Crashing Dengan Model Linear Programming

2.8.1. Crashing Dengan Model Linear Programming

Untuk jaringan yang besar maka diperlukan prosedur matematis untuk menentukan keputusan crashing optimal. Dalam hal ini pemograman linear dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah crashing jaringan. Hal pertama yang dikerjakan dalam menentukan keputusan crashing adalah menentukan variabel-variabel keputusan sebagai berikut : i x = waktu terjadinya peristiwa i j x = waktu terjadinya peristiwa j m x = waktu terjadinya peristiwa paling akhir m ij t = waktu kegiatan j i → ij tc = waktu crashing maksimum kegiatan j i → ij τ = kemungkinan maksimum pengurangan waktu untuk aktivitas j i → karena crashing maksimum ij C = menyatakan biaya untuk aktivitas j i → dalam waktu normal. ij Cc = menyatakan biaya dengan aktivitas j i → dengan crashing maksimum j i S → = Slope biaya untuk kegiatan j i → Dimana i , j = node 1,2,3,... j i → = nama kegiatan A,B,C,... Oleh karena tujuan yang terutama adalah memperpendek atau mempersingkat waktu penyelesaian proyek dengan meminimalkan biaya crashing, maka fungsi tujuan program linearnya adalah : ∑ m m m S Min τ .................................................................................................2.6 Dimana ij S = biaya crash untuk kegiatan j i → berdasarkan waktu per unit. Dan yang menjadi fungsi kendala adalah waktu maksimum untuk crashing. Universitas Sumatera Utara Untuk kendala yang menjelaskan struktur jaringan, dimulai dari event i dengan asumsi bahwa = i x Untuk event berikutnya i A A j x t x + − ≥ τ j B B k x t x + − ≥ τ . . . 1 − + − ≥ m Z Z m x t x τ Selanjutnya dengan dengan menggunakan metode simpleks dapat diperoleh jawaban optimalnya. Kendala untuk model ini mencakup penggambaran jaringan kerja dan pembatasan waktu crash aktivitas. Dari semua ini, kendala yang digunakan untuk menggambarkan jaringan mungkin merupakan kendala yang paling sulit. Kendala kendala itu didasarkan pada persyaratan berikut ini : 1. waktu terjadinya peristiwa i i x harus lebih besar daripada atau sama dengan waktu penyelesaian aktivitas untuk semua aktivitas yang menuju node atau peristiwa itu. 2. waktu awal suatu aktivitas sama dengan waktu terjadinya node atau peristiwa pendahulunya. 3. waktu untuk menyelesaikan satu waktu aktivitas adalah sama dengan waktu normalnya dikurang panjang waktu yang dicrash. Dengan menambah batasan bahwa ≥ m x maka dapat dicari waktu crashing optimal dengan menggunakan metode simpleks. Sebagai contoh diambil sebuah jaringan kerja pembangunan sebuah ruko, dimana akan dicari waktu percepatan optimalnya dengan menggunakan metode simpleks. Universitas Sumatera Utara Contoh 2 Tabel 2.3. Logika ketergantungan Pembangunan Ruko Kode Nama Kegiatan Waktu hari Kegiatan yang mendahului A Pembersihan 7 - B Dinding 6 - C Atap 8 A D Lantai 5 B E Cat + Keramik 7 C, D Dengan estimasi biaya pembangunan ruko adalah sebagai berikut : Tabel 2.4. Estimasi biaya Kode Nama kegiatan Waktu normal hari Waktu crashing max hari Biaya normal Rp. .000 Crash costhari Rp. .000 A Pembersihan 7 3 800 200 B Dinding 6 2 1200 300 C Atap 8 3 500 100 D Lantai 5 2 360 120 E Cat + keramik 7 3 600 150 Penyelesaian: Berdasarkan Tabel Logika ketergantungan diatas maka dapat digambarkan jaringan kerjanya sebagai berikut : Universitas Sumatera Utara 1 C D B 5 4 3 2 A 6 7 8 5 E 15 7 7 7 15 22 22 6 10 Gambar 2.5. Jaringan kerja pembangunan ruko i Penentuan Jalur Kritis Perhitungan maju - 1 ES = 0 - 2 ES = maks A D ES + 1 = maks 0 + 7 = 7 - 3 ES = maks B D ES + 1 = maks 0 + 8 = 8 - 4 ES = maks D C D ES D ES + + 3 2 , = maks 5 6 , 8 7 + + = maks 11 , 15 = 15 - 5 ES = maks E D ES + 4 = maks 15 + 7 = 22 Perhitungan mundur - 22 5 5 = = ES LF - 4 LF = min E D LF − 5 = min 22 – 7 = 15 Universitas Sumatera Utara - 3 LF = min D D LF − 4 = min 15 – 5 = 10 - 2 LF = min C D LF − 4 = min 15 – 8 = 7 - 1 LF = min A B D LF D LF − − 2 3 , = min 7 7 , 6 10 − − = 0 Dengan menggunakan formulasi 2.2 yaitu : ij i j i j D LF LF ES ES = − = − Maka yang menjadi jalur kritis pada jaringan kerja pembangunan ruko adalah : A – C – E 1 C D B 5 4 3 2 A 6 7 8 5 E 15 7 7 7 15 22 22 6 10 Gambar. 2.6. Jalur kritis Pembangunan ruko ii Penentuan Biaya Crashing Optimum dengan menggunakan pendekatan Program Linear. Data dari tabel dan gambar yang dilengkapi dengan informasi waktu penyelesaian, dapat digunakan untuk memformulasikan model linear programming. Jika i x adalah waktu yang yang dibutuhkan untuk menyelesaikan event - i , dan j τ adalah waktu percepatan yang dapat dilakukan pada aktivitas j , maka untuk proyek pada contoh diatas dapat diformulasikan : Universitas Sumatera Utara Min Z = 200.000 A τ + 300.000 B τ + 100.000 C τ + 120.000 D τ + 150.000 E τ Dengan kendala time crash dan time normal selisih kendala E D C B A         ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ 3 2 3 2 3 τ τ τ τ τ 13 6 ≤ x → kendala batas waktu percepatan Untuk kendala yang menjelaskan struktur jaringan, dimulai dari event -1 dengan asumsi bahwa 1 = x Untuk event – 2 : 2 x ≥ A aktivitas normal waktu - percepatan waktu A τ + x A aktivitas untuk awal Waktu 1 = 2 x ≥ 7 - A τ + 0 atau 2 x + A τ - 1 x ≥ 7 Untuk event – 3 : 3 x 6 + − ≥ B τ atau 6 1 3 ≥ − + x x B τ Untuk event – 4, dibutuhkan dua kendala, yaitu jalur aktivitas C dan jalur aktivitas D : 4 x 2 8 x C + − ≥ τ atau 8 2 4 ≥ − + x x C τ 4 x 3 5 x D + − ≥ τ atau 5 3 4 ≥ − + x x D τ Untuk event – 5 : 5 x 4 7 x E + − ≥ τ atau 7 4 5 ≥ − + x x E τ Dengan menambah batasan , , , , 5 4 3 2 1 ≥ x x x x x , maka dengan menggunakan metode simpleks waktu yang optimal untuk percepatan akan didapat. Universitas Sumatera Utara Tabel 2.5. Tabel Simpleks pertama pendahuluan A τ B τ C τ D τ E τ 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 1 s 2 s 3 s 4 s 5 s 6 s 7 A 8 s 8 A 9 s 9 A 10 s 10 A 11 s 11 A 12 s 12 A 13 s 14 s 15 s 16 s 17 s Sol . basis Cj 200 300 100 120 150 1 s 1 1 3 2 s 1 1 2 3 s 1 1 3 4 s 1 1 2 5 s 1 1 3 6 s 1 13 7 A M 1 1 8 A M 1 -1 1 -1 1 7 9 A M 1 -1 1 -1 1 6 10 A M 1 -1 1 -1 1 8 11 A M 1 -1 1 -1 1 5 12 A M 1 -1 1 -1 1 7 13 s -1 1 14 s -1 1 15 s -1 1 16 s -1 1 17 s -1 1 Cj – Zj 200 300 100 120 150 M Universitas Sumatera Utara Tabel 2.6. Tabel Simpleks kedua A τ B τ C τ D τ E τ 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 1 s 2 s 3 s 4 s 5 s 6 s 7 A 8 s 8 A 9 s 9 A 10 s 10 A 11 s 11 A 12 s 12 A 13 s 14 s 15 s 16 s 17 s basis Cj 200 300 100 120 150 Sol. Ras. 1 s 1 1 3 M 2 s 1 1 2 M 3 s 1 1 3 M 4 s 1 1 2 M 5 s 1 1 3 M 6 s 1 1 13 M 7 A M 1 1 M 8 A M 1 -1 1 -1 1 7 M 9 A M 1 -1 1 -1 1 6 M 10 A M 1 -1 1 -1 1 8 8 11 A M 1 -1 1 -1 1 5 5 12 A M 1 -1 1 -1 1 7 13 s -1 1 M 14 s -1 1 M 15 s -1 1 M 16 s -1 1 17 s -1 1 M Cj – Zj 200 300 100 120 150 M -1 -1 -1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 1 1 1 33 Masuk : 4 x ; keluar 11 A Universitas Sumatera Utara Tabel 2.7. Tabel Simpleks ketiga A τ B τ C τ D τ E τ 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 1 s 2 s 3 s 4 s 5 s 6 s 7 A 8 s 8 A 9 s 9 A 10 s 10 A 11 s 11 A 12 s 12 A 13 s 14 s 15 s 16 s 17 s basis Cj 200 300 100 120 150 Sol. Ras. 1 s 1 1 3 M 2 s 1 1 2 M 3 s 1 1 3 M 4 s 1 1 2 M 5 s 1 1 3 M 6 s 1 1 13 M 7 A M 1 1 M 8 A M 1 -1 1 -1 1 7 M 9 A M 1 -1 1 -1 1 6 6 10 A M 1 -1 -1 1 -1 1 3 3 4 x 1 -1 1 1 -1 5 5 12 A M 1 1 -1 1 -1 1 -1 1 12 13 s -1 -1 1 1 M 14 s -1 1 M 15 s -1 1 M 16 s 1 -1 -1 -1 1 1 5 17 s -1 1 M Cj – Zj 200 300 100 120 150 M -1 -1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 1 1 1 28 Masuk : 3 x ; keluar 10 A Universitas Sumatera Utara Tabel 2.8. Tabel Simpleks keempat A τ B τ C τ D τ E τ 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 1 s 2 s 3 s 4 s 5 s 6 s 7 A 8 s 8 A 9 s 9 A 10 s 10 A 11 s 11 A 12 s 12 A 13 s 14 s 15 s 16 s 17 s basis Cj 200 300 100 120 150 Sol Ras. 1 s 1 1 3 M 2 s 1 1 2 M 3 s 1 1 3 M 4 s 1 1 2 M 5 s 1 1 3 M 6 s 1 1 13 M 7 A M 1 1 M 8 A M 1 -1 1 -1 1 7 7 9 A M 1 -1 1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 -1 3 3 3 x 1 -1 -1 1 -1 1 1 1 3 3 4 x 1 -1 1 -1 1 8 5 12 A M 1 1 -1 1 -1 1 -1 1 15 13 s -1 1 M 14 s -1 1 M 15 s 1 -1 -1 -1 1 1 -1 1 3 M 16 s 1 -1 -1 1 1 8 17 s -1 1 M Cj – Zj 200 300 100 120 150 M -1 -1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 1 1 1 25 Masuk : 2 x ; keluar 9 A Universitas Sumatera Utara Tabel 2.9 . Tabel Simpleks kelima A τ B τ C τ D τ E τ 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 1 s 2 s 3 s 4 s 5 s 6 s 7 A 8 s 8 A 9 s 9 A 10 s 10 A 11 s 11 A 12 s 12 A 13 s 14 s 15 s 16 s 17 s basis Cj 200 300 100 120 150 Sol. Ras. 1 s 1 1 3 M 2 s 1 1 2 M 3 s 1 1 3 M 4 s 1 1 2 M 5 s 1 1 3 M 6 s 1 1 13 13 7 A M 1 1 M 8 A M 1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 4 M 2 x 1 -1 1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 1 3 M 3 x 1 -1 1 -1 1 6 M 4 x 1 1 -1 1 -1 1 -1 1 11 M 12 A M 1 1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 18 18 13 s -1 1 M 14 s 1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 3 M 15 s 1 -1 -1 1 1 6 M 16 s 1 1 -1 -1 1 -1 1 1 11 M 17 s -1 1 M Cj – Zj 200 300 100 120 150 M -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 22 Masuk : 5 x ; keluar 6 s Universitas Sumatera Utara Tabel 2.10. Tabel Simpleks keenam A τ B τ C τ D τ E τ 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 1 s 2 s 3 s 4 s 5 s 6 s 7 A 8 s 8 A 9 s 9 A 10 s 10 A 11 s 11 A 12 s 12 A 13 s 14 s 15 s 16 s 17 s basis Cj 200 300 100 120 150 Sol. Ras. 1 s 1 1 3 M 2 s 1 1 2 M 3 s 1 1 3 3 4 s 1 1 2 M 5 s 1 1 3 M 5 x 1 1 13 M 7 A M 1 1 M 8 A M 1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 4 4 2 x 1 -1 1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 1 3 M 3 x 1 -1 1 -1 1 6 M 4 x 1 1 -1 1 -1 1 -1 1 11 M 12 A M 1 1 1 -1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 5 M 13 s -1 1 M 14 s 1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 3 M 15 s 1 -1 -1 1 1 6 M 16 s 1 1 -1 -1 1 -1 1 1 11 M 17 s 1 1 13 M Cj – Zj 200 300 100 120 150 M -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 9 Masuk : C τ ; keluar 3 s Universitas Sumatera Utara Tabel 2.11. Tabel Simpleks ketujuh A τ B τ C τ D τ E τ 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 1 s 2 s 3 s 4 s 5 s 6 s 7 A 8 s 8 A 9 s 9 A 10 s 10 A 11 s 11 A 12 s 12 A 13 s 14 s 15 s 16 s 17 s basis Cj 200 300 100 120 150 Sol. Ras. 1 s 1 1 3 M 2 s 1 1 2 M C τ 100 1 1 3 M 4 s 1 1 2 M 5 s 1 1 3 3 5 x 1 1 13 M 7 A M 1 1 M 8 A M 1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 1 4 2 x 1 1 -1 1 1 -1 1 1 -1 -1 1 6 M 3 x 1 -1 1 -1 1 6 M 4 x 1 1 -1 1 -1 1 -1 1 11 M 12 A M 1 1 1 -1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 5 5 13 s -1 1 M 14 s 1 1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 1 1 6 M 15 s 1 -1 -1 1 1 6 M 16 s 1 1 -1 -1 1 -1 1 1 11 M 17 s 1 1 13 M Cj – Zj 200 300 120 150 -100 300 M -1 -1 1 1 1 1 1 1 1 6 Masuk : E τ ; keluar 5 s Universitas Sumatera Utara Tabel 2.12 . Tabel Simpleks kedelapan A τ B τ C τ D τ E τ 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 1 s 2 s 3 s 4 s 5 s 6 s 7 A 8 s 8 A 9 s 9 A 10 s 10 A 11 s 11 A 12 s 12 A 13 s 14 s 15 s 16 s 17 s basis Cj 200 300 100 120 150 Sol. Ras. 1 s 1 1 3 3 2 s 1 1 2 M C τ 100 1 1 3 M 4 s 1 1 2 M E τ 150 1 1 3 M 5 x 1 1 13 M 7 A M 1 1 M 8 A M 1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 1 1 2 x 1 1 -1 1 1 -1 1 1 -1 -1 1 6 M 3 x 1 -1 1 -1 1 6 M 4 x 1 1 -1 1 -1 1 -1 1 11 M 12 A M 1 1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 2 M 13 s -1 1 M 14 s 1 1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 1 1 6 M 15 s 1 -1 -1 1 1 6 M 16 s 1 1 -1 -1 1 -1 1 1 11 M 17 s 1 1 13 M Cj – Zj 200 300 120 -100 -150 750 M -1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 Masuk : A τ ; keluar 8 A Universitas Sumatera Utara Tabel 2.13. Tabel Simpleks kesembilan A τ B τ C τ D τ E τ 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 1 s 2 s 3 s 4 s 5 s 6 s 7 A 8 s 8 A 9 s 9 A 10 s 10 A 11 s 11 A 12 s 12 A 13 s 14 s 15 s 16 s 17 s basis Cj 200 300 100 120 150 Sol. Ras. 1 s 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 2 2 2 s 1 1 2 M C τ 100 1 1 3 M 4 s 1 1 2 2 E τ 150 1 1 3 M 5 x 1 1 13 M 7 A M 1 1 M A τ 200 1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 1 1 2 x 1 1 -1 1 1 -1 1 1 -1 -1 1 6 6 3 x 1 -1 1 -1 1 6 M 4 x 1 1 -1 1 -1 1 -1 1 11 11 12 A M 1 1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 2 2 13 s -1 1 M 14 s 1 1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 1 1 6 6 15 s 1 -1 -1 1 1 6 M 16 s 1 1 -1 -1 1 -1 1 1 11 11 17 s 1 1 13 M Cj – Zj 500 320 100 -150 200 -200 -200 200 200 -200 -200 200 950 M -1 -1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 Masuk : D τ ; keluar 1 s Universitas Sumatera Utara Tabel 2.14 . Final tabel A τ B τ C τ D τ E τ 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 1 s 2 s 3 s 4 s 5 s 6 s 7 A 8 s 8 A 9 s 9 A 10 s 10 A 11 s 11 A 12 s 12 A 13 s 14 s 15 s 16 s 17 s basis Cj 200 300 100 120 150 Sol. D τ 120 1 1 1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 2 2 s 1 1 2 C τ 100 1 1 3 4 s -1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 E τ 150 1 1 3 5 x 1 1 13 7 A M 1 1 A τ 200 1 1 3 2 x -1 1 -1 -1 1 4 3 x 1 -1 1 -1 1 6 4 x -1 1 -1 -1 -1 1 -1 1 9 12 A M -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 13 s -1 1 14 s -1 -1 -1 1 1 4 15 s 1 -1 -1 1 1 6 16 s -1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 9 17 s 1 1 13 Cj – Zj 180 -320 -220 -150 -120 120 120 -120 -120 120 120 -120 1590 M 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Universitas Sumatera Utara Dengan penggunaan metode simpleks diatas maka didapat : • 3 = A τ • = B τ • 3 = C τ • 2 = D τ • 3 = E τ Min Z = Rp. 1.590.000 Maka penambahan biaya untuk percepatan peroyek adalah sebesar Rp. 1.590.000,- dengan waktu pengerjaan proyek setelah dipercepat adalah selama 16 hari. Universitas Sumatera Utara BAB 3 PEMBAHASAN

3.1. Bentuk Permasalahan