Lema 14
Misal
[ ]
: 0,
n
S T
× →
adalah fungsi yang dapat diturunkan dan turunannya kontinu
dan memenuhi
0, ,
, S
y S T y
= 0,
, ,
S S
y T y
x x
∂ ∂
= ∂
∂ ,
n
y ∈
sehingga syarat berikut dipenuhi 1 Untuk setiap
[ ]
, , 0,
,
n n
x y y T
′ ∈ ×
×
, ,
x y y′ ≥
L
2 Untuk setiap
[ ]
, 0,
n
x y T
∈ ×
, persamaannya
, , x y q
= L
mempunyai solusi
,
q q x y
= memenuhi
0, ,
q y
q T y =
. Misal
solusi dari
,
q q x y
=
, , x y q
= L
yang memenuhi
0, ,
q y
q T y =
. Jika
[ ]
: 0,
n
y T
→
solusi
, ,
y x
q x y x ′
=
[ ]
0, x
T ∈
10
y y
= T
11 kemudian
y x minimizer dari persamaan
min ,
y
I y
∈Ω
, ,
,
T
I y x y x
y x dx
′ =
∫
L maka
y x
adalah solusi periodik dari persamaan diferensial takotonom.
[bukti lihat Lampiran 1]
Teorema 15
Asumsikan bahwa
[ ]
: 0,
n
S T
× →
solusi dari persamaan Hamiltonian-Jacobi
, , ,
,
y
S x y
H x y S x y
x ∂
+ ∇
= ∂
dan
[ ]
: 0,
n
q T
× →
n
memenuhi
, , ,
,
q y
x y q x y S x y
∇ − ∇
= L
Jika
[ ]
: 0,
n
y T
→
solusi
, ,
y x
q x y x ′
=
[ ]
0, x
T ∈
12
y y T
=
13 kemudian
y x minimizer dari persamaan
min ,
y
I y
∈Ω
, ,
,
T
I y x y x
y x dx
′ =
∫
L maka
y x solusi periodik dari persamaan
diferensial takotonom. [bukti lihat Lampiran 1]
III. PEMBAHASAN
1. Perumusan Masalah
Didefinisikan persamaan diferensial takotonom
,
y
y V x y
′′ − ∇ =
14 dimana
[ ]
: 0,
n
V T
× →
kontinu dan periodik di x dengan periode T dan dapat
diturunkan dan turunannya kontinu di y
1 2
, ,
,...,
y n
V V
V V x y
y y
y ⎛
⎞ ∂
∂ ∂
∇ = ⎜
⎟ ∂
∂ ∂
⎝ ⎠
T
. Akan dicari solusi periodik untuk persamaan
diferensial takotonom 14. Persamaan diferensial takotonom 14 memiliki nilai
batas periodik
, y
y T =
.
y y T
′ ′
=
15
2. Metode Carathéodory
Pada teori kalkulus variasi [Simmons, 1991], dijelaskan bahwa diasumsikan ada
fungsi
y x
yang meminimumkan integral
2 1
, , .
x x
I y x y y′
=
∫
L dx
16
Akan dihasilkan persamaan diferensial untuk
y x
yang berbentuk
d y
dx y
⎛ ⎞
∂ ∂
− ⎜
⎟ ′
∂ ∂
⎝ ⎠
L L
=
17 yang disebut sebagai persamaan Euler-
Lagrange. Fungsi
, , x y y′
L
pada integral 16 disebut sebagai fungsi Lagrangian.
Didefinisikan fungsi Lagrangian
2
| |
1 , ,
, ,
2 x y y
y V x y
′ ′
= +
L
[ ]
, , 0,
n n
x y y T
′ ∈ ×
×
18 dimana
melambangkan norm Euclidean. Diasumsikan
| . | , ,
x y y′ L
adalah fungsi konveks untuk setiap
[ ]
, 0,
n
x y T
∈ ×
dan
, q x y
adalah minimizer
, , x y y′
L
dimana
, .
y q x y
′ =
Integral 16 dapat diubah menjadi persamaan variasional
: I
Ω →
min ,
y
I y
∈Ω
19 , ,
.
T
I y x y y dx
′ =
∫
L dengan
[ ]
{ }
1
: 0, ,
,
.
n
y x C
T y
y T y y T
′ ′
Ω = ∈
= =
Nilai batas periodik 15 merupakan syarat perlu persamaan variasional karena
diasumsikan ada fungsi
y x ∈ Ω
yang meminimumkan
I y
. Untuk mencari minimizer dari persamaan
variasional 19 dapat digunakan fungsi Hamiltonian dan persamaan Hamiltonian-
Jacobi. Didefinisikan fungsi Hamiltonian
, , ,
, , H x y s
s q x y q
= − L
20 dimana
, , x y q
L
adalah fungsi Lagrangian, dan persamaan Hamiltonian-Jacobi
, , ,
,
y
S x y
H x y S x y
x ∂
+ ∇
∂ = 21
dimana
[ ]
: 0,
n n
H T
× ×
→
adalah fungsi Hamiltonian dan S adalah solusi
persamaan Hamiltonian-Jacobi, untuk setiap fungsi
[ ]
: 0,
n
S T
× →
0,
, ,
S y
S T y =
0, ,
, S
S y
T y ∂
x x
∂ =
∂ ∂
.
n
y ∈
22 Fungsi Hamiltonian dapat disubstitusi ke
persamaan Hamiltonian-Jacobi sehingga diperoleh solusi persamaan Hamiltonian-
Jacobi.
, , ,
,
y
S x y
H x y S x y
x ∂
+ ∇
= ∂
, , ,
,
y
S H x y
S x y x y
x ∂
∇ = −
∂ ,
, , ,
,
y
S S x y
q x y q
x y x
∂ ∇
− = −
∂ L
, , ,
y
S S x y q
x y q x y
, x
∂ ∇
− = −
∂ L
, , ,
y q
S x y x y q
∇ − ∇
= L
, ,
y q
S x y x y q
∇ = ∇ L
,
23 diperoleh
2
1 ,
| |
2
y
S x y q
V x y q
∂ ⎛ ⎞
∇ =
+ ⎜
⎟ ∂ ⎝
⎠ ,
2
1 ,
2 q
V x y q
∂ ⎛ ⎞
= +
⎜ ⎟
∂ ⎝ ⎠
. q
= 24
Jadi turunan pertama solusi persamaan Hamiltonian-Jacobi terhadap y merupakan
minimizer dari persamaan variasional 19. Didefinisikan fungsi Lagrangian baru
, , , ,
, ,
,
y
S x y y
x y y x y
S x y y x
∂ ′
′ ′
= −
− ∇ ∂
L L
dan ,
,
T
I y x y x
y x dx
′ =
∫
L dimana
1 2
, ,
,..., ,
y n
S S
S S x y
y y
y ⎛
⎞ ∂
∂ ∂
∇ = ⎜
⎟ ∂
∂ ∂
⎝ ⎠
T
1 2
, ,...,
n
y y y
y ′
′ ′ ′
=
T
.
yang dapat diturunkan dan turunannya kontinu yang
memenuhi
Untuk setiap ,
y ∈ Ω
, ,
T
I y I y
x y x y x
dx ′
− =
∫
z L
, ,
T
x y x y x
dx ′
−
∫
L
, ,
,
T y
S x y x
S x y x y x
dx x
∂ ⎡
⎤ ′
= + ∇
⎢ ⎥
∂ ⎣
⎦
∫
,
T
d S x y x
dx dx
=
∫
,
T
S x y x =
, 0,
S T y T S
y =
−
= Sehingga persamaan variasional 19 sama
dengan persamaan variasional ekuivalen berikut
min ,
y
I y
∈Ω
25 , ,
.
T
I y x y y dx
′ =
∫
L Diasumsikan
, , x y y′
L
fungsi konveks untuk setiap
[ ]
, 0,
n
x y T
∈ ×
dan
, q x y
adalah minimizer
, , x y y′
L
dimana
, .
y q x y
′ =
Karena persamaan variasional ekuivalen 25 sama dengan persamaan
variasional 19 maka turunan pertama solusi persamaan Hamiltonian-Jacobi terhadap y
juga merupakan minimizer dari persamaan variasional ekuivalen 25.
Pada metode Carathéodory, dicari fungsi S yang memenuhi syarat berikut
1 Untuk setiap
[ ]
, , 0,
,
n n
x y y T
′ ∈ ×
×
, ,
0. x y y′
≥ L
26 2 Untuk setiap
[ ]
, 0,
n
x y T
∈ × ,
, , x y q
= L
27 yang mempunyai solusi
, q
q x y =
yang memenuhi
0, ,
. q
y q T y
=
28 Turunan pertama solusi persamaan
Hamiltonian-Jacobi terhadap y merupakan minimizer persamaan variasional. Dari
teorema diperoleh bahwa solusi minimizer merupakan solusi periodik persamaan
diferensial takotonom. Gambar berikut adalah skema penyelesaian solusi periodik persamaan
diferensial takotonom orde dua dengan metode Carathéodory.
Persamaan diferensial
takotonom
Fungsi Fungsi
Persamaan Lagrangian
Hamiltonian Hamiltonian-Jacobi
Persamaan solusi
variasional Kalkulus
variasi turunan pertama
minimizer solusi
minimizer = turunan pertama solusi solusi minimizer = solusi periodik
persamaan diferensial takotonom
Gambar 2 Skema penyelesaian solusi periodik persamaan diferensial takotonom orde dua dengan metode Carathéodory
3. Contoh Kasus
