Dengan anggapan berprilaku sebagai shear building maka struktur yang semula mempunyai derajat kebebasan tidak terhingga akan menjadi struktur dengan derajat kebebasan terbatas.
2.8.1. Matriks Massa, Matriks Kekakuan, dan Matriks Redaman
Untuk menyatakan persamaan diferensial gerakan pada struktur dengan derajat kebebasan banya maka dipakai anggapan dan pendekatan seperti pada struktur dengan derajat
kebebasan tunggal. Anggapan seperti prinsip shear building masih berlaku pada struktur dengan derajat kebebasan banyak MDOF. Untuk memperoleh persamaan diferensial
tersebut, maka tetap dipakai prinsip keseimbangan dinamik dynamic equilibrium pada suatu
massa yang ditinjau.
Gambar 2.6 Struktur 3-DOF, Model Matematik dan Free Body Diagram Struktur bangunan gedung bertingkat 3 pada gambar tersebut akan mempunyai 3 derajat
kebebasan. Persamaan diferensial disusun berdasarkan atas goyangan struktur menurut first mode
atau mode pertama. Berdasarkan pada keseimbangan dinamik pada free body diagram maka akan diperoleh,
�
1
. ӱ
1
+ �
1
. �
1
+ �
1
. ẏ
1
− �
2
�
2
− �
1
− �
2
�ẏ
2
− ẏ
1
� − �
1
� = 0 2.27
a Struktur dengan 3 DOF c Free body diagram
b Model Matematik
Universitas Sumatera Utara
�
2
. ӱ
2
+ �
2
�
2
− �
1
+ �
2
�ẏ
2
− ẏ
1
� − �
3
�
3
− �
2
− �
3
�ẏ
3
− ẏ
2
� − �
2
� = 0 2.28
�
3
. ӱ
3
+ �
3
�
3
− �
2
+ �
3
ẏ
3
− ẏ
2
− �
1
� = 0 2.29
Pada persamaan-persamaan tersebut tampak bahwa keseimbangan dinamik suatu massa yang ditinjau dipengaruhi oleh kekakuan, redaman dan simpangan massa sebelum dan
sesudahnya. Persamaan dengan sifat-sifat seperti itu umumnya disebut coupled equation karena persamaan-persamaan tersebut akan bergantungan satu sama lain. Penyelesaian
persamaan coupled harus dilakukan secara simultan artinya dengan melibatkan semua persamaan yang ada. Pada struktur dengan derajat kebebasan banyak, persamaan diferensial
gerakannya merupakan persamaan yang dependent atau coupled antara satu dengan yang lain. Dengan menyusun persamaan-persamaan tersebut menurut parameter yang sama
percepatan, kecepatan, dan simangan selanjutnya akan diperoleh, �
1
. ӱ
1
+ �
1
+ �
2
ẏ
1
− �
2
. ẏ
2
+ �
1
+ �
2
�
1
− �
2
. �
2
= �
1
� 2.30
�
2
. ӱ
2
− �
2
. ẏ
1
+ �
2
+ �
3
ẏ
2
− �
3
. ẏ
3
− �
2
. �
1
+ �
2
+ �
3
�
2
− �
3
. �
3
= �
2
� 2.31
�
3
. ӱ
3
− �
3
. ẏ
2
+ �
3
. ẏ
3
− �
3
. �
2
+ �
3
. �
3
= �
3
� 2.32
Persamaan-persamaan diatas dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut,
� �
1
�
2
�
3
� � ӱ
1
ӱ
2
ӱ
3
� + � �
1
+ �
2
−�
2
−�
2
�
2
+ �
3
−�
3
−�
3
�
3
� � ẏ
1
ẏ
2
ẏ
3
� +
� �
1
+ �
2
−�
2
−�
2
�
2
+ �
3
−�
3
−�
3
�
3
� � �
1
�
2
�
3
� = � �
1
� �
2
� �
3
� � 2.33
Persamaan 2.33 dapat ditulis dalam matriks yang lebih kompak,
Universitas Sumatera Utara
[ �]{ӱ} + [�]{ẏ} + [�]{�} = {��}
2.34 Dimana [m], [c] dan [k] berturut-turut adalah matriks massa, matriks redaman, dan matriks
kekakuan yang dapat ditulis menjadi,
[ �] = �
�
1
�
2
�
3
� , [�] = � �
1
+ �
2
−�
2
−�
2
�
2
+ �
3
−�
3
−�
3
�
3
� , [�] = � �
1
+ �
2
−�
2
−�
2
�
2
+ �
3
−�
3
−�
3
�
3
�
2.35 Sedangkan {
ӱ}, { ẏ}, {y} dan {Ft} masing-masing adalah vektor percepatan, vektor kecepatan, vektor simpangan, dan vektor beban atau,
{ ӱ} = �
ӱ
1
ӱ
2
ӱ
3
� , {ẏ} = � ẏ
1
ẏ
2
ẏ
3
� , {�} = � �
1
�
2
�
3
� dan {��} = � �
1
� �
2
� �
3
� �
2.36
2.9. Getaran Bebas Pada Struktur MDOF
