Himpunan Terbilang dan Himpunan Tak Terbilang

3. Himpunan Terbilang dan Himpunan Tak Terbilang

a. Himpunan Terbilang

Definisi 7.4

Suatu himpunan S disebut terbilang

jika dan hanya jika S ekivalen dengan N himpunan semua bilangan asli.

Contoh 7.2

1) Selidikilah apakah himpunan semua bilangan bulat adalah himpunan terbilang? Penyelesaian: N:

1 2 3 4 5 6 … | | | | | | Z : 0 -1 1 -2 2 -3 ... Ternyata Z ekivalen dengan N, jadi Z himpunan terbilang.

2) Misalkan K adalah himpunan semua bilangan kelipatan k, Selidikilah apakah K himpunan terbilang? Penyelesaian:

N:

1 2 3 4 5 6 7 … | | | | | | | K : 0 -k k -2k 2k -3k 3k ... Ternyata K ekivalen dengan N, jadi K himpunan terbilang.

Contoh 7.3

Misalkan Q himpunan semua bilangan rasional, tunjukanlah bahwa Q himpunan terbilang!

Penyelesaian:

Disefinisikan dahulu bahwa bilangan rasional adalah suatu bilangan yang berbentuk p/q dengan p dan q bilangan bulat, q>0, serta p dan q koprima (tidak mempunyai faktor persekutuan). Untuk semua bilangan bulat a/1 ditulis dengan a, dan 0 ditulis dengan 0/1. Bilangan-bilangan rasional tersebut dapat dikelompokkan menurut indeks yang didefinisikan sebagai berikut: Indeks dari p/q = |p| + q, dengan demikian didapat: Indeks 1 memuat: 0, sebab p = 0, q = 1, |p| + q = 1. Indeks 2 memuat: -1, 1, Indeks 3 memuat: -1/2, 1/2, -2, 2,

Indeks 4 memuat: -1/3, 1/3, -3, 3, Indeks 5 memuat: -1/4, 1/4, -2/3, 2/3, -

3/2, 3/2, -4,.4. dan seterusnya. Tampak bahwa setiap indeks memuat bilangan -bilangan yang terhingga banyaknya. Sebaliknya setiap bilangan rasional mempunyai indeks tertentu. Urutan penulisan bilangan -bilangan di dalam kelompok adalah sedemikian hingga bilanganbilangan yang nilai mutlaknya lebih kecil mendahului bilangan yang nilai mutlaknya lebih besar. Untuk sepasang bilangan rasional yang nilai mutlaknya sama, maka bilangan negatif mendahului bilangan positif. Dengan cara demikian diperoleh barisan panjang sebagai berikut.

0, -1, 1, -1/2, 1/2, -2, 2, -1/3, 1/3, -3, 3, -1/4, 1/4, -2/3, 2/3, -3/2, 3/2, -4, 4, .... Unsur-unsur barisan tersebut dapat dinomori sehingga bariszin tersebut ekivalen dengan N. Jadi himpunan semua bilangan rasional Q adalah himpunan terbilang.

Contoh 7.4

Misalkan Q adalah himpunan semua bilangan rasional, buktikanlah bahwa Q adalah himpunan terbilang.

Bukti:

Disefinisikan dahulu bahwa bilangan rasional adalah suatu bilangan yang. berbentuk p/q dengan p dan q bilangan bulat, q > 0, serta p dan q koprima (tidak mempunyai faktor persekutuan). Untuk semua bilangan bulat a/1 ditulis dengan a, dan 0 ditulis dengan 0/1. Bilangan-bilangan rasional tersebut dapat dikelompokkan menurut indeks yang didefinisikan sebagai berikut:

Indeks Persamaan

3 x+1=0, x -1=0

x 2 -i=0

x+2=0, x-2 = 0 t d k

3x+I = 0 , 3x-1 = 0

2x+2 = 0, 2x-2 = 0

tdk

dan seterusnya.

Dapat dikatakan bahwa setiap persamaan aljabar mempunyai indeks tertentu clan sebaliknya setiap i n d e k s m e n u n j u k b e b e r a p a p e r sa m a a n ya n g banyaknya berhingga. Akar-akar persamaan aljabar tersebut diurutkan sedemikian hingga didapat barisan Sebagai berikut:

0, -1, 1, -1/2, 1/2, -1/3, 1/3. Barisan tersebut dapat dikorespondensikan satu-satu dengan himpunan N. Ini berarti bahwa himpunan semua bilangan aljabar real terbilang.

Catatan:

Himpunan semua bilangan aljabar kompleks (real dan imajiner) juga terbilang.

Teorema 7.1

Jika A dan B himpunan berhingga

maka A B suatu himpunan

berhingga.

Bukti:

Misalkan A = {a 1 ,a 2 ,a 3 ,…,a n }, B= {b 1 ,b 2 ,b 3 , ..., b m }

A B = {a 1 ,a 2 ,a 3 ,…,a n ,b 2 ,b 3 , …, b m }

Jika b, diganti a n+1 , maka didapat:

A B {a 1 ,a 2 ,a 3 ,…,a n ,a n+1, a n+2 ,a n+3 , …, a n+m }.

Ternyata A

B ekivalen dengan N n+m jadi A

B himpunan berhingga.

Teorema 7.2

Jika A himpunan terbilang dan B

himpunan berhingga maka A B

himpunan terbilang.

Bukti:

Misalkan A = {a 1 ,a 2 ,a 3 , ..., a n , …}, B = { b 1 ,b 2 ,b 3 , ..., b k }

Jika a 1 pada A diganti dengan b k+1 , maka didapat:

A B={b 1 ,b 2 ,b 3 ,…,b k ,b k+1, b k+2 , …, b k+n , …}

Maka A

B ekivalen dengan N, jadi A B himpunan terbilang.

Teorema 7.3

ika A himpunan terbilang dan B

himpunan terbilang maka

himpunan terbilang.

Bukti:

Misalkan A = {a 1 ,a 2 ,a 3 , ...}, B = {b 1 ,b 2 ,b 3 , ...} Maka A B={a 1 ,b 1 , a 2 ,b 2 ,a 3 ,b 3 , ...}.

Himpunan A

B ekivalen dengan N. Jadi A B himpunan terbilang.

Teorema 7.4

Setiap himpunan tak hingga

mempunyai suatu subset yang terbilang.

Bukti:

Misalkan S himpunan tak hingga, jadi tak kosong. Maka ada a 1 S demikian juga S - {a 1 } tak kosong, sebab sekiranya kosong maka S = {a 1 } dan ekivalen dengan N 1 yang berarti S himpunan berhingga, hal ini tidak benar. Jadi haruslah ada a 2 S - {a 1 } juga S - {a 1 } tidak kosong. Proses ini dapat diteruskan tanpa akhir. Jika unsur-unsur a 1 , a 2 , a 3 , …, a n telah terpilih, maka masih

ada suatu a n+1 S - {a 1 , a 2 , a 3 , …, a n } sehingga S - {a 1 ,a 2 ,a 3 , …, a n } tak kosong dan seterusnya. Misalkan S*= {a 1 ,a 2 ,a 3 , …, a n , …} jelaslah bahwa S* suatu subset dari S

yang terbilang (S - S* mungkin saja kosong). Dengan ini teorema 7.4 terbukti.

Teorema 7.5

Jika A 1 , A 2 , …, A n masing-masing

A 1 A 2 … A n himpunan

terbilang.

Bukti:

Kita nyatakan unsur-unsur A i sebagai a il , a i2 , a i3 , untuk i = 1, 2, 3, ..., n. Didefinisikan indeks p untuk unsur

sebagai suatu bilangan bulat positif p = i + k. Dengan demikian p ≥ 2, sehingga didapat:

Indeks 2 memuat a 11 . Indeks 2 memuat a 12, a 21 .

Indeks 2 memuat a 13 ,a 22 ,a 31 . Indeks 2 memuat a 14 ,a 23 ,a 32 ,a 41 .

dan seterusnya. Setiap dari gabungan mempunyai indeks tertentu dan sebaliknya pada setiap indeks p≥2 terdapat sejumlah unsur yang berhingga banyaknya. Jadi setiap indeks

menentukan suatu kelompok unsur-unsur yang sama indeksnya, dan unsur-unsur di dalam masing-masing kelompok juga diurutkan. Pada indeks p=i+k terdapat (p-1) atau (i+k-1) buah unsur yang kita urutkan sebagai berikut:

a 1,i+k-1 ,a 2,i+k-2 , …, a i+k-1,1 ,… Perhatikanlah indeks dari a, indeks pertama naik dari 1 sampai dengan sedangkan indeks ke dua turun dari (i+k-1) sampai 1, namun jumlah kedua indeks tetap p=i+k. Jika semua unsur gabungan dari n buah himpunan A tersebut dibariskan didapat barisan sebagai berikut.

a 11 ,a 12 ,a 21 ,a 13 ,a 22 ,a 31 ,a 14 ,a 23 ,a 32 ,a 41 ,…

Jelas bahwa semua unsur dari A 1 A 2 ... A n tersebut di atas ekivalen dengan semua unsur dari N. Jadi A 1 A 2 … A n adalah himpunan terbilang.

Teorema 7.6

Misalkan 𝒜 suatu koleksi terbilang dari himpunan-himpunan terbilang,

maka gabungan semua unsur koleksi tersebut adalah himpunan terbilang.

Teorema 7.7

Jika S suatu himpunan tak hingga

dan S' suatu himpunan terbilang, maka ada korespondensi satu-satu

antara S dan S S'.

Bukti:

Diketahui S adalah himpunan tak hingga, dan S' himpunan terbilang. Menurut teorema 7.8 S mengandung subset terbilang S. Misalkan M = S-S* maka S* dan M saling asing dan S = M S*.

S S' = (M S*) S'

=M (S* S')

S' dan S* masing-masing himpunan terbilang, maka menurut teorema 7.6 S* S' himpunan

S=M S* dan S S'=M (S S'). Ada korespondensi satu-satu T1 : M→M dan T2: S*→(S* u S'). Gabungan kedua korespondensi ini memberikan korespondensi satu-satu antara M S* dan M (S* S'). Ini berarti ada korespondensi satu-satu antara S dan S S'. Dengan ini teorema terbukti.

b. Himpunan Tak Terbilang Definisi 7.5

Jika S suatu himpunan tak hingga dan . tidak ada korespondensi satu-satu

antara S dan N, maka dikatakan S suatu himpunan tak terbilang.

Contoh 7.5

Misalkan R himpunan semua hilangan real, maka R adalah himpunan tak terbilang, buktikanlah:

Bukti:

Misalkan R adalah himpunan yang dapat ditulis dengan pecahan desimal tanpa akhir, sedemikian hingga tidak terdapat digit c ≠ 0 yang diikuti oleh berhingga

banyaknya digit nol. Jadi 0,5 atau

diganti 0,4999..., dan 7 diganti 6,999....

Misalkan r menyatakan bilangan real, maka: r =k 1 k 2 k 3 … k n , a 1 a 2 a 3 … a n … bagian bulat

bagian desimal Umpamakan R adalah himpunan terbilang, yang berarti ekivalen N. Jadi R dapat dibariskan sebagai berikut:

r 1 =B 1 ,a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 … r 2 =B 2 ,a 21 a 22 a 23 a 24 a 25 … r 3 =B 3 ,a 31 a 32 a 33 a 34 a 35 …

r 4 =B 4 ,a 41 a 42 a 13 a 44 a 45 … r 5 =B 5 ,a 51 a 52 a 53 0554 a 55 …

Perhatikanlah digit-digit yang terletak pada diagonal utama matriks di atas. Dibentuk suatu bilangan real r* sebagai berikut.

r* = B*, b 1 b 2 b 3 b 4 b 5 …

dengan bi = 1 jika a ii ≠1 bi = 2 jika a ii =1 Ini berarti bahwa b i =a i; ∀ i N.

Juga r*≠r i ∀ i N. Kita lihat bahwa:

a. r* suatu bilangan real yang berarti r* terdapat pada matriks tersebut di atas, atau r* = r i untuk i tertentu.

b. Dilain pihak r* berbeda dengan setiap r, dari matriks. Ini berarti r* tidak terdapat. dalam matriks.

Hal di atas adalah suatu kontradiksi yang tidak dapat diterima. Hal ini muncul karena kita misalkan R terbilang. Kesimpulan R haruslah himpunan tak terbilang. (cara ini disebut metode Diagonal Cantor).

Contoh 7.6

Misalkan I adalah himpunan semua bilangan irasional, maka I adalah himpunan tak terbilang, buktikanlah!

Bukti:

Misalkan R adalah himpunan semua bilangan real, Q himpunan semua bilangan rasional, dan I himpunan semua bilangan rrasional, maka R = Q I. Jelas bahwa Q dan I dua himpunan yang saling lepas. Misalkan I himpunan terbilang. Menurut contoh 7.3, Q himpunan terbilang, oleh karena itu menurut teorema

I himpunan terbilang. Ini berarti R himpunan terbilang, hal ini suatu kontradiksi dengan contoh 7.5. Jadi haruslah I himpunan tak terbilang.

7.6, Q