V SIMPULAN DAN SARAN
5.1 Simpulan
Dalam karya ilmiah ini telah diperlihatkan masalah penentuan rute bus karyawan.
Masalah ini dipandang sebagai masalah PLI dengan fungsi objektif meminimumkan biaya
operasional bus.
Rute yang diperoleh sangat bergantung pada kapasitas bus dan jarak antarpos
penjemputan karyawan. Penentuan rute bus karyawan dengan menggunakan PLI sangat
fleksibel, di mana pengguna dapat dengan mudah menambahkan data maupun kendala-
kendala baru yang diperlukan.
.
5.2 Saran Tulisan ini dapat dikembangkan untuk
menyelesaikan masalah penentuan rute bus dengan mempertimbangkan kendala waktu.
DAFTAR PUSTAKA
Bektas T, Elmastas S. 2007. Solving school bus routing problems through integer
programming. Journal of Operational Research Society 58: 1599-1604.
Cordeau JF, Gendreau M, Laporte, Potvin JY, Semet F. 2002. A guide to vehicle
routing heuristics. Journal of Operational Research Society 53: 512-
522.
Foulds LR. 1992. Graph Theory Applications. Springer-Verlag, New York.
Garfinkel RS, Nemhauser GL. 1972. Integer Programming. Jo Ghn Wiley Sons,
New York. Larsen J. 1999. Vehicle routing with times
windows [Ph. D Thesis]. Denmark : Department of Mathematical
Modelling, University of Denmark. Nash SG, Sofer A. 1996. Linear and
Nonlinear Programming. McGraw- Hill, New York.
Taha HA. 1975. Integer Programming: Theory, Applications, and
Computations. Academic Press, New York.
Taha HA. 1996. Pengantar Riset Operasi. Alih Bahasa: Daniel Wirajaya.
Binarupa Aksara, Jakarta. Terjemahan dari: Operations Research.
Toth P, Vigo D. 2002. An overview of vehicle routing problems. Di dalam: Toth P,
Vigo D, editor. The Vehicle Routing Problem. Philadelphia: Siam. Hlm. 1-
26.
Winston WL. 1995. Introduction to Mathematical Programming 2
nd
ed. Duxbury, New York.
Winston WL. 2004. Operations Research Applications and Algorithms 4
th
ed. Duxbury, New York.
LAMPIRAN
17
Lampiran 1. Syntax Program LINGO 8.0 untuk Menyelesaikan Masalah Pemrograman Linear dengan Metode
Branch-and-Bound Beserta Hasil yang Diperoleh
1 PL ‐relaksasi masalah 2.7
max =5x1+4x2;
x1+x2=5; 10x1+6x2=45;
x1=0; x2=0;
Ha sil yang diperoleh :
Global optimal solution found at iteration: 4 Objective value: 23.75000
Variable Value Reduced Cost X1 3.750000 0.000000
X2 1.250000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price
1 23.75000 1.000000 2 0.000000 2.500000
3 0.000000 0.2500000 4 3.750000 0.000000
5 1.250000 0.000000 2 Subproblem 2:
max =5x1+4x2;
x1+x2=5; 10x1+6x2=45;
x1=4; x2=0;
Ha sil yang diperoleh :
Global optimal solution found at iteration: 5 Objective value: 23.33333
Variable Value Reduced Cost X1 4.000000 0.000000
X2 0.8333333 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price
1 23.33333 1.000000 2 0.1666667 0.000000
3 0.000000 0.6666667 4 0.000000 -1.666667
5 0.8333333 0.000000 3 Subproblem 4 :
max =5x1+4x2;
x1+x2=5; 10x1+6x2=45;
x1=4; x2=1;
18
hasil yang diperoleh: takfisibel, sebagaimana ditunjukkan di bawah ini
4 Subproblem 5: max
=5x1+4x2; x1+x2=5;
10x1+6x2=45; x1=4;
x2=0;
Ha sil yang diperoleh :
Global optimal solution found at iteration: 3 Objective value: 22.50000
Variable Value Reduced Cost X1 4.500000 0.000000
X2 0.000000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price
1 22.50000 1.000000 2 0.5000000 0.000000
3 0.000000 0.5000000 4 0.5000000 0.000000
5 0.000000 1.000000
19
5 Subproblem 6: max
=5x1+4x2; x1+x2=5;
10x1+6x2=45; x1=5;
x2=0;
hasil yang diperoleh: takfisibel, sebagaimana ditunjukkan di bawah ini
6 Subproblem 7: max
=5x1+4x2; x1+x2=5;
10x1+6x2=45; x1=4;
x1=4; x2=0;
20
Ha sil yang diperoleh :
Global optimal solution found at iteration: 2 Objective value: 20.00000
Variable Value Reduced Cost X1 4.000000 0.000000
X2 0.000000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price
1 20.00000 1.000000 2 1.000000 0.000000
3 5.000000 0.000000 4 0.000000 5.000000
5 0.000000 4.000000
7 Subproblem 3: max
=5x1+4x2; x1+x2=5;
10x1+6x2=45; x1=3;
x2=0; Ha
sil yang diperoleh : Global optimal solution found at iteration: 3
Objective value: 23.00000 Variable Value Reduced Cost
X1 3.000000 0.000000 X2 2.000000 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price 1 23.00000 1.000000
2 0.000000 4.000000 3 3.000000 0.000000
4 0.000000 1.000000 5 2.000000 0.000000
21
Lampiran 2. Syntax Program LINGO 8.0 untuk Menyelesaikan Masalah Rute Bus Karyawan
SETS :
NODE1..11:KRWN,CAP,V; LINKNODE,NODE:DIST,X,C;
ENDSETS DATA
: DIST =
23 25 17 23 19 21 24 24
23 25
23 0 15 8 13
13 14 14 18 15
15 25 15 0 10 12
14 17 18 18 17
17 17
8 10 0 10 16 16 10 18
15 13
23 13 12 10 0 11 12 12 16 13
11 19 13 14
16 11
0 12 12
16 13
11 21 14 17
16 12
12 0 9 13 14
15 24 14 18
10 12
12 9 0 14 11
11 24 18 18 18 16
16 13 14 0 11 11
23 15 17 15 13 13 14 11 11
0 12 25 15 17 13 11
11 15 11 11 12
; KRWN=
10 12
13 14
15 16
17 18
19 20
; ALPHA = 2000;F = 100000;K = 4 ;T = 100;Q= 40;
ENDDATA MAX
= SUM
LINKI,J|INEJ:CI,JXI,J+ FK; BIAYA;
FOR LINKI,J|INEJ:CI,J = ALPHA DISTI,J;
KENDALA SETIAP RUTE BERAWAL DAN BERAKHIR DI DEPOT;
FOR NODEI|IEQ1:
SUM NODEJ| JGT1 : XI,J=K;
FOR NODEJ|JEQ1:
SUM NODEI| IGT1 : XI,J=K;
SETIAP POS HANYA DAPAT DIKUNJUNGI TEPAT SATU KALI OLEH SATU BIS; FOR
NODEI|IGT1: SUM
NODEJ |INEJ: XI,J=1; FOR
NODEJ|JGT1: SUM
NODEI |JNEI: XI,J=1; VARIABEL KEPUTUSAN;
FOR LINK:
BIN X;
KAPASITAS; FOR
LINKI,J|IGT1 AND JGT1 AND INEJ:CAPI-CAPJ+QXI,J=Q- KRWNJ;
22
FOR NODEI|IGT1 : CAPI = KRWNI;
FOR LINKI,J|IEQ1 AND JGT1 : CAPI- KRWNIXI,J+QXI,J=Q;
FOR LINKI,J| I NE J : KRWNI+ KRWNJ=Q ;
JARAK; FOR
LINKI,J|IGT1 AND JGT1 AND INEJ: VI-VJ+T-DISTI,1- DIST1,I+DISTI,JXI,J+T-DISTI,1-DIST1,I-DISTJ,IXJ,I=T-
DISTI,1-DIST1,J; FOR
NODEI|IGT1 :VI-DIST1,IX1,I=0; FOR
NODEI|IGT1 :VI-DIST1,IX1,I+TX1,I=T; FOR
LINKI,J|IGT1 AND JGT1 AND INEJ:DIST1,J+DISTI,J+DISTI,1=T;
END
23
Lampiran 3 Hasil Komputasi Program pada LINGO 8.0 untuk Menyelesaikan Masalah Bus Karyawan
Global optimal solution found at iteration: 13357043 Objective value: 894000.0
Variable Value Reduced Cost ALPHA 2000.000 0.000000
F 100000.0 0.000000 K 4.000000 0.000000
T 100.0000 0.000000 Q 40.00000 0.000000
KRWN 1 0.000000 0.000000 KRWN 2 10.00000 0.000000
KRWN 3 12.00000 0.000000 KRWN 4 13.00000 0.000000
KRWN 5 14.00000 0.000000 KRWN 6 15.00000 0.000000
KRWN 7 16.00000 0.000000 KRWN 8 17.00000 0.000000
KRWN 9 18.00000 0.000000 KRWN 10 19.00000 0.000000
KRWN 11 20.00000 0.000000 CAP 1 0.000000 0.000000
24
CAP 2 40.00000 0.000000 CAP 3 25.00000 0.000000
CAP 4 13.00000 0.000000 CAP 5 30.00000 0.000000
CAP 6 40.00000 0.000000 CAP 7 16.00000 0.000000
CAP 8 17.00000 0.000000 CAP 9 40.00000 0.000000
CAP 10 22.00000 0.000000 CAP 11 40.00000 0.000000
V 1 0.000000 0.000000 V 2 48.00000 0.000000
V 3 35.00000 0.000000 V 4 17.00000 0.000000
V 5 35.00000 0.000000 V 6 43.00000 0.000000
V 7 21.00000 0.000000 V 8 24.00000 0.000000
V 9 35.00000 0.000000 V 10 23.00000 0.000000
V 11 36.00000 0.000000 DIST 1, 1 0.000000 0.000000
DIST 1, 2 23.00000 0.000000 DIST 1, 3 25.00000 0.000000
DIST 1, 4 17.00000 0.000000 DIST 1, 5 23.00000 0.000000
DIST 1, 6 19.00000 0.000000 DIST 1, 7 21.00000 0.000000
DIST 1, 8 24.00000 0.000000 DIST 1, 9 24.00000 0.000000
DIST 1, 10 23.00000 0.000000 DIST 1, 11 25.00000 0.000000
DIST 2, 1 23.00000 0.000000 DIST 2, 2 0.000000 0.000000
DIST 2, 3 15.00000 0.000000 DIST 2, 4 8.000000 0.000000
DIST 2, 5 13.00000 0.000000 DIST 2, 6 13.00000 0.000000
DIST 2, 7 14.00000 0.000000 DIST 2, 8 14.00000 0.000000
DIST 2, 9 18.00000 0.000000 DIST 2, 10 15.00000 0.000000
DIST 2, 11 15.00000 0.000000 DIST 3, 1 25.00000 0.000000
DIST 3, 2 15.00000 0.000000 DIST 3, 3 0.000000 0.000000
DIST 3, 4 10.00000 0.000000 DIST 3, 5 12.00000 0.000000
DIST 3, 6 14.00000 0.000000 DIST 3, 7 17.00000 0.000000
DIST 3, 8 18.00000 0.000000 DIST 3, 9 18.00000 0.000000
DIST 3, 10 17.00000 0.000000 DIST 3, 11 17.00000 0.000000
DIST 4, 1 17.00000 0.000000 DIST 4, 2 8.000000 0.000000
DIST 4, 3 10.00000 0.000000
25
DIST 4, 4 0.000000 0.000000 DIST 4, 5 10.00000 0.000000
DIST 4, 6 16.00000 0.000000 DIST 4, 7 16.00000 0.000000
DIST 4, 8 10.00000 0.000000 DIST 4, 9 18.00000 0.000000
DIST 4, 10 15.00000 0.000000 DIST 4, 11 13.00000 0.000000
DIST 5, 1 23.00000 0.000000 DIST 5, 2 13.00000 0.000000
DIST 5, 3 12.00000 0.000000 DIST 5, 4 10.00000 0.000000
DIST 5, 5 0.000000 0.000000 DIST 5, 6 11.00000 0.000000
DIST 5, 7 12.00000 0.000000 DIST 5, 8 12.00000 0.000000
DIST 5, 9 16.00000 0.000000 DIST 5, 10 13.00000 0.000000
DIST 5, 11 11.00000 0.000000 DIST 6, 1 19.00000 0.000000
DIST 6, 2 13.00000 0.000000 DIST 6, 3 14.00000 0.000000
DIST 6, 4 16.00000 0.000000 DIST 6, 5 11.00000 0.000000
DIST 6, 6 0.000000 0.000000 DIST 6, 7 12.00000 0.000000
DIST 6, 8 12.00000 0.000000 DIST 6, 9 16.00000 0.000000
DIST 6, 10 13.00000 0.000000 DIST 6, 11 11.00000 0.000000
DIST 7, 1 21.00000 0.000000 DIST 7, 2 14.00000 0.000000
DIST 7, 3 17.00000 0.000000 DIST 7, 4 16.00000 0.000000
DIST 7, 5 12.00000 0.000000 DIST 7, 6 12.00000 0.000000
DIST 7, 7 0.000000 0.000000 DIST 7, 8 9.000000 0.000000
DIST 7, 9 13.00000 0.000000 DIST 7, 10 14.00000 0.000000
DIST 7, 11 15.00000 0.000000 DIST 8, 1 24.00000 0.000000
DIST 8, 2 14.00000 0.000000 DIST 8, 3 18.00000 0.000000
DIST 8, 4 10.00000 0.000000 DIST 8, 5 12.00000 0.000000
DIST 8, 6 12.00000 0.000000 DIST 8, 7 9.000000 0.000000
DIST 8, 8 0.000000 0.000000 DIST 8, 9 14.00000 0.000000
DIST 8, 10 11.00000 0.000000 DIST 8, 11 11.00000 0.000000
DIST 9, 1 24.00000 0.000000 DIST 9, 2 18.00000 0.000000
DIST 9, 3 18.00000 0.000000 DIST 9, 4 18.00000 0.000000
DIST 9, 5 16.00000 0.000000
26
DIST 9, 6 16.00000 0.000000 DIST 9, 7 13.00000 0.000000
DIST 9, 8 14.00000 0.000000 DIST 9, 9 0.000000 0.000000
DIST 9, 10 11.00000 0.000000 DIST 9, 11 11.00000 0.000000
DIST 10, 1 23.00000 0.000000 DIST 10, 2 15.00000 0.000000
DIST 10, 3 17.00000 0.000000 DIST 10, 4 15.00000 0.000000
DIST 10, 5 13.00000 0.000000 DIST 10, 6 13.00000 0.000000
DIST 10, 7 14.00000 0.000000 DIST 10, 8 11.00000 0.000000
DIST 10, 9 11.00000 0.000000 DIST 10, 10 0.000000 0.000000
DIST 10, 11 12.00000 0.000000 DIST 11, 1 25.00000 0.000000
DIST 11, 2 15.00000 0.000000 DIST 11, 3 17.00000 0.000000
DIST 11, 4 13.00000 0.000000 DIST 11, 5 11.00000 0.000000
DIST 11, 6 11.00000 0.000000 DIST 11, 7 15.00000 0.000000
DIST 11, 8 11.00000 0.000000 DIST 11, 9 11.00000 0.000000
DIST 11, 10 12.00000 0.000000 DIST 11, 11 0.000000 0.000000
X 1, 1 0.000000 0.000000 X 1, 2 0.000000 46000.00
X 1, 3 0.000000 50000.00 X 1, 4 1.000000 34000.00
X 1, 5 0.000000 46000.00 X 1, 6 0.000000 38000.00
X 1, 7 1.000000 42000.00 X 1, 8 1.000000 48000.00
X 1, 9 0.000000 48000.00 X 1, 10 1.000000 46000.00
X 1, 11 0.000000 50000.00 X 2, 1 1.000000 46000.00
X 2, 2 0.000000 0.000000 X 2, 3 0.000000 30000.00
X 2, 4 0.000000 16000.00 X 2, 5 0.000000 26000.00
X 2, 6 0.000000 26000.00 X 2, 7 0.000000 28000.00
X 2, 8 0.000000 28000.00 X 2, 9 0.000000 36000.00
X 2, 10 0.000000 30000.00 X 2, 11 0.000000 30000.00
X 3, 1 0.000000 50000.00 X 3, 2 0.000000 30000.00
X 3, 3 0.000000 0.000000 X 3, 4 0.000000 20000.00
X 3, 5 0.000000 24000.00 X 3, 6 1.000000 28000.00
X 3, 7 0.000000 34000.00
27
X 3, 8 0.000000 36000.00 X 3, 9 0.000000 36000.00
X 3, 10 0.000000 34000.00 X 3, 11 0.000000 34000.00
X 4, 1 0.000000 34000.00 X 4, 2 0.000000 16000.00
X 4, 3 1.000000 20000.00 X 4, 4 0.000000 0.000000
X 4, 5 0.000000 20000.00 X 4, 6 0.000000 32000.00
X 4, 7 0.000000 32000.00 X 4, 8 0.000000 20000.00
X 4, 9 0.000000 36000.00 X 4, 10 0.000000 30000.00
X 4, 11 0.000000 26000.00 X 5, 1 0.000000 46000.00
X 5, 2 1.000000 26000.00 X 5, 3 0.000000 24000.00
X 5, 4 0.000000 20000.00 X 5, 5 0.000000 0.000000
X 5, 6 0.000000 22000.00 X 5, 7 0.000000 24000.00
X 5, 8 0.000000 24000.00 X 5, 9 0.000000 32000.00
X 5, 10 0.000000 26000.00 X 5, 11 0.000000 22000.00
X 6, 1 1.000000 38000.00 X 6, 2 0.000000 26000.00
X 6, 3 0.000000 28000.00 X 6, 4 0.000000 32000.00
X 6, 5 0.000000 22000.00 X 6, 6 0.000000 0.000000
X 6, 7 0.000000 24000.00 X 6, 8 0.000000 24000.00
X 6, 9 0.000000 32000.00 X 6, 10 0.000000 26000.00
X 6, 11 0.000000 22000.00 X 7, 1 0.000000 42000.00
X 7, 2 0.000000 28000.00 X 7, 3 0.000000 34000.00
X 7, 4 0.000000 32000.00 X 7, 5 1.000000 24000.00
X 7, 6 0.000000 24000.00 X 7, 7 0.000000 0.000000
X 7, 8 0.000000 18000.00 X 7, 9 0.000000 26000.00
X 7, 10 0.000000 28000.00 X 7, 11 0.000000 30000.00
X 8, 1 0.000000 48000.00 X 8, 2 0.000000 28000.00
X 8, 3 0.000000 36000.00 X 8, 4 0.000000 20000.00
X 8, 5 0.000000 24000.00 X 8, 6 0.000000 24000.00
X 8, 7 0.000000 18000.00 X 8, 8 0.000000 0.000000
X 8, 9 0.000000 28000.00
28
X 8, 10 0.000000 22000.00 X 8, 11 1.000000 22000.00
X 9, 1 1.000000 48000.00 X 9, 2 0.000000 36000.00
X 9, 3 0.000000 36000.00 X 9, 4 0.000000 36000.00
X 9, 5 0.000000 32000.00 X 9, 6 0.000000 32000.00
X 9, 7 0.000000 26000.00 X 9, 8 0.000000 28000.00
X 9, 9 0.000000 0.000000 X 9, 10 0.000000 22000.00
X 9, 11 0.000000 22000.00 X 10, 1 0.000000 46000.00
X 10, 2 0.000000 30000.00 X 10, 3 0.000000 34000.00
X 10, 4 0.000000 30000.00 X 10, 5 0.000000 26000.00
X 10, 6 0.000000 26000.00 X 10, 7 0.000000 28000.00
X 10, 8 0.000000 22000.00 X 10, 9 1.000000 22000.00
X 10, 10 0.000000 0.000000 X 10, 11 0.000000 24000.00
X 11, 1 1.000000 50000.00 X 11, 2 0.000000 30000.00
X 11, 3 0.000000 34000.00 X 11, 4 0.000000 26000.00
X 11, 5 0.000000 22000.00 X 11, 6 0.000000 22000.00
X 11, 7 0.000000 30000.00 X 11, 8 0.000000 22000.00
X 11, 9 0.000000 22000.00 X 11, 10 0.000000 24000.00
X 11, 11 0.000000 0.000000 C 1, 1 0.000000 0.000000
C 1, 2 46000.00 0.000000 C 1, 3 50000.00 0.000000
C 1, 4 34000.00 0.000000 C 1, 5 46000.00 0.000000
C 1, 6 38000.00 0.000000 C 1, 7 42000.00 0.000000
C 1, 8 48000.00 0.000000 C 1, 9 48000.00 0.000000
C 1, 10 46000.00 0.000000 C 1, 11 50000.00 0.000000
C 2, 1 46000.00 0.000000 C 2, 2 0.000000 0.000000
C 2, 3 30000.00 0.000000 C 2, 4 16000.00 0.000000
C 2, 5 26000.00 0.000000 C 2, 6 26000.00 0.000000
C 2, 7 28000.00 0.000000 C 2, 8 28000.00 0.000000
C 2, 9 36000.00 0.000000 C 2, 10 30000.00 0.000000
29
C 2, 11 30000.00 0.000000 C 3, 1 50000.00 0.000000
C 3, 2 30000.00 0.000000 C 3, 3 0.000000 0.000000
C 3, 4 20000.00 0.000000 C 3, 5 24000.00 0.000000
C 3, 6 28000.00 0.000000 C 3, 7 34000.00 0.000000
C 3, 8 36000.00 0.000000 C 3, 9 36000.00 0.000000
C 3, 10 34000.00 0.000000 C 3, 11 34000.00 0.000000
C 4, 1 34000.00 0.000000 C 4, 2 16000.00 0.000000
C 4, 3 20000.00 0.000000 C 4, 4 0.000000 0.000000
C 4, 5 20000.00 0.000000 C 4, 6 32000.00 0.000000
C 4, 7 32000.00 0.000000 C 4, 8 20000.00 0.000000
C 4, 9 36000.00 0.000000 C 4, 10 30000.00 0.000000
C 4, 11 26000.00 0.000000 C 5, 1 46000.00 0.000000
C 5, 2 26000.00 0.000000 C 5, 3 24000.00 0.000000
C 5, 4 20000.00 0.000000 C 5, 5 0.000000 0.000000
C 5, 6 22000.00 0.000000 C 5, 7 24000.00 0.000000
C 5, 8 24000.00 0.000000 C 5, 9 32000.00 0.000000
C 5, 10 26000.00 0.000000 C 5, 11 22000.00 0.000000
C 6, 1 38000.00 0.000000 C 6, 2 26000.00 0.000000
C 6, 3 28000.00 0.000000 C 6, 4 32000.00 0.000000
C 6, 5 22000.00 0.000000 C 6, 6 0.000000 0.000000
C 6, 7 24000.00 0.000000 C 6, 8 24000.00 0.000000
C 6, 9 32000.00 0.000000 C 6, 10 26000.00 0.000000
C 6, 11 22000.00 0.000000 C 7, 1 42000.00 0.000000
C 7, 2 28000.00 0.000000 C 7, 3 34000.00 0.000000
C 7, 4 32000.00 0.000000 C 7, 5 24000.00 0.000000
C 7, 6 24000.00 0.000000 C 7, 7 0.000000 0.000000
C 7, 8 18000.00 0.000000 C 7, 9 26000.00 0.000000
C 7, 10 28000.00 0.000000 C 7, 11 30000.00 0.000000
C 8, 1 48000.00 0.000000
30
C 8, 2 28000.00 0.000000 C 8, 3 36000.00 0.000000
C 8, 4 20000.00 0.000000 C 8, 5 24000.00 0.000000
C 8, 6 24000.00 0.000000 C 8, 7 18000.00 0.000000
C 8, 8 0.000000 0.000000 C 8, 9 28000.00 0.000000
C 8, 10 22000.00 0.000000 C 8, 11 22000.00 0.000000
C 9, 1 48000.00 0.000000 C 9, 2 36000.00 0.000000
C 9, 3 36000.00 0.000000 C 9, 4 36000.00 0.000000
C 9, 5 32000.00 0.000000 C 9, 6 32000.00 0.000000
C 9, 7 26000.00 0.000000 C 9, 8 28000.00 0.000000
C 9, 9 0.000000 0.000000 C 9, 10 22000.00 0.000000
C 9, 11 22000.00 0.000000 C 10, 1 46000.00 0.000000
C 10, 2 30000.00 0.000000 C 10, 3 34000.00 0.000000
C 10, 4 30000.00 0.000000 C 10, 5 26000.00 0.000000
C 10, 6 26000.00 0.000000 C 10, 7 28000.00 0.000000
C 10, 8 22000.00 0.000000 C 10, 9 22000.00 0.000000
C 10, 10 0.000000 0.000000 C 10, 11 24000.00 0.000000
C 11, 1 50000.00 0.000000 C 11, 2 30000.00 0.000000
C 11, 3 34000.00 0.000000 C 11, 4 26000.00 0.000000
C 11, 5 22000.00 0.000000 C 11, 6 22000.00 0.000000
C 11, 7 30000.00 0.000000 C 11, 8 22000.00 0.000000
C 11, 9 22000.00 0.000000 C 11, 10 24000.00 0.000000
C 11, 11 0.000000 0.000000
PENENTUAN RUTE BUS KARYAWAN MENGGUNAKAN PEMROGRAMAN LINEAR
INTEGER
ZIL’ARIFAH
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR
2012
ABSTRAK ZIL’ARIFAH
. Penentuan Rute Bus Karyawan Menggunakan Pemrograman Linear Integer.
Dibimbing oleh PRAPTO TRI SUPRIYO dan FARIDA HANUM. Tulisan ini memberikan formulasi masalah penentuan rute bus karyawan menggunakan
pemrograman linear integer. Rute setiap bus berawal dan berakhir di suatu tempat depot untuk menjemput karyawan melalui beberapa pos. Setiap pos dikunjungi tepat sekali oleh suatu bus
dengan memperhatikan kapasitas setiap bus dan jarak tempuh maksimum setiap bus sehingga dapat dipastikan bahwa bus sampai depot tempat kerja sebelum jam kerja dimulai. Fungsi
objektif masalah ini adalah meminimumkan biaya operasional seluruh bus yang dioperasikan. Biaya operasional setiap bus diasumsikan sepadan dengan biaya perawatan tetap dan biaya
penggunaan yang sesuai dengan jarak perjalanan bus tersebut. Pada contoh studi kasus dengan menggunakan data hipotetik dalam karya ilmiah ini, biaya yang paling minimum diperoleh jika
digunakan 4 unit bus. Total jarak yang ditempuh oleh keempat unit bus dalam menjemput atau mengantar karyawan adalah 247 km. Total biaya yang harus dikeluarkan untuk biaya operasional
bus karyawan per harinya adalah 894000 rupiah.
ABSTRACT ZILARIFAH
. Employee Bus Route Determination Using Integer Linear Programming.
Supervised by PRAPTO TRI SUPRIYO and FARIDA HANUM.
This paper gives formulation of the problem in determining an employee bus route using integer linear programming. Each bus route begins and ends in one place depot to pick some
postal employees. Each post will be visited once by a bus according to the capacity and maximum mileage of each bus, so it can be ascertained that the bus arrives before work begins. Objective
function of this problem is to minimize operating costs of all of the buses. The result of case study using hypothetical data shows that the minimum cost is obtained when four buses are used. The
total distance traveled by the four buses is 247 km with total daily operating costs 894,000 rupiahs.
I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Masalah penentuan rute bus karyawan mendapat perhatian dari para peneliti selama
lebih kurang 30 tahun belakangan ini. Masalah optimisasi rute bus karyawan secara
matematis termasuk dalam kelas permasalahan yang disebut Vehicle Routing
Problem VRP. Bentuk dasar VRP berkaitan dengan masalah penentuan suatu himpunan
rute kendaraan vehicle yang melayani suatu himpunan pelanggan.
Dalam kehidupan sehari-hari banyak ditemukan terapan VRP, antara lain
pendistribusian barang hasil produksi oleh produsen ke konsumen, pengambilan surat
dari kotak-kotak pos yang tersebar di seluruh kota, pengantaran dan penjemputan anak
sekolah dengan bus sekolah.
Karakteristik khusus yang diperhatikan dalam masalah bus karyawan di antaranya,
bus tidak kembali ke pos yang sudah dilewatinya setelah melengkapi rute
perjalanannya tetapi bus mengakhiri perjalanannya di depot, serta banyaknya
karyawan pada setiap bus tidak melebihi kapasitas bus.
Tulisan ini akan membahas bagaimana mengoptimalkan biaya yang berhubungan
dengan pengangkutan karyawan dengan menggunakan PLI pemrograman linear
integer sedemikian sehingga kendala- kendalanya dipenuhi. Model penentuan rute
bus karyawan pada karya ilmiah ini berdasarkan pada artikel berjudul “Solving
school bus routing problems through integer programming” yang ditulis oleh T Bektas dan
Seda Elmastas tahun 2007.
1.2 Tujuan
Tujuan penulisan ini adalah memodelkan dan menyelesaikan masalah penentuan rute
bus karyawan dengan PLI.
II LANDASAN TEORI
Untuk membuat model penentuan rute bus karyawan dan teknik-teknik pemecahan yang
digunakan dalam karya tulis ini, diperlukan pemahaman teori pemrograman linear PL,
Pemrograman Linear Integer PLI atau Integer Linear Programming ILP, dan
metode branch-and-bound. 2.1Fungsi Linear dan Pertidaksamaan
Linear Fungsi linear dan pertidaksamaan linear
merupakan salah satu konsep dasar yang harus dipahami terkait dengan konsep pemrograman
linear. Definisi 1 Fungsi Linear
Misalkan
,..., ,
2 1
n
x x
x f
menyatakan suatu fungsi dalam variabel-variabel
. Fungsi dikatakan
linear jika dan hanya jika untuk suatu himpunan konstanta
, fungsi f dapat dituliskan sebagai
Winston 2004 Sebagai gambaran,
merupakan fungsi linear, sementara bukan fungsi linear.
Definisi 2 Pertidaksamaan dan Persamaan Linear
Untuk sembarang fungsi linear dan sembarang bilangan
pertidaksamaan dan
adalah pertidaksamaan linear; sedangkan
merupakan persamaan linear. Winston 2004
2.2 Pemrograman Linear
Menurut Winston 2004, pemrograman linear PL adalah suatu masalah optimisasi
yang memenuhi ketentuan-ketentuan sebagai berikut.
a Tujuan masalah tersebut adalah
memaksimumkan atau meminimumkan suatu fungsi linear dari sejumlah variabel
keputusan. Fungsi yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan ini
disebut fungsi objektif.
n
x x
x ,...,
,
2 1
,..., ,
2 1
n
x x
x f
n
c c
c ,...,
,
2 1
. ...
,..., ,
2 2
1 1
2 1
n n
n
x c
x c
x c
x x
x f
+ +
+ =
2 1
2 1
2 ,
x x
x x
f +
=
2 2
1 2
1
, x
x x
x f
=
,..., ,
2 1
n
x x
x f
, b
b x
x x
f
n
≤ ,...,
,
2 1
b x
x x
f
n
≥ ,...,
,
2 1
b x
x x
f
n
= ,...,
,
2 1
I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Masalah penentuan rute bus karyawan mendapat perhatian dari para peneliti selama
lebih kurang 30 tahun belakangan ini. Masalah optimisasi rute bus karyawan secara
matematis termasuk dalam kelas permasalahan yang disebut Vehicle Routing
Problem VRP. Bentuk dasar VRP berkaitan dengan masalah penentuan suatu himpunan
rute kendaraan vehicle yang melayani suatu himpunan pelanggan.
Dalam kehidupan sehari-hari banyak ditemukan terapan VRP, antara lain
pendistribusian barang hasil produksi oleh produsen ke konsumen, pengambilan surat
dari kotak-kotak pos yang tersebar di seluruh kota, pengantaran dan penjemputan anak
sekolah dengan bus sekolah.
Karakteristik khusus yang diperhatikan dalam masalah bus karyawan di antaranya,
bus tidak kembali ke pos yang sudah dilewatinya setelah melengkapi rute
perjalanannya tetapi bus mengakhiri perjalanannya di depot, serta banyaknya
karyawan pada setiap bus tidak melebihi kapasitas bus.
Tulisan ini akan membahas bagaimana mengoptimalkan biaya yang berhubungan
dengan pengangkutan karyawan dengan menggunakan PLI pemrograman linear
integer sedemikian sehingga kendala- kendalanya dipenuhi. Model penentuan rute
bus karyawan pada karya ilmiah ini berdasarkan pada artikel berjudul “Solving
school bus routing problems through integer programming” yang ditulis oleh T Bektas dan
Seda Elmastas tahun 2007.
1.2 Tujuan
Tujuan penulisan ini adalah memodelkan dan menyelesaikan masalah penentuan rute
bus karyawan dengan PLI.
II LANDASAN TEORI
Untuk membuat model penentuan rute bus karyawan dan teknik-teknik pemecahan yang
digunakan dalam karya tulis ini, diperlukan pemahaman teori pemrograman linear PL,
Pemrograman Linear Integer PLI atau Integer Linear Programming ILP, dan
metode branch-and-bound. 2.1Fungsi Linear dan Pertidaksamaan
Linear Fungsi linear dan pertidaksamaan linear
merupakan salah satu konsep dasar yang harus dipahami terkait dengan konsep pemrograman
linear. Definisi 1 Fungsi Linear
Misalkan
,..., ,
2 1
n
x x
x f
menyatakan suatu fungsi dalam variabel-variabel
. Fungsi dikatakan
linear jika dan hanya jika untuk suatu himpunan konstanta
, fungsi f dapat dituliskan sebagai
Winston 2004 Sebagai gambaran,
merupakan fungsi linear, sementara bukan fungsi linear.
Definisi 2 Pertidaksamaan dan Persamaan Linear
Untuk sembarang fungsi linear dan sembarang bilangan
pertidaksamaan dan
adalah pertidaksamaan linear; sedangkan
merupakan persamaan linear. Winston 2004
2.2 Pemrograman Linear
Menurut Winston 2004, pemrograman linear PL adalah suatu masalah optimisasi
yang memenuhi ketentuan-ketentuan sebagai berikut.
a Tujuan masalah tersebut adalah
memaksimumkan atau meminimumkan suatu fungsi linear dari sejumlah variabel
keputusan. Fungsi yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan ini
disebut fungsi objektif.
n
x x
x ,...,
,
2 1
,..., ,
2 1
n
x x
x f
n
c c
c ,...,
,
2 1
. ...
,..., ,
2 2
1 1
2 1
n n
n
x c
x c
x c
x x
x f
+ +
+ =
2 1
2 1
2 ,
x x
x x
f +
=
2 2
1 2
1
, x
x x
x f
=
,..., ,
2 1
n
x x
x f
, b
b x
x x
f
n
≤ ,...,
,
2 1
b x
x x
f
n
≥ ,...,
,
2 1
b x
x x
f
n
= ,...,
,
2 1
b Nilai variabel-variabel keputusannya harus memenuhi suatu himpunan kendala. Setiap
kendala harus berupa persamaan linear atau pertidaksamaan linear.
c Ada pembatasan tanda untuk setiap variabel dalam masalah ini. Untuk
sembarang variabel , pembatasan tanda
menentukan harus taknegatif
atau tidak dibatasi tandanya unrestricted in sign.
Suatu PL mempunyai bentuk standar seperti yang didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 3 Bentuk Standar PL
Pemrograman linear min
z = c
T
x terhadap Ax = b
x ≥ 0
2.1
dikatakan PL dalam bentuk standar, dengan x dan c vektor-vektor berukuran n, vektor b
berukuran m, dan A matriks berukuran m
× n yang disebut sebagai matriks kendala, dengan
m ≤ n.
Nash Sofer 1996 Sebagai catatan, yang dimaksud dengan
vektor berukuran n adalah vektor yang memiliki dimensi ukuran n × 1.
Solusi Pemrograman Linear
Suatu masalah PL dapat diselesaikan dalam berbagai teknik, salah satunya adalah
metode simpleks. Metode ini dapat menghasilkan suatu solusi optimal bagi
masalah PL dan telah dikembangkan oleh Dantzig sejak tahun 1947, dan dalam
perkembangannya merupakan metode yang paling umum digunakan untuk menyelesaikan
PL. Metode ini berupa metode iteratif untuk menyelesaikan PL berbentuk standar.
Pada masalah PL 2.1, vektor x yang
memenuhi kendala disebut solusi PL
2.1. Misalkan matriks A dapat dinyatakan
Kategori