2.9.2. Frekuensi Sudut ω dan Normal Modes
Pada struktur yang mempunyai derajat kebebasan banyak MDOF dalam menghitung frekuensi sudut, diambil suatu anggapan bahwa struktur tersebut dianggap tidak
mempunyai redaman atau C = 0. Dalam menghitung dan menggambarkan normal modes,
maka diambil suatu model struktur seperti pada gambar berikut.
Gambar 2.7 Bangunan 2-DOF dan Model Matematik Setiap struktur yang dibebani dengan beban dinamik akan mengalami goyangan, untuk
struktur derajat kebebasan banyak, maka struktur yang bersangkutan akan mempunyai banyak ragampola goyangan. Normal modes adalah suatu istilah yang dipakai pada problem
dinamika struktur, yang diterjemahkan sebagai ragampola goyangan. Suatu persamaan diferensial gerakan dapat diperoleh dengan memperhatikan free
body diagram pada gambar 2.9 dan diperoleh,
�
1
. ӱ
1
+ �
1
. �
1
− �
2
�
2
− �
1
= 0 �
2
. ӱ
2
+ �
2
�
2
− �
1
= 0 2.43
Persamaan 2.43 dapat ditulis dalam bentuk yang sederhana yaitu, a Struktur dengan 2 DOF
c Free body diagram b Model Matematik
Universitas Sumatera Utara
�
1
. ӱ
1
+ �
1
+ �
2
�
1
− �
2
. �
2
= 0 �
2
. �
2
− �
2
. �
1
+ �
2
. �
2
= 0 2.44
Persamaan 2.44 dapat ditulis ke dalam bentuk matriks yaitu,
��
1
�
2
� � ӱ
1
ӱ
2
� + � �
1
+ �
2
−�
2
−�
2
�
2
� � �
1
�
2
� = � 0�
2.45
Selanjutnya persamaan eigenproblem pada persamaan 2.45 adalah,
� �
1
+ �
2
− �
2
. �
1
−�
2
−�
2
�
2
− �
2
. �
2
� �∅
1
∅
2
� = � 0�
2.46
Dengan Ø
i
adalah suatu nilaiordinat yang berhubungan dengan massa ke-i pada ragampola goyangan massa ke-i. persamaan 2.46 akan mempunyai penyelesaian apabila dipenuhi nilai
determinan,
� �
1
+ �
2
− �
2
. �
1
−�
2
−�
2
�
2
− �
2
. �
2
� = 0 2.47
Apabila persamaan 2.47 tersebut diteruskan maka nilai determinannya adalah, �
1
. �
2
. �
4
− {�
1
+ �
2
�
2
− �
2
. �
1
} �
2
+ �
1
+ �
2
�
2
− �
2 2
= 0 2.48
Agar pembahasan tersebut memiliki nilai, maka perlu diberikan nilai m
1
, m
2
, k
1
, dan k
2
. Misalnya nilai-nilai tersebut diberikan menurut unitnya masing-masing m
1
= 2, m
2
= 1, k
1
= k
2
= 1, maka diperoleh, 2
�
4
− 4�
2
+ 1 = 0 2.49
Nilai yang akan dicari adalah nilai-nilai percepatan sudut ω. Dengan memakai rumus
abc, maka nilai-nilai tersebut adalah,
Universitas Sumatera Utara
�
1;2 2
= 4 ±
√16 − 8 4
= 4 ± 2,8284
4 �
�
1
�
2
� = � 0,5412
1,3065� ��� ���
2
2.50
Persamaan 2.50 umumnya disebut eigenvalue dari eigenproblem persamaan 2.42. Berdasarkan pada persamaan 2.50, maka dapat dimengerti bahwa struktur yang mempunyai
dua tingkat atau struktur degan 2-derajat kebebasan akan mempunyai 2 nilai frekuensi sudut. Frekuensi sudut
ω
1
adalah frekuensi sudut untuk mode ke-1 atau untuk polaragam goyangan ke-1, sedangkan
ω
2
adalah frekuensi sudut untuk mode ke-2.
Substitusi nilai ω
1
ke dalam persamaan 2.46, misalnya substitusi baris pertama persamaan tersebut dengan catatan bahwa Ø
1
menjadi Ø
11
dan Ø
2
menjadi Ø
21
maka akan diperoleh,
�
1
= 0,5412 ���
��� → {+1
− 0,5412
2
} ∅
11
− 1. ∅
21
= 0
1,4144 ∅
11
= ∅
21
maka
∅
21
∅
11
= 1,4144 2.51
Secara umum nilai-nilai penyelesaian persamaan simultan homogen tidak akan memberikan suatu nilai yang pastitetap tetapi nilai-nilai tersebut hanya akan sebanding
antara satu dengan yang lain persamaan 2.51. dengan memperhatikan sifat tersebut maka umumnya diambil nilai Ø
11
=1, maka akan diperoleh,
{ ∅}
11
= 1 , maka { ∅}
21
= 1,4144 2.52
Nilaikoordinat yang berhubungan dengan suatu massa pada setiap pola goyangan umumnya dapat ditulis dalam bentuk baku,
Universitas Sumatera Utara
∅
��
2.53
Dimana indeks i menunjukkan massa dan indeks j menunjukkan nomor ragampola goyangan. Dengan demikian Ø
ij
adalah suatu koordinat yang berhubungan dengan massa ke-i pada ragampola goyangan ke-j.
Nilai-nilai koordinat yang berhubungan dengan massa struktur untuk pola goyangan ke-1 seperti persamaan 2.53 dapat ditulis menjadi,
{ ∅}
1
= �
1,0000 1,4144�
2.54
Persamaan 2.54 umumnya disebut sebagai eigenvector untuk ragampola goyangan atau mode shape untuk mode ke-1. Nilai-nilai koordinat untuk ragampola goyangan ke-2
dapat diperoleh dengan substitusi nilai ω
2
ke dalam persamaan 2.47, misalnya disubstitusikan pada baris pertama persamaan tersbut dengan catatan Ø
1
menjadi Ø
12
dan Ø
2
menjadi Ø
22
maka akan diperoleh,
�
2
= 1,3065 ���
��� ,
→ {1 + 1 − 1,3065
2
. 2} ∅
12
− 1. ∅
22
= 0
−1,4142 ∅
12
= ∅
22 ∅
22
∅
12
= −1,4142
2.55
Apabila ∅
12
= 1 , maka ∅
22
= −1,4142
Sesuai dengan persamaan 2.54, maka nilai-nilai koordinat yang berhubungan dengan massa struktur untuk ragampola goyanganmode ke-2 dapat ditulis menjadi,
{ ∅}
2
= �
1,0000 −1,4142�
2.56
Universitas Sumatera Utara
Sesuai dengan persamaan 2.54 maka persamaan 2.56 juga disebut dengan eigenvector
untuk ragampola goyangan mode ke-2. Dengan mengingat persamaan 2.50, persamaan 2.54 dan persamaan 2.56 maka dapat dipahami bahwa struktur dengan n-derajat
kebebasan akan mempunyai n-frekuensi sudut dan n-modes. Antara persamaan 2.54 dan persamaan 2.56 dapat ditulis menjadi suatu matriks yang
umumnya disebut modal matrix yaitu,
[ �] = �
1,0000 1,0000
1,4144 −1,4142�
2.57
Dengan diperolehnya nilai-nilai frekuensi sudut untuk tiap-tiap mode seperti pada persamaan 2.50, maka akan diperoleh juga nilai periode getar T tiap-tiap mode yaitu,
�
1
=
2� �
1
dan �
2
=
2� �
2
2.58
Nilai T
1
umumnya disebut periode getar dasar atau undamped fundamental period of vibrations
. Selanjutnya nilai periode getar akan berpengaruh terhadap koefisien gempa dasar C seperti yang tercantum pada spektrum respon. Nilai ordinat mode shape pada tiap-tiap
massa untuk semua ragampola goyangan digambar seperti berikut,
a Struktur dengan 2 DOF b Mode ke-1
c Mode ke-2
Universitas Sumatera Utara
Gambar 2.8 Normal Modes Nilai-nilai ordinat mode shapes pada gambar 2.10 tidak tergantung pada beban luar,
melainkan hanya tergantung pada properti fisik struktur, misalnya massa m
i
dan kekakuan k
i
. Struktur dianggap tidak mempunyai redaman sehingga periode getar yang dicari adalah
merupakan undamped free vibration periods. Nilai-nilai mode shapes tidak dipengaruhi oleh waktu, artinya nilai-nilai tersebut akan tetap jika nilai-nilai massa dan kekakuan tidak
berubah. Karena nilai kekauan k
i
tidak berubah-ubah maka mode shapes merupakan nilai untuk struktur yang bersifat elastik, atau hanya struktur yang elastiklah yang mempunyai nilai
mode shapes . Nilai mode shapes juga tidak dipengaruhi oleh frekuensi beban. Dengan
demikian menurut Widodo 2001, dapat disimpulkan bahwa nilai-nilai mode shapes adalah : 1. Bebas dari pengaruh redaman,
2. Bebas dari pengaruh waktu 3. Bebas dari pengaruh frekuensi beban
4. Hanya untuk struktur yang elastik
Universitas Sumatera Utara
BAB III
APLIKASI
3.1. Pemodelan Struktur
Kategori