[ �]{ӱ} + [�]{ẏ} + [�]{�} = {��}
2.34 Dimana [m], [c] dan [k] berturut-turut adalah matriks massa, matriks redaman, dan matriks
kekakuan yang dapat ditulis menjadi,
[ �] = �
�
1
�
2
�
3
� , [�] = � �
1
+ �
2
−�
2
−�
2
�
2
+ �
3
−�
3
−�
3
�
3
� , [�] = � �
1
+ �
2
−�
2
−�
2
�
2
+ �
3
−�
3
−�
3
�
3
�
2.35 Sedangkan {
ӱ}, { ẏ}, {y} dan {Ft} masing-masing adalah vektor percepatan, vektor kecepatan, vektor simpangan, dan vektor beban atau,
{ ӱ} = �
ӱ
1
ӱ
2
ӱ
3
� , {ẏ} = � ẏ
1
ẏ
2
ẏ
3
� , {�} = � �
1
�
2
�
3
� dan {��} = � �
1
� �
2
� �
3
� �
2.36
2.9. Getaran Bebas Pada Struktur MDOF
2.9.1. Nilai Karakteristik
Pada kenyataannya getaran bebas free vibration system jarang terjadi pada struktur MDOF, tetapi dengan menganalisis jenis getaran ini akan diperoleh suatu
besarankarakteristik dari struktur yang akan berguna berupa frekuensi sudut ω, periode
getar T, frekuensi alami f dan normal modes.
Pada getaran bebas di struktur yang mempunyai derajat kebebasan banyak MDOF, maka matriks persamaan diferensial gerakannya adalah,
[ �]{ӱ} + [�]{ẏ} + [�]{�} = 0
2.37
Universitas Sumatera Utara
Pada struktur dengan redaman, frekuensi sudut yang dihasilkan hampir sama dengan frekuensi sudut pada struktur yang dianggap tanpa redaman. Hal ini akaan diperoleh apabila
nilai rasio redaman relatif kecil. Apabila prinsip ini digunakan untuk struktur dengan derajat kebebasan banyak, maka nilai C = 0, persamaan 2.37 akan menjadi,
[ �]{ӱ} + [�]{�} = 0
2.38 Karena persamaan 2.38 adalah persamaan diferensial pada struktur MDOF yang
dianggap tidak mempunyai redaman, maka penyelesaian persamaan diferensial tersebut diharapkan dalam fungsi harmonik menurut bentuk,
� = {∅}
�
sin ��
ẏ = −� {∅}
�
cos ��
ӱ = −�
2
{ ∅}
�
sin ��
2.39 dimana, {Ø}
i
adalah suatu ordinat massa pada mode yang ke-i. persamaan 2.39 disubstitusikan ke dalam persamaan 2.38 maka akan diperoleh,
−�
2
[ �]{∅}
�
sin �� + [�]{∅}
�
sin �� = 0
2.40 {[
�] − �
2
[ �]}{∅}
�
= 0 2.41
Persamaan 2.41 merupakan persamaan yang sangat penting dan biasa disebut persamaan eigenproblem
atau karakteristik problem atau eigenvalue problem. Persamaan 2.41 tersebut adalah persamaan simultan yang harus dicari penyelesaiannya. Salah satu cara yang dapat
dipakai adalah dengan memakai dalil Cramer 1704-1752. Gabriel Cramer adalah salah satu ahli matematika dari Swiss. Dalil tersebut menyatakan bahwa penyelesaian persamaan
Universitas Sumatera Utara
simultan yang homogen akan ada nilainya apabila determinan dari matriks yang merupakan koefisien dari vektor {Ø}
i
adalah nol, sehingga, �[�] − �
2
[ �]� = 0
2.42 Jumlah mode pada struktur dengan derajat kebebasan banyak biasanya dapat dihubungkan
dengan jumlah massa. Mode adalah jenispolaragam getarangoyangan suatu struktur bangunan. Mode merupakan fungsi dari properti dinamik struktur yang bersangkutan dalam
hal ini hanya massa dan kekakuan dan bebas dari pengaruh waktu dan frekuensi getaran. Dengan adanya hubungan antara jumlah mode dengan jumlah massa struktur, maka bangunan
yang mempunyai 5-tingkat akan mempunyai 5 derajat kebebasan dan akan mempunyai 5 jenis “mode” gerakan dan akan mempunyai 5 nilai frekuensi sudut yang berhubungan
langsung dengan jenisnomor modenya. Apabila jumlah derajat kebebasan adalah n, maka persamaan 2.42 akan menghasilkan suatu polinomial pangkat n yang selanjutnya akan
menghasilkan �
� 2
untuk i = 1, 2, 3, …n. selanjutnya substitusi masing-masing frekuensi ω
i
ke dalam persamaan 2.41 akan diperoleh nilai Ø
1
, Ø
2
, …Ø
n
.
Universitas Sumatera Utara
2.9.2. Frekuensi Sudut ω dan Normal Modes
