, 1
11 11
1 1
11
M M
K =
− =
+
, 1
12 12
2 1
12
M M
K −
= −
=
+
, 1
13 13
3 1
13
M M
K =
− =
+
dan seterusnya. Dengan menggunakan contoh diatas diperoleh:
,
13 13
12 12
11 11
M a
M a
M a
A +
− =
13 13
12 12
11 11
K a
K a
K a
+ +
=
Dari hasil tersebut, dapat diturunkan sifat-sifat dibawah ini: Hari determinan suatu matriks A tingkat n sama dengan jumlah hasil ganda setiap
elemen suatu baris kolom dari A dengan kofaktor yang bersesuaian, jadi:
nj nj
j j
j j
K a
K a
K a
A +
+ +
= ...
2 2
1 1
yang disebut ekspansi Laplance menurut kolom j.
2.4 Mencari Invers Matriks
Misalkan A matriks kuadrat tingkat n, dimana A tidak singular. Dari Aadj A =
n
I A
terdapat:
n
I A
A adjA
A A
• =
− −
1 1
, memberikan : A
adjA A
1
=
−
yang ditulis lengkap dengan:
Universitas Sumatera Utara
⎟⎟ ⎟
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
=
−
A K
A K
A K
A K
A K
A K
A K
A K
A K
A
mn n
n n
n
2 1
2 22
12 1
21 11
1
L M
M M
M L
L
⎟⎟ ⎟
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
=
− mn
n n
n n
K K
K K
K K
K K
K A
A L
M M
M M
L L
2 1
2 22
12 1
21 11
1
1
2. 5 Persamaan polinomial dengan metode Bairstow
Secara umum polinomial dituliskan dalam bentuk:
f
n
x= a x
n
+a
1
x
1 −
n
+a
2
x
2 −
n
+a
3
x
3 −
n
+ ......+
n
a .......................... 1
Dalam rencana judul skripsi ini yang akan dibahas adalah polinomial rill, yakni polinomial yang semua koefisiennya
1
a ,
2
a ,...,
n
a terdiri dari bilangan rill.
Polinomial ril ini bisa saja mempunyai akar-akar rill : Suatu polinomial berderajat n mamiliki sifat-sifat sebaai berikut:
4. Terdapat polinomial berderajat n buah akar, ril atau kompleks.
5. Jika n ganjil dan semua koefisien ril, terdapat paling sedikit sebuah akar ril
6. Jika semua koefisien ril dan polinomial mengandung akar kompleks, akar-akar
kompleks ini muncul dalam pasangan konjungsi. Metode Bairstow mencari akar-akar ril dari persamaan polinomial 1
didasarkan atas pembagian polinomial dengan suatu faktor kuadrat
2
v ux
x +
+ bisa
mempunyai akar rill maupun kompleks tergantung dari harga-harga u dan v. Agar
Universitas Sumatera Utara
akar-akar ril dapat dievaluasi tentu saja harga-harga taksiran u dan v harus diberikan terlebih dahulu. Harga-harga u dan v akan di perbaruhi secara sistematis. Setelah
dibagi sehingga persamaan dapat ditulis sebagai berikut:
f
n
x= sisa
b x
b x
b x
v ux
x
n n
n n
+ +
+ +
+ +
− −
− −
......
2 4
2 3
1 2
2
..................2
dengan sisa pembagian :
S= x+u
n n
b b
+
−1
Untuk melakukan pembagian dengan faktor kuadrat, harga-harga koefisien b
1
, b
2
,b
3
,....,b
1 +
n
dihitung dengan relasi berulang sebagai berikut :
b = a
1
b =
1
a - u
2
b =
2
a - u b
1
- v
3
b =
3
a - u
b
2
- v b
1 4
b =
4
a -
u b
3
- v
b
2
. .
.
1 −
n
b =
1 −
n
a -
u b
n 2 −
- v
b
n 3 −
n
b =
n
a - u
b
n 1 −
- v
b
n 2 −
Universitas Sumatera Utara
Akar-akar kompleks dapat dievaluasi apabila sisa S=0, dengan kata lain apabila
1 −
n
b =
n
b =0. Hal ini hanya mungkin apabila harga taksiran u dan v yang diberikan adalah harga yang sebenarnya. Koreksi terhadap u dan v dapat dihtung dari
relasi berikut :
-
n
b = u
c
n
Δ
−1
+ v
c
n
Δ
−1
-
1 −
n
b =
u c
n
Δ
−2
+ v
c
n
Δ
−3
dimana
n
c ,
1 −
n
c dan
2 −
n
c adalah turunan parsial
n
b dan
1 +
n
b terhadap u dan v
n
c = u
b
n
∂ ∂
−1
;
1 −
n
c =
v b
n
∂ ∂
−1
= u
b
n
∂ ∂
;
2 −
n
c =
v b
n
∂ ∂
Harga-harga c tersebut dihitung dari : c =
b
1
c =
1
b - u
2
c =
2
b - u
c
1
- v
3
c =
3
b - u
c
2
- v c
1 4
c =
4
b - u
c
3
- v
c
2
Universitas Sumatera Utara
. .
.
n
c =
n
b - u
c
n 1 −
- v
c
n 2 −
Harga-harga u dan v diperbaharui masing-masing dengan u Δ dan v
Δ sehingga :
-
n
u =
1 −
n
u +
n
u Δ
-
n
v =
1 −
n
v +
n
v Δ
n = 1, 2,3,…
u Δ
=
3 2
2 1
3 1
2
− −
− −
− −
−
n n
n n
n n
n n
c c
c c
c b
c b
v Δ
=
3 2
2 1
1 2
1
− −
− −
− −
−
n n
n n
n n
n n
c c
c c
b c
b c
Universitas Sumatera Utara
2.6 Turunan Parsial
