Program Linier LANDASAN TEORI

16

BAB 2 LANDASAN TEORI

Pada bab ini akan dibahas beberapa konsep-konsep dasar yang berhubungan dan mendukung penentuan solusi optimal masalah program linier parametrik. Dengan demikian, akan mempermudah dalam hal pembahasan pada bab berikutnya.

2.1 Program Linier

Program linier merupakan suatu metode optimisasi yang dapat dipakai untuk penyelesaian masalah yang muncul dengan fungsi tujuan dan kendala masalah dalam bentuk fungsi linier dari variabel-variabel keputusannya. Kendala masalah program linier mungkin dalam bentuk kesamaan atau ketidaksamaan. Bentuk umum masalah program linier dapat dinyatakan dalam bentuk standar berikut. 1. Dalam bentuk Skalar Minimum n n x c x c x c z + + + = . . . 2 2 1 1 Dengan kendala m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a = + + + = + + + = + + + . . . . . . . . . 2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11  atau dalam bentuk Minimum ∑ = = n j j j x c z 1 Dengan kendala m i b x a i n j j ij , . . . , 2 , 1 , 1 = = ∑ = dan n j x j , . . . , 2 , 1 = ≥ 17 2. Dalam bentuk matrik Minimum x c z T = Dengan kendala ≥ = x b x A di mana                     =                   =                   =                   = mn m m n n n m n a a a a a a a a a A c c c c b b b b x x x x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . , . 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 1 . . 2 1 Karakteristik masalah program linier dapat dibedakan dalam bentuk standar yaitu : 1. Fungsi tujuan adalah jenis meminimumkan. 2. Semua kendala berbentuk persamaan. 3. Semua variabel keputusan nonnegatif. 4. Semua nilai kuantitas batasan nonnegatif. Setiap masalah program linier dapat diletakkan ke dalam bentuk standar dengan menggunakan transformasi berikut : 1. Pemaksimuman suatu fungsi z adalah ekivalen dengan peminimuman dari negatif fungsi yang sama dan sebaliknya. Contoh : Fungsi tujuan Minimum n n x c x c x c z + + + = . . . 2 2 1 1 Ekivalen kepada maksimum n n x c x c x c z z − − − − = − = . . . 2 2 1 1 18 2. Jika suatu kendala muncul dalam bentuk ketidaksamaan “ lebih kecil atau sama dengan “ ≤ seperti k n kn k k b x a x a x a ≤ + + 2 2 1 1 maka itu dapat diubah ke dalam bentuk kesamaan dengan menambahkan satu variabel pengurang tidak negatif sebagai berikut : k n n kn k k b x x a x a x a = + + + + +1 2 2 1 1 . . . Sama halnya jika kendala muncul dalam bentuk ketidaksamaan “ lebih besar atau sama dengan “ ≥ seperti k n kn k k b x a x a x a ≥ + + 2 2 1 1 maka itu dapat diubah ke dalam bentuk kesamaan dengan mengurangkan suatu variabel seperti k n n kn k k b x x a x a x a = − + + + +1 2 2 1 1 . . . dimana 1 + n x adalah variabel nonnegatif yang dikenal sebagai variabel penambah. Sisi kanan suatu persamaan dapat selalu dibuat tidak negatif dengan mengalikan kedua sisi dengan –1 dan arah pertidaksamaan dibalik jika kedua sisi dikalikan –1. 3. Variabel Sebagian atau semua variabel dikatakan unrestricted jika mereka dapat memiliki nilai negatif atau positif. Variabel unrestricted dapat diekspresikan dalam dua variabel tidak negatif dengan menggunakan subsitusi x x x j j − = Di mana j x =Variabel unrestricted dan , ≥ x x j Beberapa terminologi yang digunakan dalam program linier dan beberapa teorema penting yang berhubungan dengan masalah ini adalah sebagai berikut : 1. Himpunan Konvex, merupakan suatu koleksi dari titik-titik sedemikian hingga jika 1 x dan 2 x merupakan setiap dua titik dalam koleksi, maka gabungan segmen garis kedua titik-titik tersebut juga berada dalam koleksi. 19 Jika S menyatakan himpunan konvex, maka S dapat didefinisikan secara matematika sebagai berikut : Jika 2 1 , x x ∈ S , maka S x ∈ di mana 1 , 1 2 1 ≤ ≤ − + = α α α x x x 2. Vertek titik ekstrim , merupakan suatu titik pada himpunan konvex yang tidak terletak pada gabungan segmen garis kedua titik lain pada himpunan. 3. Solusi layak, merupakan setiap solusi dalam masalah program linier yang memiliki kendala-kendala b Ax = dan ≥ x . 4. Solusi basis, merupakan suatu solusi di mana n-m variabel himpunan sama dengan nol. Solusi basis dapat diperoleh dengan membuat n-m variabel sama dengan nol dan menyelesaikan persamaan dengan simultan. 5. Basis, merupakan koleksi dari variabel-variabel himpunan yang tidak sama dengan nol untuk memperoleh solusi basis. 6. Solusi layak basis, adalah solusi basis yang memenuhi kondisi nonnegatif dari persamaan ≥ j x , 7. Solusi layak basis nondegenerasi, adalah suatu solusi layak basis yang secara tepat mempunyai m nilai i x yang positif. 8. Solusi optimal, adalah suatu solusi layak yang mengoptimalkan fungsi tujuan. 9. Solusi basis optimal, merupakan suatu solusi layak basis yang mana fungsi tujuannya adalah optimal terbaik . 20 Teorema 2.1.1 Daerah layak S dari suatu masalah program linier adalah konvex. Bukti :Daerah layak S dari suatu masalah program linier standar didefinisikan sebagai } { , ≥ = = x b Ax x S . Misalkan titik 1 x dan 2 x termasuk himpunan layak S sedemikian hingga b Ax = 1 , 1 ≥ x 1 b Ax = 2 , 2 ≥ x 2 Atau dengan mengalikan persamaan 1 dengan λ dan persamaan 2 dengan 1- λ dan menjumlahkan mereka ,maka diperoleh A [ ] 2 1 1 x x λ λ − + = b λ +1- λ b =b b Ax = λ Di mana λ x = λ 1 x + 1- λ 2 x . Jadi titik λ x memenuhi kendala dan jika , 1 ≥ ≤ ≤ λ λ x . Oleh karena itu teorema terbukti.  Teorema 2.1.2 Suatu titik x adalah suatu titik ekstrim dari himpunan { } , : ≥ = x b Ax x jika dan hanya jika x adalah solusi layak basis. Bukti : ⇐ Akan diperlihatkan jika x adalah solusi layak basis maka x juga merupakan titik ekstrim. Pertama-tama, diasumsikan m n − variabel akhir dari x adalah nonbasis sehingga     =     = B N B x x x x . Misalkan B menjadi basis invertibel sesuai untuk B x . Dengan kontradiksi akan dibuktikan : Jika x bukan suatu titik ekstrim maka terdapat 2 dua titik layak yang berbeda, y dan z memenuhi z y x λ λ − + = 1 dengan 1 ≤ ≤ λ . Pada basis yang sama y dan z dapat ditulis     = N B y y y dan     = N B z z z . Baik y dan z adalah layak, sehingga ≥ N y dan ≥ N z . Karena N N N z y x λ λ − + = = 1 dan 1 ≤ ≤ λ , semua bagian pada sisi kanan adalah nonnegatif, dan karena itu dapat disimpulkan 21 = = N N z y . Juga karena z y x , , adalah layak, mereka memenuhi kendala persamaan masalah sehingga b Bz By Bx B B B = = = . Karena B adalah invertibel, B B B z y x = = , kontradiksi dengan asumsi bahwa y dan z adalah titik yang berbeda dari x . Oleh karena itu, x adalah titik ekstrim. ⇒ Akan diperlihatkan jika x adalah titik ekstrim maka x adalah solusi layak basis. Ini juga akan dibuktikan dengan kontradiksi. Suatu titik ekstrim x harus menjadi layak sedemikian hingga b Ax = dan ≥ x . Dengan mengurutkan variabel sehingga variabel nol terakhir dapat ditulis sebagai     = N B x x x di mana = N x dan ≥ B x . Dapat ditulis N B A , = di mana B dan N adalah koefisien yang sesuai untuk B x dan N x , secara berturut-turut. B dapat diasumsikan sebagai matriks bujur sangkar . Jika kolom B bebas linier maka x adalah solusi layak basis dan tidak perlu dibuktikan. Jadi, dianggap kolom B adalah bergantung linier dan dikonstruksikan titik layak y dan z memenuhi z y x 2 1 2 1 + = , dengan memperlihatkan itu, x tidak dapat menjadi titik ekstrim. Misalkan i B menjadi kolom ke i dari B . Jika kolom B bergantung linier maka terdapat bilangan rill k p p ,..., 1 yang tidak semuanya nol, sedemikian hingga ... 2 2 1 1 = + + + k k p B p B p B . Jika p didefinisikan sebagai T k p p p ,..., 1 = maka persamaan di atas dapat ditulis sebagai = p B . Catatan, b Bx B Bx x B B p B p B = = ± = ± λ λ untuk semua nilai λ . Karena B x untuk setiap nilai positif terkecil ε akan dimiliki + p x B ε dan − p x B ε . Misalkan     + = N B x p x y ε dan     − = N B x p x z ε . Kemudian diperoleh z y x 2 1 2 1 + = yang mana mengekspresikan x sebagai kombinasi dari dua titik berbeda dalam himpunan konvex, ini tidak dapat terjadi atau kontradiksi dengan asumsi di atas karena x adalah suatu titik ekstrim. Jadi B adalah bebas linier dan oleh karena itu x adalah suatu solusi layak basis.  22

2.2 Solusi Sistem Persamaan Linier Melalui Operasi Pivot