Kajian Perbandingan Periode Getar Alami Fundamental Bangunan Menggunakan Persamaan Empiris Dan Metode Analitis Terhadap Berbagai Variasi Bangunan Jenis Rangka Beton Pemikul Momen

KAJIAN PERBANDINGAN PERIODE GETAR ALAMI

FUNDAMENTAL BANGUNAN MENGGUNAKAN PERSAMAAN

EMPIRIS DAN METODE ANALITIS TERHADAP BERBAGAI

VARIASI BANGUNAN JENIS RANGKA BETON PEMIKUL

MOMEN

Tugas Akhir

Diajukan untuk melengkapi syarat penyelesaian Pendidikan sarjana Teknik Sipil

Disusun oleh :

DESER CHRISTIAN WIJAYA 090404142

SUB JURUSAN STRUKTUR DEPARTEMEN TEKNIK SIPIL

FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN

LEMBAR PENGESAHAN

KAJIAN PERBANDINGAN PERIODE GETAR ALAMI FUNDAMENTAL BANGUNAN MENGGUNAKAN PERSAMAAN EMPIRIS DAN METODE ANALITIS TERHADAP

BERBAGAI VARIASI BANGUNAN JENIS RANGKA BETON PEMIKUL MOMEN

TUGAS AKHIR

Diajukan untuk melengkapi tugas-tugas dan memenuhi syarat

dalam menempuh Colloqium Doctum/ Ujian Sarjana Teknik Sipil

Dikerjakan oleh:

DESER CHRISTIAN WIJAYA 09 0404 142

Pembimbing

Ir. Daniel Rumbi Teruna, MT NIP: 19590707 198710 1 001

Penguji I Penguji II

Prof.Dr.Ing.Johannes Tarigan Ir.Besman Surbakti,MT NIP: 19561224 198103 1 002 NIP:19541012 198003 1 004

Mengesahkan:

Ketua Departemen Teknik Sipil Fakultas Teknik, Universitas Sumatera Utara

Prof.Dr.Ing. Johannes Tarigan NIP: 19561224 198103 1 002 BIDANG STUDI STRUKTUR

DEPARTEMEN TEKNIK SIPIL

FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis ucapkan atas kehadirat Tuhan Yang Maha Esa yang

telah memberikan anugrah, berkat dan karunia-Nya hingga terselesaikannya tugas

akhir ini dengan judul “Kajian perbandingan periode getar alami fundamental

bangunan menggunakan persamaan empiris dan metode analitis terhadap berbagai variasi bangunan jenis rangka beton pemikul momen”.

Tugas akhir ini disusun untuk diajukan sebagai syarat dalam ujian sarjana

teknik sipil bidang studi struktur pada fakultas teknik Universitas Sumatera Utara

Medan. Penulis menyadari bahwa isi dari tugas akhir ini masih banyak

kekurangannya. Hal ini disebabkan keterbatasan pengetahuan dan kurangnya

pemahaman penulis. Untuk penyempurnaannya, saran dan kritik dari bapak dan

ibu dosen serta rekan mahasiswa sangatlah penulis harapkan.

Penulis juga menyadari bahwa tanpa bimbingan, bantuan dan dorongan dari

berbagai pihak, tugas akhir ini tidak mungkin dapat diselesaikan dengan baik.

Oleh karena itu pada kesempatan ini penulis menyampaikan rasa terima kasih

yang sebesar-besarnya kepada kedua orang tua yang senantiasa penulis cintai

yang dalam keadaan sulit telah memperjuangkan hingga penulis dapat

menyelesaikan perkuliahan ini.

Ucapan terima kasih juga penulis ucapkan kepada :

1. Bapak Ir. Daniel Rumbi Teruna, MT selaku dosen pembimbing yang telah

2. Bapak Prof.Dr.Ing. Johannes Tarigan selaku dosen pembanding yang telah

memberikan kritikan dan nasehat yang membangun dan selaku Ketua Departemen

teknik sipil USU.

3. Bapak Ir. Besman Surbakti, MT selaku dosen pembanding yang telah memberikan

kritikan dan nasehat yang membangun.

4. Bapak Ir. Syahrizal, MT selaku sekretaris Departemen Teknik Sipil Fakultas

Teknik USU.

5. Kedua orang tua penulis yang turut mendukung segala kegiatan akademis penulis.

6. Teman-teman yang telah memberikan semangat kepada penulis, senior stambuk

06, 07, 08, dan khususnya senior stambuk 04 Erwin, dan adik-adik stambuk 10

yang memberikan dukungan serta info mengenai kegiatan sipil.

7. Para pegawai Departemen Teknik Sipil Fakultas Teknik USU atas ketersediannya

untuk mengurus administrasi Tugas akhir ini.

Walaupun dalam menyusun Tugas akhir ini penulis telah berusaha untuk

mengkaji dan menyampaikan materi secara sistematis dan terstruktur, tetapi

tentunya Tugas Akhir ini masih jauh dari sempurna. Kritik dan saran yang

membangun tentulah sangat penulis harapkan di kemudian hari.

Medan, April 2013

ABSTRAK

Penyusunan tugas akhir ini bertujuan untuk mengkaji perbandingan periode getar fundamental bangunan yang didapatkan dari persamaan empiris terhadap periode getar bangunan hasil analitis menggunakan program terhadap berbagai variasi parameter bangunan jenis rangka beton pemikul momen.

Persamaan empiris untuk menghitung periode getar bangunan merupakan pendekatan sederhana yang terdapat dalam sejumlah peraturan. Sementara, periode hasil analisis bisa saja berbeda dengan periode dari persamaan empiris sebab terdapat berbagai variabel yang tidak terdapat di dalam variabel persamaan empiris.

Pembahasan dalam tugas akhir ini, memberikan penjabaran hasil-hasil analisis terhadap berbagai variasi portal bangunan. Periode hasil analisis dari program kemudian dibandingkan dengan periode yang didapatkan dari persamaan empiris. Hasil tersebut kemudian ditampilkan dalam bentuk tabel beserta deviasi periodenya.

DAFTAR ISI

Lembar Pengesahan ...

Kata Pengantar ... i

Abstrak ... iii

Daftar Isi ... iv

Daftar Tabel ... vi

Daftar Gambar ... vii

Daftar Notasi ... ix

BAB I Pendahuluan ... 1

1.1 Latar Belakang Masalah ... 1

1.2 Perumusan Masalah ... 5

1.3 Maksud dan Tujuan ... 10

1.4 Pembatasan Masalah ... 11

1.5 Metodologi Penulisan ... 12

BAB II Tinjauan Pustaka ... 13

2.1 Definisi Beban Dinamik ... 13

2.2 Perbedaan Antara Beban Statik dan Beban Dinamik ... 14

2.3 Pengaruh Beban Gempa Terhadap Struktur ... 15

2.4 Derajat Kebebasan (Degree of Freedom, DOF) ... 17

2.5 Prinsip Bangunan Geser (Shear Building) ... 19

2.7 Dinamik Karakteristik Struktur Bangunan... 25

2.8 Persamaan Diferensial Gerakan Struktur MDOF ... 31

2.9 Getaran Bebas Pada Struktur MDOF ... 34

BAB III APLIKASI ... 42

3.1 Pemodelan Struktur ... 42

BAB IV ANALISIS DAN PEMBAHASAN ... 66

4.1 Analisis Struktur ... 66

4.2 Pembahasan Hasil Analisis Struktur ... 83

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN ... 93

5.1 Kesimpulan ... 93

5.2 Saran ... 94

DAFTAR TABEL

Tabel 4.1 : Periode dan Frekuensi Portal 1 a ... 67

Tabel 4.2 : Periode dan Frekuensi Portal 1 b ... 68

Tabel 4.3 : Periode dan Frekuensi Portal 1 c ... 69

Tabel 4.4 : Periode dan Frekuensi Portal 2 a ... 70

Tabel 4.5 : Periode dan Frekuensi Portal 2 b ... 70

Tabel 4.6 : Periode dan Frekuensi Portal 2 c ... 71

Tabel 4.7 : Periode dan Frekuensi Portal 3 ... 73

Tabel 4.8 : Periode dan Frekuensi Portal 4 a ... 74

Tabel 4.9 : Periode dan Frekuensi Portal 4 b ... 75

Tabel 4.10 : Periode dan Frekuensi Portal 5 a ... 76

Tabel 4.11 : Periode dan Frekuensi Portal 5 b ... 77

Tabel 4.12 : Periode dan Frekuensi Portal 6 a ... 78

Tabel 4.13 : Periode dan Frekuensi Portal 6 b ... 79

Tabel 4.14 : Periode dan Frekuensi Portal 7 a ... 80

Tabel 4.15 : Periode dan Frekuensi Portal 7 b ... 81

Tabel 4.16 : Periode dan Frekuensi Portal 7 c ... 82

Tabel 4.18 : Deviasi Periode Portal Parameter 1 ... 84

Tabel 4.19 : Deviasi Periode Portal Parameter 2 ... 85

Tabel 4.20 : Deviasi Periode Portal Parameter 3 ... 86

Tabel 4.21 : Deviasi Periode Portal Parameter 4 ... 87

Tabel 4.22 : Deviasi Periode Portal Parameter 5 ... 88

Tabel 4.23 : Deviasi Periode Portal Parameter 6 ... 89

DAFTAR GAMBAR

Gambar.1.1 : Portal Kategori 1 ... 6

Gambar.1.2 : Portal Kategori 2 ... 6

Gambar.1.3 : Portal Kategori 3 ... 7

Gambar.1.4 : Portal Kategori 4 ... 7

Gambar.1.5 : Portal Kategori 5 ... 8

Gambar.1.6 : Portal Kategori 6 ... 8

Gambar.1.7 : Portal Kategori 7 ... 9

Gambar.2.1 : Gaya Inersia ... 16

Gambar.2.2 : Pemodelan Struktur SDOF ... 20

Gambar.2.3 : Momen Kolom dan Balok akibat Simpangan y(t) ... 22

Gambar.2.4 : Kekakuan Kolom Jepit-jepit dan Jepit-sendi ... 24

Gambar.2.5 : Pegas Paralel dan Pegas Seri ... 28

Gambar.2.6 : Struktur 3-DOF, Model Matematik dan Free Body Diagram ... 32

Gambar.2.7 : Bangunan 2-DOF dan Model Matematik ... 36

Gambar.2.8 : Normal Modes ... 40

Gambar.3.1 : Portal 1 a ... 43

Gambar.3.3 : Portal 1 c ... 45

Gambar.3.4 : Portal 2 a ... 46

Gambar.3.5 : Portal 2 b ... 47

Gambar.3.6 : Portal 2 c ... 48

Gambar.3.7 : Portal 3 ... 49

Gambar.3.8 : Portal 4 a ... 51

Gambar.3.9 : Portal 4 b ... 52

Gambar.3.10 : Portal 5 a ... 53

Gambar.3.11 : Portal 5 b ... 54

Gambar.3.12 : Portal 6 a ... 56

Gambar.3.13 : Portal 6 b ... 57

Gambar.3.14 : Portal 7 a ... 58

Gambar.3.15 : Portal 7 b ... 59

Gambar.3.16 : Portal 7 c ... 61

Gambar.3.17 : Portal 7 d ... 63

Gambar.4.1 : Hasil Analisis Portal 1 a ... 66

Gambar.4.2 : Hasil Analisis Portal 1 b ... 67

Gambar.4.4 : Hasil Analisis Portal 2 a ... 69

Gambar.4.5 : Hasil Analisis Portal 2 b ... 70

Gambar.4.6 : Hasil Analisis Portal 2 c ... 71

Gambar.4.7 : Hasil Analisis Portal 3 ... 72

Gambar.4.8 : Hasil Analisis Portal 4 a ... 73

Gambar.4.9 : Hasil Analisis Portal 4 b ... 74

Gambar.4.10 : Hasil Analisis Portal 5 a ... 75

Gambar.4.11 : Hasil Analisis Portal 5 b ... 76

Gambar.4.12 : Hasil Analisis Portal 6 a ... 77

Gambar.4.13 : Hasil Analisis Portal 6 b ... 78

Gambar.4.14 : Hasil Analisis Portal 7 a ... 79

Gambar.4.15 : Hasil Analisis Portal 7 b ... 80

Gambar.4.16 : Hasil Analisis Portal 7 c ... 81

Gambar.4.17 : Hasil Analisis Portal 7 d ... 82

Gambar.4.18 : Portal Parameter 1 ... 84

Gambar.4.19 : Portal Parameter 2 ... 85

Gambar.4.20 : Portal Parameter 3 ... 86

Gambar.4.22 : Portal Parameter 5 ... 88

Gambar.4.23 : Portal Parameter 6 ... 89

DAFTAR NOTASI

FI = Gaya Inersia (N)

FD = Gaya Redaman (N)

FS = Gaya Pegas (N)

m = Massa (kg)

c = Redaman (kg.s/cm)

k = Kekakuan (kg/cm)

ӱ = Percepatan (cm/s2)

ẏ = Kecepatan (cm/s)

y = Perpindahan (cm)

M = Momen (KNcm)

E = Modulus Elastisitas bahan (MPa)

I = Inersia Penampang (cm4)

h = Tinggi tingkatan lantai (cm)

l = Panjang batang/bentang (cm)

A = Amplitudo (cm)

ω = Frekuensi sudut (rad/s)

t = waktu (s)

Ø = Ordinat

θ = Rotasi (rad)

u = komponen perpindahan elemen dalam arah x (cm)

ABSTRAK

Penyusunan tugas akhir ini bertujuan untuk mengkaji perbandingan periode getar fundamental bangunan yang didapatkan dari persamaan empiris terhadap periode getar bangunan hasil analitis menggunakan program terhadap berbagai variasi parameter bangunan jenis rangka beton pemikul momen.

Persamaan empiris untuk menghitung periode getar bangunan merupakan pendekatan sederhana yang terdapat dalam sejumlah peraturan. Sementara, periode hasil analisis bisa saja berbeda dengan periode dari persamaan empiris sebab terdapat berbagai variabel yang tidak terdapat di dalam variabel persamaan empiris.

Pembahasan dalam tugas akhir ini, memberikan penjabaran hasil-hasil analisis terhadap berbagai variasi portal bangunan. Periode hasil analisis dari program kemudian dibandingkan dengan periode yang didapatkan dari persamaan empiris. Hasil tersebut kemudian ditampilkan dalam bentuk tabel beserta deviasi periodenya.

BAB I

PENDAHULUAN

I.1. Latar Belakang Masalah

Gerakan tanah akibat gempa bumi umumnya sangat tidak teratur dan hanya terjadi

beberapa detik sampai puluhan detik saja, walaupun kadang-kadang dapat terjadi lebih dari

satu menit. Namun demikian gempa yang durasinya lebih dari satu menit ini sangat jarang

terjadi, karena sifat getarannya yang acak dan tidak seperti beban statik pada umumnya maka

efek beban gempa terhadap respon struktur tidaklah dapat diketahui dengan mudah. Oleh

karena itu diperlukan usaha-usaha penyederhanaan agar model analisis pengaruh gempa

terhadap respon struktur dapat diperhitungkan oleh kebanyakan insinyur. Gempa bumi

umumnya direkam di permukaan tanah bebas (free field record) sedangkan fondasi bangunan

terpendam di dalam tanah. Hasil penelitian para ahli menyimpulkan bahwa massa bangunan

akan berpengaruh terhadap percepatan tanah di bawah bangunan yang bersangkutan

(umumnya lebih kecil). Penyederhanaan yang dipakai adalah bahwa rekaman dari free field

dianggap sebagai rekaman di bawah fondasi bangunan (foundatian input motion). Terdapat

beberapa penyederhanaan untuk memperhitungkan efek gempa terhadap analisis struktur

bangunan yaitu menggunakan Beban Ekivalen Statik, Spektrum Respon dan dengan Analisis

Riwayat Waktu (Time History Analysis, THA).

Cara atau model analisis dengan menggunakan Spektrum Respon adalah pendekatan

praktis. Spektrum ini pada hakekatnya adalah plot antara perioda getar struktur T lawan

disain respon (umumnya aselerasi). Pada disain dengan prinsip “strength based” sebagaimana

yang selama ini dianut di Indonesia, maka spektrum respon yang dimaksud adalah plot antara

Periode getar struktur T berhubungan dengan frekuensi alami f, dan frekuensi sudut ω (yang dikenal dengan eigenvalue). Jadi, perioda getar fundamental struktur T merupakan variabel

yang sangat penting terhadap model analisis Spektrum Respon untuk mendapatkan nilai gaya

geser dasar V.

Cara Beban Ekivalen Statik adalah suatu representasi dari beban gempa setelah

disederhanakan dan dimodifikasi, dimana gaya inersia yang bekerja pada suatu massa akibat

gempa disederhanakan menjadi Beban Ekivalen Statik. Beban Ekivalen Statik merupakan

analisis dengan menggunakan mode pertama dari kemungkinan-kemungkinan mode suatu

struktur bila terjadi goyangan. Mode merupakan pola/ragam goyangan struktur. Hal ini

dikarenakan pada umumnya mode pertama akan menghasilkan perioda getar T yang

signifikan untuk mewakili keseluruhan mode pada bangunan yang teratur. Periode getar T

dari mode pertama ini disebut dengan periode getar alami fundamental.

Rakesh K. Goel dan Anil K. Chopra (1997)[1] mengevaluasi persamaan empiris untuk perhitungan periode getar alami fundamental bangunan yang didapatkan dari perilaku getaran

alami bangunan yang diukur secara langsung dan direkam pada 8 gempa bumi yang terjadi di

California, mulai dari 1971 gempa bumi San Fernando dan berakhir pada tahun 1994 gempa

bumi Northridge. Ditunjukkan bahwa walaupun periode getar yang didapat dari persamaan

empiris mempunyai nilai yang lebih pendek dibandingkan dengan periode terukur,

persamaan-persamaan empiris ini dapat dikembangkan untuk mendapatkan hubungan yang

lebih baik terhadap periode terukur (measured periods). Persamaan empiris untuk

perhitungan periode getar fundamental bangunan struktur beton bertulang dan portal baja

tersebut dikembangkan (dengan menambahkan penggunaan koefisien) dengan cara analisa

regresi dari data periode bangunan terukur (measured period data). Namun, hasil

perkembangan persamaan empiris yang didapat dengan cara analisa regresi ini tidak dapat

tersebut adalah berada di California. Jadi persamaan empiris hasil analisa regresi tersebut

boleh digunakan di daerah yang tingkat bahaya gempanya dibawah tingkat bahaya gempa

daerah California namun tetap harus memerlukan evaluasi ulang yang teliti.

Khan Mahmud Amanat dan Ekramul Hoque (2006)[2] mengkaji perbedaan periode getar fundamental bangunan menggunakan cara analitis memakai model perhitungan

komputasi terhadap dua kategori bangunan beton bertulang, yakni dengan memperhitungkan

efek infill (komponen-komponen sekunder) dan tanpa memperhitungkan efek infill. Periode

getar fundamental bangunan yang didapat memakai persamaan empiris yang disarankan oleh

peraturan-peraturan (code) seperti UBC, NEHRP pada umumnya menunjukkan nilai periode

yang lebih panjang dibandingkan periode yang teramati saat terjadi gempa. Untuk alasan

inilah, di dalam peraturan ditetapkan suatu persamaan periode getar bangunan yang

merupakan batasan maksimum periode getar fundamental. Hal ini pada kenyataannya tidak

mendukung hasil perhitungan analitis dengan permodelan komputasi. Ternyata, pada

umumnya desain dan analisa permodelan komputasi untuk struktur beton bertulang yang

dilakukan secara konvensional mengijinkan struktur bergerak secara lebih fleksibel sehingga

periode getar fundamental bangunan menjadi lebih panjang. Hal ini karena pada pemodelan

komputasi konvensional tidaklah memperhitungkan efek komponen-komponen sekunder

(infill). Pada kenyataannya, pertambahan massa dan kekakuan yang diberikan oleh

komponen-komponen sekunder (infill) ini akan memperbesar kekakuan bangunan secara

keseluruhan, yang akan berdampak pada nilai periode getar fundamental bangunan yang lebih

pendek seperti yang teramati saat terjadi gempa.

Oh-Sung Kwon dan Eung Soo Kim (2010)[3] menjelaskan bahwa periode getar alami fundamental merupakan salah satu parameter terpenting dalam analisa beban gempa dengan

bangunan. Hingga bangunan didisain, periode bangunan tidak dapat ditentukan. Namun

justru nilai perioda ini diperlukan untuk melakukan analisa gempa untuk bangunan. Oleh

sebab itu, beberapa dokumen peraturan bangunan struktur gempa merekomendasikan rumus

empiris yang dapat digunakan untuk memperkirakan perioda bangunan hanya dengan sedikit

informasi yang biasanya tersedia di awal perencanaan. Di dalam perancangan bangunan

terhadap beban gempa, kebanyakan memakai persamaan empiris untuk perhitungan periode

getar alami fundamental sebagai acuan perancangan. Berdasarkan NEHRP 00, 03, dan

berdasarkan ASCE 7-02-05, nilai koefisien �_� dan nilai koefisien � di dalam rumus empiris periode getar fundamental bangunan masing-masing adalah 0.0446 dan 0.9 (untuk portal

beton bertulang).

Persamaan empiris untuk memperkirakan waktu getar alami fundamental dari struktur

frame dicantumkan di dalam peraturan SNI-1726-2010 adalah sebagai berikut:

�=�_�∙ ℎ_�� (1.1)

dimana : � adalah waktu getar alami fundamental,

�� adalah koefisien, 0.0466 untuk portal beton bertulang dan 0.0724 untuk portal baja,

ℎ� adalah tinggi bangunan dalam meter,

� adalah koefisien, 0.9 untuk portal beton bertulang dan 0.8 untuk portal baja. Sebagai alternatif, peraturan-peraturan tersebut di atas juga merekomendasikan rumus

sederhana lain untuk menghitung waktu getar alami fundamental sebagai berikut:

Persamaan di atas hanya bisa digunakan untuk menghitung struktur dengan ketinggian tidak

lebih dari 12 lantai dan tinggi tiap lantai tidak boleh kurang dari 3 meter.

I.2. Perumusan Masalah

Dalam tugas akhir ini, Penulis akan membandingkan beberapa parameter struktur yang

dapat mempengaruhi perioda getar alami fundamental struktur bangunan. Model analisis

berupa portal 2D akan dianalisis menggunakan metode analisis modal (analisis eigen value)

untuk memperoleh periode mode pertama dari sturktur bangunan. Model analisis akan

dikategorikan ke dalam tujuh kelompok untuk mempermudah pembahasan pada bab

selanjutnya, yaitu:

1.Kategori 1 : struktur portal dengan jumlah lantai yang bervariasi

Parameter : jumlah lantai bangunan

3x4m 6m

6x4m

Portal 1.a

6m

6m

8x4m

Portal 1.c

Portal 1.b

Gambar 1.1. Portal Kategori 1

Parameter : jumlah bentangan bangunan

3x4m

4m 3x4m 6x4m

Portal 2.a Portal 2.b Portal 2.c

Gambar 1.2. Portal Kategori 2

3. Kategori 3 : struktur portal bentang tunggal dengan panjang bentang yang berbeda

Parameter : panjang bentangan portal

3x4m

4m 8m

Portal 2.a

Portal 3

Gambar 1.3. Portal Kategori 3

4. Kategori 4 : struktur portal 3 bentangan dengan panjang bentang yang bervariasi

3x4m Portal 4.a

6m 4m

Portal 4.b

6m 3x4m

Portal 2.b

6m

4m 4m

Gambar 1.4. Portal Kategori 4

5. Kategori 5 : struktur portal dengan ketidakteraturan kekakuan kolom antar lantai

Parameter : struktur tidak beraturan akibat adanya lantai dengan ketinggian yang

berbeda

6m

8x4m

Portal 1.c

6m

5x5m

Portal 5.a

7m

6m Portal 5.b

7m

5x5m

Gambar 1.5. Portal Kategori 5

6m 6m

m 2m

Portal 1.a Portal 6.a

6m

8x4m

Portal 1.b

6m

m 2m

Portal 6.b

3x4 m

Gambar 1.6. Portal Kategori 6

7. Kategori 7 : stuktur bangunan yang tidak teratur

Parameter : ketidakteraturan bangunan

5x4m

5x4m 5x4m

5x4m

5x4m

5x4m

Portal 7.a Portal 7.b

Gambar 1.7. Portal Kategori 7

Periode getar alami dari seluruh struktur diatas akan dihitung dengan melalui analisis eigen

I.3. Maksud dan Tujuan

Dalam tugas akhir ini penulis mempunyai maksud dan tujuan sebagai berikut :

“ Mengkaji pengaruh dari berbagai parameter terhadap waktu getar alami fundamental

bangunan jenis rangka beton pemikul momen serta membandingkan waktu getar alami

fundamental yang dihitung berdasarkan persamaan empiris yang dianjurkan di dalam

SNI-1726-2010 dan dengan hasil analitis dengan menggunakan bantuan program SAP 2000 ”.

I.4. Pembatasan Masalah

Adapun pembatasan masalah yang diambil dalam penulisan tugas akhir ini, yakni :

a. Struktur bangunan yang dianalisis merupakan portal beton bertulang pemikul

momen dua dimensi.

b. Peraturan pembebanan yang digunakan mengacu pada

c. Parameter variasi struktur bangunan yang akan dibandingkan adalah :

1. Jumlah lantai bangunan

2. Jumlah bentangan bangunan

3. Panjang bentang portal

4. Konfigurasi panjang bentang dari portal

5. Ketidakteraturan ketinggian tiap lantai

6. Ketidakteraturan massa

7. Ketidakteraturan bangunan

Metode yang digunakan dalam penulisan tugas akhir ini adalah mengumpulkan teori

dan rumus – rumus untuk perhitungan dari buku-buku dan peraturan yang berhubungan

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1. Defenisi Beban Dinamik

Menurut Widodo (2001), Beban dinamik merupakan beban yang berubah-ubah

menurut waktu (time varying) sehingga beban dinamik merupakan fungsi dari waktu.

Menurut Clough dan Penzien (1993), “Dynamic load is any load of which its

magnitude, direction, and/or position varies with time” yang dapat diartikan beban dinamik

merupakan beban yang mempunyai magnitud, arah atau tempat yang berubah dengan waktu.

Beban dinamik adalah berupa getaran-getaran yang dihasilkan oleh sumber getaran.

Getaran-getaran tersebut dapat berupa getaran yang diakibatkan oleh mesin yang beroperasi,

kereta api yang melintas di atas rel, gempa bumi dan lain-lain. Pada pembahasan tugas akhir

ini adalah mengenai beban dinamik yang disebabkan oleh gempa bumi.

Gempa bumi, walaupun tidak termasuk kejadian sehari-hari juga merupakan salah

satu sumber getaran dan menimbulkan getaran. Energi mekanik akibat rusaknya struktur

batuan pada peristiwa gempa bumi selanjutnya akan diubah menjadi energi gelombang yang

menggetarkan batuan di sekelilingnya. Getaran batuan akibat gempa bumi selanjutnya

diteruskan oleh media tanah sampai pada permukaan tanah. Tanah yang bergetar akibat

gempa akan mengakibatkan bangunan yang berada di atas tanah akan ikut bergetar.

Kerusakan pada bangunan sering terjadi akibat peristiwa gempa bumi tersebut khususnya

pada daerah-daerah rawan gempa. Kerusakan pada struktur akan terjadi apabila getaran tanah

2.2. Perbedaan Antara Beban Statik dan Beban Dinamik

Pada ilmu statika keseimbangan gaya-gaya didasarkan atas kondisi statik, dimana

gaya-gaya tersebut tetap intensitasnya, tetap tempatnya, dan tetap arah/garis kerjanya.

Gaya-gaya tersebut dikategorikan sebagai beban statik. Menurut Widodo (2001), kondisi tersebut

akan berbeda dengan beban dinamik dengan pokok-pokok perbedaan sebagai berikut :

1. Beban dinamik merupakan beban yang berubah-ubah menurut waktu dan merupakan

fungsi dari waktu.

2. Beban dinamik umumnya hanya bekerja pada rentang waktu tertentu. Untuk beban

gempa bumi maka rentang waktu tersebut kadang-kadang hanya beberapa detik.

Walaupun hanya beberapa detik namun dapat merusak stuktur dengan kerugian yang

sangat besar.

3. Beban dinamik dapat menyebabkan timbulnya gaya inersia pada pusat massa yang

arahnya berlawanan dengan arah gerakan. Tumpukan barang yang terguling

kebelakang ketika kendaraan dijalankan dan terguling ke depan ketika direm

merupakan salah satu contoh adanya gaya inersia pada pembebanan dinamik.

4. Beban dinamik lebih kompleks dibandingkan dengan beban statik, baik dari bentuk

fungsi bebannya maupun akibat yang ditimbulkan. Asumsi-asumsi kadang-kadang

perlu diambil untuk mengatasi ketidakpastian yang mungkin ada pada beban dinamik.

5. Karena beban dinamik berubah-ubah intensitasnya menurut waktu, maka

pengaruhnya terhadap struktur juga akan berubah-ubah menurut waktu, oleh karena

itu penyelesaian problem dinamik harus dilakukan secara berulang-ulang menyertai

sejarah pembebanan yang ada. Berbeda dengan penyelesaian problem statik yang

bersifat penyelesaian tunggal (single solution), maka penyelesaian problem dinamik

2.3. Pengaruh Beban Gempa Terhadap Struktur

Peristiwa gempa merupakan salah satu aspek yang sangat menentukan dalam

merencanakan struktur. Struktur yang direncanakan harus mempunyai ketahanan terhadap

gempa dengan tingkat keamanan yang dapat diterima. Aspek penting dari pengaruh gerakan

tanah akibat gempa bumi adalah tegangan dan deformasi atau banyaknya kerusakan yang

akan terjadi. Hal tersebut bergantung kepada kekuatan gempa bumi.

Kekuatan dari gerakan tanah yang ditinjau pada beberapa tempat disebut intensitas

gempa. Tiga komponen dari gerakan tanah yang dicatat oleh alat pencatat gempa

accelerograph untuk respon struktur adalah amplitudo, frekuensi dan durasi.

Selama terjadinya gempa, terdapat satu atau lebih puncak gerakan. Puncak ini

menunjukkan efek maksimum dari gempa. Pengaruh kritis dari gempa terhadap struktur

adalah gerakan tanah pada lokasi struktur. Selama terjadinya gempa, struktur akan

mengalami gerakan vertikal dan gerakan horisontal. Gaya gempa, baik dalam arah vertikal

maupun horisontal akan timbul di node-node pada massa struktur. Dari kedua gaya ini, gaya

dalam arah vertikal hanya sedikit mengubah gaya gravitasi yang bekerja pada struktur,

sedangkan struktur biasanya dirancang terhadap gaya vertikal dengan faktor keamanan yang

mencukupi.

Sebaliknya gaya gempa horisontal bekerja pada node-node lemah pada struktur yang

kekuatannya tidak mencukupi dan akan menyebabkan keruntuhan (failure). Dikarenakan

keadaan tersebut, prinsip utama dalam perancangan tahan gempa (earthquake resistant

design) adalah meningkatkan kekuatan struktur terhadap gaya horisontal yang umumnya

tidak mencukupi. Gerakan permukaan bumi menimbulkan gaya inersia pada struktur

bangunan karena adanya kecenderungan massa bangunan (struktur) untuk mempertahankan

(acceleration) permukaan a dan sifat struktur. Apabila bangunan dan pondasinya kaku (stiff),

maka menurut rumus Newton; F= M.A.

F m

a

Gambar 2.1. Gaya Inersia

Dalam kenyataannya hal tersebut tidaklah demikian, semua struktur tidaklah

benar-benar sebagai massa yang kaku melainkan fleksibel. Suatu bangunan bertingkat banyak

(multi storey building) dapat bergetar dengan berbagai bentuk karena gaya gempa yang dapat

menyebabkan lantai pada berbagai tingkat mempunyai percepatan dalam arah yang

berbeda-beda.

Salah satu hal penting pengaruh gempa pada struktur adalah periode alami getar

struktur. Gedung yang sangat kaku pada umumnya mengalami gaya gempa yang lebih kecil

apabila gerakan tanah yang mempunyai periode getaran yang panjang dibandingkan dengan

gedung yang fleksibel, begitu pula sebaliknya.

Pergerakan gempa menyebabkan terjadinya osilasi pada struktur. Osilasi struktur

dapat mempunyai periode alami yang panjang atau pendek disebabkan adanya mekanisme

redaman di dalam struktur. Mekanisme redaman yang menyerap sebagian energi gempa ada

panjang apabila mengalami osilasi (gerak bolak-balik) dalam waktu yang relatif lama, dan

sebaliknya.

Untuk itu maka diperlukan analisis dinamik untuk menentukan pembagian gaya geser

tingkat akibat gerakan tanah oleh gempa dapat dilakukan dengan cara analisis respon

spektrum. Cara ini adalah menggantikan gaya geser yang didapat sebagaimana analisis beban

statik ekivalen untuk bangunan-bangunan yang tidak memerlukan analisis dinamik.

Modal analisis pada umumnya dapat digunakan dalam analisis respon spektrum untuk

menentukan respon elastis pada struktur-struktur dengan banyak derajat kebebasan (MDOF)

yang didasarkan kepada kenyataan bahwa respon sesuatu struktur merupakan superposisi dari

respon masing-masing ragam getaran. Masing-masing ragam memberikan respon dengan

sifat-sifatnya tersendiri, seperti yang ditentukan oleh bentuk lenturan, frekuensi getaran dari

redaman yang bersangkutan. Karena itu, respon dari sesuatu struktur yang dimodelkan

sebagai pendulum majemuk, dapat dianggap sebagai superposisi dari sejumlah pendulum

sederhana (pendulum oscillator) dengan satu derajat kebebasan (SDOF).

Menurut G.G. Penelus at.al. (1977) dan E.F. Cruz at.al. (1986), sistem SDOF untuk

menjelaskan respon dari masing-masing ragam spektrum, merupakan pendekatan yang cukup

sesuai untuk menentukan respon elastis dari struktur terbatas dari gerakan tanah akibat gempa

bumi. Gabungan respon dari semua ragam yang berperan untuk mendapatkan respon struktur

secara keseluruhan dapat ditentukan dengan mengambil akar pangkat dua dari jumlah kuadrat

spektrum masing-masing ragam ( square root of the sum square ).

2.4. Derajat Kebebasan (Degree of Freedom, DOF)

Apabila suatu struktur sebagai contoh portal sederhana dibebani secara dinamik maka

massa struktur akan bergoyang baik ke kanan (simpangan bernilai positif) atau ke kiri

apabila terdapat deformasi aksial kolom ataupun adanya puntiran. Menurut Widodo (2001),

Derajat kebebasan (degree of freedom) adalah derajat independensi yang diperlukan untuk

menyatakan suatu posisi suatu sistim pada setiap saat. Apabila suatu titik yang ditinjau

mengalami perpindahan tempat secara horisontal, vertikal dan ke samping, maka sistim

tersebut mempunyai 3 derajat kebebasan. Hal ini terjadi karena titik yang bersangkutan dapat

berpindah secara bebas dalam 3 arah.

Namun demikian, dari persoalan tersebut dapat dilakukan penyederhanaan dimana

dapat dianggap hanya terjadi dalam satu bidang saja (tanpa puntiran). Hal ini dimaksudkan

agar penyelesaian persoalan menjadi sedikit berkurang baik secara kualitas maupun kuantitas.

Penyelesaian yang dahulunya sangat banyak menjadi berkurang banyak. Hal ini terjadi

karena penyelesaian dinamik merupakan penyelesaian berulang-ulang dalam ratusan bahkan

ribuan kali.

Pada permasalahan dinamik, setiap titik atau massa umumnya hanya diperhitungkan

berpindah dalam satu arah saja yaitu horisontal. Kemudian karena simpangan yang terjadi

hanya terjadi dalam satu bidang (2 dimensi) maka simpangan suatu massa pada setiap saat

hanya mempunyai posisi/ordinat tertentu baik bertanda positif maupun negatif. Pada kondisi

2 dimensi tersebut simpangan suatu massa pada saat t dapat dinyatakan dalam koordinat

tunggal yaitu y(t). struktur tersebut dinamakan struktur dengan derajat kebebasan tunggal

(single degree of freedom, SDOF) dan struktur yang mempunyai n-tingkat akan mempunyai

n-derajat kebebasan atau struktur dengan derajat kebebasan banyak (multi degree of freedom,

MDOF). Maka dapat disimpulkan bahwa, jumlah derajat kebebasan adalah jumlah koordinat

2.5. Prinsip Bangunan Geser (Shear Building)

Pada analisis dinamika struktur pola goyangan pertamalah yang umumnya diadopsi,

dimana struktur dianggap cukup fleksibel dengan lantai-lantai tingkat yang relatif kaku.

Untuk sampai pada anggapan hanya terdapat satu derajat kebebasan pada setiap tingkat, maka

terdapat beberapa penyederhanaan/anggapan-anggapan. Anggapan-anggapan tersebut adalah

:

1. Massa struktur dianggap terkonsentrasi pada setiap lantai tingkat. Massa yang

dimaksud adalah massa struktur akibat berat sendiri, beban berguna, beban

hidup dan berat kolom pada ½ tingkat dibawah dan diatas tingkat yang

bersangkutan. Massa itu semua kemudian dianggap terkonsentrasi pada satu

titik (lumped mass) pada elevasi tingkat yang bersangkutan. Hal ini bertujuan

agar struktur yang terdiri atas derajat kebebasan tak terhingga berkurang

menjadi hanya satu derajat kebebasan.

2. Lantai-lantai tingkat dianggap sangat kaku dibanding dengan kolom-kolomnya

karena balok-balok portal disatukan secara monolit oleh plat lantai. Hal ini

berarti bahwa beam column joint dianggap tidak berotasi sehingga lantai

tingkat tetap horisontal sebelum dan sesudah terjadi penggoyangan.

3. Simpangan massa dianggap tidak dipengaruhi oleh beban aksial kolom atau

deformasi aksial kolom diabaikan. Disamping itu pengaruh P-delta terhadap

momen kolom juga diabaikan. Oleh karena itu dengan anggapan ini dan

anggapan sebelumnya lantai tingkat tetap pada elevasinya dan tetap horisontal

Dengan anggapan-anggapan tersebut maka portal seolah-olah menjadi bangunan yang

bergoyang akibat lintang saja (lentur balok dianggap tidak ada) atau bangunan yang pola

goyangannya didominasi oleh geser (shear mode). Bangunan dengan anggapan-anggapan

atau berperilaku seperti diatas disebut shear building. Dengan berperilaku shear building,

maka pada setiap tingkat hanya akan mempunyai satu derajat kebebasan. Portal bangunan

yang mempunyai n-tingkat berarti akan mempunyai n-derajat kebebasan.

2.6. Persamaan Diferensial Pada Struktur SDOF

Dengan anggapan struktur berderajat kebebasan tunggal (SDOF) hanya akan

mempunyai satu koordinat yang diperlukan untuk menyatakan posisi massa pada saat tertentu

yang ditinjau.

P(t)

q(t/m’)

c k m

a. Struktur SDOF b. Model fisik struktur SDOF

P(t) m

c k

Fs

Fd

Fi _P(t)

c) model matematik d) free body diagram

Pada gambar diatas dapat dilihat bahwa P(t) merupakan beban dinamik yaitu beban

yang intensitasnya merupakan fungsi dari waktu. Notasi m, c, dan k berturut-turut adalah

massa, redaman, dan kekakuan kolom. Apabila beban dinamik P(t) bekerja ke arah kanan,

maka akan terdapat perlawanan pegas, damper dan gaya inersia. Berdasarkan prinsip

keseimbangan dinamik pada free body diagram tersebut, maka dapat diperoleh hubungan,

��+��+�� = �(�) (2.1)

dimana,

�� = �.ӱ

�� = �.ẏ (2.2)

�� =�.�

FI, FD, FS adalah gaya inersia, gaya redam, dan gaya pegas, sedangkan ӱ, ẏ, y adalah

percepatan, kecepatan, dan simpangan.

Apabila persamaan 2.2) disubstitusikan pada persamaan 2.1) maka akan diperoleh,

�.ӱ+�.ẏ+�.� =�(�) (2.3) atau,

�.�_��2₂ӱ+�.�_��.ẏ+�.� =�(�) (2.4) Persamaan 2.3) atau persamaan 2.4) merupakan persamaan diferensial gerakan massa

dinamik, hal penting yang perlu untuk diketahui adalah simpangan horisontal tingkat atau

dalam persamaan tersebut adalah y(t). simpangan horisontal tingkat akan berpengaruh secara

langsung terhadap momen kolom maupun momen balok pada gambar 2.5.

Gambar 2.3. Momen Kolom akibat Simpangan y(t)

Gambar 2.5 merupakan simpangan horisontal suatu ujung kolom sebesar y(t). berdasarkan

prinsip mekanika maka pada ujung-ujung kolom tersebut akan timbul momen lentur sebesar,

�� =6��_ℎ2 .�(�) (2.5)

Dengan Mc adalah momen ujung kolom, E adalah modulus elastik bahan, I adalah momen

inersia potongan, h adalah panjang kolom dan y(t) adalah simpangan horisontal. Berdasarkan

persamaan 2.5) maka tampak bahwa semakin besar simpangan horisontal y(t) maka momen

lentur yang terjadi pada ujung-ujung kolom akan semakin besar. Oleh karena itu penyelesaian

persamaan 2.3) atau 2.4) yang terpenting adalah mencari simpangan horisontal y(t).

permasalahan yang lain misalnya pada permasalahan respon lapisan-lapisan tanah akibat

gempa.

Simpangan horisontal tingkat yang terjadi selanjutnya akan berpengaruh terhadap

momen balok. Semakin besar simpangan horisontal tingkat maka semakin besar momen pada

ujung kolom dan ujung balok. Pada desain bangunan yang memakai prinsip strong column

and weak beam, terjadinya simpangan tingkat yang melebihi batas tertentu akan

mengakibatkan terjadinya sendi plastik pada ujung-ujung balok. Hal seperti itu diperbolehkan

karena kolom masih cukup kuat menahan beban.

2.6.1. Persamaan Diferensial Pada Tiap Tipe Getaran

Secara umum gerakan massa suatu struktur dapat disebabkan baik oleh adanya

gangguan luar maupun adanya suatu nilai awal (initial conditions). Sebagai contoh, massa

yang berada diujung atas tiang bendera yang ditarik sedemikian rupa sehingga mempunyai

simpangan awal sebesar yo dan apabila gaya tarik tersebut dilepas maka tiang bendera akan

bergoyang/bergetar ke kanan dan ke kiri. Peristiwa gerakan massa akibat adanya simpangan

awal yo (dapat juga kecepatan awal) seperti itu biasa disebut dengan getaran bebas (free

vibration systems). Sebaliknya apabila goyangan suatu struktur disebabkan oleh gangguan

luar, maka peristiwa seperti itu biasanya disebut getaran dipaksa (forced vibration systems).

1. Persamaan diferensial pada getaran bebas

Pada tipe getaran ini, getaran bukan disebabkan oleh beban luar atau gerakan

tanah akibat gempa tetapi adanya nilai awal (initial conditions), misalnya

simpangan awal yo atau kecepatan awal yo. Pada tipe getaran ini maka yo, P(t)

= 0, maka persamaan diferensial untuk free vibration systems adalah :

Pada getaran bebas tanpa redaman ini, maka nilai c = 0, sehingga

persamaan diferensial gerakan massa akan menjadi,

�.ӱ+�.� = 0 (2.6)

b. Getaran bebas yang diredam (damped free vibrations)

Pada getaran bebas yang diredam, maka struktur yang bersangkutan

mempunyai sistim peredam energi, atau koefisien redaman (c) ≠ 0, sehingga persamaan diferensialnya menjadi,

�.ӱ+�.ẏ+�.� = 0 (2.7) 2. Persamaan diferensial pada getaran dipaksa

Getaran dipaksa adalah suatu getaran yang diakibatkan oleh adanya gaya luar

ataupun adanya getaran tanah akibat gempa. Dalam hal ini nilai P(t) ≠ 0. Getaran dipaksa dapat dikategorikan dalam dua golongan yaitu :

a. Getaran dipaksa yang tidak diredam (undamped forced vibration).

Persamaan diferensial untuk getaran dipaksa yang tidak diredam adalah,

�.ӱ+�.� =�(�) (2.8) b. Getaran dipaksa yang diredam (damped forced vibration)

Persamaan diferensial untuk jenis ini adalah,

�.ӱ+�.ẏ+�.� =�(�) (2.9)

2.6.2. Periode Getar (T), Frekuensi Sudut (ω), dan Frekuensi Alami (f)

Pada kondisi getaran bebas tanpa redaman (undamped free vibration systems) maka

persamaan diferensial gerakannya adalah,

Persamaan 2.10) merupakan persamaan diferensial linear homogen dengan koefisien

konstan yang ditunjukkan oleh konstanta m dan k. disebut persamaan homogen karena suku

sebelah kanan sama dengan nol. Persamaan tersebut juga akan menghasilkan gerakan yang

periodik dan harmonik. Berdasarkan respon tersebut maka penyelesaian persamaan 2.10)

dinyatakan dalam bentuk,

�=�. sin (�.�) (2.11)

A merupakan suatu amplitude atau koefisien yang nilainya bergantung pada kondisi

awal (initial value). Dari persamaan tersebut dapat diperoleh,

ẏ= −�.�. cos (�.�) (2.12)

ӱ= −�2.�. sin (�.�) (2.13) Persamaan 2.13) kemudian disubstitusi ke dalam persamaan 2.10) akan didapat,

{� − �2.�}.�. sin(�.�) = 0 (2.14) Nilai A dan sin(��) tidak selalu sama dengan nol, maka nilai yang sama dengan nol adalah,

{� − �2.�} = 0 (2.15) Maka akan diperoleh,

�=��

� (2.16)

�=2�

� (2.17)

�=_�1 (2.18)

Dimana � adalah frekuensi sudut (angular frequency) dalam rad/s, T adalah periode getar struktur dalam sekon, dan f adalah natural frequency dalam cps (cycles per second) atau

2.7. Dinamik Karakteristik Struktur Bangunan

Pada persamaan diferensial struktur berderajat tunggal (SDOF) melibatkan tiga

properti utama suatu struktur yaitu, massa, kekakuan, dan redaman. Ketiga properti struktur

tersebut disebut dinamik karakteristik struktur. Properti-properti tersebut sangat penting

dalam penyelesaian analisa dinamik.

2.7.1. Massa

Terdapat dua pendekatan yang secara umum digunakan untuk mendeskripsikan massa

struktur yaitu :

1. Model Lumped Mass

Pada pemodelan ini, massa dianggap menggumpal pada tempat-tempat join atau

tempat-tempat tertentu. Dalam hal ini gerakan/degree of freedom suatu join sudah

ditentukan yaitu simpangan horisontal. Kondisi tersebut merupakan prinsip bangunan

geser (shear building). Titik nodal hanya akan mempunyai satu derajat

kebebasan/satu translasi yang menyebabkan elemen atau struktur yang bersangkutan

akan mempunyai matriks yang isinya hanya bagian diagonal saja. Pada bangunan

gedung bertingkat yang massanya terkonsentrasi pada tiap-tiap tingkat bangunan,

maka penggunaan model ini masih cukup akurat dan akan mempermudah proses

perhitungan.

2. Model Consistent Mass Matrix

Pada pemodelan ini, elemen struktur akan berdeformasi menurut bentuk fungsi (shape

function) tertentu. Pemodelan massa seperti ini akan sangat bermanfaat pada struktur

yang distribusi massanya adalah kontinu, seperti balok yang membentang cukup

derajat kebebasan (horisontal, vertikal, dan rotasi) pada setiap node, yang nantinya

akan menghasilkan full populated consistent matrix artinya suatu matriks yang

diagonal matriksnya tidak sama dengan nol. Melalui pendekatan finite element, maka

untuk setiap elemen balok lurus dan degree of freedom yang ditinjau akan

menghasilkan konsisten matriks yang sudah standar.

2.7.2. Kekakuan

Kekakuan adalah salah satu dinamik karakteristik struktur bangunan yang sangat

penting disamping massa bangunan. Antara massa dan kekakuan struktur akan mempunyai

hubungan yang unik yang umumnya disebut karakteristik diri atau eigenproblem. Hubungan

tersebut akan menentukan nilai frekuensi sudut, periode getar struktur. Pada prinsip bangunan

geser (shear building) balok pada lantai tingkat dianggap tetap horisontal baik sebeum

maupun sesudah terjadi penggoyangan. Adanya plat lantai yang menyatu secara kaku dengan

balok diharapkan dapat membantu kekakuan balok. Pada prinsip disain bangunan tahan

gempa dikehendaki agar kolom lebih kuat dibandingkan dengan balok, namun rasio tersebut

tidak selalu linear dengan kekakuannya. Dengan prinsip shear building maka dimungkinkan

pemakaian lumped mass model. Pada prinsip ini, kekakuan setiap kolom dapat dihitung

berdasarkan rumus standar.

Gambar 2.4 Kekakuan Kolom Jepit-jepit dan Jepit-sendi

Menurut prinsip mekanika, suatu kolom jepit-jepit panjang h dengan kekakuan lentur

(flextural rigidity) EI yang salah satu ujungnya mengalami perpindahan tempat sebesar y,

maka pada ujung-ujung elemen tersebut akan timbul momen sebesar,

�1 =6��_ℎ2 � , dan �2 = 6��_ℎ2 � (2.19)

Karena elemen tersebut mempunyai potongan yang prismatik maka M1, akan sama

dengan M2. Adanya momen akan menimbulkan gaya geser yang bekerja pada masing-masing

join sebesar,

�1 = �_ℎ1+�_ℎ2 =�6��_ℎ3 +6��_ℎ3� �= 12��_ℎ3 � (2.20)

Pada hakikatnya gaya horisontal yang bekerja pada join atas P = H1 = H2, maka kekakuan

kolom dapat dihitung dengan,

�=� � =

12�� ℎ2_ℎ

� � =

12��

ℎ3 (2.21)

Persamaan 2.21) adalah kekakuan kolom prismatik jepit-jepit dengan mengabaikan efek

P-delta. Untuk kolom jepit-sendi maka kekakuannya dapat dicari dengan cara yang sama dan

dapat dihitung dengan,

�=3��

Gambar 2.5 Pegas Paralel dan Pegas Seri

Struktur yang umumnya didukung oleh beberapa kolom, kolom tersebut memiliki fungsi

utama menahan beban baik beban vertikal maupun beban horisontal. Kolom-kolom tersebut

akan memperkuat satu sama lain dalam hal menahan beban. Pemodelan kekakuan kolom

dimodelkan sebagai serangkaian pegas paralel yang bekerja secara bersama-sama.

Kolom-kolom/pegas-pegas tersebut akan berhubungan dengan massa secara bersamaan. Pegas yang

tersusun secara paralel menganut prinsip persamaan regangan artinya seluruh pegas memiliki

regangan yang sama, sehingga kekakuan total yang merupakan kekakuan ekivalen dihitung

dengan rumus,

���= ∑��=1�� (2.23)

Dimana i = 1, 2, 3,…n adalah jumlah kolom, Ki adalah kekakuan kolom i menurut

persamaan 2.21) atau persamaan 2.22).

Pada rangkaian pegas seri, kondisinya sedikit berbeda. Pada rangkaian ini sebelum

bertemu dengan massa, maka pegas yang satu saling bertemu/berhubungan dengan pegas

lain. Oleh karena itu pegas-pegas tersebut tidak saling memperkuat sebagaimana rangkaian

paralel tetapi justru saling memperlemah. Pembebanan vertikal pada lapisan-lapisan tanah

yang mana tiap-tiap lapis mempunyai kekakuan masing-masing adalah salah satu contoh dari a) Struktur SDOF b) Pegas Paralel c) Pegas Seri

pemodelan kekakuan tanah dengan pegas seri. Pada rangkaian tersebut perpendekan pegas

merupakan jumlah dari perpendekan masing-masing pegas dan menganut prinsip persamaan

tegangan/beban sepanjang pegas sehingga,

�1 =_��₁, �2 =_��₂, �3 = _��₃ (2.24) Dimana y adalah perpendekan yang dialami oleh masing-masing pegas.

Total perpendekan yang dialami pegas seri adalah jumlah dari perpendekan yang dialami

oleh masing-masing pegas sehingga,

�=�₁ +�₂+�₃ = � �1+

� �2+

� �3= � �

1 �1+

1 �2+

1

�3�=� �

1

���� (2.25)

Dengan demikian kekakuan ekivalen rangkaian pegas seri dapat dihitung dengan rumus,

1 ���= ∑ � 1 ��� � �=1 (2.26) 2.7.3. Redaman

Redaman merupakan peristiwa pelepasan energi (energy dissipation) oleh struktur

akibat adanya berbagai macam sebab. Beberapa penyebab itu diantaranya adalah pelepasan

energi oleh adanya gerakan antar molekul di dalam material, pelepasan energi oleh gesekan

alat penyambung maupun sistim dukungan, pelepasan energi akibat gesekan dengan udara

dan pada respon inelastik pelepasan energi juga terjadi akibat adanya rotasi sendi plastik.

Karena redaman berfungsi melepaskan energi maka hal tersebut akan mengurangi respon

struktur.

1. Damping Klasik (Classical Damping)

Apabila di dalam struktur memakai bahan yang sama bahannya akan mempunyai

rasio redaman (damping ratio) yang relatif kecil dan struktur damping dijepit

didasarnya maka sistim struktur tersebut mempunyai damping yang bersifat klasik

(classical damping). Damping dengan sistim ini akan memenuhi kaidah kondisi

ortogonal (orthogonal condition).

2. Damping Non-klasik (Non Classical Damping)

Damping dengan sistim in akan terbentuk pada suatu sistim struktur yang memakai

bahan yang berlainan yangmana bahan-bahan yang bersangkutan mempunyai rasio

redaman yang berbeda secara signifikan. Sebagai contohnya suatu struktur bangunan

yang bagian bawahnya dipakai struktur beton bertulang sedangkan bagian atasnya

memakai struktur baja. Antara keduanya mempunyai kemampuan disipasi energi yang

berbeda sehingga keduanya tidak bisa membangun redaman yang klasik. Adanya

interaksi antara tanah dengan struktur juga kan membentuk sistim redaman yang

non-klasik, karena tanah mempunyai redaman yang cukup besar misalnya antara 10 – 25

%, sedangkan struktur atasnya mempunyai rasio redaman yang relatif kecil, misalnya

4 – 7 %.

2.8. Persamaan Diferensial Gerakan Struktur MDOF

Secara umum struktur bangunan gedung tidaklah selalu dapat dinyatakan di dalam

suatu sistim yang mempunyai derajat kebebasan tunggal (SDOF). Struktur bangunan gedung

banyak yang mempunyai derajat kebebasan banyak (multi degree of freedom, MDOF). Pada

struktur bangunan gedung bertingkat banyak umumnya massa struktur dapat digumpalkan

Dengan anggapan berprilaku sebagai shear building maka struktur yang semula mempunyai

derajat kebebasan tidak terhingga akan menjadi struktur dengan derajat kebebasan terbatas.

2.8.1. Matriks Massa, Matriks Kekakuan, dan Matriks Redaman

Untuk menyatakan persamaan diferensial gerakan pada struktur dengan derajat

kebebasan banya maka dipakai anggapan dan pendekatan seperti pada struktur dengan derajat

kebebasan tunggal. Anggapan seperti prinsip shear building masih berlaku pada struktur

dengan derajat kebebasan banyak (MDOF). Untuk memperoleh persamaan diferensial

tersebut, maka tetap dipakai prinsip keseimbangan dinamik (dynamic equilibrium) pada suatu

massa yang ditinjau.

Gambar 2.6 Struktur 3-DOF, Model Matematik dan Free Body Diagram

Struktur bangunan gedung bertingkat 3 pada gambar tersebut akan mempunyai 3 derajat

kebebasan. Persamaan diferensial disusun berdasarkan atas goyangan struktur menurut first

mode atau mode pertama. Berdasarkan pada keseimbangan dinamik pada free body diagram

maka akan diperoleh,

�1.ӱ₁+�1.�1+�1.ẏ₁− �2(�2− �1)− �2�ẏ₂−ẏ₁� − �1(�) = 0 (2.27) a) Struktur dengan 3 DOF c) Free body diagram

�2.ӱ₂ +�2(�2− �1) +�2�ẏ₂−ẏ₁� − �3(�3− �2)− �3�ẏ₃−ẏ₂� − �2(�) = 0 (2.28)

�3.ӱ₃ +�3(�3− �2) +�3(ẏ₃−ẏ₂)− �1(�) = 0 (2.29) Pada persamaan-persamaan tersebut tampak bahwa keseimbangan dinamik suatu

massa yang ditinjau dipengaruhi oleh kekakuan, redaman dan simpangan massa sebelum dan

sesudahnya. Persamaan dengan sifat-sifat seperti itu umumnya disebut coupled equation

karena persamaan-persamaan tersebut akan bergantungan satu sama lain. Penyelesaian

persamaan coupled harus dilakukan secara simultan artinya dengan melibatkan semua

persamaan yang ada. Pada struktur dengan derajat kebebasan banyak, persamaan diferensial

gerakannya merupakan persamaan yang dependent atau coupled antara satu dengan yang lain.

Dengan menyusun persamaan-persamaan tersebut menurut parameter yang sama

(percepatan, kecepatan, dan simangan) selanjutnya akan diperoleh,

�1.ӱ₁+ (�1+�2)ẏ₁− �2.ẏ₂+ (�1 +�2)�1− �2.�2 =�1(�) (2.30)

�2.ӱ₂− �2.ẏ₁+ (�2+�3)ẏ₂− �3.ẏ₃− �2.�1+ (�2+�3)�2− �3.�3 =�2(�) (2.31)

�3.ӱ₃ − �3.ẏ₂+�3.ẏ₃− �3.�2+�3.�3 =�3(�) (2.32) Persamaan-persamaan diatas dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut,

��1

0 0

0 �₂ 0

0 0 �₃

� �

ӱ₁ ӱ₂ ӱ₃�+�

�1+�2 −�2 0

−�2 �2+�3 −�3

0 −�₃ �₃ � �

ẏ₁ ẏ₂ ẏ₃�+

��1

+�₂ −�₂ 0

−�2 �2+�3 −�3

0 −�₃ �₃

� ���12

�3

� =� �1(�)

�2(�)

�3(�)

� (2.33)

[�]{ӱ} + [�]{ẏ} + [�]{�} = {�(�)} (2.34) Dimana [m], [c] dan [k] berturut-turut adalah matriks massa, matriks redaman, dan matriks

kekakuan yang dapat ditulis menjadi,

[�] =�

�1 0 0

0 �₂ 0

0 0 �₃

�, [�] =�

�1+�2 −�2 0

−�2 �2+�3 −�3

0 −�₃ �₃

�, [�] =�

�1+�2 −�2 0

−�2 �2+�3 −�3

0 −�₃ �₃

� (2.35)

Sedangkan {ӱ}, { ẏ}, {y} dan {F(t)} masing-masing adalah vektor percepatan, vektor kecepatan, vektor simpangan, dan vektor beban atau,

{ӱ} = �

ӱ₁ ӱ₂

ӱ₃�, {ẏ} =� ẏ₁ ẏ₂

ẏ₃� , {�} =�

�1

�2

�3

� dan {�(�)} =� �1(�)

�2(�)

�3(�)

� (2.36)

2.9. Getaran Bebas Pada Struktur MDOF 2.9.1. Nilai Karakteristik

Pada kenyataannya getaran bebas (free vibration system) jarang terjadi pada struktur

MDOF, tetapi dengan menganalisis jenis getaran ini akan diperoleh suatu

besaran/karakteristik dari struktur yang akan berguna berupa frekuensi sudut (ω), periode getar (T), frekuensi alami (f) dan normal modes.

Pada getaran bebas di struktur yang mempunyai derajat kebebasan banyak (MDOF),

maka matriks persamaan diferensial gerakannya adalah,

Pada struktur dengan redaman, frekuensi sudut yang dihasilkan hampir sama dengan

frekuensi sudut pada struktur yang dianggap tanpa redaman. Hal ini akaan diperoleh apabila

nilai rasio redaman relatif kecil. Apabila prinsip ini digunakan untuk struktur dengan derajat

kebebasan banyak, maka nilai C = 0, persamaan 2.37) akan menjadi,

[�]{ӱ} + [�]{�} = 0 (2.38) Karena persamaan 2.38) adalah persamaan diferensial pada struktur MDOF yang

dianggap tidak mempunyai redaman, maka penyelesaian persamaan diferensial tersebut

diharapkan dalam fungsi harmonik menurut bentuk,

�= {∅}_� sin (��)

ẏ=−� {∅}_�cos (��)

ӱ=−�2 {∅}_�sin (��) (2.39) dimana, {Ø}i adalah suatu ordinat massa pada mode yang ke-i. persamaan 2.39)

disubstitusikan ke dalam persamaan 2.38) maka akan diperoleh,

−�2_[�]{∅}

�sin(��) + [�]{∅}� sin(��) = 0 (2.40) {[�]− �2[�]}{∅}_� = 0 (2.41) Persamaan 2.41) merupakan persamaan yang sangat penting dan biasa disebut persamaan

eigenproblem atau karakteristik problem atau eigenvalue problem. Persamaan 2.41) tersebut

adalah persamaan simultan yang harus dicari penyelesaiannya. Salah satu cara yang dapat

dipakai adalah dengan memakai dalil Cramer (1704-1752). Gabriel Cramer adalah salah satu

simultan yang homogen akan ada nilainya apabila determinan dari matriks yang merupakan

koefisien dari vektor {Ø}i adalah nol, sehingga,

�[�]− �2[�]�= 0 (2.42) Jumlah mode pada struktur dengan derajat kebebasan banyak biasanya dapat dihubungkan

dengan jumlah massa. Mode adalah jenis/pola/ragam getaran/goyangan suatu struktur

bangunan. Mode merupakan fungsi dari properti dinamik struktur yang bersangkutan (dalam

hal ini hanya massa dan kekakuan) dan bebas dari pengaruh waktu dan frekuensi getaran.

Dengan adanya hubungan antara jumlah mode dengan jumlah massa struktur, maka bangunan

yang mempunyai 5-tingkat akan mempunyai 5 derajat kebebasan dan akan mempunyai 5

jenis “mode” gerakan dan akan mempunyai 5 nilai frekuensi sudut yang berhubungan

langsung dengan jenis/nomor modenya. Apabila jumlah derajat kebebasan adalah n, maka

persamaan 2.42) akan menghasilkan suatu polinomial pangkat n yang selanjutnya akan

menghasilkan �_�2 untuk i = 1, 2, 3, …n. selanjutnya substitusi masing-masing frekuensi ωi ke

2.9.2. Frekuensi Sudut (ω) dan Normal Modes

Pada struktur yang mempunyai derajat kebebasan banyak (MDOF) dalam

menghitung frekuensi sudut, diambil suatu anggapan bahwa struktur tersebut dianggap tidak

mempunyai redaman atau C = 0. Dalam menghitung dan menggambarkan normal modes,

maka diambil suatu model struktur seperti pada gambar berikut.

Gambar 2.7 Bangunan 2-DOF dan Model Matematik

Setiap struktur yang dibebani dengan beban dinamik akan mengalami goyangan, untuk

struktur derajat kebebasan banyak, maka struktur yang bersangkutan akan mempunyai

banyak ragam/pola goyangan. Normal modes adalah suatu istilah yang dipakai pada problem

dinamika struktur, yang diterjemahkan sebagai ragam/pola goyangan.

Suatu persamaan diferensial gerakan dapat diperoleh dengan memperhatikan free

body diagram pada gambar 2.9 dan diperoleh,

�1.ӱ₁+�1.�1 − �2(�2− �1) = 0

�2.ӱ₂ +�2(�2− �1) = 0 (2.43) Persamaan 2.43) dapat ditulis dalam bentuk yang sederhana yaitu,

a) Struktur dengan 2 DOF c) Free body diagram b) Model Matematik

�1.ӱ1+ (�1 +�2)�1− �2.�2 = 0

�2.�2− �2.�1 +�2.�2 = 0 (2.44) Persamaan 2.44) dapat ditulis ke dalam bentuk matriks yaitu,

��₀1 _�0

2� �

ӱ₁

ӱ₂�+�(�1−�+2�2) −��22� �

�1

�2�=� 0

0� (2.45)

Selanjutnya persamaan eigenproblem pada persamaan 2.45) adalah,

�(�1+�2)− �2.�1 −�2

−�2 �2− �2.�2� �∅ 1

∅2�= � 0

0� (2.46)

Dengan Øi adalah suatu nilai/ordinat yang berhubungan dengan massa ke-i pada ragam/pola

goyangan massa ke-i. persamaan 2.46) akan mempunyai penyelesaian apabila dipenuhi nilai

determinan,

�(�1+�2)− �2.�1 −�2 −�2 �2− �2.�2�

= 0 (2.47)

Apabila persamaan 2.47) tersebut diteruskan maka nilai determinannya adalah,

�1.�2.�4−{(�1+�2)�2− �2.�1}�2+ (�1+�2)�2− �22 = 0 (2.48) Agar pembahasan tersebut memiliki nilai, maka perlu diberikan nilai m1, m2, k1, dan

k2. Misalnya nilai-nilai tersebut diberikan (menurut unitnya masing-masing) m1 = 2, m2 = 1,

k1 = k2 = 1, maka diperoleh,

2�4−4�2+ 1 = 0 (2.49)

Nilai yang akan dicari adalah nilai-nilai percepatan sudut ω. Dengan memakai rumus abc, maka nilai-nilai tersebut adalah,

�1;22 =

4 ±√16−8

4 =

4 ± 2,8284 4

��_�1₂�=�0,5412

1,3065� ���/���2 (2.50)

Persamaan 2.50) umumnya disebut eigenvalue dari eigenproblem persamaan 2.42).

Berdasarkan pada persamaan 2.50), maka dapat dimengerti bahwa struktur yang mempunyai

dua tingkat atau struktur degan 2-derajat kebebasan akan mempunyai 2 nilai frekuensi sudut.

Frekuensi sudut ω1 adalah frekuensi sudut untuk mode ke-1 atau untuk pola/ragam goyangan

ke-1, sedangkan ω2 adalah frekuensi sudut untuk mode ke-2.

Substitusi nilai ω1 ke dalam persamaan 2.46), misalnya substitusi baris pertama

persamaan tersebut (dengan catatan bahwa Ø1 menjadi Ø11 dan Ø2 menjadi Ø21) maka akan

diperoleh,

�1 = 0,5412���_{��� →}{(+1)−0,54122}∅11−1.∅21 = 0 1,4144 ∅₁₁= ∅₂₁ maka ∅21

∅11= 1,4144 (2.51)

Secara umum nilai-nilai penyelesaian persamaan simultan homogen tidak akan

memberikan suatu nilai yang pasti/tetap tetapi nilai-nilai tersebut hanya akan sebanding

antara satu dengan yang lain (persamaan 2.51). dengan memperhatikan sifat tersebut maka

umumnya diambil nilai Ø11=1, maka akan diperoleh,

{∅}₁₁ = 1 , maka {∅}₂₁ = 1,4144 (2.52) Nilai/koordinat yang berhubungan dengan suatu massa pada setiap pola goyangan

∅�� (2.53) Dimana indeks i menunjukkan massa dan indeks j menunjukkan nomor ragam/pola

goyangan. Dengan demikian Øij adalah suatu koordinat yang berhubungan dengan massa ke-i

pada ragam/pola goyangan ke-j.

Nilai-nilai koordinat yang berhubungan dengan massa struktur untuk pola goyangan

ke-1 seperti persamaan 2.53) dapat ditulis menjadi,

{∅}₁ = �1,0000

1,4144� (2.54)

Persamaan 2.54) umumnya disebut sebagai eigenvector untuk ragam/pola goyangan

atau mode shape untuk mode ke-1. Nilai-nilai koordinat untuk ragam/pola goyangan ke-2

dapat diperoleh dengan substitusi nilai ω2 ke dalam persamaan 2.47), misalnya

disubstitusikan pada baris pertama persamaan tersbut (dengan catatan Ø1 menjadi Ø12 dan Ø2

menjadi Ø22) maka akan diperoleh,

�2 = 1,3065���_��� ,→ {(1 + 1)−1,30652. 2}∅12−1.∅22 = 0

−1,4142 ∅₁₂=∅₂₂ ∅22

∅12=−1,4142 (2.55)

Apabila ∅₁₂ = 1 , maka ∅₂₂= −1,4142

Sesuai dengan persamaan 2.54), maka nilai-nilai koordinat yang berhubungan dengan

massa struktur untuk ragam/pola goyangan/mode ke-2 dapat ditulis menjadi,

{∅}₂ =� 1,0000

Sesuai dengan persamaan 2.54) maka persamaan 2.56) juga disebut dengan

eigenvector untuk ragam/pola goyangan mode ke-2. Dengan mengingat persamaan 2.50),

persamaan 2.54) dan persamaan 2.56) maka dapat dipahami bahwa struktur dengan n-derajat

kebebasan akan mempunyai n-frekuensi sudut dan n-modes.

Antara persamaan 2.54) dan persamaan 2.56) dapat ditulis menjadi suatu matriks yang

umumnya disebut modal matrix yaitu,

[�] =�1,0000 1,0000

1,4144 −1,4142� (2.57)

Dengan diperolehnya nilai-nilai frekuensi sudut untuk tiap-tiap mode seperti pada

persamaan 2.50), maka akan diperoleh juga nilai periode getar T tiap-tiap mode yaitu,

�1 =2�_�1 dan �2 = _�2�₂ (2.58) Nilai T1 umumnya disebut periode getar dasar atau undamped fundamental period of

vibrations. Selanjutnya nilai periode getar akan berpengaruh terhadap koefisien gempa dasar

C seperti yang tercantum pada spektrum respon. Nilai ordinat mode shape pada tiap-tiap

massa untuk semua ragam/pola goyangan digambar seperti berikut,

Gambar 2.8 Normal Modes

Nilai-nilai ordinat mode shapes pada gambar 2.10) tidak tergantung pada beban luar,

melainkan hanya tergantung pada properti fisik struktur, misalnya massa mi dan kekakuan ki.

Struktur dianggap tidak mempunyai redaman sehingga periode getar yang dicari adalah

merupakan undamped free vibration periods. Nilai-nilai mode shapes tidak dipengaruhi oleh

waktu, artinya nilai-nilai tersebut akan tetap jika nilai-nilai massa dan kekakuan tidak

berubah. Karena nilai kekauan ki tidak berubah-ubah maka mode shapes merupakan nilai

untuk struktur yang bersifat elastik, atau hanya struktur yang elastiklah yang mempunyai nilai

mode shapes. Nilai mode shapes juga tidak dipengaruhi oleh frekuensi beban. Dengan

demikian menurut Widodo (2001), dapat disimpulkan bahwa nilai-nilai mode shapes adalah :

1. Bebas dari pengaruh redaman,

2. Bebas dari pengaruh waktu

3. Bebas dari pengaruh frekuensi beban

BAB III

APLIKASI

3.1. Pemodelan Struktur

Asumsi yang digunakan dalam pemodelan dan analisis struktur portal adalah

meliputi :

- Portal merupakan struktur 2D (dua dimensi)

- Asumsi ukuran (section) kolom dan balok

- Kekuatan beton yang dipakai adalah 30 Mpa (fc’ = 30 MPa)

- Dalam analisis, struktur portal diasumsikan merupakan ‘Shear Building’; dimana

tiap tingkat struktur dianggap hanya mempunyai satu derajat kebebasan (DOF/

Degree of Freedom), dan massa tiap tingkat diasumsikan model Lumped Masses

(massa terakumulasi dalam satu titik di tengah tiap pelat lantai)

- Beban yang dipakai mengacu kepada ‘Pedoman Perencanaan Pembebanan Untuk

Rumah dan Gedung’ SKBI – 1.3.53.1987, Departemen Pekerjaan Umum (PU)

yang meliputi :

a. Beban mati :

 Massa sendiri balok ; dengan massa jenis beton 2400 kg/m3

 Massa pelat ; diasumsikan pelat 4 m dengan massa jenis 2400 kg/m3

 Massa dinding adalah 120 kg/m2 (dinding menggunakan bata ringan)

 Massa spesi (tebal 3 cm) ; dengan massa jenis 2100 kg/m3

b. Beban hidup : diasumsikan bangunan ditujukan untuk perkantoran ;

q = 250 kg/m2. Beban hidup untuk peninjauan gempa dikalikan dengan koefisien reduksi 0,3 untuk bangunan perkantoran

- Analisis dilakukan dengan program SAP 2000 versi 14

- Dari analisis didapatkan periode getar alami bangunan (natural period)

Berikut pemodelan tiap portal :

a. Parameter 1 : struktur portal dengan jumlah lantai yang bervariasi

4m

4m

4m

6 m K 30x30

B 25x40

- Portal 1 a

(3 tingkat)

m1

m2

m2

Gambar 3.1. Portal 1 a

Data – data :

 Elastisitas : E = 4700. ���′ = 4700. √30 = 25742,96 Mpa

 Beban mati :

• Massa balok = (0,25 x 0,4) x 6 x 2400 = 1440 kg • Massa kolom = 0,3 x 0,3 x 4 x 2400 = 864 kg • Massa dinding = 4 x 6 x 120 = 2880 kg

• Massa pelat = 0,12 x 4 x 6 x 2400 = 6912 kg • Massa spesi = 0,03 x 4 x 6 x 2100 = 1512 kg

• Massa plafon = 4 x 6 x 20 = 480 kg

 Beban hidup (dikalikan dengan koefisien reduksi beban hidup untuk peninjauan gempa) = 250 x 4 x 6 x 0,3 = 1800 kg

 m1 = 12144 kg

 m2 = 15888 kg

4m

6 m B 25x40

- Portal 1 b

4m 4m 4m 4m 4m K 35x35

(6 tingkat)

m

1

m

2

m

2

m

2

m

2

m

2

Gambar 3.2. Portal 1 b

Data – data :

 Beban mati :

• Massa balok = (0,25 x 0,4) x 6 x 2400 = 1440 kg • Massa kolom = 0,35 x 0,35 x 4 x 2400 x 2 = 2352 kg • Massa dinding = 4 x 6 x 120 = 2880 kg • Massa pelat = 0,12 x 4 x 6 x 2400 = 6912 kg • Massa spesi = 0,03 x 4 x 6 x 2100 = 1512 kg

• Massa plafon = 4 x 6 x 20 = 480 kg

 Beban hidup (dikalikan dengan koefisien reduksi beban hidup untuk peninjauan gempa) = 250 x 4 x 6 x 0,3 = 1800 kg

 m1 = 12144 kg

 m2 = 17376 kg

4m

6 m

- Portal 1 c

4m 4m 4m 4m 4m (8 tingkat) B 30x40 K 40x40 4m 4m

m

1

m

2

m

2

m

2

m

2

m

2

m

2

m

2

Data – data :

 Elastisitas : E = 4700. ���′ = 4700. √30 = 25742,96 Mpa

 Beban mati :

• Massa balok = (0,3 x 0,4) x 6 x 2400 = 1728 kg • Massa kolom = 0,4 x 0,4 x 4 x 2400 x 2 = 3072 kg • Massa dinding = 4 x 6 x 120 = 2880 kg • Massa pelat = 0,12 x 4 x 6 x 2400 = 6912 kg • Massa spesi = 0,03 x 4 x 6 x 2100 = 1512 kg

• Massa plafon = 4 x 6 x 20 = 480 kg

 Beban hidup (dikalikan dengan koefisien reduksi beban hidup untuk peninjauan gempa) = 250 x 4 x 6 x 0,3 = 1800 kg

 m1 = 12432 kg

 m2 = 18384 kg

b. Parameter 2 : jumlah bentangan bangunan

4m

4m

4m

4 m K 30x30

B 25x40

- Portal 2 a

_m1

m2

m2

Data – data :

 Elastisitas : E = 4700. ���′ = 4700. √30 = 25742,96 Mpa

 Beban mati :

• Massa balok = (0,25 x 0,4) x 4 x 2400 = 960 kg • Massa kolom = 0,3 x 0,3 x 4 x 2400 x 2 = 1728 kg • Massa dinding = 4 x 4 x 120 = 1920 kg • Massa pelat = 0,12 x 4 x 4 x 2400 = 4608 kg • Massa spesi = 0,03 x 4 x 4 x 2100 = 1008 kg

• Massa plafon = 4 x 4 x 20 = 320 kg

 Beban hidup (dikalikan dengan koefisien reduksi beban hidup untuk peninjauan gempa) = 250 x 4 x 4 x 0,3 = 1200 kg

 m1 = 8096 kg

 m2 = 11744 kg

4m

4m

4m

4 m

B 25x40

- Portal 2 b

K 30x30

4 m 4 m

m1

m2

m2

4m

4m

4m

4 m K 30x30 B 25x40

- Portal 2 c

4 m 4 m 4 m 4 m 4 m

m1

m2

m2

Data – data :

 Elastisitas : E = 4700. ���′ = 4700. √30 = 25742,96 Mpa

 Beban mati :

• Massa balok = (0,25 x 0,4) x 4 x 2400 = 960 kg • Massa kolom = 0,3 x 0,3 x 4 x 2400 x 4 = 3456 kg • Massa dinding = 4 x 4 x 120 = 1920 kg • Massa pelat = 0,12 x 4 x 4 x 2400 = 4608 kg • Massa spesi = 0,03 x 4 x 4 x 2100 = 1008 kg

• Massa plafon = 4 x 4 x 20 = 320 kg

 Beban hidup (dikalikan dengan koefisien reduksi beban hidup untuk peninjauan gempa) = 250 x 4 x 4 x 0,3 = 1200 kg

 m1 = 8096 x 3 = 24288 kg

 m2 = 10016 x 3 = 33504 kg

Data – data :

 Elastisitas : E = 4700. ���′ = 4700. √30 = 25742,96 Mpa

 Beban mati :

• Massa balok = (0,25 x 0,4) x 4 x 2400 = 960 kg • Massa kolom = 0,3 x 0,3 x 4 x 2400 x 7 = 6048 kg • Massa dinding = 4 x 4 x 120 = 1920 kg • Massa pelat = 0,12 x 4 x 4 x 2400 = 4608 kg • Massa spesi = 0,03 x 4 x 4 x 2100 = 1008 kg

• Massa plafon = 4 x 4 x 20 = 320 kg

 Beban hidup (dikalikan dengan koefisien reduksi beban hidup untuk peninjauan gempa) = 250 x 4 x 4 x 0,3 = 1200 kg

 m1 = 8096 x 6 = 48576 kg

 m2 = 10016 x 6 = 66144 kg

c. Parameter 3 : panjang bentangan portal

Struktur yang dibandingkan dalam parameter ketiga ini adalah Portal 2 a dengan

Portal 3.

4m

4m

4m

8 m K 40x40

B 30x40

- Portal 3

_m1

m2

m2

Data – data :

 Elastisitas : E = 4700. ���′ = 4700. √30 = 25742,96 Mpa

 Beban mati :

• Massa balok = (0,3 x 0,4) x 8 x 2400 = 2304 kg • Massa kolom = 0,4 x 0,4 x 4 x 2400 x 2 = 3072 kg • Massa dinding = 4 x 8 x 120 = 3840 kg • Massa pelat = 0,12 x 4 x 8 x 2400 = 9216 kg • Massa spesi = 0,03 x 4 x 8 x 2100 = 2016 kg

• Massa plafon = 4 x 8 x 20 = 576 kg

 Beban hidup (dikalikan dengan koefisien reduksi beban hidup untuk peninjauan gempa) = 250 x 4 x 8 x 0,3 = 2400 kg

 m1 = 16512 kg

d. Parameter 4 : konfigurasi panjang bentang dari portal

Struktur yang dibandingkan dalam parameter ini adalah Portal 2 b, Portal 4 a , dan

Portal 4 b.

4m

4m

4m

6 m K 30x30

B 25x40

- Portal 4 a

4 m 6 m

m1

m2

m2

Gambar 3.8. Portal 4 a

Data – data :

 Elastisitas : E = 4700. ���′ = 4700. √30 = 25742,96 Mpa

 Beban mati :

• Massa balok = (0,25 x 0,4) x 16 x 2400 = 3840 kg • Massa kolom = 0,3 x 0,3 x 4 x 2400 x 4 = 3456 kg • Massa dinding = 4 x 16 x 120 = 7680 kg • Massa pelat = 0,12 x 4 x 16 x 2400 = 18432 kg • Massa spesi = 0,03 x 4 x 16 x 2100 = 4032 kg

• Massa plafon = 4 x 16 x 20 = 1280 kg

 Beban hidup (dikalikan dengan koefisien reduksi beban hidup untuk peninjauan gempa) = 250 x 4 x 16 x 0,3 = 4800 kg

 m1 = 32384 kg

 m2 = 43520 kg

4m

4m

4m

4 m K 30x30

B 25x40

- Portal 4 b

6 m 4 m

m1

m2

m2

Gambar 3.9. Portal 4 b

Data – data :

 Elastisitas : E = 4700. ���′ = 4700. √30 = 25742,96 Mpa

 Beban mati :

• Massa balok = (0,25 x 0,4) x 14 x 2400 = 3360 kg • Massa kolom = 0,3 x 0,3 x 4 x 2400 x 4 = 3456 kg • Massa dinding = 4 x 14 x 120 = 6720 kg • Massa pelat = 0,12 x 4 x 14 x 2400 = 16128 kg • Massa spesi = 0,03 x 4 x 14 x 2100 = 3528 kg

• Massa plafon = 4 x 14 x 20 = 1120 kg

 Beban hidup (dikalikan dengan koefisien reduksi beban hidup untuk peninjauan gempa) = 250 x 4 x 14 x 0,3 = 4800 kg

 m1 = 28936 kg

 m2 = 39112 kg

e. Parameter 5 : struktur tidak beraturan akibat adanya lantai dengan ketinggian yang berbeda

Struktur yang dibandingkan dalam parameter ini adalah stuktur Portal 1 c, Portal

5 a, dan Portal 5 b.

7m

6 m

- Portal 5 a

B 30x40 K 40x40

5m

5m

5m

5m

5m

m

1

m

2

m

2

m

2

m

2

m

2

Gambar 3.10. Portal 5 a

Data – data :

 Elastisitas : E = 4700. ���′ = 4700. √30 = 25742,96 Mpa

 Beban mati :

• Massa kolom = 0,4 x 0,4 x 5 x 2400 x 2 = 3840 kg • Massa dinding = 5 x 6 x 120 = 3600 kg • Massa pelat = 0,12 x 4 x 6 x 2400 = 6912 kg • Massa spesi = 0,03 x 4 x 6 x 2100 = 1512 kg

• Massa plafon = 4 x 6 x 20 = 480 kg

 Beban hidup (dikalikan dengan koefisien reduksi beban hidup untuk peninjauan gempa) = 250 x 4 x 6 x 0,3 = 1800 kg

 m1 = 12432 kg

 m2 = 19872 kg

7m

6 m

- Portal 5 b

B 30x40 K 40x40

5m 5m

5m

5m

5m

m

1

m

2

m

3

m

3

m

3

m

3

Data – data :

 Elastisitas : E = 4700. ���′ = 4700. √30 = 25742,96 Mpa

 Beban mati :

• Massa balok = (0,3 x 0,4) x 6 x 2400 = 1728 kg • Massa kolom untuk m2 = 0,4 x 0,4 x 7 x 2400 x 2 = 5376 kg

• Massa kolom untuk m3 = 0,4 x 0,4 x 5 x 2400 x 2 = 3840 kg

• Massa dinding untuk m2 = 7 x 6 x 120 = 5040 kg

• Massa dinding untuk m3 = 5 x 6 x 120 = 3600 kg

• Massa pelat = 0,12 x 4 x 6 x 2400 = 6912 kg • Massa spesi = 0,03 x 4 x 6 x 2100 = 1512 kg

• Massa plafon = 4 x 6 x 20 = 480 kg

 Beban hidup (dikalikan dengan koefisien reduksi beban hidup untuk peninjauan gempa) = 250 x 4 x 6 x 0,3 = 1800 kg

 m1 = 12432 kg

 m2 = 22848 kg

f. Parameter 6 : struktur portal dengan ketidakteraturan massa

Struktur portal yang dibandingkan adalah Portal 1 a dengan Portal 6 a (keduanya

merupakan portal 3 tingkat), serta Portal 1 c dengan Portal 6 b (keduanya

merupakan portal 8 tingkat)

4m

4m

4m

6 m K 30x30

B 25x40

- Portal 6 a

(3 tingkat)

m1

m2

m2

Gambar 3.12. Portal 6 a

Data- data struktur Portal 6 a sama dengan Portal 1 a, hanya pada Portal 6a massa

4m

6 m

- Portal 6 b

4m 4m 4m 4m 4m (8 tingkat)

B 30x40 K 40x40

4m 4m

m

1

m

2

m

2

m

2

m

2

m

2

m

2

m

2

Gambar 3.13. Portal 6 b

Data- data struktur Portal 6 b sama dengan Portal 1 c, hanya pada Portal 6 b

massa pada tingkat paling atas (m1) dilipatgandakan menjadi 2 kali massa m1

g. Parameter 7 : ketidakteraturan bangunan

- Portal 7 a

B 30x40 K 40x40 4 m

4 m 4 m

4 m

4 m

4 m 4 m 4 m 4 m 4 m

m

1

m

2

m

2

m

2

m

2

Gambar 3.14. Portal 7 a

Data – data :

 Elastisitas : E = 4700. ���′ = 4700. √30 = 25742,96 Mpa

 Beban mati :

• Massa balok = (0,3 x 0,4) x 20 x 2400 = 5760 kg • Massa kolom = 0,4 x 0,4 x 4 x 2400 x 6 = 9216 kg • Massa dinding = 4 x 20 x 120 = 9600 kg • Massa pelat = 0,12 x 4 x 20 x 2400 = 23040 kg • Massa spesi = 0,03 x 4 x 20 x 2100 = 5040 kg

• Massa plafon = 4 x 20 x 20 = 1600 kg

 Beban hidup (dikalikan dengan koefisien reduksi beban hidup untuk peninjauan gempa) = 250 x 4 x 20 x 0,3 = 6000 kg

 m1 = 41440 kg

 m2 = 60256 kg

- Portal 7 b

B 30x40 K 40x40 4 m

4 m

4 m

4 m

4 m

4 m 4 m 4 m 4 m 4 m

Gambar 3.15. Portal 7 b Data – data :

 Elastisitas : E = 4700. ���′ = 4700. √30 = 25742,96 Mpa

 Beban mati : 1. Lantai 1:

• Massa balok = (0,3 x 0,4) x 20 x 2400 = 5760 kg

• Massa kolom = 0,4 x 0,4 x 4 x 2400 x 6 = 9216 kg • Massa dinding = 4 x 20 x 120 = 9600 kg

• Massa pelat = 0,12 x 4 x 20 x 2400 = 23040 kg • Massa spesi = 0,03 x 4 x 20 x 2100 = 5040 kg

6m 6m

m 2m

Portal 1.a _{Portal 6.a}

6m

8x4m Portal 1.c

6m

m 2m

Portal 6.b

3x4 m

Gambar 4.23. Portal Parameter 6

Portal T1 (detik) T2 (detik) T3 (detik) deviasi T3 terhadap T1 deviasi T3 terhadap T2

portal 1 a 0,41744 0,3 0,63725 52,66% 112,42%

portal 6 a 0,41744 0,3 0,77798 86,37% 185,26%

Portal T1 (detik) T2 (detik) T3 (detik) deviasi T3 terhadap T1 deviasi T3 terhadap T2

portal 1 c 1,00918 0,8 2,07658 106,74% 159,57%

portal 6 b 1,00918 0,8 2,26759 124,7% 183,45%

Periode dari persamaan empiris tidak menunjukkan perbedaan bila massa di lantai paling atas dilipatgandakan, sementara periode hasil analisis program SAP 2000 menunjukkan perbedaan saat massa di lantai paling atas dilipatgandakan, dimana periode meningkat sekitar 0,1 s – 0,2 s.

7) Parameter 7 : ketidakteraturan bangunan

5x4m

5x4m 5x4m

5x4m

5x4m

5x4m

Portal 7.a Portal 7.b

Portal 7.c Portal 7.d

Gambar 4. 24. Portal Parameter 7

Portal T1 (detik) T2 (detik) T3 (detik) deviasi T3 terhadap T1 deviasi T3 terhadap T2

Portal 7 a 0,6611 0,5 0,99379 50,324% 98,758%

portal 7 b 0,6611 0,5 0,78424 18,627% 56,848%

portal 7 c 0,6611 0,5 0,67772 2,514% 35,544%

Portal 7 d 0,6611 0,5 0,73644 11,396% 47,288%

Keempat portal di atas mempunyai periode yang sama bila ditinjau dengan persamaan empiris. Tetapi, hasil analisis menunjukkan keadaan yang berbeda. Periode hasil analisis program SAP 2000 adalah berbeda-beda pada keempat portal.

Tabel 4.24. Deviasi Periode Portal Parameter 7

Pembahasan Rangkuman

Periode portal hasil analisis menggunakan program SAP 2000 adalah lebih besar dibandingkan periode yang didapatkan dari persamaan empiris. Hal ini disebabkan karena portal 2D yang dianalisis pada program tersebut kurang mewakili kondisi sebenarnya. Kondisi sebenarnya dari suatu portal bangunan berbeda-beda sesuai jenis bangunan dan model bangunan. Perbedaan tersebut menghasilkan sejumlah variabel yang berpengaruh terhadap periode getar bangunan yang terjadi, misalnya variabel jumlah bentang bangunan, panjang bentang bangunan, perbedaan massa tiap lantai bangunan, perbedaan tinggi tiap lantai bangunan, dan variabel-variabel lainnya. Variabel-variabel tersebut tidak terwakili dalam persamaan empiris, dimana pada persamaan empiris hanya terdapat variabel tinggi bangunan (h) dan jumlah lantai bangunan (N). Kondisi inilah yang menyebabkan terjadinya deviasi periode yang didapatkan dari persamaan empiris terhadap periode hasil analisis modal.

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1. Kesimpulan

Adapun kesimpulan hasil analisis dan pembahasan dari Tugas Akhir ini adalah sebagai berikut :

1. Periode natural yang diperoleh dengan menggunakan persamaan empiris berbeda dengan periode natural hasil analisis menggunakan program SAP 2000

2. Perbedaaan tersebut disebabkan oleh beberapa hal yakni : a. Portal yang dianalisis merupakan portal 2D

b. Portal yang dianalisis mempunyai berbagai variasi variabel yang tidak diperhitungkan dalam persamaan empiris, misalnya variabel jumlah bentang bangunan, panjang bentang bangunan, perbedaan massa tiap lantai bangunan, perbedaan tinggi tiap lantai bangunan, dan variabel-variabel lainnya.

3. Deviasi T3 terhadap T2 (T = 0,1N ) menunjukkan angka yang lebih besar dibandingkan deviasi T3 terhadap T1 (T = �_�∙ ℎ_��) . Hal ini disebabkan karena persamaan T = 0,1�merupakan persamaan yang lebih sederhana dan tidak begitu akurat bila dibandingkan dengan persamaan T = �_�∙ ℎ_�� (dimana pada persamaan ini terdapat nilai-nilai konstanta yang lebih mewakili keadaan nyata suatu struktur portal).

4. Nilai deviasi terbesar adalah terjadi pada portal 5a (280,35% pada deviasi T3 terhadap

T2), sementara nilai deviasi terkecil terjadi pada portal 7c (2,514% pada deviasi T3 terhadap T1).

5.2 Saran

1. Dalam analisis periode portal sebaiknya memperhitungkan variasi variabel-variabel yang tidak terdapat di dalam persamaan empiris.

2. Input massa pada analisis program SAP 2000 harus diperhatikan dengan baik agar massa struktur tidak terinput berlipat kali akibat kesalahan pemahaman terhadap cara kerja program.

3. Analisis periode bangunan harus dilakukan dengan baik khususnya dalam perencanaan gempa agar hasil perhitungan yang didapatkan seakurat mungkin.

DAFTAR PUSTAKA

Amanat KM, Hoque E, A rationale for determining the natural period of RC building frames having infill, Journal of Structural Engineering, Elsevier, 2005[2].

Badan Standarisasi Nasional, Tata cara perencanaan ketahanan gempa untuk struktur bangunan gedung dan non gedung SNI – 03 – 1726 – 2010, Bandung: 2010.

Chopra, Anil K, Dynamics of Structures, New Jersey: Prentice Hall, 1995.

Goel RK, Chopra AK, Period formulas for moment-resisting frame buildings, Journal of Structural Engineering, ASCE, 1997;123[1].

International Conference of Building Officials, Uniform building code, California: Willier, 1997.

Kwon OS, Kim ES, Evaluation of building period formulas for seismic design, Earthquake Engineering And Structural Dynamics, John Wiley & Sons, Ltd, 2010[3].

Paz, Mario, Dinamika Struktur, Jakarta: PT. Gelora Aksara Pratama, 1990.

Widodo, Ir., MSCE, Ph.D, Respons Dinamik Struktur Elastik, Jogjakarta : UII Press, 2001.