

procedure f a k t o r i s a s i_matrik; Begin

if (SFF[1,1]<=DI then Begin write l n ( 'Ma t r i k kekakuan tidak pos i t if de f i n i t i f' I;

h a l t (1); end; for J:=2 t o N do

Beg i n J1 := J- 1; J2 : = J -N B +1; if J2<1 then J2:=1;

if J 1<> 1 then Begin

f or I:=2 to J1 do Beg i n Il:= I - 1; if (I1> =J21 then Be g i n

SUM:= SFF[ I,J -I+ 1]; for K:=J2 to I1 do

SUM:=SUM-SFF[K,I-K +1]*SFF[K , J -K+1]; SFF[I,J-I+1] : = SUM;

End; End; End; SUM := SFF[J , 1];

f o r K:=J2 to J1 do Begin TEMP: = SFF[K,J -K+1] / SFF[K , 1]; SUM:=SUM - TEMP*SFF[K,J-K+1] ; SFF[K,J-K+ 1]

TEMP;

End; SFF [J , 1] : = SUM;

End; End;

Source code dari file bansol.inc

procedure so lusi_vektor_x; Begin

f or I:=l to N do Beg i n J

I -NB+1;

SUM := SUM-SFF[I,K-I+1] *DF[K] ; DF [I] : = SUM

End; End; End;

Source code dari file resu/g.inc

procedure resu l t; Begin

{Perpindahan T i t i k Kumpu1} J:=N+1;

for K:=1 to NO do Begin

JE : = ND - K + 1· i f JRL[JE] =O . O then begin J : =J-1; DJ[JE] := DF[J] ;

end else Begin

DJ [JE]

End; End; w r i t e l n {out); w r i t e l n (out , ' Perpindahan T i t i k Kump u l' I; w r i t e l n (out , ' T i t i k

DJ1

DJ2

DJ3' I;

for J:= 1 to NJ do Begin

I : 10,' DJ I 3*J I : 10 I; End;

w r i t e l n (out, J:3 , '

DJ I 3 * J- 2 I :10,'

DJ I 3 * J-1

{Aksi U j ung Elemen} wri t e ln (out); w r i t e l n (ou t , ' Aksi U j ung Elemen' I; w r i t e l n (out,' E l emen

AMS AM6' I; for I:=1 to M do

Begin J 1 : =3*JJ[ I ] - 2 ; J 2 : =3*JJ[I] -1; J3 : =3*JJ[I] ; K1 : =3 'JK I I I - 2 ; K 2 : = 3 * JK I I

I -1;

K3: = 3 'JK I I I ;

SCM1 . - G*XI[I] /EL[I] ; SCM2

4 . 0*E*YI [I] / EL[I] ; SCM3

1 . 5'SCM2 /EL[I] ; SCM4

2 . 0'SCM3 / EL[I] ;

{Perhi tungan Reaksi Peletaka n } w r i t el n (out); w r i t e l n ( out, ' Reaks i P e l e takan' I; w r i teln (out,' T i t i k Kumpu l

f or J:�l t o NJ d o Begin Jl:�3*J-2; J2:�3*J-l; J3:� 3*J; Nl :� JRL[Jl] + JRL[J2] + JRL[J3];

i f Nl<>O then w r i teln ( out,J:25,AR[Jl] :9:2,AR[J2] : 8:2,AR[J3] :8:2); End;

End;

Source code dari file /oadg.inc

proc edure beban_ekiv_j o i n t; Begin

i f NLJ<>O then Begin for I:=l to M do Begin

i f LML[I]<>O then Beg i n Jl:� 3*JJ[I]-2; J2:� 3*JJ[I]-l; J3:� 3*JJ[I]

Kl:� 3*JK[I] - 2 ; K2 : �

3 * JK [ I ] - 1 ; K3:� 3*JK[I] AE[Jl] :� AE[Jl]-CX[I] *AML[l, I]+CY[I] *AML[2, I] ; AE[J2] :�

AE[J2]-CY[I] *AML[l , I]-CX[I]*AML[2 , I]; AE[J3 ] :� AE[J3] -AML[3,I] ; AE[Kl] :� AE[Kl] -CX[I] *AML[4, I] +CY[I] *AML[S, I] ; AE[K2] :�

AE[K 2] -CY[I]*AML[4,I]-CX[I]*AML[5,I]; AE[K 3] :� AE[K3]-AML[6,I]; End; End; End; End;

Source code dari file ldatag.inc

procedure kornbinasi_beban_j o i nt; procedure kornbinasi_beban_j o i nt;

ND do Begin AJ[J]

0; AE[J]

0; AR[J]

0; End;

(Beban Titik Kumpul) if

(NLJ<>O) then Begin writeln (out,' Beban di Titik Kumpul'

writeln (out,' Titik kumpul

AJl

AJ2

AJ3' I;

readln ( ldl; for

J:=1 to NLJ do Begin readln

(ld,K,AJ[J*K-2] , AJ [ J*K - 1] ,AJ[3*K] I;

writeln (out, K:6, AJ[J*K-2] :13:2, AJ[3*K-l] :11:2, AJ[3*K ] :12:2); End;

writeln (out); (Beban Bentang)

if (NLM>O I then Begin for

J:=1 to

Begin for K:=1

AML[J , K]

End; writeln (out,' Gaya Ujung Elemen Terkekang Penuh Akibat Beban Bentang'

I; writeln (out,' Elemen

AML3 AML4 AML5 AML6' I; readln (ldl; for

AML1

AML2

J:=1 to NLM

Begin read (ld,

I,AML[1, I] ,AML[2, I] ,AML[3, I] ,AML[4, I] ,AML[5, I] ,AML[6, I]); write (out,

I:4, AML[1,I]:12:2, AML[2,I]:11:2, AML[3,I]:11:2); writeln (out,

AML[4,I] :11:2, AML[5,I] :12:2, AML[6,I] :11:2); LML [I] : =

End; End; End; closelld);

End;

Source code dari file sdatag.inc Source code dari file sdatag.inc

w r i t e l n (out, ' Koordinat T i t i k Kumpul ' ) ; w r i t e l n (out, ' T i t i k

X Y');

readln ( dt ) ; f or k:=1 to NJ do Beg i n readln (dt,J, X[J], Y[J] ) ; w r i t e l n (out,J:3, X [ J] :10:3, Y[J] :8:3 ) ;

End; w r i t e l n (ou t ) ;

{ In f o rmas i E l emen } w r i t e l n (ou t , ' In f orma s i E l emen ' ) ; w r i t e l n (out, ' E l emen

2*NDJ ; readln ( dt ) ; f or J:=1 to M do Beg i n readln (dt, I, JJ[I], JK[I], XI [I], YI [I] ) ; NBI := NDJ* (abs (JK[I]-JJ[I] ) +1 ) ;

i f (NBI > NB ) then NB:=NBI; XeL

X[JK[I]] - X[JJ[I]]; YeL

Y [JK[ I ] ] - Y[JJ[I] ]; EL [ I] : = sqrt (Xe L *XeL + YeL*Ye L ) ; ex [I]

XCL I EL [I] ; eY[I] := YCL / EL[I ] ; w r i t e (out, I:4, JJ[I] : 9, JK[I] : 9 , XI[I ] : 9 : 3, YI[I]:9: 3 ) ; w r i t e l n (out,EL[I] :10:3, CX[ I] :10:3, CY [I] :10: 3 ) ;

End; w r i t e ln (out ) ;

(Kekangan t i t i k kumpul } w r i t e l n (ou t , ' Kekangan T i t ik ' ) ; w r i t e l n (out,' T i t i k

JR1

JR2

JR3' ) ;

readln ( dt ) ; f o r J:=1 to ND do begi n JRL[J]

{ I n i s i a l i s a i l a r i k kekangan }

end ; f o r J:=1 to NRJ do Beg i n readln (dt,K, JRL[3 * K-2], JRL[3 * K- 1], JRL[3*K] ) ; w r i t e l n (out,K:3, JRL[3 ' K- 2 ] :9, JRL[ 3 ' K-1]

:R,

JRL [ 3 * K] : 8 ) ;

End ; {Indeks Perpi ndahan T i t i k Kumpu l }

N 1 : = 0;

{ In i s i a 1 i s as i }

for J

1 t o N D do

J i ka program dieksekusi maka hasilnya adalah :

Contoh : File input:

dt struk.txt

Parame t e r S t ruktur ( Jm l e l emen,DOF,j m l j o i nt , j m l reaks i tumpuan, j m l tumpuan,E,G )

80000000 Koordina t T i t ikKumpul ( N o Koord T i t i k Kumpul, Koord x, Koord y ) 1 0.0 0.0 5. 0

I n f oMember ( N o E l emen, No U j ung E l emen j, No U j ung E l emem k, Ix, Iy)

KekanganTumpuan ( N o K o o r d T i t i k Kumpul, 1=Terkekang O=Tidak terkekang )

File output

report.txt

S t ruktur nornor 3 GRID Jumlah s i stem p embebanan

Paramet er S t ruktur H N

Koord i n a t T i t i k Kump u l T it ik

X Y 1 0.000

5.000 Informas i E l emen

E l emen JJ JK

Kekangan T i t i k Titik

JR1 JR2

JR3

2 0 0 Jumlah Pembebanan

�JLJ NLM 2 0

Beban di T i t i k Kumpu 1 7 i t i k kumpu1

?erp indahan T i t i k Kumpul �i tc i k

1 O . OOOE +OO O . OOOE+OO

O . OOOE+OO

2 3 . 12 5E - 0 3 4 . 16 7 E - 04

O . OOOE+OO

5 . 3 3 7E- 0 3 1 . 848E - 0 3

1 . 66 3 E - 0 2

.::,k s i U j ung E l emen ::::l emen

?.eaksi P e l e t akan � i t ik Kumpu1

Joint

AR1

AR2

AR3

4.9 Soal - Soal

Soal 1

Pelat tebal 1 50 mm didukung oleh sistem grid balok ukuran 250/550 mm2• Bahan elemen adalah beton dengan berat volume Ybcton =

0.25, dan modulus elastisitas Eb = 20.000 M Pa. Ukuran panj ang clemcn balok seperti tergambar.

24 kN/m'. Angka Poisson u =

PERT ANY AAN :

a. Berapa derajat kebebasan struktur ? Gambar pasangan gaya/ dcfonnasi nya pada sistem.

b. Hitung sifat - sifat pcnampang clemen :

I, J,

G, dan A.

Soal 2

Pier jembatan seperti tergambar dapat di modelkan sebagai sistem grid. Beban yang bekerja adalah P =

1 25 0 kN. Dimensi penampang seperti di gambar potongan [ dalam mm]. Modulus Elastisitas bahan Eh = 20,000.00 MPa. (beton), dan angka Poisson u=

Pertanjaan :

a. Bcrapa derajat kebebasan struktur ') Gambar pasangan gaya/ deformasi nya pada sistem.

b. Hitung sifat - sitat penampang elemen : I, J, G, dan

c. Tetapkan matrik kekakuan elemen [Sli· CJJ 0 d. Tetapkan matrik kekakuan elemen terhadap koordinat

struktur [k],.

e. Rakit matrik kekakuan struktur [K]s

f. Tentukan vektor beban { Pls

H itung [K ls (X }s = { P}s untuk mendapatkan deformasi {X }s.

h. Gambar garis elastis struktur.

1. Tentukan gaya gaya dalam elemen.

Soa l 5

1 (sendi)

9 (sendi)

·. -

16 I m

'- ___ 1_1 (sen9Jl__

8@1 0 m __ 13 . - .J

Rangka portal xrid seper1i gambar merupakan konstruksi atap mezzanine beton tebal 1 00 mm. Beban h idup yang bekerja adalah beban air hujan = 1 5 kN/m2. Dimensi kerangka adalah pipa baja D 250*40. Gunakan program komputer untuk mengh itung perpindahan titik titik kumpul, reaksi perle

takan dan gaya gaya dalam rangka jembatan diatas. Modulus elastisitas semua batang E = 200,000 M Pa, angka Poisson u= 0.30.

Soal 6

SOAL 7

q, , = 2.75 kN/m'

3.5 m

Lakukan analisis struktur grid dari beton bertulang dengan beban pelat seperti tergambar.

Data : D imensi balok grid bentang 2-5-4 : 250/550 mm2; d imensi balok grid bentang

I -5 -3: 450/700 mm2. Tebal pelat beton yang menjadi bagian dari grid = 1 30 mm. Eb = 20000

M Pa. Semua perletakan grid terkekang penuh. Lakukan proses analisis dengan urutan :

a. Hitung beban pelat qpelat dan beban hidup q11 yang bekerja pada balok grid (keempat

sud ut pe I at bebas ).

b. Lengkapi penomoran titik kumpul dan penomoran derajat kebebasan struktur dalam sistem koordinat global.

c. Tentukan matriks kekakuan lokal (S]111, matriks transformasi [T], dan matriks kekakuan elemen [k]m pada sistem global struktur.

d. Rakit matriks kekakuan global struktur [K]s

e. Rakit matriks gaya nodal struktur { P} s .

f. H itung solusi perpindahan struktur dari hubungan { P} s = [K]s { X }

g. Hitung kembali gaya-gaya dalam elemen { Ph .

a. Gambar garis elastis sistem struktur.

b. Tentukan gaya-gaya dalam elemen yang terkait dengan perpindahan titik kumpul .

Soal 9

Soal 10

Pertanyaan :

a. Berapa derajat kebebasan struktur ? Gambar pasangan gaya/ deformasi nya pada s istem.

b. H itung si fat - si fat penampang elemen :

A, I" J, dan G.

5 Rangka Ruang

Transformasi Koordi nat Ruang Vektor yang menyatakan gaya, perpindahan, dan unsur elemen pada sistem struktur ruang

dapat mempunyai orientasi semharang didalam ruang. Setiap vektor dalam ruang dapat

d inyatakan dengan komponen ortogonal dalam sistem koordinat Kartesian ruang. Walaupun pem i l ihan sumbu dapat sembarang, tetapi pada analisis sistem struktur terd<!pat dua sistem sumbu yang spesifik, yaitu sistem sumbu lokal (elemen) dan sistem sumbu struktur (global).

Mengacu pada kedua sistcm i n i bagi struktur ruang, d ijelaskan hukum transformasi umum dalam ruang.

Dengan memi I ih dua si stem koordinat oriogonal seperti Gambar 5 . I, orientasi kedua si stem adalah relatif sembarang satu sama lain seperti d itunjukkan oleh tiga sisi bidang dari setiap

koordinat. Reposisi koordinat [x111,ym,Zm] ke [X,Y,Z] bergantung pada proses rotasi sumbu dalam ruang. Terdapat tiga rotasi 'independent '

yang diperlukan :

a. Rotasi 8 1 terhadap sumbu Y Koord inat [x 1 .y 1 ,z 1 ] mcnyatakan

posisi baru. Sumbu y1 sama dengan sumbu Y .

b. Rotasi 82 terhadap sumbu z1 • Sumbu z1

z, z,

merupakan SUI11bU baru akibat rotasi 8 1· Koord in at [ Xm,y2,z2] menyatakan

posisi baru. Sumbu z1 sama dengan sumbu z2.

Y.y, y,

c . Rotasi 8 3 terhadap sumbu Xm. Sumbu z1

merupakan SUI11bU barU akibat rotasi 8 1· Koordinat [xm,y2,z2] menyatakan

posisi baru. Sumbu z1 sama dengan sumbu z2.

y, Ym

Hubungan komponen vektor Gambar 5.2c Rotasi 82 dan reposisi vektor [Pxm.P2,P,,]

lP, m P,m P,m J terhadap lPx Py Pzf melalui proses ini menjadi

sin 8, - sin 82 l cos 82 0 OJl 0 I 0 1 Py � atau

0 cos 80 sin 8J -sin r 82 cos 82 l' I 0 Xy } atau � Zill .. H 0 -sin 8J cos 8J o 0 -si 181 0 � x7 � cos 81 r

Hat serupa bagi perpindahan :

l 0 0 os e , sin 82 O os 9, 0 si"9

� ym

(5 - 3)

Gamba r 5 . 3

Komponen perpindahan ruang

T ransfonnasi pada ruang digunakan untuk menetapk an hubung an unsur elemen struk tur ruang antara sistem sumbu lok al deng an sistem sumbu struk tur (global). Dalam analisis [ ] si stem struk tur rang k a d an p01 1al ruang , matrik transformasi ruang T J merupakan bagian T ransfonnasi pada ruang digunakan untuk menetapk an hubung an unsur elemen struk tur ruang antara sistem sumbu lok al deng an sistem sumbu struk tur (global). Dalam analisis [ ] si stem struk tur rang k a d an p01 1al ruang , matrik transformasi ruang T J merupakan bagian

Gambar 5.4 Elemen pada koordinat ruang

Dengan demikian :

AB2 = Jx�, + Z�, , dan bentang elernen I d inyatakan dari

, X �' + Y,�, + Z ' , ' �' .

Rotasi 0 1 dan 0 2 da lam matrik T }; dinyatakan scbagai :

zlll ( 5 - 4a )

sin e,

A B,

( 5 - 4h) dan

0, = BB, sin =

y"'

( 5 - --1-c)

X �, + Y,�, + Z�,

Bagi penampang bulat_ y rotasi

9, tidak dapat

d ide-finisik an, Ym akan tetapi i 11eng ing at g eometri penampang bulat mempunya i oroientasi sa m a

setiap arah, 0, dapat d ihilang k an. Hal khusus untuk elemen vertikal, perubahan

posisi dapat d ilakuk an d eng an dua cara. Pada G ambar 5.6a elemen yang d irebahk an

d alam bidang [X , Z] d irubah po sisinya menjadi elemen vertikal deng an pertama kali mela k ukan rotasi e2 = 90°, yang kemudian rotasi e,.

Rotasi 81 = 0 tidak d iperlukan, sebab penampang sudah bcrorientasi pada sumbu normal lokal.

Gambar 5.5. Rotasi terhadap sumbu Xm

Rotasi pcrtama 82• kemudian 83: 81 = 0 b. Rotasi pcrtama 82• kemudian 83: 81 = 0

0 o cos e, sin 82 cos e) sine , - sin82 l cos 82

(5- 6) -sin e) cos e, o

bagi elemen rang ka ruang rotasi 81 = 0, meng ing at orientasi sumbu utama penampang d alam bidang normal terhadap sumbu aksial elemen.

l . -si 82 co s82 0. 0 I j

-S�J9,

l�

I� � �

0 co s8, sin 82 co sO 0

[T ,]

[ T 1 = l -co s81sin82 cose 2 -sin el sin e2 j

0 0 I -sin81 0 cose l

] cos O , cosO , sin 82 s; oO,cos O ,

(5-7a) -sin81

0 cos e l

Bagi elemen tegak, hanya terdapat rotasi 82, dan 81 = 0 sehing g a,

sin e2 cos e 2

(5- 7b)

5.1 Sistem Stru ktu r

Sistem struk tur portal rang k a mempunyai k onfigurasi susunan elemen batang d alam ruang ; deng an sambung an atau titik pertemuan

ujung p berperilaku send i.

bukan besaran 'independent ' , sebab besar-an dan arahnya d itetapkan dari trans-lasi. Meng ing at perputaran ujung batang perputaran 'kaku ' relatif terhadap titik kumpul tidak mempeng aruhi g aya d alam, maka tid ak perlu parameter ini di perhitung k an.

5.2 Beba n Luar

Sama seperti pada sistem struk tur rang ka bidang , beban luar se/alu d ikonversikan menjadi beban ek ivalen terpusat yang bek erja di titik -titik kumpul. Berat send iri elemen yang bek erja merata sepanjang bentang (gambar 5.7a) diperhitung k an sebagai gaya terpusat ek ivalen di kedua ujung di titik-titik kumpul (g ambar 5.7b). Deng an melakuk an konversi beban bentang menjadi g aya terpusat ek ivalen di titik k umpul, pemerik saan k ek uatan lentur elemen akibat beban bentang d ilakukan secara terpisah.

a. Beban bentang

b. Beban terpusat ekivalen

G a m ba r 5.2. 1

Pembebanan struktur rangka

5.3 Derajat Kebebasan Struktur

Dera jat kebebasan sistim struk tur rang ka ruang d itandai deng an jumlah dera jat kebebasan titik kumpul bebas. Meng ing at sifat sambung an berupa send i disetiap titik k umpul tanpa adanya kek ang an, maka rotasi titik tidak memberikan peng aruh terhadap tang g ap elemen

Pacla contoh rang ka biclang seperti gambar 5.8. terclapat 19 elemen, 11 titik kumpul deng an clua titik kumpul sebagai perletakan sencli. Deng an aclanya clua komponen translasi di setiap titik kumpul bebas. maka clera jat kebcbasan struktur (DOF):

DOF =(3*8)- (3*4)= 24- 12= 12. Dera jat kebebasan struktur 1 11 1 cligambarkan berpasang an c l eng an gaya ekivalen titik kumpul sebagai vektor arah positif [X ,. P,]. Yang harus cliselesaikan pacla analisis struktur metocle matrik kekakuan adalah menclapatkan perpinclahan translasi clari pcrsamaan linear simultan clari hubung an g aya ekivalen {P} s cleng an {X}s :

Gambar 5.3.1 Derajat kebebasan struktur

[K]s{X}s = {P}s

(5 � 9a)

K l l K 12 K u K 1 4

K IJ

K 1-12

XI PI

K 21 K n K n K 24 x2 K 2·12

K 2J 1'2

X3 p, .)

K 31 K ]2 K�:; K ,4

K 3J

K 2-12

X 4 p4

(5 � 9b)

K l l KJ2 KJ3 KJ4

K JJ

K J-12

p. J

K 1 2 1 K 122 K123 K l 24

K I 2J

K l 2-1 2

xl2

rl 2

Matrik [K]s menyatakan g abung an unsur kekakuan elemen yang membentuk sistem struktur. Disebut matrik kekakuan struktur. Vektor {X}s menyatakan clera jat kebebasan sistem struktur yang berpasang an cleng an vektor g aya ekivalen {P}s.

Pacla sistem struktur rang ka seperti g ambar 5.3.1, persamaan (5 � 9a) clalam tampilan penuh seperti ( 5 � 9b ).

Gambar 5.3.2a Gaya aksial elemen Gambar 5.3.2b Gaya ujung elemen batang batang pada sistem

pada sistem koordinat koordinat lokal/elemen

lokal/elemen

EA EA

00 00 �I

f 0 00 0 00 e

(5-10) EA EA

F3 atau [sL,

{�L, = {FL,

0 00 0 00 Fs

e e �5

0 00 0 00 F6

5.5 Koordinat Lokal Dan Koordi nat Struktu r

Perak itan matrik [ K] dari matrik elemen [Slm memerlukan proses transformasi koord i na t. Meng ambil contoh rang ka ruang pada g ambar

5.5.1, maka untuk perakitan unsur [K] di titik k umpul 6, sistem koord ina t elemen batang 3, 4,

6. 13, 14 dan 18 yang menyatakan hubung an

Jika d itinjau secara umum po sisi elemen deng an berturut-turut berotasi 81, 82, dan 8,, maka terhadap L koordinat struk tur/g lo bal (g ambar 5.5.2a), maka merubah dera L jat kebebasan elemen

x. xJT

[ [;1Jx},

L'll L'l2 L'l] L'l4 L'l, ll6J berorientasi koordinat struk tur menjadi XI X , X] X,

(g ambar [ 5.5.2b) adalah: {llt, = ],

(5-lla)

0] [Tl

Hubung an vek tor F 1

p 6 JT •

[T {F}m = ], {r}

(5-11b)

X ··· ··· .. ·· . ··

.................. : ·::::--�: . .

z: ,.·· : 1 . .. . ·········· Zm'

B2 ··-i_ .•• •••••·•

l -cos 81sin82 cos 82 -sin 81 sin 82 (5 - 1 2)

Gambar 5.5.2.a Gaya ujung dan rotasi

Gambar 5.5.2.b Gaya ujung elemen koordinat struktur elemen terhadap koordinat struktur

e , , o, posisi

[T], -sin81 cos 81

cos 81cos 82 sin82 sin81 cos 8,

0 Pada titik k umpul yang d ibentuk oleh elemen 2,

4, 6 , 13, 14, dan 18 sepet ti pada g ambar 5.5.3,

Pe1jumlahan deformasi dan gaya-gaya uj ung elemen di titik 6 didalam sistem koordinat struktur haruslah memenuhi syarat kompatibil itas dengan pasangan deformasi dan gaya ekivalen titik kumpul yang sesuai dengan derajat kebebasan struktut di titik 6.

Mengisikan ketentuan kedua persamaan (5 - 1 1 ) kedalam persamaan (5 - I 0) :

0 0(] G CV 0

G) EA 0 0 EA 0 0 e fJ

[ : X { }m [T), {rL, (5 - 1 4a)

[T l l m - [ 0 [ l

0 G) _ 0 0 0 0 0 0 1

EA 0 0 EA 0 0 -

a tau

[sL [TL {xL = [TL {rL

(5 - 1 4b)

Men gal ikan persamaan ( 5 - 1 4b) dengan matrik invers l [T ],1 :

h a mana I ['r) "' = [T],

(5 - 1 5)

[T t,1 [ s L [TL {X } = [ T Ll [ T L{ p L

[T t,1 [ s L [T L {X} = { p L

(5 - 1 6)

Karena matrik transfonnasi [T L terkait dengan si stem koordinat orthogonal, dapat

[I]

0 [I] 0 []] []] 0

cos 0 1 Sin e 2 co s_,,::

tl[ COSL.. 9 2

cos 81 sa�02 cos 92

COS 0 1 Slll 0 2

82 cos� EI 1 cos- o2

- cos B 1 sn1 0 2 cos H 2 - cos 01 su1 02 cos"' 02

- Si n { \ cos 0 1 � os._ 8 2 - sm 0 1 Sln 82 cos H 2

- cos 0 1 S1n 02 costl2

02 Sill 0 0 0 0 �

:. 1 11 82 COS 0 2

[k lrn 02

--=-

EA "' cos 0 1 sn1 82 cos� 0 2

I 2 - cos 01 cos 8 2 2

s1n e1 sm n2 cose2

s1n� e 1 cos .. o �

Sill .. fl[

- cos 0 1 stn 9 2 cos 0 2 - s m 8 1 cos 0 1 cos- e 2

0 cos- o l cos- 8 2

cos 0 1 s m 8 2 cos 0 2 s m e 1 cos 0 1 cos H 2

- cos e1 s m o2 cos e2

02 Sill 8 [ S i l l 0 [ eo:, 8 2 2 COS 8[ Sill 82

- SI!l- 8 2

smO � s1n 02 cos 82

cos 0 1 S i n 0 2 cos H 2

02 - Slll 9 [ Sill 02 cos 8 2

Sill- 8 [

02 sm 8 1 cos 01 cos e 2

Sill 0 1 SiJl ()I COS 02 cos e1 02

Tabel 5 . 5 . 1

Matrik kekakuan elemen [k]m pada sistem koordinat struktur/global

5.6 Matri k Kekakuan Struktur [K]s

Perkal ian matrik [T J,:, [s }T L merupakan transformasi matrik kekakuan elemen [S]m menjadi matrik kekakuan elemen pada sistem koordinat struktur. D inamakan has i l perkal ian sebagai matrik kekakuan elemen [k ]m = [T J:Js }T], . Hasil perk a! ian unsur ketiga matrik merupakan

unsur matrik [k]111, seperti dijelaskan pada tabel 5.5. 1 . l ndeks dalam kotak persegi I , 2, 3, 4, menyatakan besaran arah positip gaya dan perpindahan kedua uj ung elemen dalam sistem

koordinat struktur/globa l . Matrik kekakuan elemen [k ]m menjadi bagian dari penyusunan unsur matrik kekakuan

struktur [K]. Meninjau penyusunan unsur matrik kekakuan struktur di titik kumpu l 6 pada contoh, maka prosedur menggabungkan indeks unsur kekakuan elemen [k]m dengan sebutan

derajat kebebasan struktur haruslah ditetapkan dari posisi indeks derajat kebebasan elemen. Untuk elemen 2, 4, 6, 1 3, 1 4, dan 1 8 dengan indeks derajat kebebasan 1 , 2, dan 3 elemen

sama dengan indeks derajat kebebasan struktur I 0, 1 1 dan 1 2. Persamaan (5 - 1 8)

menjelaskan posisi indeks elemen dengan indeks struktur di titik kumpul .

Xm...__

/� X m

/;1. 8 11. & & & indeks derajat kebebasan struktur

+--

+-- [i] indeks derajat kebebasan elemen

/;1.[1] kl6

b[2]

[ k 36

h (5 - ! Sa)

&ITJ k s6

&[6] +-- indeks derajat kebebasan & 8 8 8 & &, struktur

+-- [i] indeks derajat kebebasan elemen 0 [6]

/;1.QJ kl6

80 k 26

[ k 36

] (5 - ! Sb)

&ITJ k s6

&[6] +-- indeks derajat kebebasan & 8 11. 8 & b. struktu r

[i] 0 0 0 @] [6]

+-- indeks deraJat kebebasan elemen

&[i] kl6

8� k 26

] Ig = &0

(5 - ! Se)

k 46

& L21 i1. b. & 8 [iJ 0 12] � [}] @]

+--

indeks deraJat kebebasan struktur

+-- &[i] indeks derajat kebebasan elemen

b0 k 24

i1.12l k31 k32 k33 k 34 k35 [ k 36 k ] ,4

8[4_l

(5 - 1 8d)

k6 1

k62 "-63

& 8 i1. & & & indeks derajat kebebasan elemen

+-- indeks derajat kebebasan struktur

[i] � 12]

@] +--

&[i] kll kl2 kl3 kl4 kl5 kl6

i1.12l k31 k 32 k33

[ ] 6 &� k41 k 42 k 43

(5 - ! Se)

k 6 1 "- 62 "-63

+-- indeks deraJat kebebasan struktur

+-- &[iJ indeks deraja\ kebebasan elemen

[lJ

80 k 2 1 k22 k23 k 24 k 25 k 26

& k3 1 k 32 k33 k34 k35 k 36 [ ] &� (5 - 1 8 f)

k41

k 42

k 43

k 44

k 45

k46

& .Kij. &. K21 K22 K23 K24 .K2j .

- K11 K12 K13 K14

&. K31 K32 K33 K34 .K3 .. .I

(5 -19)

x. .I

p . .I

Seperti dengan penyelesaian persamaan [KJ5{X}s {P}s untuk matrik {X}s pada portal, penyelesaian persamaan linear simultan [KJ5{X}s = {P}s rangka dapat menggunakan metode dekomposisi LU atau Cholesky menyelesaikan menyelesaikan parameter deformasi {X}5.

5.7 Gaya-Gaya Dalam Elemen Ha si 1 solusi

elemen dan reaksi perletakan. Unsur matrik {X} s [X} merupakan data bagi perhitungan. Apabila

d igunakan untuk mendapatkan besarnya gaya-gaya dalam ujung

ditinjau elemen 13 pada gambar 5 .6.2, m aka kedua unjung elemen yang mempunyai derajat

kebebasan yang sama dengan derajat kebebasan struktur adalah: Lx"l xc2 X", RI R2 RJT =

LxsiO XSI I xsl2 RI R2 R, J. RI R2 R, adalah kondisi perletakan.

e /1(( X .. ...

• -- --

... ••'(0

�\,X' .. ..

l EA ( EA {

FJ F� F- 0 0 0 0 0 0

11o

EA EA

Deng an hubung an

(5 - 20)

0 0 0 0 0 0 A:

111 112 X�= X�0

113 = [[:]3 [�dl3 j''

x" =XII

xc -xs 3 - 12

dan

(5 - 2 1 )

l EA EA {

maka besarnya g aya aksial clemen adalah :

F" 0 0. 0 0 0 0 =

xc s

I = XI() S

F3 0 0 0 0

x2 =XII e

F EA EA c [[:] [�dl3 RI =

(5 - .J 22) 3

xc s xl"

R3 xe xs

EA EA

E lemen 14:

EA EA

xe xs

I 10

F2 S

F4 EA EA [[:1

x2 e = xll

[;lt

0 0 0 xe - x s .1 - 12 (5- 24)

xe-xs -t - 7

F5 f (

x " - x� 5 - X

F(J 1-l 0 e 0 0 0 0 0

x (, S = xq 14

Hal scrupa, elemen 4 : EA EA [F, e

XS XI = 10

xe x s 2- 11

[[:], [;l,l =

xe x s ' - 12

l�:

(5 - 2 5 )

EA EA

R4 = 0

F, (

R5 0

F6 4 0 0 0

R6 0 = -l

5.8 Contoh Analisis Rangka Ruang

Contoh anal is is struk tur rang ka ruang berupa menara tcrgambar. Ditetapkan data elemen struktur scbagai berikut :

Pro fil baja yang digunakan profil rang kap L

50.50.5. untuk batang horizontal dan ver tikal, tung gal L 5 0 .50.5 untuk batang d iagonal. T ebal pclat beton 200 mm.

4. Merakit matriks kekakuan [k]111 setiap ele-

x,.,p.,

Xw,P·,,

men terhadap sumbu global

5. Merakit matriks kekakuan struktur kese- luruhan [K]s dari matrik kekakuan elemen

x,,p,

[k ]m .

6. Merakit vektor be ban luar struktur t Pls dan beban-beban titik kumpul struktur.

7. Meyelesaikan persamaan matriks [ K]s*� X �= { P } , untuk mendapatkan perpin- dahan titik-titik kumpul .

8. z)_x Menggambarkan garis elastis struktur (per-

2 pindahan titik-titik kumpul terhadap po-

Gambar 5.8.2 Derajat kebebasan struktur

sisi semula).

9. Memeriksa lendutan yang terjadi terhadap syarat maksimum peraturan yaitu lendutan izin = bentang/360.

8. Menyelesaikan besarnya gaya-gaya dalam setiap elemen.

9. Memeriksa tegangan yang bekerj a pad a penampang elemen ( O'keqa) setiap elemen terhadap .

syarat tegangan izin 0'111ax = 1 400 kg/cm2.

Gam bar 5.8.4 Enam derajat kebebasan batang rangka ruang

Template perang kat lunak MA T HLA B d igunakan untuk analisis.

Parameter Batang Batang 1 :

E : = 200000 M Pa, 83 1 : = - 45°

3 L l = 3.775 x 1 0

tw I := 5 tfl := 5

h I := 50 b I := 50

A I := 2[(tw l · h l ) + [ ( b l - tw l ) · tfl ] ] ; A I = 950

T8 1 := Tc i ·Tbi ·Ta l 8bl := -atan ( )

8c l := Odeg

cos (Oa l ) 0 sin(Oa l ) Tc l := () cos (oc 1 ) sin(Oc l )

cos (8b l ) sin(Ob l ) ()

Tb l := - sin(Ob

1) cos(8b1 ) ()

Ta l

() --sin ( flc l ) cos ( Oc I)

-sin (Oa l ) 0 cos (Oa l )

8a I := -45deg 0.265 -0.927 -0.265 0

0.656 0.375 -0.656 0

Tl=

0.265 -0.927 -0.265

0 0 0.656 0.375 -0.656

Matriks kekakuan elemen batang 1 : [k]1 = K1

""""" Kl := Tl1·Sl·TI QJ

3 532x 103 - 1 .236x 104 - 3 532x 1 03 -3 532x 1 03 I 236x 1 04 3.532x i(?

-1 .236x l (l .j 4 327x

I O.J I 236x 104 1 .236x

1 04 -.J.327x 104 -1 .236x

1 0-l

-J 532 X 103 1 .236x 104 J )32 X I 03 3 S32x 103 -1 .236x 1 04 -3.532 x it?

Kl=

-3 5)2 X 1 03 I 236x IO.J ) 532 X 103 3.532x I 03 - 1 .236x 104 -3 532 X I

I 236x 1 04 -4.327x IO.J - 1 .236 x 1 04 - I 236x 104 4 327x

I O.J

1 .236x

3.532x I 03 -I 236x 1 04 -3.532x 1 03 -3.532x 10]

1 .236x 104 3 532 X 1 0]

Rumus matriks kekakuan lokal :

F A2 -( E A2)

2.0 1 4 x

-2.0 1 4 x 1 04

S2 =

S2 :=

-( F A2) l'·A2

1 04 () () L2

-2.01 4 x 1 04 0 ()

2.0 1 4 x

M atriks transformasi [Th = T2 :

Oa2 := n+ atan

8b2 := -atan

8c2 := Odeg

cos ( Oa2) () ,,,. (8,2) Tc2 := () cos ( Oc2) sin(8c2)

cos (8b2) sin( Ob2)

Tb2 := -sin( Ob2) cos (8b2)

Ta2 :=

( ) -sin(Oc2) cos ( Oc2)

-sin(Oa2) () cos ( Oa2)

T82 := Tc2· Tb2 · Ta2 -0.636 -0.742 -0.2 1 2

-0.704 0.67 -0.235

0 -0.949

T2 =

-0.636 -0.742 -0.2 1 2

-0.704 0.6 7 -0.235

Batang 3 : L3 := L l tw3 :=

5 tf3 := 5 h3 :=

50 b3 := 50 A3 := [(tw3· h3) + [ ( b3 - tw3) · tf3] ] 2

A3 = 950

M atriks kekakuan elemen :

0 <ZXD

0 0J)

Fi\3 �·( Fi\3)

10 0 0 -5.033 L3 X 10 0 u

5.03 3 x

0 0 S3 :=

-( Fi\3)

Ei\3 0 0

S3 =

u L3 -5.033 X 10 0 0 5 .033 X 10 0 0 ()

(I ()

0 0 0 0 0 0 M atriks transformasi [Th = T3 :

8a3 := -( 90 +

45) deg

8b3 := -atan

Oc3 := Odeg

cos(Oh3) sin(Oo3) ( J

cos (Oa3) 0 sin(Oa3)

Tc3 := () cos (oc3) sin ( Oc3)

Th3 := -sin(Oh3) cos (tlo3)

Ta3 :=

0 -sin ( Oc3 ) cos (Oc3)

-sin ( Oa3) () cos (8a3)

T83 := Tc3· Tb3· Ta3

-0.265 -0 927 -0.265