Bukti Keabsahan dan Aturan Kuantifikasi Perm u la a n

3 Bukti Keabsahan dan Aturan Kuantifikasi Perm u la a n

Untuk menyusun suatu bukti keabsahan bagi argumen-argumen yang mengandung kuantorkuantor, maka aturan-aturan penyimpulan hares dilengkapi dengan aturan lain. Ada 4 aturan tambahan yaitu: Instansiasi Umum (IU), Generalisasi Umum (GU), Generalisasi Khusus (GK), dan Instansiasi Khusu (IK).

a. Instansiasi Umum (IU)

Suatu kuantifikasi umum dari suatu fungsi proposisi benar jika dan hanya jika setiap hal substitusinya benar. Oleh karena itu setiap hal substitusi suatu fungsi proposisi dapat diturunkan secara sal) dari kuantifikasi umumnya. Secara lambang hal ini dapat dinyatakan sebagai berikut.

dimana adalah sebarang lambang individu. Sebagai contoh kita ambil argument:

 Setiap manusia fana;  Socrates seorarg manusia.  Oleh Karena itu, Socrates fana .

Setelah dilambangkan, berbentuk

b. Generalisasi Umum (GU)

Di dalam Ilmu Ukur, jika kita akan membuktikan bahwa jumlah ketiga sudut suatu segitiga adalah 180 o , maka kita ambil sebarang segitiga, dan bukanlah suatu

segitiga yang khusus (misalnya yang samakaki atau siku-siku). Demikian pula jika kita hendak membuktikan bahwa setiap objek x mempunyai sifat , maka kita ambil sebarang objek dan tunjukkan bahwa objek tersebut mempunyai sifat . Hal ini membawa kita pada aturan berikut. Kuantifikasi umum suatu fungsi proposisi dapat secara sah diturunkan dari suatu hal substitusinya terhadap suatu simbol 'y'. Ini kita lambangkan sebagai berikut.

dimana 'y' menyatakan sebarang individu yang (lipilih. Sebagai contoh kita ambil argument:

 Tiada insan yang sempurna;  setiap manusia adalah insan.  Oleh karena itu, tidak ada manusia yang sempurna.

Argumen ini dapat dilambangkan sebagai berikut.

c. Generalisasi Khusus (GK)

Oleh karena kuantifikasi khusus suatu fungsi proposisi adalah benar jika dan hanya jika fungsi tersebut setidak-tidaknya mempunyai suatu hal substitusi yang benar, maka kita peroleh aturan, sebagai berikut. Kuantifikasi khusus suatu fungsi fungsi proposisi dapat secara sah diturunkan dari sebarang hal substitusinya. Aturan ini memungkinkan bagi kita untuk menurunkan proposisi-proposisi umum yang dikuantifikasi secara khusus. Secara simbol formulanya adalah sebagai berikut.

dimana adalah sebarang lambang individu.

d. Instansiasi Khusu (IK)

Kita perlukan suatu aturan kuantifikasi lagi. Suatu k u a n t i f i k a s i k h u s u s s u a t u p r o p o s i s i menyatakan bahwa sekurang-kw angnya ada suatu individu dimana substitusi dari namanya bagi peubah 'x' ke dalam fungsi proposisi tersebut akan menghasilkan suatu hal substitusi dari padanya. Sudah barang tentu kita samasekali tidak mengetahui apa-apa mengenai individu tersebut. Tetapi kita dapat mengambil sebarang konstanta individu yang berlainan dari 'y', misalnya , yang belum hadir sebelumnya di dalam konteks dan menggunakannya untuk menyatakan individu tersehut, atau individu yang eksistensinya ditegaskan oleh kuantifikasi khusus semula. Setelah kita ketahui

bahwa ada individu yang demikian, dan telah - disepakati pula untuk menyatakannya dengan

, maka kita dapat menurunkan dari kuantifikasi khusus suatu fungsi proposisi hal substitusi fungsi proposisi tersebut terhadap lambang individu . Jadi , maka kita dapat menurunkan dari kuantifikasi khusus suatu fungsi proposisi hal substitusi fungsi proposisi tersebut terhadap lambang individu . Jadi

dimana suatu konstanta individu, lain dari 'y', yang tidak hadir sebelumnya di dalam konteks.

Jika kita pakai kedua aturan kuantifikasi terakhir dalam menyusun suatu bukti formal keabsahan suatu argumen: Semua anjing pemakan daging; ada hewan yang anjing: Oleh karena itu ada hewan yang pemakan daging. (A(x), D(x), H(x))

Bukti: ∀

Jika kita adakan pembatasan pada 1K bahwa hal substitusi yang diturunkan olehnya hanya dapat mengandung suatu konstanta individu yang tidak Nadir sebelumnya di dalam konteks argumen, maka m u n gki n sa j a ki t a a ka n m e m b e r i ka n su a t u pembuktian sebagai berikut

3 Simp 4 Simp 5, 6 Konj 9 KG

Kesalahan yang diperbuat dalam hal ini terdapat pada baris yang ke-4. Premis ke-2 menjamin bahwL. setidak-tidaknya ada suatu individu yang sekaligus anjing dan hewan. Akan tetapi kita tidak dibenarkan u n t u k m e m i l i h b a g i i n d i v i d u i n i , o l e h karma 'w' telah dipakai (dalam baris ke-3) untuk menyatakan individu yang disebut dalam premis pertama, dimana disebut bahwa ada individu yang sekaligus kucing dan hewan. Untuk mencegali hal-hal seperti ini kita hams tunduk pada pembatasan yang telah diberikan dalam penggunaan IK. Haruslah _Has bahwa, jika kita hares memakai IU clan IK di dalam suatu bukti dalam mensubstitusikan terhadap suatu konstanta individu yang sama, maka haruslah kita berikan prioritas kepada IK. Sebarang asumsi dengan skop terbatas dapat dimasukkan ke .dalam suatu Bukti Bersyarat keabsahan suatu argumen, sebagai contoh perhatikan argumen berikut Semua mahasiswa tahun pertama dan tahun kedua diundang dan akan diterima balk. Oleh karena itu, sentua.tahun pertama diundang. Bukti:

1. ∀ ( ) ( )

2. ∀ ( )

3. ( ) ( )

4.

5.

6.

7.

8. ∀

Latihan 9B

Susunlah suatu bukti formal keabsahan argumen-argumen berikut, apabila diperlukan gunakan Aturan Bukti Bersyarat.

1. V x , ( x ) - - > B (x ) B(t) / : . A(t)

2. Vx, (C (x) —> D(x)) Vx, (E(x) --> D(x)) /

Vx, (E(x) —> C(x))

3. V x , ( F ( x ) —> G(x)) x,(H(x)  G(x)) / lx, (H(x) F(x))

4. Vx,(K(x)--> L(4) Vx,(K(x) L(x))--> M(x) / Vx,(14x)----> M(x))

5. V x , Mx ) —> 0(x)) Vx,(P(x)--> 0(x)) / Vx,(GV(x)v P(x)) —> 0(x))

6. Semua atlit berotot. Adi tidak berotot. Oleh karena itu Adi bukan atlit. (A(x),0(x),a)