Complexit ´e du point fixe d’un morphisme Un exemple non primitif

Complexit´ e et facteurs sp´ eciaux 79 Comme u est sp´ecial `a droite, il se prolonge au moins de deux mani`eres ua et ub. Les mots r 2 a et r 2 b ne peuvent ˆetre pr´efixes de la mˆeme image de lettre, donc v se prolonge par au moins deux lettres diff´erentes x et y, avec r 2 a pr´efixe de fx et r 2 b pr´efixe de fy, c’est-`a-dire que v est sp´ecial `a droite dans L ; son ordre `a droite est sup´erieur ou ´egal `a celui de u. De mˆeme, v est sp´ecial gauche dans L, donc est bisp´ecial. R´eciproquement, si v est un facteur bisp´ecial, l’ensemble R 1 fvR 2 contient un certain nombre de facteurs bisp´eciaux, dont la somme des ordres est exactement l’ordre de v `a condition qu’aucun d’entre eux ne soit dans N. Les couples r 1 , r 2 tels que r 1 fvr 2 est bisp´ecial, et les ordres correspondants, ne d´ependent que de l’ensemble des couples de lettres x 1 , x 2 tels que x 1 vx 2 ∈ L. On voit donc que, connaissant les facteurs bisp´eciaux de L, on peut calculer des facteurs bisp´eciaux de L ′ en appliquant f et en ajoutant un ou plusieurs pr´efixes et suffixes r 1 et r 2 , qui ne d´ependent que des lettres par lesquelles le facteur consid´er´e se prolonge. On obtient ainsi tous les facteurs bisp´eciaux de L ′ , sauf peut-ˆetre ceux qui sont ´el´ements de N, qu’il faut d´eterminer `a la main, et que nous appellerons facteurs bisp´eciaux exceptionnels.

4.3 Complexit ´e du point fixe d’un morphisme

` A tout morphisme f : Σ ∗ → Σ ∗ , on associe le langage Lf = F { f n x | n ∈ N et x ∈ Σ } c’est la clˆoture factorielle d’un DOL-langage o` u toutes les lettres de l’alphabet servent d’axiomes, qui est prolongeable pourvu que f soit non-effa¸cant l’image d’une lettre n’est jamais le mot vide et que chaque lettre soit prolongeable des deux cˆot´es, c’est-`a-dire ∀x ∈ Σ, ∃a, b ∈ Σ, axb ∈ Lf ce qui exclut les morphismes du type a 7→ ab, b 7→ bb. Si de plus il existe une lettre a ∈ Σ telle que fa ∈ aΣ ∗ et que S n∈N Alph f n a = Σ, la suite de mots f n a a pour limite un mot infini u = f ω a dont l’ensemble des facteurs est exactement Lf. Quand f est circulaire il est possible, en it´erant le proc´ed´e d´ecrit ci-dessus, de d´ecrire l’ensemble des facteurs bisp´eciaux de Lf `a partir des seuls bisp´eciaux exceptionnels, ce qui permet de construire les arbres de facteurs sp´eciaux. Si f est bipr´efixe, les facteurs bisp´eciaux de Lf sont tous de la forme u = s fs 1 f 2 s 2 . . . f k− 1 s k− 1 f k vf k− 1 p k− 1 f k− 2 p k− 2 . . . f 2 p 2 fp 1 p avec v bisp´ecial exceptionnel, p i plus grand pr´efixe commun de deux images de lettres, et s i plus grand suffixe commun pas n´ecessairement des mˆemes lettres. 80 J. Cassaigne

4.4 Un exemple non primitif

Consid´erons le morphisme suivant : f : Σ ∗ −→ Σ ∗ a 7−→ aba b 7−→ bb . Ce morphisme n’est pas primitif, car les images successives de b ne contiennent aucun a un morphisme f est dit primitif s’il existe un entier n tel que l’image de chaque lettre par f n contient toutes les lettres. La suite qu’il engendre, f ω a = ababbababbbbababbababbbbbbbbababbababbbbababbababbbbbbbbbbbbbbbbab . . . est r´ecurrente tout facteur apparaˆıt une infinit´e de fois, mais pas uniform´ement r´ecurrente puisqu’il existe des facteurs arbitrairement longs qui ne contiennent pas de a. Le morphisme f est bipr´efixe, mais n’est pas circulaire. Toutefois, tout facteur de longueur sup´erieure ou ´egale `a 4 qui n’est pas une puissance de b se synchronise. On va donc appliquer la m´ethode d´ecrite en 4.3, en traitant `a part les puissances de b. Parmi les petits facteurs longueur inf´erieure `a 4 non puissances de b, on trouve que seul bab est bisp´ecial : c’est donc le seul bisp´ecial exceptionnel. Les autres facteurs bisp´eciaux non puissances de b seront les images it´er´ees de ce mot par f, car p i = s i = ε est le seul pr´efixe ou suffixe commun `a fa et fb. Les puissances de b sont toutes des facteurs bisp´eciaux c’est d’ailleurs une propri´et´e g´en´erale des suites qui contiennent des puissances arbitrairement grandes de b mais aussi une infinit´e de a, stricts quand l’exposant est une puissance de 2, ordinaires sinon. Les facteurs bisp´eciaux sont donc : bisp´eciaux stricts : f m b, de longueur 2 m , pour m 0 ; bisp´eciaux ordinaires : les autres puissances de b : ε, b 3 , b 5 , b 6 , b 7 , b 9 , etc. ; bisp´eciaux faibles : f m bab, de longueur 2 m 3 + m2, pour m 0. Ceci fournit une expression des s´eries BS et BF sous forme de sommes infinies, ainsi que les ´equations fonctionnelles suivantes : BSX = BSX 2 + X ; BF X = ϕX, X avec ϕX, Y = ϕXY X, Y Y + Y XY . On peut enfin ´ecrire que sn = 1 + q − r, o`u q = ⌈log 2 n ⌉ est le nombre de facteurs bisp´eciaux stricts de longueur inf´erieure `a n, et r = l W 128n log 2 log 2 − 6 m est le nombre de facteurs bisp´eciaux faibles de longueur inf´erieure `a n W x est l’unique fonction analytique r´eelle sur ] − 1e, +∞[ telle que W xe W x = x. On calcule ensuite : pn = 1 + n− 1 P m =0 sm = 1 + n + q− 1 P m =0 n − 1 − 2 m − r− 1 P m =0 n − 1 − 2 m 3 + m2 = 1 + n + n − 1q − 2 q − 1 − n − 1r + 2 r +1 + 2 r− 1 r − 2 . Complexit´ e et facteurs sp´ eciaux 81 Dans cette expression, les termes dominants sont nq et nr, soit pn = n log n − W 128n log 2 log 2 + O n . On peut alors, en utilisant le fait que W x = log x − log log x + O log log x log x obtenir un ´equivalent de la complexit´e de la suite ´etudi´ee : pn ∼ n log 2 log 2 n. Notons que le th´eor`eme de Pansiot [12] permet d’´etablir que pn croˆıt comme n log log n, car f est polynomialement divergent, mais ne donne pas d’´equivalent exact. 5 Suites de complexit ´e affine

5.1 Suites de complexit ´e ultimement affine