Prosedur Penyelesaian Masalah Program Linier Parametrik

46

BAB 3 PEMBAHASAN

Pada bab sebelumnya telah dibahas teori-teori yang akan digunakan untuk menyelesaikan masalah program linier parametrik. Pada bab ini akan diperlihatkan suatu prosedur yang lengkap untuk menyelesaikan masalah program linier parametrik.

3.1 Prosedur Penyelesaian Masalah Program Linier Parametrik

Masalah program linier parametrik terdiri oleh 2 bagian masalah. Masalah pertama adalah perubahan kontinu parameter pada koefisien fungsi tujuan j c dan masalah kedua adalah perubahan kontinu parameter konstan sisi kanan ini menunjukkan nilai kuantitas batasan . Oleh karena itu, prosedur penyelesaian masalah program linier dibedakan menjadi 2 bagian berikut.

3.1.1 Prosedur Penyelesaian untuk perubahan kontinu parameter

j c Untuk kasus perubahan kontinu pada parameter koefisien tujuan, permasalahan dalam bentuk skalar Minimum ∑ = + = n j j j j x c z 1 θ α θ Dengan kendala i n j j ij b x a = ∑ =1 , m i ,..., 2 , 1 = n j x j ,..., 2 , 1 , = ≥ dan dalam bentuk matrik dinyatakan oleh Minimum x c z T αθ + = Dengan kendala b Ax = ≥ x 47 akan diperiksa, di mana parameter θ diperkenankan mencakup semua nilai positif dan negatif. Anggap bahwa program linier diselesaikan dengan = θ sehingga fungsi tujuan ∑ ∑ = = = + = n j j j n j j j j x c x c z 1 1 θ α θ atau x c z T αθ + = x c T = Teknik dari analisis sensitivitas akan digunakan untuk menguji bagaimana solusi berubah ketika θ diubah dari nol. Jika basis sekarang tetap optimal, maka solusi basis optimal sekarang b B x B 1 − = tidak akan berubah. Oleh karena itu hanya kondisi optimal yang perlu diperiksa. Untuk masalah pengganggu, mereka adalah 1 ≥ + − + − N B c c T B B T N N θ α θ α atau N B c c N B T B T N T B T N 1 1 − − − − ≥ − α α θ , di mana N α dan B α menyatakan gangguan-gangguan pada N c dan B c secara berturut-turut. Ketidaksamaan ini harus dipenuhi untuk setiap komponen dalam tes keoptimalan. Koefisien pada sisi sebelah kanan yaitu harga reduksi metode simplex memenuhi 1 ≥ − = − N B c c c T B T N T N karena basis sekarang diasumsikan optimal. Untuk θ , ketidaksamaan hanya diperhatikan ketika 1 − − i T B T N N B α α . Sebagai suatu hasil, θ dapat dinaikkan hingga nilai       − − − − = − − − − : min 1 1 1 i T B T N i T B T N i T B T N i N B c N B N B c c α α α α θ sebelum basis sekarang berhenti menjadi optimal. Untuk − θ θ basis berubah dan indeks i yang menentukan − θ spesifik variabel masuk untuk metode simplex. Sama halnya, untuk θ , itu mungkin untuk menurunkan θ hingga nilai 48         − − − − = − − − − : max 1 1 1 i T B T N i T B T N i T B T N i N B N B N B c c α α α α θ sebelum basis sekarang berhenti menjadi optimal. Lagi, indeks i yang menentukan − θ spesifik untuk variabel masuk. Untuk     ∈ − θ θ θ , harga reduksi variabel nonbasis diperlihatkan oleh formula + − − N B c c T B T N 1 N B T B T N 1 − − α α θ . Nilai tujuan parametrik ditunjukkan oleh B T B x z z θα θ + = 0 di mana z adalah nilai tujuan untuk masalah dengan = θ . Jika, ketika percobaan menghitung − θ , di sana tidak ada indeks yang memenuhi 1 − − i T B T N N B α α maka θ dapat dinaikkan tanpa batas dengan basis sekarang tetap optimal. Jika, ketika penggunaan metode simplex untuk menentukan basis baru pada − θ , di sana tidak ada variabel keluar, maka program linier tidak terbatas untuk − θ θ . Sama halnya, jika tidak ada indeks yang memenuhi 1 − − i T B T N N B α α maka θ dapat diturunkan tanpa batas dengan basis sekarang tetap optimal. Jika tidak ada variabel keluar pada − θ , maka program linier tidak terbatas untuk − θ θ . Prosedur di atas dapat disimpulkan sebagai berikut. 1. Ubah masalah program linier parametrik ke dalam bentuk standar. 2. Selesaikan masalah dengan = θ oleh metode simplex. 3. Gunakan prosedur analisis sensitivitas pada kasus perubahan parameter koefisien fungsi tujuan untuk memperkenalkan θ α j j c = ∆ ke dalam fungsi tujuan. 4. Naikkan atau turunkan θ hingga nilai tertentu sebelum kondisi optimal dilanggar atau hingga variabel nonbasis yang memiliki koefisien pada fungsi tujuan menjadi negatif. 49 5. Gunakan variabel ini sebagai variabel basis yang masuk untuk iterasi metode simplex selanjutnya sehingga solusi optimal baru ditemukan. Kembali ke langkah 4. Prosedur Penyelesaian untuk perubahan kontinu parameter i b Untuk kasus perubahan kontinu pada parameter i b , bentuk masalah dalam skalar Minimum ∑ = = n j j j x c z 1 θ Dengan kendala θ α i i n j j ij b x a + = ∑ =1 , m i ,..., 2 , 1 = n j x j ,..., 2 , 1 , = ≥ dan dalam bentuk matrix dinyatakan oleh Minimum x c z T = dengan kendala αθ + = b Ax ≥ x akan diperiksa, di mana parameter θ diperkenankan mencakup semua nilai positif dan negatif. Suatu teknik yang sama dengan prosedur penyelesaian perubahan kontinu parameter koefisien tujuan dapat dikembangkan untuk menyelesaikan masalah ini. Anggap bahwa program linier diselesaikan dengan = θ sehinga konstanta sisi kanan i i i n j j ij b b x a = + = ∑ = θ α 1 atau b b Ax = + = αθ . Teknik dari analisis sensitivitas akan digunakan untuk menguji bagaimana solusi berubah ketika θ diubah dari nol. Jika basis sekarang tetap layak, maka solusi basis optimal sekarang 1 ≥ − = − N B c c c T B T N T N tidak akan berubah. Oleh karena itu, hanya kondisi layak yang perlu diperiksa. 50 Pada masalah pengganggu, kondisi solusi layak basis akan tetap terpenuhi sepanjang 1 ≥ + − αθ b B atau ekivalen sepanjang αθ 1 1 − − − ≥ B b B . Ketidaksamaan ini harus dipenuhi untuk setiap komponen dalam tes kelayakan. Basis sekarang memenuhi 1 ≥ − b B karena untuk setiap komponen basis sekarang diasumsikan menjadi layak. Untuk θ , ketidaksamaan hanya diperhatikan ketika 1 − i B α . Sebagai suatu hasil, θ dapat dinaikkan hingga nilai       − = − − − − : min 1 1 1 i i i i B B b B α α θ sebelum basis sekarang berhenti menjadi layak. Untuk − θ θ , basis berubah, dan indeks i yang menetukan − θ spesifik variabel masuk untuk metode simplex. Sama halnya, untuk θ , itu mungkin untuk menurunkan θ hingga nilai       − = − − − − : max 1 1 1 i i i i B B b B α α θ sebelum basis sekarang berhenti menjadi layak. Lagi, indeks i yang menentukan − θ spesifik untuk variabel masuk. Untuk     ∈ − θ θ θ , , nilai solusi basis diperlihatkan oleh formula α θ 1 1 − − − + = B b B x . Nilai fungsi tujuan ditunjukkan oleh : α θ θ 1 1 − − + = B c b B c z T B T B α θ 1 − + = B c z T B di mana z adalah nilai tujuan untuk masalah dengan = θ . Jika, ketika percobaan menghitung − θ , di sana tidak ada indeks i yang memenuhi 1 − i B α maka θ dapat dinaikkan tanpa batas dengan basis sekarang tetap layak dan optimal. Jika, ketika penggunaan metode simplex untuk menentukan basis baru pada − θ , di sana tidak ada variabel keluar, maka program linier tidak terbatas untuk − θ θ . Sama halnya, jika tidak ada indeks yang memenuhi 1 − i B α maka θ dapat diturunkan tanpa batas dengan basis sekarang tetap layak. Jika tidak ada variabel keluar pada − θ , maka 51 program linier tidak terbatas untuk − θ θ . Metode dual simplex juga dapat dipakai untuk menemukan solusi basis untuk tiap-tiap titik kritis θ sehingga solusi layak dan optimal dapat diperoleh. Kesimpulan prosedur penyelesaian masalah perubahan konstan sisi kanan adalah sebagai berikut. 1. Ubah masalah program linier parametrik ke dalam bentuk standar. 2. Selesaikan masalah dengan = θ oleh metode simplex. 3. Gunakan prosedur analisis sensitivitas pada kasus perubahan konstan sisi kanan untuk memperkenalkan θ α i i b = ∆ . 4. Naikkan atau turunkan θ hingga nilai tertentu sebelum kondisi layak dilanggar atau sebelum nilai di kolom sisi kanan menjadi negatif. 5. Gunakan variabel ini sebagai variabel masuk untuk suatu iterasi metode dual simplex selanjutnya untuk menemukan solusi optimal baru. Kembali ke langkah 4.

3.2 Penyelesaian Contoh Masalah Program Linier Parametrik