KESIMPULAN Penerapan Metode Carathéodory untuk Menentukan Solusi Periodik Persamaan Diferensial Takotonom Orde Dua

2 2 5 sin cos 2 sin 0, x x x y x y y y − ′′ − + + = [ ] 0, 4 , x π ∈ 37 4 , y y π = 4 . y y π = 38 Dari hasil pada contoh kasus maka dapat diperoleh 1 4 3 3 exp 3 exp 12 3 3 exp 3 sin exp 3 s 1 exp 12 1 exp 12 x x x x y x s sds s sds π π π π + = − + − − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ ∫ in 1 3 3 3sin cos 10 x x = − + ⎛ ⎜ ⎝ ⎠ ⎞ ⎟ 39 adalah solusi persamaan diferensial takotonom 37. Perhitungan lengkapnya dapat dilihat di Lampiran 4. Gambar berikut adalah grafik yang memperlihatkan solusi 39 periodik. y 2 3 2 2 5 2 3 7 2 4 x 1.0 0.5 0.5 1.0 Gambar 3 Grafik solusi 1 3 3 3sin cos 10 y x x x = − + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

IV. KESIMPULAN

Dengan menggunakan metode Carathéodory didapatkan hasil bahwa solusi periodik persamaan diferensial takotonom orde dua sama dengan solusi dari minimizer persamaan variasional yang termasuk dalam langkah-langkah metode tersebut. Jadi dapat disimpulkan bahwa metode Carathéodory dapat digunakan untuk mencari solusi periodik persamaan diferensial takotonom orde dua. Pada contoh kasus telah ditunjukkan bahwa metode Carathéodory digunakan untuk persamaan diferensial tak linear. DAFTAR PUSTAKA Beezer, R. A. 2006. A First Course in Linear Algebra. Department of Mathematics and Computer Science: University of Puget Sound. Boas, M. L. 1983. Mathematical Methods in The Physical Sciences 2 nd Edition. Singapore: John Willey Sons Inc. Carathéodory, C. 1999. Calculus of Variations and Partial Differential of First Order 3 rd Edition. USA: AMS Chelsea Publishing. Farlow, S. J. 1994. An Introduction To Differential Equations and Their Applications. Singapore: McGraw-Hill Book Co. Hanum, F. 2006. Pengoptimuman Pemrograman Tak Linear. Bogor: Departemen Matematika FMIPA IPB. Ji, S. G. Shi, S. Y. 2006. Periodic Solutions for a Class of Second-Order Ordinary Differential Equations. Journal of Optimization Theory and Applications. 130: 125-137. Mathews, J. H. 1992. Numerical Methods for Mathematics, Science, and Engineering 2 nd Edition. California: Prentice-Hall International, Inc. Purcell, E. J. 1987. Calculus with Analytic Geometry 5 th Edition. New Jersey: Prentice-Hall, Inc. Rice, B. J. Strange. J. D. 1994. Ordinary Differential Equation with Applications 3rd Edition. Belmont, California: Wadsworth, Inc. Simmons, G. F. 1991. Differential Equations with Applications and Historical Notes Second Edition. Singapore: McGraw-Hill Inc. Stewart, J. 2003. Kalkulus, edisi ke-4 jilid 2. Gunawan H. Susila I. N., alih bahasa; Mahanani N. Safitri A., editor. Jakarta: Erlangga. Terjemahan dari: Calculus, Fourth Edition. Tu, P. N. V. 1993. Introductory Optimization Dynamics: Optimal Control with Economics and Management Applications, Second Revised and Enlarged Edition. Berlin: Springer-Verlag. Verhulst, F. 1990. Non Linier Differential Equation and Dynamical Systems. Hiedelberg, Germany: Springer-Verlag. Wan, Y. M. 1995. Introduction to The Calculus of Variations and Its Application. USA: Chapman Hall. LAMPIRAN Lampiran 1. Bukti Lema dan Teorema Lema 14. Misal [ ] : 0, n S T × → ฀ ฀ adalah fungsi yang terturunkan dan turunannya kontinu dan memenuhi 0, , , S y S T y = 0, , , S S y T y x x ∂ ∂ = ∂ ∂ , n y ∈ ฀ sehingga syarat berikut dipenuhi 1 Untuk setiap [ ] , , 0, , n n x y y T ′ ∈ × × ฀ ฀ , , x y y′ ≥ L 2 Untuk setiap [ ] , 0, n x y T ∈ × ฀ , persamaannya , , x y q = L mempunyai solusi memenuhi . , q q x y = 0, , q y q T y = Misal solusi dari , q q x y = , , x y q = L yang memenuhi 0, , q y q T y = . Jika [ ] : 0, n y T → ฀ solusi dari , , y x q x y x ′ = [ ] 0, x T ∈ 10 y y T = 11 kemudian y x minimizer dari persamaan variasional , min , y I y ∈Ω , , T I y x y x y x dx ′ = ∫ L maka y x adalah solusi periodik dari persamaan diferensial takotonom. Bukti Lema 14. Misalkan [ ] : 0, n y T → ฀ solusi persamaan 10 dapat dilihat , , y x q x y x ′ = n y ∈ ฀ 0, 0 0, 0 , y q y y y T y q y q T y T y ′ = = ′ ′ = = = T sehingga dihasilkan y y T ′ ′ = , yang berarti y ∈ Ω . Dengan syarat 1 dan 2, maka , , , , , x y x y x x y x q x y x ′ ≥ = L L Untuk setiap y ∈ Ω , , , , , T I y I y x y x y x x y x y x dx ⎡ ⎤ ′ ′ − = − ⎣ ⎦ ∫ L L , , , , , T y S x y x y x x y x S x y x y x dx x ∂ ⎡ ⎤ ′ ′ = + + ∇ ⎢ ⎥ ∂ ⎣ ⎦ ∫ L , , , , , T y S x y x y x x y x S x y x y x dx x ∂ ⎡ ⎤ ′ ′ − + + ∇ ⎢ ⎥ ∂ ⎣ ⎦ ∫ L , , , , T x y x y x x y x y x dx ⎡ ⎤ ′ ′ = − ⎣ ⎦ ∫ L L , , , T y S x y x S x y x y x dx x ∂ ⎡ ⎤ ′ + + ∇ ⎢ ⎥ ∂ ⎣ ⎦ ∫ , , , T y S x y x S x y x y x dx x ∂ ⎡ ⎤ ′ − + ∇ ⎢ ⎥ ∂ ⎣ ⎦ ∫ , , , , , T x y x y x x y x q x y x dx ⎡ ⎤ ′ = − ⎣ ⎦ ∫ L L , , , T y S x y x S x y x y x dx x ∂ ⎡ ⎤ ′ + + ∇ ⎢ ⎥ ∂ ⎣ ⎦ ∫ , , , , T y S x y x S x y x q x y x dx x ∂ ⎡ ⎤ − + ∇ ⎢ ⎥ ∂ ⎣ ⎦ ∫ , , , , , T x y x y x x y x q x y x dx ⎡ ⎤ ′ = − ⎣ ⎦ ∫ L L , , T T d d S x y x dx S x y x dx dx dx + − ∫ ∫ , , , , , T x y x y x x y x q x y x dx ⎡ ⎤ ′ = − ⎣ ⎦ ∫ L L , , T T S x y x S x y x + − , , , , , T x y x y x x y x q x y x dx ⎡ ⎤ ′ = − ⎣ ⎦ ∫ L L , 0, , 0, S T y T S y S T y T S y ⎡ ⎤ ⎡ + − − − ⎣ ⎦ ⎣ 0 ⎤⎦ , , , , , T x y x y x x y x q x y x dx ⎡ ⎤ ′ = − ⎣ ⎦ ≥ ∫ L L jadi , I y I y ≥ y ∈ Ω Nilai batas periodik adalah syarat perlu dari persamaan variasional min , y I y ∈Ω . , , T I y x y x y x dx ′ = ∫ L Oleh karena itu, jika persamaan variasional dipenuhi yaitu menemukan minimizernya y x maka nilai batas periodik 11 dipenuhi. y x adalah solusi dari persamaan 10 dengan nilai batas periodik 11 maka y x adalah solusi periodik. Lema 14 terbukti. Teorema 15 Asumsikan bahwa [ ] : 0, n S T × → ฀ ฀ solusi dari persamaan Hamiltonian-Jacobi , , , , y S x y H x y S x y x ∂ + ∇ ∂ = dan [ ] : 0, n q T × → ฀ ฀ n memenuhi , , , , q y x y q x y S x y ∇ − ∇ = L Jika [ ] : 0, n y T → ฀ solusi , , y x q x y x ′ = [ ] 0, x T ∈ y y T = kemudian y x minimizer dari persamaan variasional min , y I y ∈Ω , , , T I y x y x y x dx ′ = ∫ L maka y x solusi periodik dari persamaan diferensial takotonom. Bukti teorema 15 Dengan asumsi pada S dan q, syarat 1 dan 2 dipenuhi. Dengan Lema 14, teorema siap dibuktikan. Misalkan [ ] : 0, n y T → ฀ solusi , , y x q x y x ′ = [ ] 0, x T ∈ 12 y y T = 13 dapat dilihat , , y x q x y x ′ = n y ∈ ฀ 0, 0 0, 0 , y q y y y T y q y q T y T y ′ = = ′ ′ = = = T sehingga dihasilkan y y T ′ ′ = , yang berarti y ∈ Ω . Dan juga, dengan 1 dan 2 maka , , , , , x y x y x x y x q x y x ′ ≥ = L L Untuk setiap y ∈ Ω , diperoleh , , , , T I y I y x y x y x x y x y x dx ⎡ ⎤ ′ ′ − = − ⎣ ⎦ ∫ L L , , , , , T y S x y x y x x y x S x y x y x dx x ∂ ⎡ ⎤ ′ ′ = + + ∇ ⎢ ⎥ ∂ ⎣ ⎦ ∫ L , , , , , T y S x y x y x x y x S x y x y x dx x ∂ ⎡ ⎤ ′ ′ − + + ∇ ⎢ ⎥ ∂ ⎣ ⎦ ∫ L , , , , T x y x y x x y x y x dx ⎡ ⎤ ′ ′ = − ⎣ ⎦ ∫ L L , , , T y S x y x S x y x y x dx x ∂ ⎡ ⎤ ′ + + ∇ ⎢ ⎥ ∂ ⎣ ⎦ ∫ , , , T y S x y x S x y x y x dx x ∂ ⎡ ⎤ ′ − + ∇ ⎢ ⎥ ∂ ⎣ ⎦ ∫ , , , , , T x y x y x x y x q x y x dx ⎡ ⎤ ′ = − ⎣ ⎦ ∫ L L , , , T y S x y x S x y x y x dx x ∂ ⎡ ⎤ ′ + + ∇ ⎢ ⎥ ∂ ⎣ ⎦ ∫ , , , , T y S x y x S x y x q x y x dx x ∂ ⎡ ⎤ − + ∇ ⎢ ⎥ ∂ ⎣ ⎦ ∫ , , , , , T x y x y x x y x q x y x dx ⎡ ⎤ ′ = − ⎣ ⎦ ∫ L L , , T T d d S x y x dx S x y x dx dx dx + − ∫ ∫ , , , , , T x y x y x x y x q x y x dx ⎡ ⎤ ′ = − ⎣ ⎦ ∫ L L , , T T S x y x S x y x + − , , , , , T x y x y x x y x q x y x dx ⎡ ⎤ ′ = − ⎣ ⎦ ∫ L L , 0, , 0, S T y T S y S T y T S y ⎡ ⎤ ⎡ + − − − ⎣ ⎦ ⎣ 0 ⎤⎦ , , , , , T x y x y x x y x q x y x dx ⎡ ⎤ ′ = − ⎣ ⎦ ≥ ∫ L L jadi , I y I y ≥ . y ∈ Ω Nilai batas periodik adalah syarat perlu dari persamaan variasional min , y I y ∈Ω . , , T I y x y x y x dx ′ = ∫ L Oleh karena itu, jika persamaan variasional dipenuhi yaitu menemukan minimizernya y x maka nilai batas periodik 13 dipenuhi. y x adalah solusi dari persamaan 12 dengan nilai batas periodik 13 maka y x adalah solusi periodik. Teorema 15 terbukti. Lampiran 2 Mencari Solusi Persamaan Hamiltonian-Jacobi 33 Akan dicari solusi dari persamaan Hamiltonian-Jacobi berikut 2 2 2 4 1 1 2 2 2 F x f x F x S S y x y y y − ∂ ∂ + − + + ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = . 33 Diasumsikan bahwa solusi memiliki bentuk 2 4 1 2 3 , h x S x y h x y h x y h x y = + + + , 34 dimana dapat diturunkan dan turunannya kontinu dan memenuhi i h x , i i h x T h x + = 1, 2, 3, 4. i = Dari persamaan 34 4 1 2 2 2 S h h x y h x x y y ∂ = + − ∂ 2 2 2 2 2 1 4 2 4 4 1 1 2 2 2 4 4 2 4 4 S h x h x h x h x y h x h x y h x y y ∂ = + − + − + ∂ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ h x h x y y 2 4 1 2 3 S h h x y h x y h x x x y ′ ∂ ′ ′ ′ = + + + ∂ disubstitusikan ke persamaan 33 2 2 2 4 1 1 2 2 2 S S F x f x F x y x y y y ∂ ∂ − = − + + + ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 4 1 2 3 h x h x y h x y h x y ′ ′ ′ ′ + + + 2 2 2 1 4 2 2 4 1 1 2 2 2 2 2 2 h x h x h x h x h x h x y h x h x y y y = − − + − + 2 2 2 4 4 4 1 2 2 2 h x F x f x F x y y y − − + + + y kemudian 2 1 1 1 2 2 h x h x ′ = − + 2 1 1 1 2 2 h x h x ′ + = , 40 2 1 2 2 h x h x h x ′ = − 2 1 2 2 h x h x h x ′ + 0, = 41 2 3 2 1 2 h x h x ′ = − 2 3 2 1 0, 2 h x h x ′ + = 42 4 1 4 2 h x h x h x F x f x ′ = + − 4 1 4 2 , h x h x h x F x f x ′ − = − 43 2 4 0, h x h x = 44 2 2 4 4 4 2 2 h x F x y y − + = 2 2 4 . h x F x = 45 Dari 40-45, diperoleh 1 1 , 2 h x = 2 0, h x = 3 , h x C = 4 , h x F x = − dimana C melambangkan konstanta sembarang. Sehingga diperoleh solusi 2 1 , 2 F x S x y y C y = − + . Lampiran 3 Mencari Solusi Persamaan Diferensial Orde Pertama 2 , F x y y y ′ = + [ ] 0, , x T ∈ 35 y y = T 36 2 3 y y y F x ′ = + misal 3 u y = 2 3 du dy y dx dx = 2 1 3 du dy y dx dx = 2 3 y y y F x ′ = + 1 3 du u F x dx = + 3 3 du u F x dx = + 3 3 du u F x dx − = exp 3 3 3 exp 3 x u u F x x ′ − − = − exp 3 3 exp 3 d x u x dx − = − F x exp 3 3 exp 3 x u x F x d − = − + ∫ x C exp 3 3 exp 3 u x x F x dx = − ∫ C + 1 3 y u = 1 3 exp 3 3exp 3 x x F x dx = − ∫ C + 1 3 3exp 3 exp 3 x x F x dx = − ∫ C + 1 3 3exp 3 exp 3 x y x x s F s ds C = − ⎛ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎝ ∫ + ⎞⎞ ⎟⎟ ⎠⎠ untuk x = 1 3 3 exp 3 y s F s d = − + ⎛ ⎛ ⎞⎞ ⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎝ ⎠⎠ ∫ s C 1 3 3C = untuk x T = 1 3 3exp 3 exp 3 T y T T s F s ds C = − ⎛ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎝ ∫ + ⎞⎞ ⎟⎟ ⎠⎠ T nilai batas periodik y y = 1 1 3 3 3 3 exp 3 exp 3 T C T s F s ds ⇔ = − + ⎛ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎝ ∫ C ⎞⎞ ⎟⎟ ⎠⎠ C C C ds s ds 3 3 exp 3 exp 3 T C T s F s ds ⇔ = − + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ 3 3 exp 3 exp 3 exp 3 T C T s F s ds T ⇔ = − + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ exp 3 exp 3 exp 3 T C T s F s ds T ⇔ = − + ∫ exp 3 exp 3 exp 3 T C T C T s F s ⇔ − = − ∫ 1 exp 3 exp 3 exp 3 T C T T s F ⇔ − = − ∫ exp 3 exp 3 1 exp 3 T T s F s C T − ⇔ = − ∫ ds Jadi 1 3 exp 3 exp 3 3 exp 3 exp 3 1 exp 3 T x T s F s ds y x x s F s ds T − = − + − ⎛ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎝ ∫ ∫ ⎞⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠⎠ 1 3 3exp 3 3 exp 3 exp 3 exp 3 1 exp 3 x T T x x s F s ds s F s ds T + = − + − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ ∫ 1 3 3exp 3 3 exp 3 3exp 3 exp 3 exp 3 1 exp 3 1 exp 3 x T x T x T x s F s ds s F s ds T T − + + = − + − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ ∫ − 1 3 3 exp 3 3exp 3 3 exp 3 3 exp 3 exp 3 exp 3 exp 3 1 exp 3 1 exp 3 1 exp 3 x x T x x T x T x T x s F s ds s F s ds s F s ds T T T − + + + = − + − + − − − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ ∫ ∫ 1 3 3 exp 3 3exp 3 exp 3 exp 3 1 exp 3 1 exp 3 x T x x T x s F s ds s F s ds T T + = − + − − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ ∫ 1 3 exp 3 exp 3 3 exp 3 exp 3 1 exp 3 1 exp 3 x T x x T x s F s ds s F s ds T T + = − + − − − ⎛ ⎛ ⎞⎞ ⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎝ ⎠⎠ ∫ ∫ 1 3 3 exp 3 exp 3 3 exp 3 exp 3 1 exp 3 1 exp 3 x T x x T x s F s ds s F s ds T T + = − + − − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ ∫ 1 3 3 exp 3 exp 3 3 exp 3 exp 3 1 exp 3 1 exp 3 x T x x T x y x s F s ds s F s ds T T + = − + − − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ ∫ . Lampiran 4 Perhitungan Solusi Persamaan 37 1 4 3 3 exp 3 exp 12 3 3 exp 3 sin exp 3 s 1 exp 12 1 exp 12 x x x x y x s sds s sds π π π π + = − + − − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ ∫ in 1 3 3 exp 3 1 exp 12 3 1 3 1 exp 3 cos 3sin exp 12 exp 3 cos 3sin 1 exp 12 10 1 exp 12 10 x x x x x x x x π π π π + = − − + + − − + − + − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 3 3 3 exp 3 cos 3sin exp 3 exp 12 cos 3sin 10 1 exp 12 x x x x x x π π − + − + + = − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 3 3 3 1 exp cos 3sin 10 1 exp 12 x x π π − = − + − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 12 1 3 3 3sin cos 10 x x = − + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . Lampiran 5 Program Untuk Menunjukkan Grafik Solusi 1 3 3 3sin cos 10 y x x x = − + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ fgs[x_]:=If[-310 3 Sin[x]+Cos[x]0, -Abs[-310 3 Sin[x]+Cos[x]] , 13 Evaluate[-310 3 Sin[x]+Cos[x]] ] 13 Plot[fgs[x],{x,0,4π},PlotRange→Full, Ticks→{Table[i,{i,0,4 π,π2}]},AxesLabel→{x},PlotLabel→y] y 2 3 2 2 5 2 3 7 2 4 x 1.0 0.5 0.5 1.0 PENERAPAN METODE CARATHÉODORY UNTUK MENENTUKAN SOLUSI PERIODIK PERSAMAAN DIFERENSIAL TAKOTONOM ORDE DUA ROSITA DWI NUGRAHASTI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008 ABSTRAK ROSITA DWI NUGRAHASTI. Penerapan Metode Carathéodory untuk Menentukan Solusi Periodik Persamaan Diferensial Takotonom Orde Dua. Dibimbing oleh ENDAR H. NUGRAHANI dan ALI KUSNANTO. Persamaan diferensial takotonom merupakan persamaan diferensial yang secara eksplisit memuat variabel bebas. Persamaan diferensial ini jika diberikan kondisi batas periodik akan menghasilkan suatu solusi periodik. Pada karya ilmiah ini akan dipelajari penggunaan metode Carathéodory untuk mencari solusi periodik dari persamaan diferensial takotonom orde dua yang memiliki syarat batas periodik. Berdasarkan penggunaan metode Carathéodory didapatkan hasil bahwa solusi periodik persamaan diferensial takotonom orde dua adalah solusi dari minimizer persamaan variasional. Untuk menggambarkan solusi periodik dari persamaan diferensial takotonom orde dua digunakan bantuan software Mathematica 6. ABSTRACT ROSITA DWI NUGRAHASTI. Application of the Carathéodory Method to Determine the Periodic Solutions of Second Order Nonautonomous Differential Equations. Supervised by ENDAR H. NUGRAHANI and ALI KUSNANTO. Nonautonomous differential equations contain explicitly independent variables. Those equations which have periodic boundary values also have periodic solutions. This paper was to study the application of Carathéodory method to find the periodic solution of second order nonautonomous differential equation. The Carathéodory method showed that the periodic solution is equivalent to the solution obtained via the method of minimizer variational equation. Graphical analysis of the periodic solution obtained for the second order nonautonomous differential equation were visualised using a computer software Mathematica 6.

I. PENDAHULUAN