Definisi dan Notasi Faktorial

89 Peluang 5. Disediakan angka-angka 6, 7, 8, dan 9. Berapa banyak bilangan ratusan yang dapat dibentuk jika setiap bilangan tidak memuat angka yang sama dan bilangan itu a. bilangan genap; b. lebih kecil dari 800; c. lebih besar dari 800? 6. Kerjakan soal nomor 5, tetapi setiap bilangan boleh memuat angka yang sama. 7. Berapa banyak bilangan bulat positif lebih kecil dari 600 yang dapat disusun dari angka-angka 4, 5, 6, 7, dan 8 jika bilangan itu tidak memuat angka yang sama? 8. Pada suatu pilihan pengurus RT disyaratkan seorang ketua harus berumur antara 35 sampai dengan 45 tahun, sekretaris harus berumur antara 25 sampai dengan 34 tahun, dan bendahara boleh berumur antara 35 sampai dengan 45 tahun atau berumur antara 25 sampai dengan 34 tahun. Berapa banyak susunan calon pengurus RT yang dapat dibentuk jika pada pemilihan itu terdapat a. 3 berumur antara 35 sampai dengan 45 tahun dan 4 berumur antara 25 sampai dengan 34 tahun; b. 4 berumur antara 35 sampai dengan 45 tahun dan 3 berumur antara 25 sampai dengan 34 tahun; c. 5 berumur antara 35 sampai dengan 45 tahun dan 2 berumur antara 25 sampai dengan 34 tahun; d. 1 berumur antara 35 sampai dengan 45 tahun dan 6 berumur antara 25 sampai dengan 34 tahun?

2. Permutasi

Kaidah pencacahan yang kedua adalah permutasi yang dalam menuliskan rumusnya menggunakan notasi faktorial. Oleh karena itu, sebelum mempelajari permutasi, ada baiknya jika kita membahas definisi dan notasi faktorial.

a. Definisi dan Notasi Faktorial

Perhatikan penulisan ”5” dan ”4”, yang masing- masing dibaca ”5 faktorial” dan ”4 faktorial”. Penulisan tersebut merupakan penulisan dengan notasi faktorial. Adapun nilainya adalah sebagai berikut. 5 = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 dan 4 = 4 × 3 × 2 × 1 Berarti, 5 = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 ‹ 5 = 5 × 4 ‹ 4 + 1 = 4 + 1 × 4 Secara umum dapat dikatakan bahwa n + 1 = n + 1 n, untuk n 1 dan n = nn – 1n – 2n – 3 × ... × 3 × 2 × 1 Tes Mandiri Kerjakan di buku tugas Dalam babak penyi- sihan suatu turnamen, 25 pecatur satu sama lain bertanding satu kali. Banyaknya per- tandingan yang terjadi adalah .... a. 150 d. 270 b. 180 e. 300 c. 200 Soal SPMB, Kemam- puan Dasar, 2006 Di unduh dari : Bukupaket.com Sumber buku : bse.kemdikbud.go.id 90 Mmt Aplikasi SMA 2 IPS Perhatikan bahwa sebenarnya n = 0 tidak memenuhi konsep faktorial, namun karena dalam perhitungan sering ditemui, dan selalu benar jika 0 = 1, agar tidak menjadi polemik, kemudian didefinisikan bahwa 0 = 1 1. Tentukan nilai-nilai berikut. a. 2 × 3 b. 6 10 Penyelesaian: a. 2 × 3 = 2 × 1 × 3 × 2 × 1 = 2 × 6 = 12 b. 6 6 7 8 9 10 6 10 × × × × = = 10 × 9 × 8 × 7 = 5.040 2. Nyatakan bentuk perkalian berikut dengan notasi faktorial. a. 13 × 12 c. 6 × 5 b. 15 × 14 × 13 × 12 × 11 × 10 d. 3 × 5 Penyelesaian: a. 13 × 12 = 1 2 3 ... 9 10 11 1 2 3 ... 9 10 11 12 13 × × × × × × × × × × × × × × = 1 1 13 b. 15 × 14 × 13 × 12 × 11 × 10 = 1 2 ... 8 9 1 2 ... 8 9 10 11 12 13 14 15 × × × × × × × × × × × × × × = 9 15 c. 6 × 5 = 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 × × × × × × × × = 4 6 d. 3 × 5 = 3 2 1 5 4 3 2 1 2 1 4 3 2 1 × × × × × × × × × × × × = 4 2 5 3 × × Misalkan a 1. Bagaimana cara menentukan nilai a yang memenuhi persamaan a = a? Coba kalian selesaikan. Contoh: Berpikir Kritis Tugas Kerjakan di buku tugas Di unduh dari : Bukupaket.com Sumber buku : bse.kemdikbud.go.id 91 Peluang 1. Tentukan nilai dari: a. 3 7 9 × c. 8 10 × e. 4 26 30 × b. 4 3 2 6 × × d. 3 5 11 × f. 6 × 3 7 1 20 × 2. Nyatakan bentuk-bentuk perkalian dan pembagian berikut dalam notasi faktorial. a. 10 × 11 × 12 d. 40 × 39 × 38 b. 1 2 3 14 15 × × × e. 28 × 27 × 26 × 25 c. 4 3 2 10 9 8 7 6 × × × × × × f. 1 2 3 4 51 50 × × × × 3. Nyatakan bentuk-bentuk perkalian dan pembagian berikut dalam notasi faktorial. a. n n n 1 2 c. 1 2 3 4 5 3 4 n n × × × × + + b. 4 3 2 2 1 n n n × × + + d. n – 2n – 1n 4. Sederhanakan. a. 3 n n , n 3 c. 6 4 n n , n 6 b. 2 n n + d. 1 2 + n n , n 1 5. Tentukan nilai n yang memenuhi persamaan-persamaan berikut. a. 2 n n + = 72 b. 1 3 n n = 132

b. Definisi dan Notasi Permutasi dari Unsur-Unsur yang