REPRESENTASI BIDANG GEOMETRI TERHADAP BILANGAN-BILANGAN KOMPLEKS

(1)

REPRESENTASI BIDANG GEOMETRI

TERHADAP BILANGAN-BILANGAN KOMPLEKS

Oleh

DODO GINA SUKRONSIUS SIMANULLANG

Skripsi

Sebagai Salah Satu Syarat untuk Mencapai Gelar SARJANA SAINS

Pada

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

UNIVERSITAS LAMPUNG BANDAR LAMPUNG

(2)

ABSTRAK

REPRESENTASI BIDANG GEOMETRI TERHADAP BILANGAN-BILANGAN KOMPLEKS

Oleh

DODO GINA SUKRONSIUS SIMANULLANG

Suatu bilangan kompleks dapat direpresentasikan oleh suatu titik pada bidang dua dimensi yang dilengkapi dengan sistem koordinat. Bilangan berkaitan dengan titik dengan bagian real merupakan absis dan bagian imajiner merupakan ordinat dan bidang ini disebut disebut bidang kompleks. Bilangan-bilangan kompleks ini dapat juga merepresentasikan bidang geometri seperti

lingkaran, segitiga, elips, hiperbola, jajarangenjang, dan lemniskat.

(3)

(4)

(5)

(6)

DAFTAR ISI

Halaman I. PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang Masalah ………

1.2. Batasan Masalah ………

1.3. Tujuan ………

1.4. Manfaat ………..

II. LANDASAN TEORI

2.1. Bilangan Bulat, Bilangan Rasional, Bilangan Real ………... 2.2. Bilangan Kompleks, Satuan Imajiner “I” ……….. 2.3. Operasi Dasar Dalam Bilangan Kompleks ……… 2.4. Konjugat Bilangan Kompleks ………... 2.5. Modulus atau Nilai Mutlak Bilangan Kompleks ………... 2.6. Ketidaksamaan dan Identitas ………. III. METODE PENELITIAN

3.1. Waktu dan Tempat ……….

3.2. Metode Penelitian ………..

IV. PEMBAHASAN

4.1. Representasi Bilangan-Bilangan kompleks ………...

4.2. Pnerapan Dalam Geometri ……….

V. KESIMPULAN DAFTAR PUSTAKA 1 2 3 3 4 6 6 10 11 13 14 14 16 24

(7)

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Bilangan kompleks merupakan salah satu terobosan penting dalam dunia Matematika. Bagi yang telah mengikuti perkuliahan Aljabar Linear, himpunan bilangan bulat telah dikenal sebagai suatu himpunan yang sederhana yang memiliki struktur grup, dan lebih jauh lagi gelanggang. Struktur grup dari bilangan bulat membuat setiap persamaan linear monik memiliki solusi. Tetapi persamaan linear umum:

dengan a; b; c di suatu himpunan F menuntut struktur yang lebih canggih bagi F, yaitu lapangan.

Lapangan yang paling sederhana adalah bilangan rasional:

{_{| }}

Tetapi lapangan ini tidak memiliki sifat berikut ini: setiap subset terbatas darinya memiliki batas atas terkecil dan batas bawah terbesar. Sifat ini yang kemudian berakibat setiap barisan Cauchy konvergen. Sifat ini disebut "lengkap". Kebutuhan untuk mengkonstruksi sebuah lapangan yang lengkap yang kemudian

(8)

memberikan himpunan bilangan real. Tetapi, meskipun himpunan bilangan real memiliki sifat kelengkapan, lapangan tersebut tidak tertutup secara aljabar: setiap polinom berderajat n memiliki n buah pembuat nol.

Salah satu contoh klasik mengenai fakta ini adalah persamaan yang sama sekali tidak memiliki akar di bilangan real. Jika akar dari persamaan ini disebut i, maka kita dapat membentuk lapangan bilangan kompleks yang tertutup secara aljabar. Masalah yang serius dalam hal ini adalah persamaan: memiliki dua akar. Akar yang manakah yang akan kita pilih sebagai i? Ini sebabnya pendekatan yang lebih formal dan rigid dibutuhkan untuk mendefinisikan himpunan bilangan kompleks.

Berdasarkan dari latar belakang yang telah dijelaskan, maka penulis tertarik untuk

melakukan penelitian dengan judul “Representasi Bidang Geometrik Terhadap Bilangan-bilangan Kompleks”.

1.2 Batasan Masalah

Dalam penelitian ini, permasalahan yang dibahas dibatasi pada representasi bidang geometrik terhadap bilangan-bilangan kompleks.

(9)

1.3 Tujuan

Tujuan dari penelitian ini adalah:

1. Memberikan interpretasi bilangan-bilangan kompleks secara geometrik dan menjelaskannya pada bidang kompleks.

2. Dapat membedakan bilangan kompleks sebagai suatu titik dan sebagai vektor.

3. Menentukan grafik dan memberikan interpretasi dari hasil operasi-operasi dasar dalam bilangan kompleks.

4. Menentukan daerah-daerah yang memenuhi suatu ketidaksamaan atau kesamaan dalam bilangan kompleks.

5. Menerapkan konsep-konsep dasar bilangan kompleks dalam bidang geometri.

1.4 Manfaat

Adapun manfaat dari penelitian ini adalah Memperluas serta menambah wawasan pengetahuan tentang kajian matematika khususnya tentang representasi geometrik bilangan-bilangan kompleks.

(10)

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Bilangan Bulat, Bilangan Rasional, dan Bilangan Real

Himpunan dinyatakan dengan huruf kapital dan anggota himpunan dinyatakan

dengan huruf kecil. Sebagai contoh “ anggota himpunan A” ditulis ; “ bukan anggota A” ditulis , dan sebagainya. (Priestly,1993)

Contoh :

Himpunan A terdiri dari bilangan-bilangan 1, 3, dan 4 ditulis . Jika anggota suatu himpunan secara eksplisit didaftar maka dapat dinyatakan sifatnya saja untuk anggota-anggota secara keseluruhan. Suatu himpunan yang mempunyai sifat ditulis sebagai | dibaca “himpunan seluruh yang mempunyai sifat

”

Sekarang, disajikan berbagai macam bilangan yang kerap digunakan sehari-hari. 1. Himpunan bilangan-bilangan bulat positip atau bilangan asli, :

(2.1) 2. Himpunan bilangan-bilangan bulat, :

(11)

3. Himpunan bilangan-bilangan bulat positip genap :

(2.3) 4. Himpunan bilangan-bilangan rasional :

{ } (2.4) Himpunan bilangan-bilangan real yaitu himpunan bilangan-bilangan rasional dan irasional. Bilangan irasional yaitu bilangan-bilangan yang tidak dapat disajikan dalam bentuk dengan . Sebagai contoh bilangan irasional adalah √ ……

Korespondensi satu-satu dapat dibangun antara bilangan-bilangan real dan garis. Masing-masing bilangan diwakili oleh titik pada garis yang disebut sumbu real.

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1- 0 1 √ 2 3 4 5 6 7

Suatu himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan B, yaitu A termuat

dalam B, jika

(2.5) Dibaca : Jika maka . Penulisan selanjutnya untuk menyatakan bahwa A merupakan himpunan bagian B.

Mudah dipahami bahwa dan , sehingga

(12)

2.2 Bilangan Kompleks, Satuan Imajiner “i”

Suatu bilangan kompleks dapat dinyatakan sebagai

(2.7) dengan a dan b bilangan-bilangan real dan I mempunyai sifat

(2.8) (Brown and Churchill, 1996)

2.3 Operasi Dasar Dalam Bilangan Kompleks

Teorema 2.3.1

Untuk semua bilangan kompleks berlaku sifat additif dan asssosiatif terhadap penjumlahan

(2.9)

(2.10)

Bukti :

Misal , dan maka :

(13)

(2.12)

Teorema 2.3.2:

1. Perkalian bilangan-bilangan kompleks bersifat komutatif.

(2.13) 2. Perkalian bilangan-bilangan kompleks bersifat asosiatif.

(2.14) 3. Perkalian bilangan-bilangan kompleks bersifat distributif terhadap

penjumlahan.

(2.15)

Bukti:

Misal , dan maka : 1.

(14)

( )

Teorema 2.3.3:

Diberikan dua bilangan kompleks dan , maka terdapat bilangan kompleks yang tunggal, sehingga

(15)

Bukti :

Misal , maka

(2.16) Persamaan (2.16) benar jika dan hanya jika,

dan (2.17) dan dengan menyelesaikan persamaan (2.17), untuk dan diperoleh

Sehingga, tunggal.

Teorema 2.3.4 :

jika dan hanya jika setidaknya salah satu dari , adalah nol.

Bukti:

Misal dan . Maka :

(2.18)

Dari persamaan (2.18) diatas diperoleh

(2.19)

(2.20) Sehingga

(16)

Jika dan tidak sama dengan nol, maka persamaan (4) tidak benar. Oleh karena itu, jika dan hanya jika setidaknya salah satu dari ,

adalah nol.

Perhatikan disini bahwa jika bilangan kompleks dan bilangan bulat positip, maka

⏟

kali

(Spiegel,M.R.,1981)

2.4 Konjugat Bilangan kompleks

Konjugat, ̅ dari bilangan komplek didefenisikan

̅ (2.22) Bagian real dari ditulis Re( ). Jadi

Re (2.23) Bagian imajiner dari ditulis

Im . (2.24) Sehingga

(2.25) =Re Im

(17)

Contoh:

Buktikan bahwa jika hasil kali dari dua bilangan kompleks dan adalah real dan tidak sama dengan nol, maka terdapat bilangan real , sehingga ̅ .

Bukti:

Misal dan

Hasil dari dan real dan tidak sama dengan nol,

(2.26) sehingga, dan ̅ dan dapat ditulis

(2.27)

Karena real dan tidak sama dengan nol dan juga real dan tidak sama dengan nol, maka dari persamaan (2) diperoleh

̅ (2.28)

2.5 Modulus atau Nilai Mutlak Bilangan Kompleks

Modulus atau nilai absolut dari bilangan komplek , ditulis | |,

| | √

Nilai mutlak dari suatu bilangan komplek bersifat non-negatif dan merupakan bilangan real.

(18)

Contoh :

Bukti :

Karena | | ̅, diperoleh

| | ̅̅̅̅̅̅

̅ ̅

̅ ̅ ̅ ̅ (2.29) Karena 2Re ̅, persamaan (2.29) menjadi

| | | | ̅ | |

| | | ̅ | | | | | | || | | |

| | | | (2.30) Sehingga

| | | | | | (2.31) dan

| | | | | | | | (2.32) Menggunakan induksi matematika, persamaan (2.32) dapat dikembangkan sampai

bilangan kompleks

|∑

| ∑| |

(19)

2.6 Ketidaksamaan dan Identitas

Contoh :

Tunjukkan bahwa jika | | , maka

| | | | √ (2.33)

Bukti:

Karena kedua ruas dari persamaan (2.33) positif, maka dengan mengkuadratkan

| | | | | || | (2.34) sehingga

̅ ̅ | | (2.35)

dan

| | ̅ | | ̅ | | (2.36) atau

| | | | (2.37) | | | | (2.38)

| | | | | | | | | | (2.39)

| | | | (2.40) Perhatikan bahwa

| | | | | || | | | (2.41) Karena | | , yang juga | |

| | | | (2.42) dan

| | | | (2.43) sehingga terbukti persamaan (2.33)

(20)

III. METODE PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat

Penelitian ini dilakukan di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung, pada semester ganjil tahun ajaran 2013/2014.

3.2 Metode Penelitian

Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode studi pustaka, yaitu dengan mempelajari, memahami dan mengkaji mengenai buku-buku, jurnal maupun makalah yang berhubungan dengan penelitian.

Dalam melakukan penelitian ini, ada langkah–langkah yang harus penulis lakukan untuk mempermudah penulis dalam memperoleh maupun menyelesaikan hasil penelitian. Langkah-langkah yang penulis lakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:

(21)

2. Menuliskan definisi-definisi dan teorema-teorema yang berhubungan dengan penelitian.

3. Mempelajari dan memahami definisi-definisi dan teorema-teorema yang berhubungan dengan penelitian.

4. Menguraikan dan menggunakan definisi-definisi dan teorema-teoremasebagai acuan dalam melakukan penelitian untuk memperoleh hasil penelitian ini. 5. Penarikan kesimpulan.

(22)

V. SIMPULAN DAN SARAN

A. SIMPULAN

1. Suatu lingakaran yang berbentuk maka dapat ditulis dalam bentuk kompleks | | .

2. Suatu elips dengan panjang sumbu mayor dan titik foci dan

dapat ditulis dalam bentuk kompleks | | | | . 3. Suatu hiperbola berbentuk maka dalam bidang kompleks

dapat ditulis dalam bentuk .

4. Suatu lemniskat berbentuk maka dalam bidang kompleks dapat ditulis dalam bentuk | | .

B. SARAN

Pada pengaplikasiannya dibidang geometri diharapkan fungsi kompleks ini dapat dimanfaatkan dalam memberkan interpretassi dari hasil operasi-operasi dasar dalam bilangan kompleks.

(23)

DAFTAR PUSTAKA

Brown,J.W and Churchill, R,V., 1996. Complex Variables and Application, Mc Graw-Hill Inc, New York.

Hauser,A.A.,1971. Complex Variables with Appliacations, Simon & Schuster Technical and Reference Book Division, New York,p:1-28.

Marsden,J.E and Hoffman,M.J., 1987. Basic Complex Analysis, W.H Freeman and Company, New York.

Milewsky,E.G.,1989. The Complex Variables Problems Solver, Research & Edu-cation Association, New Jersey,p:1-30.

Priestly,H.A.,1993. Pengantar Analisis Kompleks, Penerbit ITB, Bandung.

Spiegel,M.R.,1981. Theory and Problemsof Complex Variables with An Intro-duction to Conformal Mapping, Schaum’s Outline Series, McGraw-Hill Inter-national Book Company, Singapore,p:1-32.

(1)

Contoh :

Bukti :

Karena | | ̅, diperoleh

| | ̅̅̅̅̅̅ ̅ ̅

̅ ̅ ̅ ̅ (2.29) Karena 2Re ̅, persamaan (2.29) menjadi

| | | | ̅ | | | | | ̅ | | | | | | || | | |

| | | | (2.30) Sehingga

| | | | | | (2.31) dan

| | | | | | | | (2.32) Menggunakan induksi matematika, persamaan (2.32) dapat dikembangkan sampai

bilangan kompleks

|∑

| ∑| |

(2)

| | | | √ (2.33) Bukti:

Karena kedua ruas dari persamaan (2.33) positif, maka dengan mengkuadratkan | | | | | || | (2.34) sehingga

̅ ̅ | | (2.35) dan

| | ̅ | | ̅ | | (2.36) atau

| | | | (2.37) | | | | (2.38) | | | | | | | | | | (2.39) | | | | (2.40) Perhatikan bahwa

| | | | | || | | | (2.41) Karena | | , yang juga | |

| | | | (2.42) dan

| | | | (2.43) sehingga terbukti persamaan (2.33)

(3)

III. METODE PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat

Penelitian ini dilakukan di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung, pada semester ganjil tahun ajaran 2013/2014.

3.2 Metode Penelitian

Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode studi pustaka, yaitu dengan mempelajari, memahami dan mengkaji mengenai buku-buku, jurnal maupun makalah yang berhubungan dengan penelitian.

(4)

berhubungan dengan penelitian.

4. Menguraikan dan menggunakan definisi-definisi dan teorema-teoremasebagai acuan dalam melakukan penelitian untuk memperoleh hasil penelitian ini. 5. Penarikan kesimpulan.

(5)

V. SIMPULAN DAN SARAN

A. SIMPULAN

1. Suatu lingakaran yang berbentuk maka dapat ditulis dalam bentuk kompleks | | .

2. Suatu elips dengan panjang sumbu mayor dan titik foci dan

dapat ditulis dalam bentuk kompleks | | | | .

3. Suatu hiperbola berbentuk maka dalam bidang kompleks dapat ditulis dalam bentuk .

4. Suatu lemniskat berbentuk maka dalam bidang kompleks dapat ditulis dalam bentuk | | .

B. SARAN

Pada pengaplikasiannya dibidang geometri diharapkan fungsi kompleks ini dapat dimanfaatkan dalam memberkan interpretassi dari hasil operasi-operasi dasar dalam bilangan kompleks.

(6)

Brown,J.W and Churchill, R,V., 1996. Complex Variables and Application, Mc Graw-Hill Inc, New York.

Hauser,A.A.,1971. Complex Variables with Appliacations, Simon & Schuster Technical and Reference Book Division, New York,p:1-28.

Marsden,J.E and Hoffman,M.J., 1987. Basic Complex Analysis, W.H Freeman and Company, New York.

Milewsky,E.G.,1989. The Complex Variables Problems Solver, Research & Edu-cation Association, New Jersey,p:1-30.

Priestly,H.A.,1993. Pengantar Analisis Kompleks, Penerbit ITB, Bandung.

Spiegel,M.R.,1981. Theory and Problemsof Complex Variables with An Intro-duction to Conformal Mapping, Schaum’s Outline Series, McGraw-Hill Inter-national Book Company, Singapore,p:1-32.

REPRESENTASI BIDANG GEOMETRI TERHADAP BILANGAN-BILANGAN KOMPLEKS