b Nilai variabel-variabel keputusannya harus memenuhi suatu himpunan kendala. Setiap
kendala harus berupa persamaan linear atau pertidaksamaan linear.
c Ada pembatasan tanda untuk setiap variabel dalam masalah ini. Untuk
sembarang variabel , pembatasan tanda
menentukan harus taknegatif
atau tidak dibatasi tandanya unrestricted in sign.
Suatu PL mempunyai bentuk standar seperti yang didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 3 Bentuk Standar PL
Pemrograman linear min
z = c
T
x terhadap Ax = b
x ≥ 0
2.1
dikatakan PL dalam bentuk standar, dengan x dan c vektor-vektor berukuran n, vektor b
berukuran m, dan A matriks berukuran m
× n yang disebut sebagai matriks kendala, dengan
m ≤ n.
Nash Sofer 1996 Sebagai catatan, yang dimaksud dengan
vektor berukuran n adalah vektor yang memiliki dimensi ukuran n × 1.
Solusi Pemrograman Linear
Suatu masalah PL dapat diselesaikan dalam berbagai teknik, salah satunya adalah
metode simpleks. Metode ini dapat menghasilkan suatu solusi optimal bagi
masalah PL dan telah dikembangkan oleh Dantzig sejak tahun 1947, dan dalam
perkembangannya merupakan metode yang paling umum digunakan untuk menyelesaikan
PL. Metode ini berupa metode iteratif untuk menyelesaikan PL berbentuk standar.
Pada masalah PL 2.1, vektor x yang
memenuhi kendala disebut solusi PL
2.1. Misalkan matriks A dapat dinyatakan
sebagai , dengan
B
adalah matriks berukuran m
× m yang elemennya
berupa koefisien variabel basis dan N merupakan matriks berukuran
yang elemen-elemennya berupa koefisien variabel nonbasis pada matriks kendala.
Dalam hal ini matriks B disebut matriks basis
untuk PL 2.1.
Misalkan x dapat dinyatakan sebagai
vektor , dengan
adalah vektor variabel basis dan
adalah vektor variabel nonbasis, maka
dapat dinyatakan sebagai
2.2
Karena matriks B adalah matriks taksingular, maka B memiliki invers, sehingga dari 2.2
x
B
dapat dinyatakan sebagai:
x
B
= B
-1
b – B
-1
Nx
N
. 2.3
Definisi 4 Daerah Fisibel
Daerah fisibel suatu PL adalah himpunan semua titik yang memenuhi semua kendala
dan pembatasan tanda pada PL tersebut. Winston 2004
Definisi 5 Solusi Basis
Solusi dari suatu PL disebut solusi basis jika memenuhi syarat berikut:
i. solusi tersebut memenuhi kendala pesamaan pada PL,
ii. kolom-kolom dari matriks kendala yang berpadanan dengan komponen taknol dari
solusi tersebut adalah bebas linear. Nash Sofer 1996
Definisi 6 Solusi Fisibel Basis
Solusi fisibel basis adalah solusi basis pada PL yang semua variabel-variabelnya
taknegatif. Winston 2004
Definisi 7 Solusi Optimal
Untuk masalah maksimisasi, solusi optimal suatu PL adalah suatu titik dalam
daerah fisibel dengan nilai fungsi objektif terbesar. Untuk masalah minimisasi, solusi
optimal suatu PL adalah suatu titik dalam daerah fisibel dengan nilai fungsi objektif
terkecil.
Winston 2004 Ilustrasi solusi basis dan solusi fisibel basis
diberikan dalam Contoh 1.
Contoh 1
Misalkan diberikan PL 2.4 berikut: min
z = −2x
1
– 3x
2
terhadap −2x
1
+ x
2
+ x
3
= 4 −x
1
+ 2x
2
+ x
4
= 11 2.4 x
1
+ x
5
= 5 x
1
, x
2
, x
3
, x
4
, x
5
≥ 0 Dari PL 2.4 diperoleh:
i
x
i
x ≥
i
x
=
Ax b
= A
B N
m n m
× −
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟ ⎝
⎠
B N
x x
x
B
x
N
x
=
Ax b
⎛ ⎞
= ⎜
⎟ ⎝
⎠
B N
x Ax
B N
x
. =
=
B N
Bx + Nx b
. Misalkan dipilih
maka matriks basisnya adalah .
Dengan menggunakan matriks basis di atas didapatkan
2.5 Solusi 2.5 merupakan solusi basis,
karena memenuhi kendala pada PL 2.4 dan kolom-kolom pada matriks kendala yang
berpadanan dengan komponen taknol dari 2.5, yaitu
, bebas linear. Solusi 2.5 juga merupakan solusi fisibel basis, karena nilai-
nilai variabelnya lebih dari atau sama dengan nol.
PL 2.1 dapat dinyatakan dalam bentuk dan
sebagai berikut 2.6
dengan c
B
vektor koefisien variabel basis pada
fungsi objektif dan c
N
vektor koefisien variabel nonbasis pada fungsi objektif. Jika
persamaan 2.3 disubstitusikan ke dalam fungsi objektif PL 2.6 maka akan didapat
Winston 2004 2.3 Pemrograman
Integer Integer Programming
pemrograman integer PI atau Integer programming IP adalah suatu model
pemrograman linear dengan variabel yang digunakan berupa bilangan bulat integer.
Jika semua variabel harus berupa integer, maka masalah tersebut dinamakan pure
integer programming. Jika hanya sebagian yang harus berupa integer, maka disebut
mixed integer programming. IP dengan semua variabelnya harus bernilai 0 atau 1 disebut 0-1
IP.
Garfinkel Nemhauser 1972
2.4 Relaksasi Pemrograman Linear
