Solusi Sistem Persamaan Linier Melalui Operasi Pivot

22

2.2 Solusi Sistem Persamaan Linier Melalui Operasi Pivot

Suatu sistem persamaan linier merupakan himpunan terbatas persamaan linier di mana tiap-tiap persamaan memiliki variabel yang sama. Suatu solusi sistem persamaan linier adalah suatu vektor yang secara simultan adalah solusi untuk tiap-tiap persamaan dalam sistem. Himpunan solusi sistem persamaan linier adalah himpunan dari semua solusi sistem. Misalkan ada n buah sistem persamaan berikut : 1 1 2 12 1 11 ... b a x a x a n = + + + E 1 2 2 2 22 1 21 ... b a x a x a n = + + + E 2 3   n n n n b a x a x a = + + + 1 2 2 1 1 ... E n Andaikan himpunan persamaan ini memiliki solusi khusus, satu cara penyelesaian sistem persamaan linier melalui pereduksian persamaan ke suatu bentuk yang diketahui seperti bentuk standar. Dari aljabar linier dasar dapat diketahui bahwa solusi dari persamaan 3 tidak akan berubah menurut operasi berikut : 1. Setiap persamaan E r digantikan oleh persamaan kE r di mana k merupakan suatu konstanta bukan nol, dan 2. Setiap persamaan E r digantikan oleh persamaan E r + kE s di mana E s merupakan persamaan lain dari sistem. Dengan penggunaan operasi dasar ini, sistem persamaan 3 dapat direduksi ke suatu bentuk ekivalen yang sesuai seperti berikut. Pertama beberapa variabel i x dipilih dan dicoba dieliminasi dari semua persamaan kecuali persamaan ke j di mana ji a tidak nol . Ini dapat diselesaikan dengan membagi persamaan ke j dengan ji a dan mengurangi hasil kelipatan ki a dari tiap-tiap persamaan lain, . ,..., 1 , 1 ,..., 2 , 1 n k k k + − = 23 Hasil sistem persamaan dapat ditulis sebagai berikut : 1 1 1 1 , 1 1 1 , 1 2 12 1 11 ... . ... b x a x a x x a x a x a n n i i i i i = + + + + + + + + + − − 2 2 1 1 , 2 1 1 , 2 2 22 1 21 ... . ... b x a x a x x a x a x a n n i i i i i = + + + + + + + + + − −  1 , 1 1 1 , 1 1 1 , 1 2 2 , 1 1 1 , 1 ... . ... − − + + − − − − − − = + + + + + + + j n n j i i j i i i j j j b x a x a x x a x a x a 4 1 1 , 1 1 , 2 2 1 1 ... . 1 ... j n jn i i j i i i j j j b x a x a x x a x a x a = + + + + + + + + + − − 1 , 1 1 1 , 1 1 1 , 1 2 2 , 1 1 1 , 1 ... . ... + + + + + − − + + + = + + + + + + + j n n j i i j i i i j j j b x a x a x x a x a x a  1 1 , 1 1 , 2 2 1 1 ... . ... n n nn i i n i i i n n n b x a x a x x a x a x a = + + + + + + + + + − − Di mana dari keterangan menunjukkan bahwa ij a dan j b diubah dari sistem asli. Operasi pengeliminasian suatu variabel khusus ini dari semua persamaan, kecuali dari satu persamaan disebut operasi pivot. Sistem persamaan 4 dihasilkan oleh operasi pivot yang secara tepat memiliki solusi yang sama seperti himpunan asli dari persamaan 3, yaitu x yang memenuhi persamaan 3 juga memenuhi persamaan 4 dan sebaliknya. Selanjutnya, jika persamaan 4 diambil dan dilakukan suatu operasi pivot yang baru dengan pengeliminasian s x , i s ≠ , pada seluruh persamaan kecuali persamaan ke j t t ≠ , , nol atau 1 pada kolom ke i tidak akan diganggu. Operasi pivot ini dapat diulang tiap kali dengan penggunaan suatu variabel dari persamaan yang berbeda hingga sistem persamaan 4 tereduksi ke bentuk : 1 3 2 1 . ... . . . 1 b x x x x n = + + + + 2 3 2 1 . ... . . 1 . b x x x x n = + + + + 3 3 2 1 . ... . 1 . . b x x x x n = + + + + 5  3 2 1 . 1 ... . . . n n b x x x x = + + + + 24 Sistem dari persamaan 5 ini dikatakan berada dalam bentuk standar dan telah diperoleh setelah mengadakan n operasi pivot. Dari bentuk standar, vektor solusi dapat diperoleh sebagai i i b x = , n i ,..., 2 , 1 = 6 karena himpunan persamaan 5 telah diperoleh dari persamaan 4 hanya melalui operasi dasar. Sistem persamaan 5 ekivalen dengan sistem persamaan 3. Jadi sistem yang diberikan pada persamaan 6 merupakan solusi yang diinginkan untuk persamaan 3. Sebelumnya, sistem persamaan dalam bentuk sistem kuadrat, yang terdiri dari n buah variabel dan persamaan. Sistem tersebut memiliki vektor solusi sebagai i i b x = , n i ,..., 2 , 1 = . Sekarang sistem terdiri dari m persamaan dan n variabel dengan m n ≥ . Untuk memperoleh solusinya, maka diandaikan sistem persamaan ini konsisten sehingga sedikitnya memiliki satu solusi. 1 1 2 12 1 11 ... b a x a x a n = + + + 2 2 2 22 1 21 ... b a x a x a n = + + + 7  m mn m m b a x a x a = + + + ... 2 2 1 1 Jika operasi pivot berkenaan dengan setiap variabel m dilakukan, katakan m x x x ,..., , 2 1 diubah, himpunan hasil persamaan dapat ditulis sebagai berikut : Sistem Kanonik dengan Variabel Khusus m x x x ,..., , 2 1 1 1 1 1 , 1 2 1 ... . ... . . 1 b x a x a x x x n n m m m = + + + + + + + + 2 2 1 1 , 2 2 1 ... . ... . 1 . b x a x a x x x n n m m m = + + + + + + + + 8  1 1 , 2 1 ... . 1 ... . . m n mn m m m m b x a x a x x x = + + + + + + + + variabel pivot variabel bukan pivot konstanta 25 Satu solusi khusus yang dapat selalu diambil dari persamaan 8 adalah i i b x = , m i ,..., 2 , 1 = 9 = i x , n m m i ,..., 2 , 1 + + = Solusi ini disebut suatu solusi basis karena vektor solusi berada tidak lebih dari m buah faktor tidak nol. Variabel pivot m i x i ,..., 2 , 1 , = disebut variabel basis dan variabel i x lainnya, n m m i ,..., 2 , 1 + + = disebut variabel nonbasis. Tentu ini bukan hanya solusi, tapi itu adalah salah satu solusi termudah yang dapat diambil dari persamaan 8, itu memenuhi n j x j ,..., 2 , 1 , = ≥ dan memenuhi persamaan m i b x a i n j j ij ,..., 2 , 1 , 1 = = ∑ = . Oleh karena itu, solusi dapat disebut suatu solusi layak basis. Ada kemungkinan untuk memperoleh solusi basis lainnya dari sistem standar persamaan 8. Suatu operasi pivot tambahan dapat dilakukan pada sistem setelah sistem dalam bentuk standar, menggunakan pq a bukan nol sebagai faktor pivot, m q , dan menggunakan setiap baris p di antara m ,..., 2 , 1 . Sistem baru akan masih berada dalam bentuk standar, tapi dengan q x sebagai variabel pivot pengganti p x . Variabal p x yang merupakan variabel basis pada bentuk standar asli, tidak akan lama menjadi variabel basis pada bentuk standar baru. Sistem standar baru ini mempunyai suatu solusi basis baru yang mana dapat menjadi layak atau tidak layak sama halnya pada persamaan 9. Nilai dari semua variabel basis dapat berubah, secara umum, ketika satu solusi basis bergerak ke solusi basis lainnya hanya satu variabel nol yang mana nonbasis pada bentuk standar asli menjadi bukan nol yang menjadi basis dalam sistem standar baru dan sebaliknya. Dari keterangan di atas dapat dilihat bagaimana solusi basis berpindah ke solusi basis terdekat dengan operasi pivot. Jadi, satu cara untuk menemukan solusi optimal dari masalah program linier yang diberikan adalah dengan membangkitkan semua solusi dan memilih satu yang layak dan sesuai untuk nilai optimal fungsi tujuan. Hal inilah yang nantinya menjadi dasar penyelesaian masalah program linier dengan menggunakan metode simplex. 26 2.3 Metode Simplex Metode simplex pertama kali dikembangkan oleh George B. Dantzig pada tahun 1947. Metode ini telah terbukti efisien untuk memecahkan persoalan program linier dalam skala besar. Metode simplex adalah suatu prosedur aljabar di mana setiap iterasi melibatkan pemecahan suatu sistem persamaan untuk mendapatkan pemecahan baru dan untuk pengujian keoptimalan. Hal ini didasari dari penyelesaian sistem persamaan linier secara umum. Metode simplex sesungguhnya merupakan suatu algoritma, di mana algoritma simplex menguji secara berurutan himpunan penyelesaian layak basis hingga diperoleh penyelesaian optimal. Titik awal algoritma simplex selalu dimulai dengan suatu himpunan persamaan yang mencakup fungsi tujuan bersama-sama kendala masalah dalam bentuk standar. Jadi, tujuan algoritma simplex adalah menemukan vektor ≥ x yang meminimumkan fungsi z dan memenuhi persamaan-persamaan : 1 1 1 1 , 1 2 1 ... . ... . . 1 b x a x a x x x n n m m m = + + + + + + + + 2 2 1 1 , 2 2 1 ... . ... . 1 . b x a x a x x x n n m m m = + + + + + + + + 10  1 1 , 2 1 ... . 1 ... . . m n mn m m m m b x a x a x x x = + + + + + + + + 1 1 2 1 ... . ... . . z x c x c z x x x n mn m m m − = + + + − + + + + + di mana i j ij b c a , , dan z adalah konstanta, z − dinyatakan sebagai suatu variabel dasar dalam bentuk standar dari persamaan 10, solusi dasar yang dengan mudah ditarik dari persamaan 10 adalah i i b x = , m i ,..., 2 , 1 = z z = 11 = i x , n m m i ,..., 2 , 1 + + = 27 Jika solusi basis ini layak, nilai n i x i ,..., 2 , 1 , = adalah nonnegatif dan karena m i b i ,..., 2 , 1 , = ≥ 12 Setelah ditemukan suatu solusi layak basis, maka akan diuji apakah solusi layak tersebut merupakan solusi optimal. Dengan melihat n j c j ,..., 2 , 1 , = , solusi layak basis dapat dinyatakan optimal atau tidak. Teorema berikut menyediakan suatu pengertian dari pengidentifikasian titik optimal. Teorema 2.4.1 Suatu solusi basis yang layak adalah suatu solusi optimal dengan suatu nilai fungsi tujuan minimum z jika semua harga koefisien n m m j c j ,..., 2 , 1 , + + = pada persamaan 10 nonnegatif. Bukti : Dari baris akhir persamaan 10, dapat ditulis z x c z n m i i i = + ∑ + = 1 13 Satu-satunya cara setiap variabel n x x m m ,..., , 2 1 + + dapat diubah menjadi positif adalah dengan membuat nilai mereka sama dengan nol dan dibatasi menjadi nonnegatif. Tapi jika i c untuk n m m i ,..., 2 , 1 + + = , maka kenaikkan setiap i x tidak dapat menurunkn nilai dari fungsi tujuan z . Karena tidak berubah pada variabel nonbasis, untuk dapat menyebabkan z menurun, maka solusi yang dihadirkan harus menjadi optimal dengan nilai optimal z sama dengan z . Jadi, sebagai suatu kesimpulan, suatu solusi layak basis dapat disebut sebagai solusi layak optimal khusus jika j c untuk semua variabel nonbasis n m m j x j ,..., 2 , 1 , + + = .  Jika setelah pengujian keoptimalan, arus solusi layak ditemukan tidak optimal, suatu perbaikan solusi basis diperoleh dari penyajian bentuk standar sebagai berikut. 28 Dari baris akhir persamaan 10, fungsi tujuan dapat ditulis sebagai berikut : ∑ ∑ + = = + + = n m j j j i m i i x c x c z z 1 1 14 z = untuk solusi yang diberikan oleh persamaan 11 Jika sedikitnya satu j c negatif, nilai dari z dapat direduksi dengan pembuatan j x yang sesuai. Dengan kata lain, variabel nonbasis j x yang mana harga koefisien j c negatif, dibuat menjadi suatu variabel basis untuk mereduksi nilai fungsi tujuan. Pada operasi pivot, satu dari variabel basis akan menjadi variabel nonbasis, dan karena itu nilai dari variabel basis yang baru diatur untuk menghasilkan nilai z yang lebih kecil dari z . Jika di sana terdapat lebih dari satu j c , indeks s dari variabel nonbasis s x yang mana dibuat basis dipilih sedemikian hingga = s c minimum j c 15 Jika terdapat lebih dari satu j c yang mempunyai nilai minimum sama, maka salah satu dari mereka dipilih sebagai s c secara sembarang. Setelah diputuskan variabel s x menjadi variabel basis, nilainya dari nilai nol sekarang ini dinaikkan dan diperiksa pengaruhnya pada arus variabel baru. Oleh persamaan 10, ini dihubungkan sebagai        ≥ − = ≥ − = ≥ − = , , , 2 2 2 2 1 1 1 1 m s s m m m s s s s b x a b x b x a b x b x a b x  16 , + = s s s c x c z z 17 Karena s c , persamaan 17 menganjurkan bahwa nilai s x seharusnya menjadi lebih besar kemungkinannya untuk mereduksi nilai z sebanyak mungkin. Akan tetapi, pada proses kenaikan nilai s x , beberapa variabel m i x i ,..., 2 , 1 = pada 29 persamaan 16 dapat menjadi negatif. Itu terjadi jika semua koefisien m i a is ,..., 2 , 1 , = ≤ , maka s x dapat dibuat terbatas besarnya tanpa pembuatan setiap m i x i ,..., 2 , 1 , = . Dalam sebuah contoh kasus, nilai minimum z adalah minus tak terbatas dan masalah program linier dikatakan memiliki solusi tidak terbatas. Di sisi lain, jika sedikitnya satu is a positif, nilai maksimum s x dapat diambil tanpa pembuatan i x negatif. Jika di sana ada lebih dari satu is a , nilai terbesar s x yaitu s x dapat diambil dari pemberian nilai minimum perbandingan     is i a b yang mana is a . Jadi,     = = = . min is i a rs r s a b imum a b x is . 18 Kemudian r dipilih secara sembarang dalam kasus seri, asumsikan semua i b . Jika setiap i b yang mana is a adalah nol pada persamaan 16 maka s x tidak dapat dinaikkan oleh jumlah berapapun, seperti suatu solusi disebut suatu solusi degenerasi. Pada kasus solusi basis yang layak nondegenerasi, suatu solusi layak basis baru dapat dikonstruksikan dengan suatu nilai yang lebih rendah dari fungsi tujuan sebagai berikut. Dengan pensubstitusian nilai s x yang diberikan oleh persamaan 16 dan 17 diperoleh : . , , 2 , 1 , , , 2 , 1 ,        ≠ + + = = = ≠ = ≥ − = = s j dan n m m j x x r i dan m i x a b x x x j r s is i i s s   19 z x c z z s s ≤ + = 20 yang mana dengan cepat dapat dilihat untuk menjadi suatu solusi layak yang berbeda dari sebelumnya. Karena is a pada persamaan 18, suatu operasi pivot tunggal pada elemen is a dalam sistem persamaan 10 akan memimpin ke suatu bentuk 30 standar baru yang mana solusi basis dari 19 dapat dengan mudah diperoleh. Juga persamaan 20 menunjukkan bahwa solusi layak basis ini sesuai untuk nilai fungsi tujuan yang lebih rendah dibandingkan persamaan 11. Solusi layak basis ini dapat lagi diperiksa keoptimalannya dengan melihat apakah semua i c pada bentuk standar baru. Jika solusi tidak optimal, maka prosedur keseluruhan harus diulangi, prosedur bergerak ke solusi basis lainnya dari satu solusi layak basis sekarang ini. Pada algoritma simplex, prosedur ini diulangi dalam suatu cara iteratif hingga algoritma menemukan salah satu hal berikut : 1. Suatu kelas dari solusi layak optimal yang mana −∞ → z atau 2. Suatu solusi layak basis optimal dengan semua ≥ i c , n i , , 2 , 1  = Karena hanya ada beberapa cara yang terbatas untuk memilih suatu himpunan m variabel basis yang keluar dari n variabel, proses iteratif algoritma simplex akan berakhir pada beberapa putaran yang terbatas. Langkah-langkah metode simplex juga dapat diturunkan dalam bentuk matriks, tepatnya dengan menggunakan invers matriks. Suatu formula umum untuk langkah- langkah metode simplex dalam bentuk vektor matriks. Anggap bahwa masalah mempunyai n variabel dan m persamaan kendala yang bebas linier. Minimum x c z T = Dengan kendala : ≥ = x b Ax Misalkan x menjadi suatu solusi layak basis dengan variabel terurut     = N B x x x Di mana B x adalah vektor variabel basis dan N x adalah vektor variabel nonbasis sekarang ini bernilai nol. Fungsi tujuan dapat ditulis sebagai : N T N B T B x c x c z + = Di mana koefisien untuk variabel basis yaitu B c dan koefisien untuk variabel nonbasis yaitu N c . Sama halnya kendala ditulis dengan b x N x B N B = + . Kendala dapat dituliskan kembali sebagai N B x N B b B x 1 1 − − − = . Oleh perubahan nilai variabel 31 s s s s B B x c z z dan x A x x + ← − ← dapat digunakan untuk nonbasis, semua solusi yang mungkin untuk b x A = dapat diperoleh. Jika formula ini disubstitusikan ke dalam formula untuk z maka hasil yang diperoleh adalah : N T B T N T B x N B c c b B c z 1 1 − − − + = . Jika B T T T B c B B c y − − = = 1 maka z dapat dituliskan sebagai N T T N T x N y c b y z − + = . Vektor y merupakan vektor pengali simplex. Arus nilai variabel dan tujuan diperoleh dengan pembuatan = N x . Ini dinyatakan oleh b B c z dan b B b x T B B 1 1 − − = = = . Misalkan j c menjadi elemen pada vektor 1 N B c c c T B T N T N − − = sesuai untuk j x . Koefisien j c disebut harga reduksi dari j x . Maka N t N x c z z + = . Untuk menguji keoptimalan, apa yang akan terjadi pada fungsi tujuan akan diperiksa jika tiap-tiap variabel nonbasis dinaikkan dari nol. Jika j c , fungsi tujuan akan naik, jika j c = , tujuan tidak akan berubah dan jika j c , tujuan akan menurun. Oleh karena itu jika j c untuk beberapa j maka fungsi tujuan dapat diperbaiki jika j x dinaikan dari nol. Jika basis sekarang tidak optimal maka suatu variabel s x dengan s c dapat dipilih untuk masuk basis. Sekali variabel masuk s x telah dipilih, kemudian nilai s x harus ditentukan besar kenaikannya sebelum kendala kenegatifan dilanggar. Ini menentukan variabel mana jika ada yang akan meninggalkan basis. Variabel basis didefinisikan oleh N B x N B b B x 1 1 − − − = . Dan dengan pengecualian s x , semua komponen N x adalah nol. Jadi s B x A b x − = di mana s A merupakan vektor s A B 1 − dan s A adalah kolom ke s dari A . Komponen persamaan ini diperiksa dengan cara s s i i i B x a b x , − = Jika ik a maka i B x akan menurun ketika variabel masuk s x menaik dan i B x akan sama dengan nol ketika ik i s a b x = . Jika is a maka i B x akan menaik dan 32 jika is a = 0 maka i B x akan tetap tidak berubah. Variabel s x dapat dinaikkan sepanjang semua variabel tetap nonnegatif yaitu hingga ia menjangkau nilai,         ≤ ≤ = , ; 1 min s i is i s a a b m i imum x Perbandingan minimum dari tes perbandingan mengidentifikasikan variabel nonbasis baru, dan karena itu menentukan solusi layak basis baru dengan s x sebagai variabel basis baru. Formula : menentukan nilai baru fungsi tujuan dan variabel basis pada basis sekarang. Variabel s x diberikan nilai s x ; sisa variabel nonbasis tetap nol. Jika ≤ is a untuk semua nilai i , maka tidak ada satupun basis akan menurun nilainya ketika s x dinaikan dari nol, sehingga s x dapat dibuat lebih besar secara sembarang. Pada kasus ini fungsi tujuan akan menurun tanpa batas ketika ∞ → s x , mengidentifikasikan bahwa program linier tidak mempunyai minimum terbatas. Seperti suatu masalah dikatakan “ tidak terbatas “. Dengan demikian metode simplex dapat diperlihatkan sebagai berikut. Metode diawali dengan suatu matriks basis B sesuai untuk solusi layak basis, 1 ≥ = = − b B b x B . Langkah-langkah algoritma diberikan sebagai berikut : 1. Tes keoptimalan. Hitung vektor 1 − = B c y T B T . Hitung koefisien N T T N T N y c c − = . Jika ≥ T N c maka basis sekarang optimal, prosedur iteratif dihentikan. Sebaliknya, pilih suatu variabel s x yang memenuhi s c sebagai variabel masuk. 2. Langkah. Hitung s s A B A 1 − = , koefisien kendala sesuai untuk variabel masuk. Temukan suatu indeks i yang memenuhi 33         = ≤ ≤ ; min , 1 , s i is i m i s r r a a b imum a b Tes perbandingan ini menentukan variabel yang keluar dan “ elemen pivot “ s r a , . Jika ≤ is a untuk semua i , maka masalah tidak terbatas. 3. Pivot – Perbaharui matriks basis dan vektor variabel basis . B x Kembali ke langkah pertama. Perhitungan pada metode simplex dapat disajikan dalam bentuk tabel di mana tabel menggunakan invers matrix basis. Langkah-langkah yang digunakan pada tabel sesuai dengan langkah-langkah algoritma simplex di atas. Pada bagian dasar dari tabel berisi koefisien kendala program linier dalam bentuk standar. Bagian atas baris tabel terdiri dari koefisien fungsi tujuan.Untuk memberi tekanan, nilai tujuan dikalikan -1, baris atas tabel diberikan label z − . Kolom pertama tabel berisi variabel basis dan label kolom sisi kanan mencatat nilai z − dan variabel basis. Karena matrix basis dasar adalah I B = , entri pada bagian dasar kolom “ sisi kanan “ adalah b B b x B 1 − = = dan entri pada baris dasar adalah harga reduksi c sekarang. Pada setiap iterasi entri dalam tabel akan disajikan pada bagian basis sekarang sehingga kolom “ sisi kanan “ akan mencakup b dan baris atas akan mencakup c . Suatu formula umum akan diberikan untuk tabel. Suatu program linier dalam bentuk standar dengan n variabel dan m kendala persamaan. Pada iterasi ini, vektor dari variabel basis dan nonbasis secara tepat diasumsikan sebagai T n B x x x x ,..., , 2 1 = dan T n m m N x x x x ,..., , 2 1 + + = . Tabel yang sesuai untuk program linier asli dan perubahannya ditunjukkan oleh tabel 2.1 . 34 Tabel 2.1 Perubahan Nilai pada Tabel Simplex Iterasi Variabel Basis Persamaan Koefisien Dari Sisi Kanan z Variabel Asli Variabel Slack - z 1 T B c T N c B x 1,2,…,m B N b … … … … … … … … … … … … n - z 1 T N c - T B c N B 1 − - b B c T B 1 − B x 1,2,…,m I N B 1 − b B 1 − 2.4 Teori Dualitas dan Metode Dual Simplex Setiap model program linier memiliki dua bentuk yaitu primal dan dual. Bentuk asli dari suatu model program linier disebut bentuk primal, sedangkan bentuk alternatif yang dikembangkan dari bentuk primal disebut dual. Kegunaan bentuk dual bagi para pengambil keputusan adalah bahwa dengan mereka dapat melihat alternatif permasalahan dari sisi yang berbeda. Bentuk primal akan menghasilkan solusi dalam bentuk jumlah laba yang diperoleh dari memproduksi barang, sedangkan bentuk dual memberikan informasi mengenai nilai harga dari sumber-sumber yang membatasi tercapainya laba tersebut. Suatu masalah minimum dalam bentuk standar jika semua kendala bertipe “ ≥ “ dan semua variabel nonnegatif. Minimum x c z T = Dengan kendala b Ax = ≥ x Memiliki bentuk dual Maksimum y b w T = Dengan kendala c y A T ≤ ≥ y 35 Jika masalah primal memiliki n variabel dan m kendala maka masalah dual akan mempunyai m variabel satu variabel dual untuk satu kendala primal dan n kendala satu kendala dual untuk satu variabel primal . Koefisien pada tujuan primal merupakan koefisien pada sisi sebelah kanan dual, dan sebaliknya. Matrix kendala pada dual adalah transpos dari matrix pada primal. Masalah dual adalah masalah memaksimumkan, di mana semua kendala bertipe “ ≤” dan semua kendala nonnegatif. Ini mengarah kepada bentuk standar untuk masalah maksimum. Kedua bentuk permasalahan di atas disebut pasangan primal dual dan itu dapat dilihat dari relasi berikut, bahwa dual dari dual adalah primal. Teorema 2.5.1 Dual dari program linier dual adalah program linier primal. Bukti : Masalah minimum dalam bentuk standar Minimum x c z T = Dengan kendala b Ax ≥ ≥ x Program dualnya yaitu : Maksimum y b w T = Dengan kendala c y A T ≤ ≥ y Ini ekivalen dengan masalah minimum berikut dalam bentuk standar : Minimum y b w T − = Dengan kendala c y A T − ≥ − ≥ y Dual masalah ini adalah Maksimum x c z T − = Dengan kendala b Ax − ≤ − ≥ x 36 Program linier ini ekivalen dengan program Minimum x c z T = Dengan kendala b Ax ≥ ≥ x yang adalah program linier primal.  Beberapa teorema berikut mendukung sifat-sifat dasar yang berhubungan dengan masalah program linier dual. Teorema 2.5.2 Misalkan x menjadi suatu titik layak untuk masalah primal dalam bentuk standar dan misalkan y menjadi suatu titik layak untuk masalah dual, maka w y b x c z T T = ≥ = Bukti : Kendala untuk masalah dual menunjukkan bahwa A y c T T ≥ . Karena , ≥ x w y b b y Ax y x c z T T T T = = = ≥ = .  Teorema 2.5.3 Pada pasangan masalah primal dan dual, jika satu masalah mempunyai solusi optimal maka masalah yang lain juga mempunyai salusi optimal dan nilai optimal keduanya adalah sama. Bukti : Untuk mempermudah, perlu asumsi bahwa 1. Masalah primal mempunyai solusi optimal karena peran primal dan dual dapat berganti 2. Masalah primal dalam bentuk standar. 3. x , solusi untuk primal adalah solusi layak basis optimal. Dengan mengurutkan variabel dan menulis x dalam bagian variabel basis dan nonbasis :     = N B x x x dan menulis B A = N dan     = N B c c c maka b B X B 1 − = . Jika x adalah harga reduksi optimal memenuhi 1 ≥ − − N B c c T B T N atau T N T B c N B c ≤ −1 . 37 Misalkan y menjadi vektor pengali simplex sesuai untuk solusi layak basis ini; B c B y 1 − = atau 1 − = B c y T B T . Akan ditunjukkan bahwa y adalah layak untuk dual dan x c y b T T = . Maka dari teorema 2.5.1 menunjukkan bahwa y adalah solusi untuk dual. Pemeriksaan kelayakan : B B c A y T B T 1 − = N T B c = T B T B c N B c ≤ −1 T T N c c = , oleh karena itu c y A T ≤ dan y memenuhi kendala dual. Nilai tujuan untuk primal dan dual adalah z x c b B c b y w z b B c b y y b w b B c x c x c z B T B T B T T B T T T B B T B T = = = = = = = = = = = − − − 1 1 1 sehingga y adalah layak untuk dual dan mempunyai nilai dual yang sama dengan nilai optimal primal. Oleh karena itu, dari teorema 2.5.1, y adalah optimal untuk dual atau oleh karena z adalah batas atas untuk B T c B y w − = , menyelesaikan dual dan oleh karena itu teorema terbukti.  Metode simplex primal memulai penyelesaian masalah program linier primal dengan solusi layak basis dan mengiterasikannya hingga kondisi optimal terpenuhi. Masalah dual juga dapat memakai metode simplex, dimulai dengan suatu solusi layak untuk program dual dan diiterasikan hingga kondisi optimal dual terpenuhi. Kondisi optimal untuk primal sesuai dengan kondisi optimal untuk dual. Hasil ini diturunkan sebagai bagian dari pembuktian teorema 2.5.1 di mana itu ditunjukkan bahwa kondisi optimal primal 1 ≥ − − N B c c T B T N adalah sama untuk kondisi optimal dual c y A T ≤ . Di mana B c B y 1 − = merupakan vektor pengali simplex sesuai pada basis. Jadi, metode simplex primal bergerak melalui barisan layak primal tapi basis 38 tidak layak dual. Tiap iterasi mereduksi ketidaklayakan dual hingga keoptimalan primal terpenuhi. Metode dual simplex bekerja pada cara “ dual”. Bergerak melalui suatu barisan layak dual tapi basis tidak layak primal, mereduksi ketidaklayakan primal hingga kondisi primal terpenuhi. Walaupun metode dual simplex dapat dilihat sebagai penggunaan metode simplex untuk masalah dual, namun metode dual simplex dapat juga diimplementasikan secara langsung dalam hubungan masalah primal, jika suatu solusi layak tersedia. Misalkan masalah diselesaikan secara mendasar pada bentuk standar dengan beberapa b , harga koefisien relatif untuk variabel basis = B c dan semua lainnya ≥ N c . Karena beberapa b negatif, solusi primal akan tidak layak dan kerena semua ≥ c , solusi dual yang sesuai akan menjadi layak. Oleh karena itu metode dual simplex berakhir ketika basis sekarang adalah layak primal dan sebaliknya, iterasi metode dual simplex dimulai dengan pemeriksaan nilai ≥ B x . Jika tidak demikian, beberapa entri s B x digunakan untuk menjadi baris pivot. Dengan menggunakan argumen yang sama, iterasi metode dual simplex diturunkan seperti pada metode simplex primal. Andaikan bahwa suatu variabel r B x tidak layak hingga elemen sebelah kanannya b seperti keterangan di atas. Sementara kendala ke s pada basis sekarang mempunyai bentuk : , = + ∑ ∈ r N j j j s r B b x a x di mana N merupakan himpunan indeks variabel nonbasis dan     j s a , merupakan entri pada baris s dari A B 1 − . Jika beberapa entri , j r a dan variabel nonbasis j x digantikan s B x pada basis, maka nilai baru j x akan menjadi , j s s a b , yang mana variabel basis baru akan menjadi layak. Tidak semua variabel nonbasis dapat masuk basis karena kondisi layak dual keoptimalan primal harus tetap terpenuhi. Jika j x adalah variabel masuk, maka harga reduksi baru akan memenuhi 39 j s l s j l l a a c c c , , − = − untuk n l ,..., 2 , 1 = jika j l = maka = l c . Karena tiap l c harus menjadi nonnegatif, rasio terkecil         j s j a c , dengan , j s a menentukan mana harga reduksi menjadi nol pertama kali. Tes perbandingan memerlukan perhitungan j r j a c , untuk setiap variabel nonbasis j yang mana , j s a . Jadi itu penting untuk mengetahui elemen pada baris pivot. Sebaliknya, baris pivot harus dihitung. Elemen nonbasis pada baris yang masuk ditunjukkan oleh j T s A B e 1 − di mana s e adalah kolom ke s dari matriks identitas m m × . Elemen ini dapat dihitung oleh 1 − = B e T s T σ yaitu penghitungan baris r dari 1 − B kemudian pembentukan j T A σ untuk semua variabel nonbasis j . Harga perhitungan akhir ini hampir sama ketika langkah penetapan harga     j c pada metode simplex primal. Pivot yang ditunjukkan seperti pada metode simplex primal. Sebaliknya kolom pivot dihitung menggunakan t t A B A 1 − = dan harga reduksi sekarang ini menggunakan j s t s t j j a a c c c , , − ← . Akhirnya B x dan 1 − B terbaharui. Selanjutnya metode simplex dapat disimpulkan sebagai berikut. Pada basis asli, harga reduksi harus memenuhi ≥ j c . Ada 3 tiga langkah utama; tes kelayakan, langkah, dan pivot : 1. Tes kelayakan. Jika 1 ≥ = = − b B b x B , maka basis sekarang adalah suatu solusi. Sebaliknya, r B x dipilih sebagai variabel keluar, di mana . s b 40 2. Langkah. Pada baris pivot baris dengan elemen j T s j r A B c a 1 , − = , di mana s c merupakan kolom ke s dari matriks identitas temukan suatu indeks t yang memenuhi         = ≤ ≤ , 1 , min j s j n j t s t a c imum a c ; , j s a , j x nonbasis. Ini menentukan variabel masuk t x dan elemen pivot t s a , . Jika tidak terdapat indeks t , maka masalah primal tidak layak dan masalah tidak terbatas. 3. Pivot. Hal ini menggambarkan program linier pada hubungan basis baru. Metode dual simplex juga memberikan langkah-langkah yang mudah pada penyelesaian masalah dual dalam bentuk tabel. 1. Baris r dipilih sebagai baris pivot sedemikian hingga = − r b minimum − i b 2. Kolom s sebagai kolom pivot sehingga         − = − − − − rj j a s r s a c imum a c rj , _ min Jika semua ≥ − rj a , primal tidak akan mempunyai satupun solusi layak optimal. 3. Adakan suatu operasi pivot pada rs a − 4. Uji keoptimalan. Jika semua ≥ − i b maka solusi sekarang adalah optimal dan karena itu prosedur iteratif dihentikan. Selain itu, kembali ke langkah 1 41

2.6 Analisis Sensitivitas